2023-2024學年安徽省馬鞍山七中八年級（下）期末數(shù)學試卷 （含解析）

2023-2024學年安徽省馬鞍山七中八年級（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．在下列計算中，正確的是（）A． B． C． D．3．以下列數(shù)據(jù)為長度的線段中，可以構成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．，3，5 D．28，45，534．一組數(shù)據(jù)：1、2、2、3，若添加一個數(shù)據(jù)2，則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差5．如圖，△ABC中，已知點D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，那么下列判斷中錯誤的是（）A．四邊形ADEF是平行四邊形． B．如果AB＝AC，那么四邊形ADEF是菱形 C．如果∠A＝90°，那么四邊形ADEF是矩形 D．如果△ABC是等腰直角三角形，那么四邊形ADEF是正方形6．隨著科技水平的提高，某種電子產(chǎn)品的價格呈下降趨勢，今年年底的價格是兩年前價格的．這種電子產(chǎn)品的價格在這兩年中平均每年下降百分之幾？（）A．25% B．37.5% C．50% D．75%7．已知等腰三角形的三邊長分別為a、b、4，且a、b是關于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，則m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或368．苯（分子式為C6H6）的環(huán)狀結構是由德國化學家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)陽苯分子中的6個碳原子組成了一個完美的正六邊形（如圖1），圖2是其平面示意圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，則∠CBF﹣∠COD的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連接CE．則線段CE的長等于（）A． B． C． D．410．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AD邊上一點，連接BE，將△ABE沿BE對折，A點恰好落在對角線BD上的點F處．延長AF，與CD邊交于點G，延長FE，與BA的延長線交于點H，則下列說法：①△BFH為等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA；③∠DFG＝60°；④DE＝；⑤S△AEF＝S△DFG．其中正確的說法有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分）11．若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是．12．若A（x，y）在第二象限，則＝．13．若一個多邊形的內角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是．14．順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，所形成的四邊形是．15．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是4，方差為3，另一組數(shù)據(jù)2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均數(shù)與方差的和為．16．已知關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的兩個實數(shù)根分別為α、β，且α+2β＝5，則m的值為．17．將6張寬為1的小長方形按如圖擺放在?ABCD中，則?ABCD的面積為．18．如圖，在矩形ABCD中，AC＝10，∠DAC＝30°，P是邊AD上一個動點，過點P作PG⊥AC，垂足為G，連接BP，取BP中點E，連接EG，則線段EG的最小值為．三、解答題（本大題共6題，滿分0分）．解答題應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．19．計算：．20．已知關于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍．（2）當m取滿足要求的最小正整數(shù)時，求方程的解．21．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個動點，分別從A，C同時出發(fā)相向而行，速度均為1cm/s，運動時間為t秒，0≤t≤5．（1）若G，H分別是AB，DC中點，試說明：四邊形EGFH為平行四邊形；（2）在（1）的條件下，當t為何值時，四邊形EGFH為矩形．22．3月14日是國際數(shù)學日，“數(shù)學是打開科學大門的鑰匙．”為進一步提高學生學習數(shù)學的興趣，某校開展了一次數(shù)學趣味知識競賽（競賽成績?yōu)榘俜种疲?，并隨機抽取了50名學生的競賽成績（本次競賽沒有滿分），經(jīng)過整理數(shù)據(jù)得到以下信息：信息一：50名學生競賽成績頻數(shù)分布直方圖如圖所示，從左到右依次為第一組到第五組（每組數(shù)據(jù)含前端點值，不含后端點值）．信息二：第三組的成績（單位：分）為747173747976777676737275根據(jù)信息解答下列問題：（1）補全第二組頻數(shù)分布直方圖（直接在圖中補全）；（2）第三組競賽成績的眾數(shù)是分，抽取的50名學生競賽成績的中位數(shù)是分；（3）若該校共有1500名學生參賽，請估計該校參賽學生成績不低于80分的約為人．23．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，經(jīng)測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個．①為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？②要使銷售該品牌頭盔每月獲得的利潤最大，則該品牌頭盔每個的售價為元．24．已知：四邊形ABCD是正方形，AB＝20，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，AD，DC上．（1）如圖1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度數(shù)；（2）如圖2，若∠EDF＝45°，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，求證：△EBF的周長是定值；（3）如圖3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于點O，且∠EOF＝45°，求EH的長度．

參考答案一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．根據(jù)最簡二次根式的概念解答即可．解：A選項被開方數(shù)是小數(shù)，可以化成分數(shù)，有分母，不符合題意；B選項的被開方數(shù)含分母，不符合題意；C選項是最簡二次根式，符合題意；D選項的被開方數(shù)中有能開的盡方的因數(shù)4，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了最簡二次根式的概念，熟練掌握最簡二次根式的概念是解題的關鍵．2．在下列計算中，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意逐一對選項進行計算即可得到本題答案．解：∵，∴A選項不正確，∵，∴B選項正確，∵，∴C選項不正確，∵，∴D選項不正確，故選：B．【點評】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式性質是關鍵．3．以下列數(shù)據(jù)為長度的線段中，可以構成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．，3，5 D．28，45，53【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐項分析判斷即可．解：∵12+22＝5≠32＝9，∴A選項不能構成直角三角形，不符合題意；∵22+32＝13≠42＝16，∴B選項不能構成直角三角形，不符合題意；∵，∴C選項不能構成直角三角形，不符合題意；∵282+452＝2809＝532，∴D選項能構成直角三角形，符合題意．故選：D．【點評】本題考查利用勾股定理逆定理判定直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．4．一組數(shù)據(jù)：1、2、2、3，若添加一個數(shù)據(jù)2，則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差【分析】依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義和公式求解即可．解：A、原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，添加數(shù)字2后平均數(shù)仍為2，故A與要求不符；B、原來數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2，添加數(shù)字2后中位數(shù)仍為2，故B與要求不符；C、原來數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，添加數(shù)字2后眾數(shù)仍為2，故C與要求不符；D、原來數(shù)據(jù)的方差S2＝＝，添加數(shù)字2后的方差S2＝＝，故方差發(fā)生了變化．故選：D．【點評】本題主要考查的是眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)，熟練掌握相關概念和公式是解題的關鍵．5．如圖，△ABC中，已知點D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，那么下列判斷中錯誤的是（）A．四邊形ADEF是平行四邊形． B．如果AB＝AC，那么四邊形ADEF是菱形 C．如果∠A＝90°，那么四邊形ADEF是矩形 D．如果△ABC是等腰直角三角形，那么四邊形ADEF是正方形【分析】由D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，根據(jù)三角形的中位線定理得DE∥AC，EF∥AB，則四邊形ADEF是平行四邊形，可判斷A不符合題意；由AD＝AB，AF＝AC，且AB＝AC，得AD＝AF，則四邊形ADEF是菱形，可判斷B不符合題意；由四邊形ADEF是平行四邊形，且∠A＝90°，證明四邊形ADEF是矩形，可判斷C不符合題意；當△ABC是等腰直角三角形，且∠A＝90°時，則四邊形ADEF是矩形，由AB＝AC，AD＝AB，AF＝AC，得AD＝AF，則四邊形ADEF是正方形，當△ABC是等腰直角三角形，且∠B＝90°時，則AB＝BC，∠A＝∠C＝45°，則四邊形ADEF不是正方形，可判斷D符合題意，于是得到問題的答案．解：∵D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，∴DE、EF都是△ABC的中位線，∴DE∥AC，EF∥AB，∴DE∥AF，EF∥AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形，故A不符合題意；∵AD＝AB，AF＝AC，且AB＝AC，∴AD＝AF，∴四邊形ADEF是菱形，故B不符合題意；∵四邊形ADEF是平行四邊形，且∠A＝90°，∴四邊形ADEF是矩形，故C不符合題意；當△ABC是等腰直角三角形，且∠A＝90°時，則四邊形ADEF是矩形，∵AB＝AC，AD＝AB，AF＝AC，∴AD＝AF，∴四邊形ADEF是正方形，當△ABC是等腰直角三角形，且∠B＝90°時，則AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∴四邊形ADEF不是正方形，∴當△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF不一定是正方形，故D符合題意，故選：D．【點評】此題重點考查平行四邊形的判定、菱形的定義、矩形的定義、正方形的判定、三角形的中位線定理等知識，熟練掌握平行四邊形及特殊的平行四邊形的定義和判定定理是解題的關鍵．6．隨著科技水平的提高，某種電子產(chǎn)品的價格呈下降趨勢，今年年底的價格是兩年前價格的．這種電子產(chǎn)品的價格在這兩年中平均每年下降百分之幾？（）A．25% B．37.5% C．50% D．75%【分析】直接利用下降率求法（1﹣x）2＝今年年底的價格，進而得出答案．解：設這種電子產(chǎn)品的價格在這兩年中平均每年下降x，根據(jù)題意可得：（1﹣x）2＝，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合題意舍去），即：這種電子產(chǎn)品的價格在這兩年中平均每年下降50%．故選：C．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，正確得出等量關系是解題關鍵．7．已知等腰三角形的三邊長分別為a、b、4，且a、b是關于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，則m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【分析】分三種情況討論，①當a＝4時，②當b＝4時，③當a＝b時；結合韋達定理即可求解；解：當a＝4時，b＜8，∵a、b是關于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；當b＝4時，a＜8，∵a、b是關于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；當a＝b時，∵a、b是關于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故選：A．【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系；根據(jù)等腰三角形的性質進行分類討論，結合韋達定理和三角形三邊關系進行解題是關鍵．8．苯（分子式為C6H6）的環(huán)狀結構是由德國化學家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)陽苯分子中的6個碳原子組成了一個完美的正六邊形（如圖1），圖2是其平面示意圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，則∠CBF﹣∠COD的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根據(jù)正六邊形的性質，等腰三角形的性質以及三角形內角和定理進行計算即可．解：如圖2，六邊形ABCDEF是正六邊形，∠A＝∠ABC＝＝120°，∵AB＝AF＝EF，∠ABF＝＝30°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝120°﹣30°＝90°，∵∠COD＝×360°＝60°，∴∠CBF﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°．故選：A．【點評】本題考查正多邊形和圓，等腰三角形以及三角形內角和定理，解題關鍵是掌握正六邊形的性質，等腰三角形的性質以及三角形內角和定理是正確解答的前提．9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連接CE．則線段CE的長等于（）A． B． C． D．4【分析】連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先證明AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解決問題．解：如圖，連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H.在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC＝＝10，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝5，∵BC?AH＝AB?AC，∴AH＝，∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，∴AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形，∵AD?BO＝BD?AH，∴OB＝，∴BE＝2OB＝，在Rt△BCE中，EC＝＝＝．故選：A．【點評】本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用面積求高，屬于中考?？碱}型．10．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AD邊上一點，連接BE，將△ABE沿BE對折，A點恰好落在對角線BD上的點F處．延長AF，與CD邊交于點G，延長FE，與BA的延長線交于點H，則下列說法：①△BFH為等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA；③∠DFG＝60°；④DE＝；⑤S△AEF＝S△DFG．其中正確的說法有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①由折疊后對稱很容易得到結果．②由上一證結論，并證明△AHF≌△ADF從而證得．③由①證得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°故不正確．④根據(jù)對折可以證明三角形DEF是等腰直角三角形，DF＝1，所以DE＝DF，從而得證．⑤作FM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥AD于N，證明FM＝FN即可解決問題．解：由題意三角形ABE對折后為三角EFB，∴∠EFB＝∠DAB＝90°，由題意正方形ABCD，連接BD，則角ABF＝45°，∴在直角三角形BHF中HF＝BF，故①正確．由上一證知：HF＝BF＝AB，∠FHB＝∠ADB＝45°，∵∠EAH＝90°，∴∠AEH＝∠DEF＝45°，∴∠DFE＝90°，∵EA＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∴∠AFD＝∠FAH，又知AF為公共邊，∴△AHF≌△ADF（SAS），故②正確．由①證得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，由已知∠BDC＝45°，∴在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°，在三角形DFG中角DFG＝67.5°，故③不正確；根據(jù)對折可以證明三角形DEF是等腰直角三角形，DF＝1，所以DE＝DF，即④正確，或者過D作FG的垂線證明三角形全等，⑤作FM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥AD于N，∵∠FDM＝∠FDN，∴FM＝FN，易證AE＝DG，∵S△FEA＝?AE?FN，S△DFG＝?DG?FM，∴S△AEF＝S△DGF，故⑤正確．所以①②④⑤正確．故選：D．【點評】本題考查了正方形的性質，①由折疊后對稱很容易得到結果．②由上一證結論，并證明△AHF≌△ADF從而證得．③由①證得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°故不正確．④根據(jù)對折可以證明三角形DEF是等腰直角三角形，DF＝1，所以DE＝DF，從而得證．⑤過D作DI垂直于FG，垂足為I，EB與AF的交點為G證明三角形DFI與EFG全等．二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分）11．若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)求解即可．解：由題意知2x﹣6≥0，解得x≥3，故答案為：x≥3．【點評】本題主要考查二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．12．若A（x，y）在第二象限，則＝．【分析】根據(jù)A（x，y）在第二象限，得出x＜0，y＞0，再根據(jù)二次根式的性質化簡即可．解：∵A（x，y）在第二象限，∴x＜0，y＞0，∴．故答案為：﹣x+y．【點評】本題考查平面直角坐標系內各點的坐標特征，二次根式的性質．掌握第二象限內的點的橫坐標為負，縱坐標為正和二次根式的性質是解題關鍵．13．若一個多邊形的內角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是．【分析】任何多邊形的外角和是360°，即這個多邊形的內角和是3×360°．n邊形的內角和是（n﹣2）?180°，如果已知多邊形的邊數(shù)，就可以得到一個關于邊數(shù)的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數(shù)．解：設多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n﹣2）?180＝3×360，解得n＝8．則這個多邊形的邊數(shù)是八．【點評】已知多邊形的內角和求邊數(shù)，可以轉化為方程的問題來解決．14．順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，所形成的四邊形是．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理和菱形的判定，可得順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形解答即可．解：如圖，AC＝BD，E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點，則EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質知，EH＝FG＝D，EF＝HG＝AC，∵AC＝BD∴EF＝FG＝HG＝EH，∴四邊形EFGH是菱形．故答案為：菱形．【點評】此題考查了中點四邊形，平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握三角形中位線定理是解本題的關鍵．15．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是4，方差為3，另一組數(shù)據(jù)2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均數(shù)與方差的和為．【分析】根據(jù)題意可得出，，再根據(jù)平均數(shù)公式和方差公式求出另一組數(shù)據(jù)的方差和平均數(shù)，即可求解．解：∵這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4，∴，∴x1+x2+x3+x4+x5＝20，∴另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)＝＝＝＝5；∵這組數(shù)據(jù)的方差為3，∴，∴另一組數(shù)據(jù)的方差＝＝＝＝4×3＝12，∴另一組數(shù)據(jù)2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均數(shù)與方差的和＝5+12＝17．故答案為：17．【點評】本題考查平均數(shù)和方差的計算，掌握求平均數(shù)和方差的公式是解題關鍵．16．已知關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的兩個實數(shù)根分別為α、β，且α+2β＝5，則m的值為．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系即可得出α+β＝2，αβ＝﹣3m2，再由α+2β＝5，求出β＝3，α＝﹣1，進而根據(jù)αβ＝﹣3m2得出﹣33m2，解之即可得出m的值．解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的兩個實數(shù)根分別為α、β，∴α+β＝2，αβ＝﹣3m2，∵α+2β＝5，∴β＝5﹣2＝3，∴α＝2﹣3＝﹣1，∴αβ＝﹣3，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3＝﹣3m2，解得m＝1或﹣1．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3m2）＝4+12m2＞0，故m的值為1或﹣1．故答案為：1或﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式以及一元二次方程的根與系數(shù)的關系．17．將6張寬為1的小長方形按如圖擺放在?ABCD中，則?ABCD的面積為．【分析】過點A作AF⊥BC于F，過點C作CE⊥AD于E，由圖形可知AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，則BC＝8，即可得出結論．解：過點A作AF⊥BC于F，過點C作CE⊥AD于E，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴AF⊥AD，CE⊥BC，∴四邊形AFCE是矩形，∴AE＝CF，∴DE＝BF，由圖形可知：AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，∴BC＝BF+CF＝8，∴平行四邊形ABCD的面積＝BC?AF＝8×4＝32，故答案為：32．【點評】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的性質等知識，熟練掌握平行四邊形的性質和矩形的性質是解題的關鍵．18．如圖，在矩形ABCD中，AC＝10，∠DAC＝30°，P是邊AD上一個動點，過點P作PG⊥AC，垂足為G，連接BP，取BP中點E，連接EG，則線段EG的最小值為．【分析】根據(jù)矩形的性質可求出，延長PG，使得PG＝GQ，連接BQ，AQ，結合等腰三角形三線合一的性質易證明∠BAQ＝30°，即說明點Q在定直線上．再根據(jù)三角形中位線定理可知，即說明當BQ最小時，GE有最小值．最后根據(jù)垂線段最短，結合含30度角的直角三角形的性質，求出BQ即可．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，∠ADC＝90°．∵∠DAC＝30°，∴．延長PG，使得PG＝GQ，連接BQ，AQ，如圖，∵PG⊥AC，PG＝GQ，∴AQ＝AP，∴AC平分∠QAD．∵∠DAC＝30°，∴∠QAD＝60°，∴∠BAQ＝30°，∴點Q在定直線上．∵BP中點為E，∴，∴當BQ最小時，GE有最小值．∵當BQ⊥AQ時，BQ最小，此時，∴GE的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查矩形的性質，含30度角的直角三角形的性質，三角形中位線定理，等腰三角形三線合一的性質，垂線段最短等知識．正確作出輔助線是解題關鍵．三、解答題（本大題共6題，滿分0分）．解答題應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．19．計算：．【分析】先根據(jù)絕對值、負整數(shù)指數(shù)冪、算術平方根及零次冪計算，再進行合并即可求解．解：原式＝﹣1+2﹣3+1＝﹣1．【點評】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．20．已知關于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍．（2）當m取滿足要求的最小正整數(shù)時，求方程的解．【分析】（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣4）＞0，且m﹣4≠0，求出m的取值范圍；（2）得到m的最小整數(shù)，利用因式分解法解一元二次方程即可．解：（1）∵一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣4）＝12m+1＞0，且m﹣4≠0，∴m＞﹣且m≠4；（2）m滿足條件的最小值為m＝1，此時方程為﹣3x2﹣x+1＝0，解得x1＝，x2＝．【點評】本題考查了根的判別式，總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．21．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個動點，分別從A，C同時出發(fā)相向而行，速度均為1cm/s，運動時間為t秒，0≤t≤5．（1）若G，H分別是AB，DC中點，試說明：四邊形EGFH為平行四邊形；（2）在（1）的條件下，當t為何值時，四邊形EGFH為矩形．【分析】（1）證明△AFG≌△CEH（SAS），得GF＝HE，同理GE＝HF，即可得出結論；（2）由“對角線相等的平行四邊形是矩形”得EF＝GH，再證四邊形AGHD是平行四邊形，得GH＝BC＝4，然后分兩種情況分別求出t的值即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠GAF＝∠HCE，∵G、H分別是AB、DC的中點，∴AG＝BG，CH＝DH，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△AFG與△CEH中，∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，同理：GE＝HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形．（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，由（2）可知四邊形EGFH是平行四邊形，連接GH，∵點G、H分別是矩形ABCD的邊AB、DC的中點，∴AG＝DH，AG∥DH，∴四邊形AGHD是平行四邊形，∴GH＝BC＝4，∴當EF＝GH＝4時，四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：①如圖1，AE＝CF＝t，則EF＝5﹣2t＝4，解得：t＝0.5；②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5；綜上所述，當t為0.5或4.5時，四邊形EGFH為矩形．【點評】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．22．3月14日是國際數(shù)學日，“數(shù)學是打開科學大門的鑰匙．”為進一步提高學生學習數(shù)學的興趣，某校開展了一次數(shù)學趣味知識競賽（競賽成績?yōu)榘俜种疲㈦S機抽取了50名學生的競賽成績（本次競賽沒有滿分），經(jīng)過整理數(shù)據(jù)得到以下信息：信息一：50名學生競賽成績頻數(shù)分布直方圖如圖所示，從左到右依次為第一組到第五組（每組數(shù)據(jù)含前端點值，不含后端點值）．信息二：第三組的成績（單位：分）為747173747976777676737275根據(jù)信息解答下列問題：（1）補全第二組頻數(shù)分布直方圖（直接在圖中補全）；（2）第三組競賽成績的眾數(shù)是分，抽取的50名學生競賽成績的中位數(shù)是分；（3）若該校共有1500名學生參賽，請估計該校參賽學生成績不低于80分的約為人．【分析】（1）計算出第2組60～70組的人數(shù)，即可補全頻數(shù)分布直方圖；（2）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義，分別求出第3組的眾數(shù)，樣本中位數(shù)；（3）樣本估計總體，樣本中80分以上的占，因此估計總體1500人的是80分以上的人數(shù)．解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），補全頻數(shù)分布直方圖如圖所示：（2）第3組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是76，共出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是76，抽取的50人的成績從小到大排列處在第25、26位的兩個數(shù)的平均數(shù)為＝78（分），因此中位數(shù)是78，故答案為：76，78；（3）1500×＝720（人），故答案為：720．【點評】考查頻數(shù)分布直方圖的意義和制作方法，理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義和計算方法是正確解答的前提．23．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，經(jīng)測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個．①為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？②要使銷售該品牌頭盔每月獲得的利潤最大，則該品牌頭盔每個的售價為元．【分析】（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據(jù)月銷售利潤＝每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結論．解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．（2）設該品牌頭盔