高中數(shù) 3.3-2幾何概型(2)試題 蘇教版必修3

第2課時(shí)幾何概型(2)eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘)1.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT是60°角的終邊，任作一條射線OA，則射線OA落在∠x(chóng)OT內(nèi)的概率為_(kāi)_______．解析設(shè)B＝{射線OA落在∠x(chóng)OT內(nèi)}，則由∠x(chóng)OT＝60°，得P(B)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).所以射線OA落在∠x(chóng)OT內(nèi)的概率為eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)2．電腦“掃雷”游戲的操作面被平均分成480塊，其中有99塊埋有地雷，現(xiàn)在操作面上任意點(diǎn)擊一下，碰到地雷的概率為_(kāi)_______．解析樣本空間為480塊，設(shè)“碰到地雷”為事件A，則事件A發(fā)生的區(qū)域?yàn)?9塊，∴P(A)＝eq\f(99,480)＝eq\f(33,160).答案eq\f(33,160)3．假設(shè)△ABC為圓的內(nèi)接三角形，AC＝BC，AB為圓的直徑，向該圓內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在△ABC內(nèi)的概率是________．解析設(shè)圓的半徑為R，則AB＝2R，則樣本空間對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域D的測(cè)度為πR2，事件發(fā)生對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域d的測(cè)度為R2，∴P＝eq\f(R2,πR2)＝eq\f(1,π).答案eq\f(1,π)4．在長(zhǎng)為10cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，則正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率是________．解析設(shè)AM＝x，則36＜x2＜81，∴6＜x＜9，∴P＝eq\f(9－6,10)＝0.3.答案0.35．在區(qū)間(10,20]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中，隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則這個(gè)實(shí)數(shù)不大于13的概率是________．解析P＝eq\f(13－10,20－10)＝eq\f(3,10)＝0.3.答案0.36．某公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車發(fā)出，并且發(fā)出前在車站?？?分鐘．(1)求乘客到站候車時(shí)間大于10分鐘的概率；(2)求乘客到站候車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率；(3)求乘客到達(dá)車站立即上車的概率．解(1)如圖所示，設(shè)相鄰兩班車的發(fā)車時(shí)刻為T1、T2，T1T2＝15.設(shè)T0T2＝3，TT0＝10，記“乘客到站候車時(shí)間大于10分鐘”為事件A，則當(dāng)乘客到站時(shí)刻t落到T1T上時(shí)，事件A發(fā)生．因?yàn)門1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，所以P(A)＝eq\f(T1T,T1T2)＝eq\f(2,15).(2)如上圖所示，當(dāng)時(shí)間t落在TT2上時(shí)，乘客到站候車時(shí)間不超過(guò)10分鐘，故所求概率為P＝eq\f(TT2,T1T2)＝eq\f(13,15).(3)如上圖所示，當(dāng)t落在T0T2上時(shí)，乘客立即上車，故所求概率為P＝eq\f(T0T2,T1T2)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)30分鐘)7．地球上的山地、水和陸地面積比約為3∶6∶1，那么太空的一塊隕石恰好落在陸地上的概率為_(kāi)_______．解析因?yàn)殛懙厮急壤秊閑q\f(1,3＋6＋1)＝eq\f(1,10)，所以隕石恰好落在陸地上的概率為eq\f(1,10).答案eq\f(1,10)8.如圖的矩形，長(zhǎng)為5，寬為3，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為120顆，則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積為_(kāi)_______．解析矩形的面積S＝5×3＝15，陰影部分的面積設(shè)為S陰影，由幾何概型的概率公式知P＝eq\f(S陰影,15)≈eq\f(120,300)，∴S陰影≈eq\f(120×15,300)＝6.答案69．在邊長(zhǎng)為2的正方形中有一個(gè)內(nèi)切圓，向正方形中隨機(jī)撒一把芝麻，用隨機(jī)模擬的方法來(lái)估計(jì)圓周率π的值．如果撒了1000顆芝麻，落在圓內(nèi)的芝麻總數(shù)是776顆，那么這次模擬中π的估計(jì)值是________(精確到0.001)．解析由于芝麻落在正方形內(nèi)任一位置的可能性相等且可以落在任一位置，由幾何概型的概率公式知：eq\f(S內(nèi)切圓,S正方形)＝eq\f(776,1000)，∴eq\f(π·12,22)＝eq\f(776,1000)，∴π＝eq\f(776,250)＝3.104.答案3.10410．甲、乙兩人約定上午7：00至8：00之間到某站乘公共汽車，在這段時(shí)間內(nèi)有3班公共汽車，它們開(kāi)車時(shí)刻分別為7：20,7：40,8：00，若他們約定，見(jiàn)車就乘，則甲、乙同乘一車的概率為_(kāi)_______．解析設(shè)甲到達(dá)汽車站的時(shí)間為x，乙到達(dá)汽車站的時(shí)間為y，則7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙兩人到達(dá)汽車站的時(shí)刻(x，y)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出(如圖所示)是大正方形．將三班車到站的時(shí)刻在圖形中畫(huà)出，則甲、乙兩人要想乘同一班車，必須滿足7≤x≤7eq\f(1,3)，7≤y≤7eq\f(1,3)；7eq\f(1,3)≤x≤7eq\f(2,3)，7eq\f(1,3)≤y≤7eq\f(2,3)；7eq\f(2,3)≤x≤8,7eq\f(2,3)≤y≤8.即(x，y)必須落在圖形中的三個(gè)帶陰影的小正方形內(nèi)，所以由幾何概型的計(jì)算公式得，P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×3,12)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)11．設(shè)點(diǎn)M(x，y)在|x|≤1，|y|≤1時(shí)按均勻分布出現(xiàn)，試求滿足：(1)x＋y≥0的概率；(2)x＋y＜1的概率；(3)x2＋y2≥1的概率．解如圖，滿足|x|≤1，|y|≤1的點(diǎn)組成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，則S正方形ABCD＝4.(1)方程x＋y＝0的圖象是直線AC，滿足x＋y≥0的點(diǎn)在AC的右上方，即在△ACD內(nèi)(含邊界)，而S△ACD＝eq\f(1,2)S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).(2)設(shè)E(0,1)、F(1,0)，則x＋y＝1的圖象是EF所在的直線，滿足x＋y＜1的點(diǎn)在直線EF的左下方，即在五邊形ABCFE內(nèi)(不含邊界EF)，而S五邊形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，所以P(x＋y＜1)＝eq\f(S五邊形ABCFE,S正方形ABCD)＝eq\f(\f(7,2),4)＝eq\f(7,8).(3)滿足x2＋y2＝1的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓O，S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1)＝eq\f(S正方形ABCD－S⊙O,S正方形ABCD)＝eq\f(4－π,4).12．甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的．如果甲船的停泊時(shí)間是1h，乙船是2h，求它們中的任何一艘都不需要等待碼頭空出的概率．解設(shè)甲、乙兩船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別是x及y，則x及y均可能取區(qū)間[0,24]內(nèi)的任一值，即0≤x≤24,0≤y≤24.而要求它們中的任何一艘都不需要等待碼頭空出，也就是要求兩船不可能會(huì)面．那么必須甲比乙早到1h以上，即y－x≥1.或者乙比甲早到2h以上，即x－y≥2.在平面上建立直角坐標(biāo)系，如圖，則(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為24的正方形．而兩艘船不可能會(huì)面的時(shí)間由圖中陰影部分所表示，這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題．依上述分析，記A表示“兩艘船都不需要等待碼頭空出”．則P＝eq\f(A1的面積＋A2的面積,正方形的面積)＝eq\f(\f(1,2)24－12＋\f(1,2)24－22,242)＝0.879，即它們中的任何一艘都不需要等待碼頭空出的概率為0.879.13．(創(chuàng)新拓展)設(shè)有一個(gè)等邊三角形網(wǎng)格，其中各個(gè)最小等邊三角形的邊長(zhǎng)都是4eq\r(3)cm.現(xiàn)用直徑為