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人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE1第四章數(shù)列〖數(shù)學(xué)文化〗——了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用數(shù)列的歷史悠久,中國、古印度、阿拉伯、古希臘等數(shù)學(xué)歷史中都有數(shù)列的主題,分布廣泛,人類對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)很早,不晚于函數(shù),而且各個(gè)國家、地區(qū)對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)水平較深入.《莊子》中有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”;古代《易經(jīng)》中有“是故《易》有太極,是生兩儀;兩儀生四象,四象生八卦”,這里包含了數(shù)列的涵意.中國的劉徽《九章算術(shù)》、西方的歐幾里得《幾何原本》都有豐富的數(shù)列內(nèi)容.它們表明,數(shù)列是非常古老的數(shù)學(xué)對(duì)象,無論東方還是西方,古往今來,數(shù)列始終是數(shù)學(xué)研究的重要問題之一,歷史悠久,文化燦爛.〖讀圖探新〗——發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識(shí)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力是各行各業(yè)的人都需要具備的,因此,很多職業(yè)測(cè)試中都會(huì)有數(shù)字推理的考查內(nèi)容.例如,以下是“行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)”中的一道題,你能快速地做出來并說明理由嗎?根據(jù)1,2,4,7,(),16中各數(shù)字之間的關(guān)系,填出括號(hào)中的數(shù).解答此類題目的關(guān)鍵無疑是要找出其中數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律.事實(shí)上,很久以前人們就開始了對(duì)類似問題的研究.例如,古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將1,4,9,16等數(shù)稱為正方形數(shù),因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以擺成一個(gè)正方形,如下圖所示.依據(jù)這一規(guī)律,我們很容易就能知道,下一個(gè)正方形數(shù)應(yīng)該是25,再下一個(gè)是36,等等.你知道嗎?通過尋找數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律,可以產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn).19世紀(jì)的時(shí)候,門捷列夫?qū)?dāng)時(shí)已有的原子量約為7至14的元素按從小到大的順序排列后,得到了如下結(jié)果:元素鋰硼碳鈹?shù)恿?111213.514化合價(jià)+1+3+4+2+5仔細(xì)觀察,你是否發(fā)現(xiàn)了其中的不“和諧”的地方?門捷列夫當(dāng)時(shí)猜測(cè),鈹?shù)脑恿靠赡懿皇?3.5,而應(yīng)該約為9,這一猜測(cè)后來在實(shí)驗(yàn)室得到驗(yàn)證!數(shù)學(xué)上,通常將按一定順序排列的數(shù)稱為數(shù)列.本章我們要學(xué)習(xí)的就是數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),以及兩種規(guī)律比較常見的數(shù)列.4.1數(shù)列的概念第一課時(shí)數(shù)列的概念與表示課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例,了解數(shù)列的概念和表示方法(表格、圖象、〖解析〗法).2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).從日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例,經(jīng)歷數(shù)列的概念的抽象過程,并在由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式的過程中,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).自主梳理1.數(shù)列的概念及一般形式(1)數(shù)列:按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.(2)數(shù)列的項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),常用符號(hào)a1表示,第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng),用a2表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).(3)一般形式數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡(jiǎn)記為{an}.表示數(shù)列時(shí)不要漏寫“{}”,這里的小寫字母a也可以換成其他小寫英文字母.2.數(shù)列的分類類別含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.以前學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的,而數(shù)列是自變量為離散的函數(shù).4.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù),關(guān)系如下表:定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})〖解析〗式數(shù)列的通項(xiàng)公式值域自變量從1開始,按照從小到大的順序依次取值時(shí),對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項(xiàng)公式(〖解析〗法);(2)列表法;(3)圖象法自主檢驗(yàn)1.思考辨析,判斷正誤(1)1,1,1,1是一個(gè)數(shù)列.(√)(2)數(shù)列1,3,5,7,…的第10項(xiàng)是21.(×)〖提示〗第10項(xiàng)并不一定是21,也可能是其他任何數(shù).(3)每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(×)〖提示〗并不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(4)如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列,那么它一定是遞減數(shù)列.(×)〖提示〗也可能是擺動(dòng)數(shù)列,如:1,-1,1,-1,….2.下列說法中正確的是()A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}B.數(shù)列1,0,-1,-2與-2,-1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n+1,n)))的第k項(xiàng)為1+eq\f(1,k)D.數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n}〖答案〗C〖解析〗{1,3,5,7}是一個(gè)集合,故選項(xiàng)A錯(cuò);數(shù)雖相同,但順序不同,不是相同的數(shù)列,故選項(xiàng)B錯(cuò);數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n-2},故選項(xiàng)D錯(cuò),故選C.3.已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為:1,-eq\f(1,2),eq\f(1,3),-eq\f(1,4),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可能為()A.an=eq\f(1,n) B.an=-eq\f(1,n)C.an=eq\f((-1)n,n) D.an=eq\f((-1)n-1,n)〖答案〗D〖解析〗特殊值驗(yàn)證.4.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n+2,n是奇數(shù),n-3,n是偶數(shù),))則a3+a6=________.〖答案〗8〖解析〗a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8.題型一數(shù)列的概念與分類〖例1〗(1)(多選題)下列四個(gè)數(shù)列中的遞增數(shù)列是()A.1,eq\f(1,2),eq\f(1,3),eq\f(1,4),… B.sineq\f(π,7),sineq\f(2π,7),sineq\f(3π,7),…C.-1,-eq\f(1,2),-eq\f(1,4),-eq\f(1,8),… D.1,eq\r(2),eq\r(3),…,eq\r(21)(2)給出下列數(shù)列:①2014~2021年某市普通高中生人數(shù)(單位:萬人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,118,132,147,163,180;②無窮多個(gè)eq\r(3)構(gòu)成數(shù)列eq\r(3),eq\r(3),eq\r(3),eq\r(3),…;③-2的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,…構(gòu)成數(shù)列-2,4,-8,16,-32,….其中,有窮數(shù)列是________,無窮數(shù)列是________,遞增數(shù)列是________,常數(shù)列是________,擺動(dòng)數(shù)列是________(填序號(hào)).〖答案〗(1)CD(2)①②③①②③〖解析〗(1)A是遞減數(shù)列;B是擺動(dòng)數(shù)列;C,D是遞增數(shù)列.(2)①為有窮數(shù)列;②③是無窮數(shù)列,同時(shí)①也是遞增數(shù)列;②為常數(shù)列;③為擺動(dòng)數(shù)列.思維升華1.有窮數(shù)列與無窮數(shù)列:判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列,只需觀察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng).若數(shù)列是有限項(xiàng),則是有窮數(shù)列,否則為無窮數(shù)列.2.數(shù)列{an}的單調(diào)性:若滿足an<an+1(n∈N*)則是遞增數(shù)列;若滿足an>an+1(n∈N*)則是遞減數(shù)列;若滿足an=an+1(n∈N*)則是常數(shù)列;若an與an+1(n∈N*)的大小不確定時(shí),則是擺動(dòng)數(shù)列.〖訓(xùn)練1〗已知下列數(shù)列:①2,4,8,12;②0,eq\f(1,2),eq\f(2,3),…,eq\f(n-1,n),…;③1,eq\f(1,2),eq\f(1,4),…,eq\f(1,2n-1),…;④1,-eq\f(2,3),eq\f(3,5),…,eq\f((-1)n-1·n,2n-1),…;⑤1,0,-1,…,sineq\f(nπ,2),…;⑥6,6,6,6,6,6.其中,(1)遞增數(shù)列是________;(2)遞減數(shù)列是________(填序號(hào)).〖答案〗(1)①②(2)③題型二由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式〖例2〗寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)eq\f(1,2),eq\f(3,4),eq\f(7,8),eq\f(15,16),eq\f(31,32),…;(2)6,66,666,6666,…;(3)-1,eq\f(3,2),-eq\f(1,3),eq\f(3,4),-eq\f(1,5),eq\f(3,6),…;(4)eq\f(3,2),1,eq\f(7,10),eq\f(9,17),….解(1)這個(gè)數(shù)列前5項(xiàng)中,每一項(xiàng)的分子比分母少1,且分母依次為21,22,23,24,25,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=eq\f(2n-1,2n).(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可寫為eq\f(6,9)(10-1),eq\f(6,9)(102-1),eq\f(6,9)(103-1),eq\f(6,9)(104-1),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=eq\f(6,9)(10n-1)=eq\f(2,3)(10n-1).(3)這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,前6項(xiàng)的絕對(duì)值可看作分母依次為1,2,3,4,5,6,分子依次為1,3,1,3,1,3,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-\f(1,n),n=2k-1,k∈N*,,\f(3,n),n=2k,k∈N*.))(4)將數(shù)列變形為eq\f(3,2),eq\f(5,5),eq\f(7,10),eq\f(9,17),…,對(duì)于分子3,5,7,9,…,可得分子的通項(xiàng)公式為bn=2n+1,對(duì)于分母2,5,10,17,…,聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16,…,可得分母的通項(xiàng)公式為cn=n2+1,所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=eq\f(2n+1,n2+1)(n∈N*).思維升華此類問題主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法求解.具體注意以下幾方面:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;(3)拆項(xiàng)后的特征;(4)各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征;(5)化異為同;(6)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可用(-1)k或(-1)k+1處理.〖訓(xùn)練2〗寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1)1,-eq\f(1,2),eq\f(1,3),-eq\f(1,4);(2)eq\f(1,2),2,eq\f(9,2),8;(3)9,99,999,9999.解(1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的倒數(shù),并且奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=eq\f((-1)n+1,n),n∈N*.(2)數(shù)列中的項(xiàng),有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察:eq\f(1,2),eq\f(4,2),eq\f(9,2),eq\f(16,2),…,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=eq\f(n2,2),n∈N*.(3)各項(xiàng)加1后,變?yōu)?0,100,1000,10000,…,此數(shù)列的通項(xiàng)為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1,n∈N*.題型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用〖例3〗已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=eq\f(1,n(n+2))(n∈N*).(1)計(jì)算a3+a4的值;(2)eq\f(1,120)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)?若是,應(yīng)為第幾項(xiàng)?若不是,說明理由.解(1)∵an=eq\f(1,n(n+2)),∴a3=eq\f(1,3×5)=eq\f(1,15),a4=eq\f(1,4×6)=eq\f(1,24),∴a3+a4=eq\f(1,15)+eq\f(1,24)=eq\f(13,120).(2)若eq\f(1,120)為數(shù)列{an}中的項(xiàng),則eq\f(1,n(n+2))=eq\f(1,120),∴n(n+2)=120,∴n2+2n-120=0,∴n=10或n=-12(舍),即eq\f(1,120)是數(shù)列{an}的第10項(xiàng).思維升華判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng),然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù),則是數(shù)列的一項(xiàng);若方程無解或解不是正整數(shù),則不是該數(shù)列的一項(xiàng).〖訓(xùn)練3〗已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n.(1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng);(2)-49和68是該數(shù)列的項(xiàng)嗎?若是,是第幾項(xiàng)?若不是,請(qǐng)說明理由.解(1)根據(jù)an=3n2-28n,得a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.(2)令3n2-28n=-49,即3n2-28n+49=0,解得n=7或n=eq\f(7,3)(舍),∴-49是該數(shù)列的第7項(xiàng).令3n2-28n=68,即3n2-28n-68=0,解得n=-2或n=eq\f(34,3),均不是正整數(shù),∴68不是該數(shù)列的項(xiàng).題型四數(shù)列{an}中的最大(小)項(xiàng)〖例4〗已知an=eq\f(9n·(n+1),10n)(n∈N*),則數(shù)列{an}中有沒有最大項(xiàng)?如果有,求出最大項(xiàng);如果沒有,請(qǐng)說明理由.解法一函數(shù)單調(diào)性法令f(n)=an,則f(n+1)-f(n)=an+1-an=eq\f(9n+1(n+2),10n+1)-eq\f(9n(n+1),10n)=eq\f(9n,10n+1)(8-n).當(dāng)n<8時(shí),an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8時(shí)單調(diào)遞增;當(dāng)n=8時(shí),an+1-an=0,即an+1=an,得a8=a9;當(dāng)n>8時(shí),an+1-an<0,即an+1<an,得{an}在n>8時(shí)單調(diào)遞減.所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是第8項(xiàng)和第9項(xiàng),即a8=a9=eq\f(99,108).法二不等式組法設(shè)an最大,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an-1,,an≥an+1))(n≥2),即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9n·(n+1),10n)≥\f(9n-1·n,10n-1),,\f(9n·(n+1),10n)≥\f(9n+1·(n+2),10n+1),))解得8≤n≤9.又因?yàn)閚∈N*,所以n=8或9.故{an}的最大項(xiàng)為a8=a9=eq\f(99,108).思維升華求數(shù)列{an}的最大(小)項(xiàng)的方法(1)利用判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,先判斷數(shù)列的單調(diào)情況,再求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng);如本題利用差值比較法來探討數(shù)列的單調(diào)性,以此求解最大項(xiàng).(1)設(shè)ak是最大項(xiàng),則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ak≥ak-1,,ak≥ak+1,))對(duì)任意的k∈N*且k≥2都成立,解不等式組即可.〖訓(xùn)練4〗(1)已知數(shù)列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}單調(diào)遞增,則k的取值范圍是()A.(-∞,2〗 B.(-∞,2)C.(-∞,3〗 D.(-∞,3)〖答案〗D〖解析〗∵數(shù)列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}單調(diào)遞增,∴an+1-an>0對(duì)n∈N*恒成立,即(n+1)2-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k>0對(duì)n∈N*恒成立,∴k<2n+1對(duì)n∈N*恒成立,即k<3.故選D.(2)已知數(shù)列{an}的
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