2024新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題突破練12三角變換與解三角形含解析

PAGE專題突破練12三角變換與解三角形1.(2024江西名校大聯(lián)考,理17)已知函數(shù)f(x)=2asinπ2-xcosx-2π3,且fπ(1)求a的值及f(x)的最小正周期;(2)若f(α)=-13,α∈0,π2,2.(2024山東濱州二模,17)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=4,,求△ABC的周長L和面積S.

在①cosA=35,cosC=55,②csinC=sinA+bsinB,B=60°,③c=2,cosA=-14這三個(gè)條件中,任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中的橫線處3.(2024北京,17)在△ABC中,a+b=11,再從條件①,條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面積.條件①:c=7,cosA=-17條件②:cosA=18,cosB=94.(2024山東濰坊二模,17)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=23,A=π3(1)若B=π4,求b(2)求△ABC面積的最大值.5.(2024江蘇,16)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,c=2,B=45°.(1)求sinC的值;(2)在邊BC上取一點(diǎn)D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值6.(2024山東濟(jì)寧5月模擬,17)在①sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列;②sinB,sinA,sinC成等比數(shù)列;③2bcosC=2a-3c三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并加以解答.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,面積為S.若,且4S=3(b2+c2-a2),試推斷△ABC的形態(tài).

7.(2024山東濰坊一模,17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知向量m=(c-a,sinB),n=(b-a,sinA+sinC),且m∥n.(1)求C;(2)若6c+3b=3a,求sinA.8.(2024山東模考卷,18)在△ABC中,∠A=90°,點(diǎn)D在BC邊上.在平面ABC內(nèi),過D作DF⊥BC且DF=AC.(1)若D為BC的中點(diǎn),且△CDF的面積等于△ABC的面積,求∠ABC;(2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos∠CFB.專題突破練12三角變換與解三角形1.解(1)由已知fπ3=1,得2a×12×12所以f(x)=4cosx32sinx-12cosx=23sinxcosx-2cos2x=3sin2x-cos2x-1=2sin2x-π所以f(x)=2sin2x-π6-(2)f(α)=-13,2sin2α-π6-1=-13,sin2α-π又因?yàn)閟in2α所以2α-π6∈0,則sin2α=sin2α-π6+π6=sin2α-=12.解方案一:選條件①.因?yàn)閏osA=35,cosC=55,且0<A<π,0<B<所以sinA=45,sinC=在△ABC中,A+B+C=π,即B=π-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=45×55+35因?yàn)閟inB=sinC,所以c=b=25所以△ABC的周長L=a+b+c=4+25+25=4+45,△ABC的面積S=12absinC=12×4×25方案二:選條件②.csinC=sinA+bsinB,由正弦定理得,c2=a+b2.因?yàn)閍=4,所以b2=c2-4.又因?yàn)锽=60°,由余弦定理得b2=c2+16-2×4×c×1所以c2-4c+16=c2-4,解得c=5.所以b=21所以△ABC的周長L=a+b+c=4+21+5=9+21,△ABC的面積S=12acsinB=5方案三:選條件③.c=2,cosA=-14,由余弦定理得,16=b2+4+2×b×2×即b2+b-12=0,解得b=3或b=-4(舍去).所以△ABC的周長L=a+b+c=4+3+2=9.因?yàn)锳∈(0,π),所以sinA=1-cos2A=154.所以△ABC的面積S=3.解方案一:選條件①.(1)∵c=7,cosA=-17,a+b=∴a2=b2+c2-2bccosA=(11-a)2+72-2(11-a)×7×-17,∴(2)∵cosA=-17,A∈(0,π∴sinA=1由正弦定理得asin∴8437=S=12basinC=12(11-8)×8×3方案二:選條件②.(1)∵cosA=18,cosB=916,A,B∈(0,π),∴sinA=1-由正弦定理得asin∴a378=(2)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=3S=12basinC=12(11-6)×4.解(1)由正弦定理得b=a·sinB(2)因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)角和A+B+C=π,A=π3,所以0<B<因?yàn)閎=asinAsinB=4sinB,所以S△ABC=12absinC=43sinBsin2π3-B=43sinB32cosB+12sinB=6sinBcosB+23sin2B=23sin2B-π6+3.因?yàn)?<B<2π3,所以-π6<2B-π6<7π6.當(dāng)2B-5.解(1)在△ABC中,因?yàn)閍=3,c=2,B=45°,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=9+2-2×3×2cos45°=5,所以b=5.在△ABC中,由正弦定理bsinB=csinC(2)在△ADC中,因?yàn)閏os∠ADC=-45,所以∠ADC為鈍角而∠ADC+∠C+∠CAD=180°,所以∠C為銳角.故cosC=1-則tanC=sin因?yàn)閏os∠ADC=-45所以sin∠ADC=1-cos2∠ADC從而tan∠DAC=tan(180°-∠ADC-∠C)=-tan(∠ADC+∠C)=-tan∠=--6.解方案一:選條件①.由4S=3(b2+c2-a2)可得2bcsinA=23bccosA,所以tanA=3.又因?yàn)?<A<π,所以A=由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,因?yàn)閟inA,sinB,sinC成等差數(shù)列,所以2sinB=sinA+sinC,即2b=a+c,即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得b=c.所以△ABC為等邊三角形.方案二:選條件②.由4S=3(b2+c2-a2)可得2bcsinA=23bccosA,所以tanA=3.又因?yàn)?<A<π,所以A=由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,因?yàn)閟inB,sinA,sinC成等比數(shù)列,所以sin2A=sinB·sinC,即a2=bc,所以(b-c)2=0,所以b=c.所以△ABC為等邊三角形.方案三:選條件③.由4S=3(b2+c2-a2)可得2bcsinA=23bccosA,所以tanA=3.又因?yàn)?<A<π,所以A=因?yàn)?bcosC=2a-3c,所以2sinBcosC=2sinA-3sinC,即2sinBcosC=2sin(B+C)-3sinC,可得cosB=32,所以B=π6,所以C=π2.所以7.解(1)因?yàn)閙∥n,所以(c-a)(sinA+sinC)=(b-a)sinB,由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b-a)b,所以a2+b2-c2=ab,所以cosC=a因?yàn)镃∈(0,π),故C=π(2)由(1)知B=2π3-A,由題設(shè)及正弦定理得6sinC+3sin2π3即22+32cosA+12sinA=sin因?yàn)?<A<2π3,所以-π3<A-π3<π3,所以cosA-π3=22,故sinA=sinA-8.解(1)如圖所示,在△ABC中,∠A=90°,點(diǎn)D在BC邊上.在平面ABC內(nèi),過D作DF⊥BC且DF=AC,所以S△ABC=12·AB·AC,S△CDF=12·CD·DF,且△CDF的面積等于△ABC的面積.由于DF=ACD為