高中數學競賽平面幾何基礎-相似全等和四點共圓練習題

相似全等、四點共圓練習題

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實戰(zhàn)練習

△A8C中，點尸是三角形內一點，/尸84=//＞。4/。_184/￡：_1_4。,點加是8。中點，求證:

MD=ME.

解法一：

取切的中點RPC的中點G,連接FM,GM,。尸,EG,由中位線的性質和直角三角形的性質,

DF=FP=MG,同理EG=FMADFM=NDFP+ZPFM,NMGE=NPGE+NMGP

“BA=ZPCA,:.ZDFP=NPGE.即NOEM=NMGE,：.ADFM^^MGE,:.MD=ME

解法二：

連接。E并延長，過作直線。誠垂線，交DE于G,F,H,N￡CGEsAEHP,

EGCEFDBD?BDCE

■■—==——，又NPBA=ZPCA,dBAPDs△CPE,：.—=—

PHPEHPDPPDPE

EG=FD,FN=NG,DN=EN,:.△Mf應為等腰三角形，得證.

解法三：

延長84至R使。延長C4至G,使EG=EC,由已知條件可得：

NBPF=ZCPG,所以N5PG=NCPF,所以△BPG勺△EPC,所以CF=BG,得證.

2：如圖，P為AABC外一點，M是△ABC中BC邊的中點，。,七分別為延長線上的點,

且PELCE,PD±BD,NPBD=NPCE,求證:EM=DM.

證明：

取P3,PC的中點G,F,連接GM,GO,FM,FE,則四邊形GMFP為平行四邊形,

MF=GP=GD,GM=PF=EF,

NMGD=NMGP-ZDGP

NMFE=NMFP-NEFP

4DGP=NEFP=2NPBD

NMGD=NMFE,AMFE名/\DGM,EM=DM

ABCDdp,AB//CD,分別以兩腰AD,BC為邊作正方形ADFE,

正方形BC"G,連接FG,取FG中點M,求證:

D

證明:

延長D4,交點N,連接NG并去其中點P,Q,連接PM,PA,QM,QB

則MPNQ是平行四邊形，MQ=PN=PAPM=BQ,

NMPN=2M0N,4APN=2NAFN/NQB=2NBGQ

AN:BN=AD:BD=AF:BG

：.Rt/\FAN^Rt/\GBN,:.NAPN=NNQB=2ZAFP

：.MA=MB

4ZA8C的垂心H,BC,AH的中點分別是M,N,以A”為直徑作圓和MN的交點為P.求證

AP平分N84c.

連接E",CH,BH,DH、EN,DN,MD,ME,

由題意易知，E,H,C共線,共線

ZBEC=90°,M是中點，：.EM=，BC,同理，DM=-BC

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△MEN四△MQN,=>ZENP=ZDNP,nNBAP=ZCAP,得證

的內切圓與BC,CAAB相切與D,E,F,過F作BC的平行線交AO于G,交DE的延長

線于“，求證FG=G".

證明：過A作8C的平行線/,OF并延長交/于尸，延長。，交/于E'

則△"'?△雙用BD=BF,：.AF,=AF

同理，AE,=AE=AF=AF',:.FG=GH

BD

6.A48C不是心△,。是外心，”為垂心，直線?！敖籄C于K,交A8A于L,若“L=OK,求證

AL=AK.

連接AO,HL=OK,.-.S^ALK=S^OK

ALAH=AKAO,ALAO=AKAH

：.AO=AH,:.乙AHO=NAOH

=>△A/72△AOK,AL=AK

Q.PA,PB,分別切圓O于A,B,OE切圓。于C,交PA,PB于求證：ZCFD=ZCFE.

如圖作輔助線，ZPAB=NPBA,:.RtAAMDsRtABNE,

DMADDCMFADA.F

——0——=-ADFA^AEFB,=>ZDFA=NEFB

~E7~~EB~~CEFNEBBF

AM=^MC,MD±BC于D,求證AB+BD=DC

延長。5至E,使BE=BA,由題意，ZACM=ZCAM,MA=MC,AB=BE,BM=BM,

ZABM+ZACM=180°,NEBM+ZMBC=180°,ZMBC=ZMAC=ZMCA

：./XABM=4EBM,EM=MA=MC,MD±EC,：.ED=DC,即AB+BO=DC

法一是延長OB,法二可以在￡>。上取一點E,使￡>E=BO,過程略AABC中，AB>AC,ZA的

外角的角平分線交AABC外接圓于O,DELA8于E,求證：

―AB-AC

AE=------------

2

如圖作輔助線,ZDBA=ZDCA,DE=DE',:.RtABDE/RtACDE',

：.BE=CE，，即AB-AE=AC+AE,得證

托勒密定理：在四邊形ABC。中，有他.8+3（：4）24。e），并且當且僅當四邊形ABCD內

接于圓時，等式成立。

證：在四邊形A8CD內取點E,使NBAE=NC4O,ZABE=ZACD

則：和AACO相似：.—=—^ABCD=ACBE

ACCD

AQAf

又；——=——fLZBAC=ZEAD.?.A48C和AAEO相似

ACAD

ADBC=AC-ED

ACAD

：.ABCD+ADBC=AC(BE+ED)

：.ABCD+ADBC>ACBD

且等號當且僅當E在BD上時成立，即當且僅當A、B、C,。四點共圓時成立;

注：托勒密定理的逆定理也成立

BC

10.4ABC的高A。的延長線交外接圓于P,作于E,延長ED交于AC延長線于巴

求證：BCEF=BFCE+BECF.

連接EC,BF,8P,即證8,F,C,E,四點共圓，

ZBEF=NBCF,NBEF=90+ZPEF,ZBCF=90+NPAF=90+NPBC

B,E,P共圓,APED=ZPBD,得證

H.QOLAB,求證：OA2=OPOQ

如圖作輔助線，OQ_LA8.?.ZAOE=4C8=，ZAO8,

A,O,尸,C四點共圓，NOPB=ZCPQ=NOAC;又/BOP=ZAOQ

△AOQs△POR=>啰=嗎得證

OPOA

12.fi4,P3分別切圓。與A&PCD為割線交圓于C,D,BE//PD,/為C。的中點，求證：A,F,E,

三點共線。

如圖做輔助線，由題意，OA±AP,OF1DC,

nA,E0,P四點共圓,nZAEP=NAOP=NE,

DC//EB,：.A,F,E共線

13.AB為圓O直徑，過OB上的定點D用COLAB交圓。于C,在圓0上任兩組點

M歷&=1,2,3,...),滿足/。。跖=/。。乂求證n條直線MM共點。

如圖，延長MD作輔助線；

由已知，可得NKDO=NA。陷,nZXKOD絲

0是R30AB與OCD的公共頂

=>N0MQ=NK=N0N\D,=O,2,陷四點共圓

PDPO=PN「PM,=PBPA,：.P是定點,即MM共點；

點，OB=OC,/OBA=NOC￡>=90。，若AC_LO。,求證。B_LQA.

DD

輔助線：過8做垂直，垂足為產

在RtAOCDQC：=OEOD,在RtAOBAQB?=OFOA

OB=OC,OEOD=DFOA

：.E,F,A。四點共圓，ZDFA=ZDEA=NBFA=90,

,1.D,B,b共線即。8，。4.

15.AF平分/BAC,交BC于LE±AC,求證四邊形ADFE與AABC面積相等。

@SADFE=—AD-AF-sincr+—AE-AF-sina

=^(ALcosa)AFsina+^(ALcos(2)AFsincr

=-AL-i4F(2sina?cosa)=-AL-AF-sin2a

22

—AL-AFsin2a-2R=—AFAL-BC

4R4R

-AB-ACs\n2a=—AL-ABsina+—AL-AC-sina

222

=；AL?sina+ACsina)=聶AL(ABBF+AC-FC),BF=CF

B,￡C,4共圓，由托勒密定理：A68C=A8-CT+ACB￡得證

由①品0莊AF-ALsin2cr,SAAfiC=gABA。sinla

Afi4/7

ZBFA=NC,a=aABFA^ALCA,：.——=—

ALAC

.,.”?AL=ABAC得證

要證S/IOFE=即ZBOL+SALEC~'△"F+^^ELF

過F作A8,AC,垂線，交于N,M,即證DL.BD+LE.EC=DL.DN+LE.EM

即ilf.DLBN=LECM,A尸為角平分線,，FN=FM,LD=LE,：.△BFNWfFM

.?.BN=CM,得證

△ABC的邊BC上有兩點瓦R滿足NBAE=NC4凡作FNLAC于-M,N,AE交三

角形外接圓于D求證：四邊形AMON與AABC的面積相等.

①設NBA。=ZCAF=a,ZDAF=p

S&ABC=gAB.AE.sin(a+y9)+y/4C-/4Fsina

=1AF{AB-sin(a+/3)+ACsina)=~AF(AB-DC+AC-BD)

=S”M"+S^AND--AM-AD-sina+A/V-AD-sin(a+夕)

2

=—(y4Fcos(a+/3))-AD-sina+—(AF-cosa)■AD-sin(a+夕)

^^AFAD-sin(2a+/3)^^AFADBC

8,D,C,A四點共圓，由托勒密定理：

ADBC^ABCD+ACBD,^^

②S/M8C=—AB-AC-sin(2a+J3)

SAMDN=^AFAD-sin(2a+6)

ARAn

△ABOs△AEC,.?.一二一=>ABAC=AFAD

AFAC

過。作AB,ACW垂線，交K,L,

只益證SAFMB+S&FNC=S&MFD+S&NFD

MF-MB+FN?NC=MF-MK+FN-NL

即MFBK=FNCL,Rl/XBKD^/?tACLD

BKDKA。sinasinaFN

CLDLADsin(a+A)sin(a+￡)FM

RQ,兩點，AB切兩圓于A,民PC切圓Oi于P,交圓Q于C,AP交BC于R,

求證：△PQR的外接圓與BP,相切。

去證/PQR=NBPR,NPQR=/BRP

①易證NBPR=/BRP

②連接BQ,因為NPQR=/PQB+NBQR,NPRB=ZC+ZRPC

所以去證N8QR=NRPC=NB4氏去證共圓

③連接AQ，去證NAQ8=NARB

18.A8CO是圓內接四邊形，AC是圓的直徑，BD1.AC,AC與8。的交點是E尸在D4的延長

線上，連接8F,G在8A的延長線上，使得OG//3F,4在G尸的延長線上，CH上GF.

求證：四點共圓。

連接BH,EF,去證：NFED=NFHB；同減90。，等價去證：ZBHC=ZFEA

由題意：8,H,G,C四點共圓，/BHC=NBGC,所以去證/8GC=