【經(jīng)典含解析及考點(diǎn)卡片】2017-2021年湖南中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化

2017-2021年湖南中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化

一.選擇題（共12小題）

1.（2021?湘潭）下列幾何體中，三視圖不含圓的是（）

2.（2021?益陽）以下有關(guān)勾股定理證明的圖形中，不是中心對稱圖形的是（）

3.（2020?衡陽）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖

4.（2019?湘西州）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（2,1）向右平移3個(gè)單位長度，則所得的

點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(0,5)B.(5,1)C.(2,4)D.(4,2)

5.（2021?郴州）由5個(gè)相同的小立方體搭成的物體如圖所示，則它的俯視圖為（

/

主視方向

6.（2020?婁底）我國汽車工業(yè)迅速發(fā)展，國產(chǎn)汽車技術(shù)成熟，下列汽車圖標(biāo)是中心對稱圖

形的是（）

A.

C.D.

7.（2019?邵陽）如圖，以點(diǎn)。為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△4'B'C,

以下說法中錯誤的是（）

B.點(diǎn)C、點(diǎn)、0、點(diǎn)C'三點(diǎn)在同一直線上

C.AO：A4'=1：2

D.AB//A1B'

8.（2020?邵陽）將一張矩形紙片ABC。按如圖所示操作:

（1）將D4沿。P向內(nèi)折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，

（2）將。2沿。4向內(nèi)繼續(xù)折疊，使點(diǎn)P落在點(diǎn)Pi處，折痕與邊AB交于點(diǎn)M.若PiM

VAB,則NDPiM的大小是()

D.115°

9.（2019?邵陽）如圖，在RtZVIBC中，ZBAC=90°,NB=36°,AO是斜邊8C上的中

線，將△AC。沿AO對折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，線段。尸與48相交于點(diǎn)E,則NBEO

等于（）

A.120°B.108°C.72°D.36°

10.（2019?永州）某同學(xué)家買了一個(gè)外形非常接近球的西瓜，該同學(xué)將西瓜均勻切成了8

塊，并將其中一塊（經(jīng)抽象后）按如圖所示的方式放在自己正前方的水果盤中，則這塊

西瓜的三視圖是（）

bb

11.（2019?常德）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,圖中所有三角形均相似，其中最

小的三角形面積為I,△ABC的面積為42,則四邊形QBCE的面積是（）

12.（2021?湘西州）如圖，在△EC。中，ZC=90°,AB_LEC于點(diǎn)8,AB=1.2,EB=1.6,

8c=12.4,則CO的長是（）

A.14B.12.4C.10.5D.9.3

二.填空題（共6小題）

13.（2019?益陽）在如圖所示的方格紙（1格長為1個(gè)單位長度）中，AABC的頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，將AABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AEC,使各頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上，則其旋

轉(zhuǎn)角的度數(shù)是.

14.（2021?湘西州）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為A3、CD,

若CD〃BE,Zl=20°,則N2的度數(shù)是

cD

15.（2021?岳陽）如圖，在RtZVlBC中，ZC=90°,AB的垂直平分線分別交48、AC于

點(diǎn)D、E,BE=8,。。為△BCE的外接圓，過點(diǎn)E作。。的切線EF交AB于點(diǎn)F,則

下列結(jié)論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①AE=8C；

?ZAED=ZCBD；

③若NDBE=40°,則防的長為國？L；

9

（4）DF=EF.

EFBF

16.（2021?懷化）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-2,1）,8（-1,4）,C（-1,

1）,將AABC先向右平移3個(gè)單位長度得到△AiBiG,再繞Ci順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得

到△A282G,則4的坐標(biāo)是

17.（2019?郴州）已知某幾何體的三視圖如圖，其中主視圖和左視圖都是腰長為5,底邊長

為4的等腰三角形，則該幾何體的側(cè)面展開圖的面積是.（結(jié)果保留n）

18.（2021?郴州）如圖，在△ABC中,AB=5,4c=4,sinA=A,BO_L4C交AC于點(diǎn)。.點(diǎn)

5

P為線段BD上的動點(diǎn)，則PC+1PB的最小值為.

19.（2019?永州）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂A測得C處的俯角為45°,

。處的俯角為30°,乙在山下測得C,。之間的距離為400米.己知B,C,。在同一水

平面的同一直線上，求山高A8.（可能用到的數(shù)據(jù)：”歷憶1.414,1.732）

20.（2019?婁底）如圖，點(diǎn)。在以A8為直徑的上，AO平分NBAC,DCLAC,過點(diǎn)B

作。。的切線交的延長線于點(diǎn)E.

（1）求證：直線CD是。0的切線.

（2）求證：CD?BE=AD,DE.

21.（2020?湘潭）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.

ABC的面積.

（2）性質(zhì)探究：如圖（二），己知△ABC的重心為點(diǎn)O,請判斷毀、包膽是否都為

0AS^ABC

定值？如果是，分別求出這兩個(gè)定值；如果不是，請說明理由.

（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCO中，點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，連接8E交對角

線AC于點(diǎn)M.

①若正方形ABC。的邊長為4,求EM的長度；

②若S?ME=1，求正方形ABCD的面積.

2017-2021年湖南中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化

參考答案與試題解析

選擇題（共12小題）

1.（2021?湘潭）下列幾何體中，三視圖不含圓的是（）

1

1L

【考點(diǎn)】簡單幾何體的三視圖.

【專題】投影與視圖；應(yīng)用意識.

【分析】分別找出四個(gè)立體圖形的三視圖即可解答.

【解答】解：A、圓柱的俯視圖是圓，故不符合題意；

3、球的三視圖都是圓，故不符合題意：

C、正方體的三視圖都是正方形，故符合題意；

D,圓錐的俯視圖是圓，故不符合答題，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，注意主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體

正面、左面、上面看，所得到的圖形.

2.（2021?益陽）以下有關(guān)勾股定理證明的圖形中,不是中心對稱圖形的是（）

產(chǎn)

A.B.

c.D.

【考點(diǎn)】中心對稱圖形；勾股定理的證明.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的

圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形.

【解答】解：A.不是中心對稱圖形，符合題意；

B.是中心對稱圖形，不符合題意；

C.是中心對稱圖形，不符合題意；

D.是中心對稱圖形，不符合題意.

故選:A.

【點(diǎn)評】此題考查了中心對稱圖形的概念.熟記定義是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2020?衡陽）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖

形的是（）

【考點(diǎn)】中心對稱圖形；數(shù)學(xué)常識；軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

。、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選:B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱與軸對稱的概念：軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊

圖象折疊后可重合，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合.

4.（2019?湘西州）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（2,1）向右平移3個(gè)單位長度，則所得的

點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（0,5）B.（5,1）C.（2,4）D.（4,2）

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-平移.

【專題】平面直角坐標(biāo)系.

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（2,1）向右平移時(shí)，橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)不變.

【解答】解：將點(diǎn)（2,1）向右平移3個(gè)單位長度，則所得的點(diǎn)的坐標(biāo)是（5,1）.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題運(yùn)用了點(diǎn)平移的坐標(biāo)變化規(guī)律，關(guān)鍵是把握好規(guī)律.

5.（2021?郴州）由5個(gè)相同的小立方體搭成的物體如圖所示，則它的俯視圖為（）

/

主視方向

【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖.

【專題】投影與視圖；空間觀念.

【分析】根據(jù)簡單組合體三視圖的意義畫出俯視圖即可.

【解答】解：該組合體的俯視圖如下：

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查簡單組合體的三視圖，掌握俯視圖的意義，畫出從上面看所得到的圖

形是正確判斷的前提.

6.（2020?婁底）我國汽車工業(yè)迅速發(fā)展，國產(chǎn)汽車技術(shù)成熟，下列汽車圖標(biāo)是中心對稱圖

A.

D.

【考點(diǎn)】中心對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形.故錯誤；

8、是中心對稱圖形.故正確；

C、不是中心對稱圖形.故錯誤；

。、不是中心對稱圖形.故錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180

度后與原圖重合.

7.（2019?邵陽）如圖，以點(diǎn)。為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到AA'B'C,

以下說法中錯誤的是（）

A.△ABCs/vTB'C

B.點(diǎn)C、點(diǎn)。、點(diǎn)C'三點(diǎn)在同一直線上

C.AO：AA'=1：2

D.AB//A'B'

【考點(diǎn)】位似變換.

【專題】圖形的相似.

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而分別分析得出答案.

【解答】解：?.?以點(diǎn)。為位似中心，把a(bǔ)ABC放大為原圖形的2倍得到B'C',

:.LABCsXNB'C',點(diǎn)C、點(diǎn)。、點(diǎn)C'三點(diǎn)在同一直線上，AB//A'B',

AO-OA'=1：2,故選項(xiàng)C錯誤，符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.（2020?邵陽）將一張矩形紙片ABC。按如圖所示操作：

（1）將D4沿OP向內(nèi)折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，

（2）將QP沿向內(nèi)繼續(xù)折疊，使點(diǎn)尸落在點(diǎn)Pi處，折痕與邊交于點(diǎn)M.若PiM

VAB,則NOPiM的大小是（）

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】由折疊前后對應(yīng)角相等且NPMA=9O°可先求出NDMPi=NOMA=45°,進(jìn)

一步求出/A￡）M=45°,再由折疊可求出/〃。乃=/4。2=/刊》/=22.5°,最后在△

DP1M中由三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【解答】解：???折疊，且NPiMA=90°,

AZDMPi=ZDMA=45°,即NAQM=45°,

折疊，

AZMDP\^ZADP=^PDM=^ZADM=22.5Q,

2

.?.在△OP1M中，/OPiM=180°-45°-22.50=112.5°,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題借助矩形的性質(zhì)考查了折疊問題、三角形內(nèi)角和定理等，記牢折疊問題的

特點(diǎn)：折疊前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等即可解題.

9.（2019?邵陽）如圖，在RtZXABC中，N84C=90°,Zfi=36°,4。是斜邊BC上的中

線，將△ACQ沿A。對折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，線段QF與AB相交于點(diǎn)E,則NBEQ

等于（）

A.120°B.108°C.72°D.36°

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC=90°-ZB=54°.由直角三角形斜邊上的中

線的性質(zhì)得出AD=BD=CD,利用等腰三角形的性質(zhì)求出,NDAC

=NC=54°,利用三角形內(nèi)角和定理求出/AOC=180°-NDAC-NC=72；再根

據(jù)折疊的性質(zhì)得出ZAOF=NA￡>C=72°,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出/8EZ）=/

BAD+ZADF=\0S0.

【解答】解：?.?在RtZXABC中，ZBAC=90°,NB=36°,

/C=90°-ZB=54°.

,：AD是斜邊BC上的中線，

：.AD=BD=CD,

；.NBAD=NB=36°,NDAC=NC=54°,

AZA￡>C=180°-ZDAC-ZC=72°.

,/將△ACC沿AD對折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，

：.ZADF=ZADC=12°,

AZBED=ZBAD+ZADF=36°+72°=108°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了直角三角形斜邊上的中

線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì).

10.（2019?永州）某同學(xué)家買了一個(gè)外形非常接近球的西瓜，該同學(xué)將西瓜均勻切成了8

塊，并將其中一塊（經(jīng)抽象后）按如圖所示的方式放在自己正前方的水果盤中，則這塊

西瓜的三視圖是（）

C.

【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖.

【專題】投影與視圖.

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形;

認(rèn)真觀察實(shí)物圖，按照三視圖的要求畫圖即可，注意看得到的棱用實(shí)線表示，看不到的

棱用虛線表示.

【解答】解：觀察圖形可知，這塊西瓜的三視圖是

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三視圖的畫法，注意實(shí)線和虛線在三視圖的用法.

11.（2019?常德）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,圖中所有三角形均相似，其中最

小的三角形面積為1,△ABC的面積為42,則四邊形。8CE的面積是（）

D.

B

A.20B.22C.24D.26

【考點(diǎn)】相似三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似.

s

【分析】利用△AFHS/VJOE得到冷空出=（型）2=』_,所以$^川=9-SMDE=

SAADEDE16

\6x,貝U16x-9x=7,解得x=l,從而得到&ADE=16,然后計(jì)算兩個(gè)三角形的面積差得

到四邊形。3CE的面積.

【解答】解：如圖，

根據(jù)題意得

S

?AAFH^（FH）2=32=9

“"ADE施W五

設(shè)S^AFH=9X,則SAAOE=16x,

；.16x-9x=7,解得x=l,

??S/\ADE=16,

四邊形DBCE的面積=42-16=26.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.也考查

了相似三角形的性質(zhì).

12.（2021?湘西州）如圖，在△ECQ中，NC=90°,A8_LEC于點(diǎn)8,AB=1.2,EB=L6,

BC=12.4,則C￡>的長是（）

A.14B.12.4C.10.5D.9.3

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】由NABE=NC,Z￡=Z￡,證明△ABESAQCE,得地=旦殳，即可求解.

CDEC

【解答】解:VEB=1.6,8c=12.4,

；.EC=EB+BC=14,

'：AB±EC,

：.ZABE=90°,

VZC=90°,

NABE=NC,

又；/￡=/￡>,

:.AABEsADCE,

ABA=EB>

,aEC'

即L2=L6,

CD14

解得：CO=10.5,

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題）

13.（2019?益陽）在如圖所示的方格紙（1格長為1個(gè)單位長度）中，AABC的頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，將AABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AbC,使各頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上，則其旋

轉(zhuǎn)角的度數(shù)是90°.

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的概念找到/BOB'是旋轉(zhuǎn)角，從圖形中可求出其度數(shù).

【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的概念：對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角，可知/BOB'是旋轉(zhuǎn)

角，且N808'=90°,

Cl

故答案為90°.

【點(diǎn)評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的概念找到旋轉(zhuǎn)角.

14.（2021?湘西州）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB、CD,

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可得到Nl=N3=N4=20。，進(jìn)而得出/

2=40°.

【解答】解：如圖

分別延長EB、到尸，G,

由于紙帶對邊平行，

.\Zl=Z4=20o,

???紙帶翻折，

.?./3=/4=20°,

尸=/3+/4=40°,

".,CD//BE,

，N2=NOB尸=40°.

故答案為：40°.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：兩直線平行，

內(nèi)錯角相等.

15.(2021?岳陽)如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB的垂直平分線分別交AB、AC于

點(diǎn)D、E,BE=8,00為△BCE的外接圓，過點(diǎn)E作。。的切線EF交AB于點(diǎn)F,則

下列結(jié)論正確的是②④⑤.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

①AE=8C；

?ZAED=ZCBD；

③若/￡>BE=40°,則施的長為國工；

9

(4)DF=EF.

EFBF

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；

弧長的計(jì)算.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；圖形的相似；推理能力.

【分析】①DE垂直平分AB，AE=BE,BE>BC,則AE>8C,故①錯誤；

②由題可知，四邊形。8CE是。。的內(nèi)接四邊形，則NAEZ)=NCB。，故②正確；

③連接OD,若NDBE=40°,則N/)OE=80°,則質(zhì)的長為至上2111=衛(wèi)三，故

1809

③錯誤；

④易得則12=巫，故④正確；

EFBF

⑤在RtaBE/中，EF=6,BE=S,BF=10,貝UBE：AC=EF：BC

=6：8,設(shè)BE=6m,則AC=8〃?，則CE=Sm-8,由勾股定理可得，EC1+BC1=BEr,

即(8m-8)2+(6m)2=82,解得團(tuán)=1.28,則CE=8m-8=2.24.故⑤正確.

【解答】解：①垂直平分A8,

:.AE=BE9

又在RtZXABC中，ZC=90°,

:?BE>BC,

：.AE>BC,

故①錯誤；

②由題可知，四邊形Q5CE是O。的內(nèi)接四邊形,

???/AED=NCBD,

故②正確；

施的長為80。.兀'4=31,故③錯誤;

1809

④?.?EF是OO的切線，

工NBEF=90°,

又DELAB,

:.NEDF=NBEF=96°,

：./\EDFs/\BEF,

ADF=EF；故④正確；

EFBF

⑤在RtZXBEF中，EF=6,BE=8,

：.BF=\O,

由①AE=BE=8,

ZA=ZABE,

又/C=NBEF=90°,

:.△BEFs^ACB,

:.EF：BE=BC：AC=6：8,

設(shè)BC=6m,則AC=8m,則CE=Sm-8,

在RtAJSCE中，由勾股定理可得，EC1+BC2=BE1,即(8/M-8)2+(6/n)2=82,

解得m=1.28,

：.CE^Sm-8=2.24.故⑤正確.

故答案為：②④⑤.

【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的性質(zhì)，弧長的計(jì)算等內(nèi)容，熟

知相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵.

16.(2021?懷化)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-2,1),8(-1,4),C(-1,

1),將AABC先向右平移3個(gè)單位長度得到△ABICI，再繞Ci順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得

到aA282cl，則A2的坐標(biāo)是(2,2).

【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，平移等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形,

屬于中考?？碱}型.

17.（2019?郴州）已知某幾何體的三視圖如圖，其中主視圖和左視圖都是腰長為5,底邊長

為4的等腰三角形，則該幾何體的側(cè)面展開圖的面積是10n.（結(jié)果保留IT）

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體；幾何體的表面積；幾何體的展開圖.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算.

【分析】由三視圖可知，該幾何體是圓錐，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：由三視圖可知，該幾何體是圓錐，

.?.側(cè)面展開圖的面積=n?2?5=10n,

故答案為107T.

【點(diǎn)評】本題考查三視圖，圓錐等知識，解題的關(guān)鍵是記住圓錐的側(cè)面積公式.

18.（2021?郴州）如圖，在△ABC中，AB=5,AC=4,sinA=-l,BDL4C交AC于點(diǎn)。.點(diǎn)

5

P為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為.

5—5—

【考點(diǎn)】胡不歸問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析1過點(diǎn)P作PELA8于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作C7/LAB于點(diǎn)”，首先得出B￡>=4,AD=

3,根據(jù)

ABBP5

得EP=3BP，則的最小值為PC+PE的最小值，即求CH的長，再通過等積法

55

即可解決問題.

【解答】解：過點(diǎn)P作PELAB于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作C//LAB于點(diǎn)從

'：BD±AC,

：.ZADB=90°,

VsirL4=^P.=A,AB=5,

AB5

：.BD=4,

由勾股定理得^^VAB2-BD2=A/52-42=3,

sinZABD=^-=21衛(wèi)

ABBP5

3=靚，

0

:.PC+3PB=PC+PE,

5

即點(diǎn)C、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，PC+3PB最小,

5

：.PC+1PB的最小值為CH的長，

5

；LBC=*XACXBD-yXABXCH'

.?.4X4=5XC”，

，CH=曲.

5

;.PC+3PB的最小值為K.

55

故答案為：li.

5

【點(diǎn)評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，垂線段最短、勾股定理等知識，將PC+3P8的

5

最小值轉(zhuǎn)化為求CH的長，是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共3小題）

19.（2019?永州）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂A測得C處的俯角為45°,

。處的俯角為30°,乙在山下測得C,。之間的距離為400米.已知B,C,。在同一水

平面的同一直線上，求山高AB.（可能用到的數(shù)據(jù)：A/2^1.414,通心1.732）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】設(shè)AB=x,然后根據(jù)等腰直角三角形以及特殊角銳角三角函數(shù)的值即可求出答

案.

【解答】解：設(shè)

由題意可知：NACB=45°,ZADB=30°,

；.AB=BC=x,

.\BD=BC+CD=x+400f

在Rt/XAOB中，

.".tan30°=迪，

BD

;1—X

'V3x+400）

解得：X=再°N546.4,

V3-1

經(jīng)檢驗(yàn)，xg546.4是原分式方程的解，

二山高AB為546.4米.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)以及分式方程的

解法，本題屬于中等題型.

20.（2019?婁底）如圖，點(diǎn)。在以AB為直徑的。。上，A。平分N8AC,DCA.AC,過點(diǎn)B

作O。的切線交AD的延長線于點(diǎn)E.

（1）求證：直線CO是。。的切線.

（2）求證：CD?BE=AD?DE.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定與性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似.

【分析】(1)連接0Q，由角平分線的定義得到NCAQ=NBA。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

得到NBAO=/A。。，求得根據(jù)平行線的性質(zhì)得到CDA.OD,于是得

到結(jié)論；

(2)連接BD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到/ABE=/BOE=90°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)連接0。，

?.'A力平分N8AC,

：.ZCAD=ZBAD,

\'OA=OD,

.".ZBAD^ZADO,

：.ZCAD^ZADO,

：.AC//OD,

VCD1AC,

J.CDLOD,

直線8是。0的切線；

(2)連接BD,

是OO的切線，AB為OO的直徑，

；./ABE=NBDE=90°,

CDLAC,

：.NC=NBDE=90°,

"：ZCAD=ZBAE=ZDBE,

：./\ACD^/\BDE,

.CD=AD

''DEBE"

：.CD?BE=AD,DE.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義.圓周角定理，切線的

判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

21.（2020?湘潭）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.

ABC的面積.

（2）性質(zhì)探究：如圖（二），己知△A8C的重心為點(diǎn)O,請判斷毀、包些是否都為

0AS.ABC

定值？如果是，分別求出這兩個(gè)定值：如果不是，請說明理由.

（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCO中，點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，連接8E交對角

線AC于點(diǎn)M.

①若正方形ABC。的邊長為4,求的長度；

②若&CME=1，求正方形ABCD的面積.

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】綜合題；推理能力；應(yīng)用意識.

【分析】（1）連接。E,利用相似三角形證明毀」，運(yùn)用勾股定理求出A。的長，運(yùn)用

A02

三角形面積公式求解即可；

（2）根據(jù)（1）的證明可求解；

（3）①連接BZ）,可知點(diǎn)。為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CZ）的中點(diǎn)，從而可以得到點(diǎn)”是^

BCD的重心，然后即可得到EM和BE的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理求出BE的長即可解決問

題；

②分別求出SABMC和S^ABM即可求得正方形ABCZ）的面積.

【解答】解：（1）連接。E,如圖一，

:點(diǎn)。是△ABC的重心，

：.AD,BE是BC,AC邊上的中線，

：.D,E為BC,AC邊上的中點(diǎn)，

...OE為aABC的中位線，

J.DE//AB,DE=1AB,

2

-ODDE=1

*"0A'AB~2

'：AB=2,BD=1,NADB=90°,

:.AD=g0。=返，

3

「r-

?cBC-OD”返3爽cBC'AD2X黃百

S==-V3

?"△OBC——「一kAABC22）

（2）由（1）同理可得，毀」，是定值；

0A2

點(diǎn)0到BC的距離和點(diǎn)A到BC的距離之比為1：3,

則AOBC和AABC的面積之比等于點(diǎn)0到BC的距離和點(diǎn)A到BC的距離之比，

故也返=工，是定值；

S/kABC3

（3）①連接3。交AC于點(diǎn)0,

?.?點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，點(diǎn)E為8的中點(diǎn)，

點(diǎn)M是△8C。的重心，

?-EM_—1—,

BE3

為CO的中點(diǎn)，

.1

??CE=^CD=2'

BE=7BC24CE2=2擊

即EM備用

@VSACME=hH—=A

BM2

**?ShBMC=2,

..ME1

?—=—,

BM2

.SACME*E)2=1

"SAAMBBM=了

，S/\AMB=4,

SAABC=SAAWC+SAABM=2+4=6,

又SAADC=SAABC'

?'?SAADC-6,

，正方形A8C￡）的面積為：6+6=12.

（圖一）

【點(diǎn)評】本題是一道相似形綜合題目，主要考查的是三角形重心的性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，找出

所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

考點(diǎn)卡片

1.數(shù)學(xué)常識

數(shù)學(xué)常識

此類問題要結(jié)合實(shí)際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解.比如給出一個(gè)物體的高度

要會選擇它合適的單位長度等等.

平時(shí)要注意多觀察，留意身邊的小知識.

2.幾何體的表面積

（1）幾何體的表面積=側(cè)面積+底面積（上、下底的面積和）

（2）常見的幾種幾何體的表面積的計(jì)算公式

①圓柱體表面積：2n/?2+2n/?/?（R為圓柱體上下底圓半徑，/?為圓柱體高）

②圓錐體表面積：nJ+mr（〃2+-2）360（r為圓錐體低圓半徑，h為其高，n為圓錐側(cè)面展

開圖中扇形的圓心角）

③長方體表面積：2（ab+ah+bh）（。為長方體的長，。為長方體的寬，〃為長方體的高）

④正方體表面積：6/Q為正方體棱長）

3.幾何體的展開圖

（1）多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍成的.沿著棱剪開就得到平面圖形，這樣的平面圖形就

是相應(yīng)立體圖形的展開圖.同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣

的，同時(shí)也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形.

（2）常見幾何體的側(cè)面展開圖：

①圓柱的側(cè)面展開圖是長方形.②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.③正方體的側(cè)面展開圖是長方

形.④三棱柱的側(cè)面展開圖是長方形.

（3）立體圖形的側(cè)面展開圖，體現(xiàn)了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系.立體圖形問題可以轉(zhuǎn)化

為平面圖形問題解決.

從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析兒何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化,

建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵.

4.平行線的性質(zhì)

I、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)..簡單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

5.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且

每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角.在

轉(zhuǎn)化中借助平行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角;②依據(jù)三角形中角的關(guān)系,

用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

6.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相

等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分

線的性質(zhì)語言：如圖，:C在NAOB的平分線上，CDLOA,CELOB：.CD=CE

7.線段垂直平分線的性質(zhì)

(1)定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線(中垂線)垂直平分線，簡稱“中垂線”.

(2)性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到

線段兩端點(diǎn)的距離相等.③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心,

并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

8.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中

任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

9.直角三角形斜邊上的中線

(1)性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜

邊的中點(diǎn))

(2)定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條

邊為斜邊的直角三角形.

該定理可以用來判定直角三角形.

10.勾股定理的證明

(1)勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法,

然后再利用面積相等證明勾股定理.

(2)證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的

面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

11.圓周角定理

(1)圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

(2)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

(3)在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能

技巧一定要掌握.

(4)注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形

的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”——圓心角轉(zhuǎn)

化.③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，

把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角.

12.切線的性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是:

①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質(zhì)的運(yùn)用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.簡記作：

見切點(diǎn)，連半徑，見垂直.

13.切線的判定與性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(3)常見的輔助線的：

①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時(shí)，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”.

14.弧長的計(jì)算

(1)圓周長公式：C=2TIR

(2)弧長公式：/=史里(弧長為/,圓心角度數(shù)為小圓的半徑為R)

180

①在弧長的計(jì)算公式中，〃是表示1°的圓心角的倍數(shù)，〃和180都不要帶單位.

②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長.

③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用7T表示.

④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧

不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一.

15.軸對稱圖形

(1)軸對稱圖形的概念：

如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做對稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱.

(2)軸對稱圖形是針對一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的

兩部分沿著對稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至

無數(shù)條.

(3)常見的軸對稱圖形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

16.翻折變換(折疊問題)

1、翻折變換(折疊問題)實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換.

2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時(shí)，我們常常設(shè)要求

的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適

當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)

出正確的未知數(shù).

17.胡不歸問題

著名的幾何最值問題

18.坐標(biāo)與圖形變化-平移

(1)平移變換與坐標(biāo)變化

①向右平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P(x,y)=>P(x+a,y)

①向左平移〃個(gè)單位,坐標(biāo)P(x,y)(x-a,y)

①向上平移。個(gè)單位,坐標(biāo)P(x,y)=P(x,y+b,)

①向下平