中考初中數(shù)學(xué)：常用公式、性質(zhì)

中考初中數(shù)學(xué)：常用公式、性質(zhì)匯總

中考數(shù)學(xué)常用公式及性質(zhì)

1.乘法與因式分解

①(a+h)(a—h)=CT—lr-?(a±h)2=cr±2ah+/r；③(〃+h)(a2—ab+b2)=a3+b3i

22212

④(o—6)(/+仍+62)=々3—加；a+b=(a+b)—2ab；(a—b)=(a+b)—4abo

2.嘉的運(yùn)算性質(zhì)

①0mxa"=0m*"；②*o"=產(chǎn)"：③(6)"=?！?：④(砌"=制"：⑤(1)"=《；

bbn

⑥特別：(J)"』/；⑦4。=1(分0)。

3.二次根式

①(⑸2=°(生0)；②M=IaI；③而^"=而X歷；④/=蔣(°>0,婦0)。

4.三角不等式

|aHb|S|a士b|W|a|+|b|(定理)；

加強(qiáng)條件：||aHb||W|a土b|§a|+|b|也成立，這個(gè)不等式也可稱為向量的三角不等式(其中a,b分別

為向量a和向量b)

|a+b|<|a|+|b|:|a-b|<|a|+|b|;|a|<b<=>-b<a<b:

|a-b|>|a|-|b|；-|a|<a<|a|：

5.某些數(shù)列前n項(xiàng)之和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+1)/2;1+3+5+7+9+1l+13+15+...+(2n-l)=n2：

2+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+l):12+22+32+42+52+62+72+82+...+n2=n(n+l)(2n+1)/6;

13+23+33+43+53+63+...n3=n2(n+l)2/4；1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+...+n(n+l)=n(n+l)(n+2)/3；

6.一元二次方程

對(duì)于方程：ax2+bx+c=0:

①求根公式是x=二應(yīng)力心"，其中△=〃-4「c叫做根的判別式。

2a

當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：

當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.注意：當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。

②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根不和必,則二次三項(xiàng)式or2+Ar+c可分解為o(x—不)(x—也)。

③以。和b為根的一元二次方程是x2—(〃+6*+仍=0。

7.一次函數(shù)

一次函數(shù)y=依+力（砌）的圖象是一條直線（7＞是直線與了軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為截距）。

①當(dāng)%＞0時(shí)，＞隨工的增大而增大（直線從左向右上升）；

②當(dāng)％＜0時(shí)，y隨x的增大而減小（直線從左向右下降）；

③特別地：當(dāng)〃=0時(shí)，y=人■（后0）又叫做正比例函數(shù)e與x成正比例），圖象必過原點(diǎn)。

8.反比例函數(shù)

反比例函數(shù)，=%俯））的圖象叫做雙曲線。

①當(dāng)A＞0時(shí)，雙曲線在一、三象限（在每一象限內(nèi)，從左向右降）；

②當(dāng)々＜0時(shí)，雙曲線在二、四象限（在每一象限內(nèi)，從左向右上升）。

9.二次函數(shù)

（1）.定義：一般地，如果y=儀2+bx+c（a,“c是常數(shù)，。70）,那么y叫做x的二次函數(shù)。

（2）.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)。

①a的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)。＞0時(shí)，開口向上；當(dāng)。＜0時(shí)，開口向下；

同相等，拋物線的開口大小、形狀相同。

②平行于y軸（或重合）的直線記作x=/?.特別地，y軸記作直線x=0。

（3）.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=ax2x=0(y軸)(0,0)

2x=0(y軸)

y=ax+k當(dāng)a＞0時(shí)(0,k)

開口向上

y=-力Fx=h(60)

當(dāng)av0時(shí)

y=a(x-h\+%x=h(h,k)

開口向下

bb4ac-b2

y=ax2+Ar+cx=------(?)

2a2a4a

（4）.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

①公式法：y=ax'-\-bx+c-(lx+—+竺^——,頂點(diǎn)是(一友-,^^——),對(duì)稱軸是

\2a)4a2a4a

②配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a（x-/2）2+%的形式，得到頂點(diǎn)為

（h,k）,對(duì)稱軸是直線x="o

③運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)

是頂點(diǎn)。

若已知拋物線上兩點(diǎn)（為））、（々,刃（及J值相同），則對(duì)稱軸方程可以表示為：X"1"1^X"

（5）.拋物線〕'=ax2+6x+c中，《Ac的作用

①。決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的。完全一樣。

②6和Q共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y=or2+"+c的對(duì)稱軸是直線。

x=一"匕、故：①萬=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②2＞0（即〃、力同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸

2aa

左側(cè)；③2＜。（即。、/,異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。

a

③c、的大小決定拋物線卜二。/+bx+c與歹軸交點(diǎn)的位置。

當(dāng)x=0時(shí)，y=c,，拋物線y=a，+6x+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0,c）:

?c=0,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②c＞0,與y軸交于正半軸；③c＜0,與y軸交于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在，軸右側(cè)，則-＜0o

（6）.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

①一般式：y=QX?+AY+C.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.

②頂點(diǎn)式：y=〃（x-切？+〃.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式。

③交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)X1、x2,通常選用交點(diǎn)式：y=a[x-x,\x-x2）o

（7）.直線與拋物線的交點(diǎn)

①歹軸與拋物線y+Ar+c得交點(diǎn)為（0,c）o

②拋物線與x軸的交點(diǎn)。

二次函數(shù)J=以2+6+c的圖像與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)芭、X2,是對(duì)應(yīng)一元二次方程

ax2+Z＞x+c=O的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與A?軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別

式判定：

a有兩個(gè)交點(diǎn)＜=＞（△＞（））＜=＞拋物線與x軸相交；

b有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）＜z＞（A=0）o拋物線與x軸相切；

c沒有交點(diǎn)U*（△v0）o拋物線與A?軸相離。

③平行于“軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同②一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，

設(shè)縱坐標(biāo)為人,則橫坐標(biāo)是+芯+。=攵的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

④一次函數(shù)y=Ax+n（kw0）的圖像/與二次函數(shù)y=ax2+bx+c[ci工0）的圖像G的交點(diǎn)，由

「y-kx-\-n

方程組4,?的解的數(shù)目來確定：

Iy=ax^-vhx+c

a方程組有兩組不同的解時(shí)o/與G有兩個(gè)交點(diǎn);

b方程組只有一組解時(shí)u>/與G只有一個(gè)交點(diǎn);

c方程組無解時(shí)o/與G沒有交點(diǎn)。

⑤拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y=ax-+hx+c與x軸兩交點(diǎn)為

,則AB

4（X1,0）B（X2,0）=._x2|

10.統(tǒng)計(jì)初步

（1）概念：①所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體.從總體中抽

取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.②在一組數(shù)據(jù)中，出

現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（有時(shí)不止一個(gè)），叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處

在最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（2）公式：設(shè)有〃個(gè)數(shù)X|,X2,Xn,那么：

①平均數(shù)為：.=芭+￡+……+」,；

n

②極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法

得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值：

③方差：數(shù)據(jù)X］、x2.......,X”的方差為

則/=:新-工）+（*2-.+……+G”-.

④標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根。

數(shù)據(jù)X］、x2.......,X”的標(biāo)準(zhǔn)差S,

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。

11.頻率與概

（1）頻率

頻率=姐，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中各

總數(shù)

個(gè)小長方形的面積為各組頻率。

（2）概率

①如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率，則O0P（A）<1:

P（必然事件）=1;P（不可能事件）=0：

②在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計(jì)算簡單事件發(fā)生的

概率。

③大量的重復(fù)實(shí)臉時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；

12.銳角三角形

Za

①設(shè)//是aABC的任一銳角，則N/的正弦：siM=管寞,N力的余弦：cosJ=^f,

/Z的正切：tarv4=.并且sin2/+cos2/=1。

0<sinJ<l,0<cosJ<l,tanJ>0.N4越大，N4的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。

②余角公式：sin(90°—A)=cosAtcos(90°—=sin4o

③特殊角的三角函數(shù)值：sin30°=cos60°=7，sin45°=cos45°=-^,sin60°=cos30°=^-,

vN2

tan30°=里，tan45°=1,tan600=石。

④斜坡的坡度：=彳.設(shè)坡角為a,則—tanaW。h

水平寬度11

/

13.正(余)弦定

(1)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;注：其中R表示三角形的外接圓半徑。

正弦定理的變形公式:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c

(2)余弦定理b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC;

注：NC所對(duì)的邊為c,NB所對(duì)的邊為b,NA所對(duì)的邊為a

14.三角函數(shù)公式

(1)兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(HtanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

(2)倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a

(3)半角公式

sin(A/2尸<((1-cosA)/2)sin(A/2)=?d((I-cosA)/2)

cos(A/2)=>/((l+cosA)/2)cos(A/2)=-*V((l+cosA)/2)

tan(A/2)=^((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-^/((1-cosA)/((I+cosA))

ctg(A/2)=Y((1+cosA)/((l-cosA))ctg(A/2)=-^((1+cosA)/((1-cosA))

(4)和差化積

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A4-B)/sinAsinB-ctgA4-ctgBsin(A+B)/sinAsinB

(5)積化和差

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

15.平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知

(1)對(duì)稱性：若直南坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b),則P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為Pi(a,-h},P關(guān)于

y軸對(duì)稱的點(diǎn)為Pz(—a,t>),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3(—a,—b)。

(2)坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b)向左平移。個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a-h,b),

向右平移〃個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(。+〃，6);向上平移力個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b+h),向

下平移力個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b-h).如：點(diǎn)A(2,-1)向上平移2個(gè)單位，再向右平

移5個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳(7,1)?

16.多邊形內(nèi)角和公式

多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于("-2)180。("N3,〃是正整數(shù))，外南和等于360。

17.平行線段成比例定理

(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖：a//b//c,直線/1與/2分別與直線b、c相交與點(diǎn)B、C和。、E、F,

2十4BDEABDEBCEF

則有——=——，——=——，——=——。

BCEFACDFACDF

(2)推論：平行于三角形一邊的直線極其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖：AABC中，DE//BC,DE與AB,AC相交與點(diǎn)D,E,則有：

AD_AEAl)AEDEDB_EC

~DB~~EC,'AB~7C~~BC'^B~7C

18.直角三角形中的射影定

直角三角形中的射影定理：如圖：RtZ\/3(、中，ZACH=90°,于。，

則有：(1)CD^ADBI)(2)AC1=ADAB(3)B0=BDAB\

ADB

19.圓的有關(guān)性質(zhì)

(1)垂徑定理：如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直弦；

③平分弦：④平分弦所對(duì)的劣弧；⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個(gè)性

質(zhì).注：具備①，③時(shí)，弦不能是直徑。

(2)兩條平行弦所夾的弧相等。

(3)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。

(4)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

(5)圓周南等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。

(6)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

(7)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

(8)90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑，反之，直徑所對(duì)的圓周南是90。，直徑是最長的弦。、

(9)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

20.三角形的內(nèi)心與外心

(1)三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角南平分線的交點(diǎn)。

(2)三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三邊中垂線的交點(diǎn).

常見結(jié)論：①Rt^ABC的三條邊分別為：a、6、c(c為斜邊)，則它的內(nèi)切圓的半徑/?=”空

2

②AABC的周長為/