2017屆高考數(shù)學(xué)第一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)題組訓(xùn)練8

備戰(zhàn)2017高考十年高考文數(shù)分項(xiàng)版（天津版）第九章圓錐曲線一．基礎(chǔ)題組1.【2005天津，文6】設(shè)雙曲線以橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為（）（A）2（B）（C）（D）【答案】C2.【2006天津，文8】橢圓的中心為點(diǎn)它的一個(gè)焦點(diǎn)為相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線方程為則這個(gè)橢圓的方程是() （A）（B） （C）（D）【答案】D【解析】橢圓的中心為點(diǎn)它的一個(gè)焦點(diǎn)為∴半焦距，相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線方程為∴，，則這個(gè)橢圓的方程是，選D.3.【2007天津，文7】設(shè)雙曲線的離心率為，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【答案】D 4.【2008天津，文7】設(shè)橢圓（，）的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，橢圓焦點(diǎn)在軸上，排除A、C，由排除D，選B．5.【2009天津，文4】設(shè)雙曲線(a＞0,b＞0)的虛軸長(zhǎng)為2,焦距為,則雙曲線的漸近線方程為()A.B.y＝±2xC.D.【答案】C【解析】由題意知:2b＝2,,則可求得,則雙曲線方程為:,故其漸近線方程為.6.【2010天津，文13】已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】解析：由條件知雙曲線的焦點(diǎn)為(±4,0)，所以解得a＝2，b＝2，故雙曲線方程為7.【2011天津，文6】已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-1),則雙曲線的焦距為A.B.C.D.【答案】B8.【2012天津，文11】已知雙曲線C1：(a＞0，b＞0)與雙曲線C2：有相同的漸近線，且C1的右焦點(diǎn)為F(，0)，則a＝__________，b＝__________．【答案】12【解析】∵C1與C2的漸近線相同，∴．又C1的右焦點(diǎn)為F(，0)，∴，即a2＋b2＝5．∴a2＝1，b2＝4，∴a＝1，b＝2．9.【2013天津，文11】已知拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_(kāi)_________．答案【解析】拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為x＝－2，則雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(－2,0)，即c＝2，離心率e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以雙曲線的方程為.10.【2014天津，文6】已知雙曲線的一條漸近線平行于直線雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為（）B.C.D.【答案】A考點(diǎn)：雙曲線的漸近線11.【2015高考天津，文5】已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,且雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的方程為（）(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】由雙曲線的漸近線與圓相切得,由,解得,故選D.【考點(diǎn)定位】圓與雙曲線的性質(zhì)及運(yùn)算能力.12.【2016高考天津文數(shù)】已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】試題分析：由題意，得又，所以所以雙曲線的方程為，選A.【考點(diǎn)】雙曲線【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)注點(diǎn)：(1)確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要一個(gè)“定位”條件，兩個(gè)“定量”條件，“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法．(2)利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问剑员苊庥懻摚偃綦p曲線的焦點(diǎn)不能確定時(shí)，可設(shè)其方程為Ax2＋By2＝1(AB＜0)．②若已知漸近線方程為mx＋ny＝0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．二．能力題組1.【2011天津，文18】18.（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)滿足.（Ⅰ）求橢圓的離心率;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).若直線與圓相交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=|AB|,求橢圓的方程.【答案】(1)(2)12.【2012天津，文19】已知橢圓a＞b＞0)，點(diǎn)P(，)在橢圓上．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)Q在橢圓上且滿足|AQ|＝|AO|，求直線OQ的斜率的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(，)在橢圓上，故，可得．于是，所以橢圓的離心率．由(1)知，故(1＋k2)2＝k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5．所以直線OQ的斜率．3.【2013天津，文18】設(shè)橢圓(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若·＋·＝8，求k的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】解：(1)設(shè)F(－c,0)，由，知.過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有，解得，于是，解得b＝，又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為.因?yàn)锳(，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝.由已知得＝8，解得k＝.4.【2014天津，文18】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知=.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與該圓相切與點(diǎn)M，=.求橢圓的方程.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：(1)求橢圓離心率，就是列出關(guān)于a,b,c的一個(gè)等量關(guān)系.由，可得，又，則所以橢圓離心率為(2)由(1)知所以求橢圓方程只需再確定一個(gè)獨(dú)立條件即可.由切線長(zhǎng)=可列出所需的等量關(guān)系.先確定圓心：設(shè)，由，有由已知，有即，故有，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故，消可得，而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)，故，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為設(shè)圓的圓心為，則再由得，即所以所求橢圓的方程為考點(diǎn)：橢圓離心率，橢圓方程三．拔高題組1.【2005天津，文22】拋物線的方程為，過(guò)拋物線上的一點(diǎn)作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)（三點(diǎn)互不相同），且滿足．（=1\*ROMANI）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（=2\*ROMANII）設(shè)直線上一點(diǎn)，滿足，證明線段的中點(diǎn)在軸上；（=3\*ROMANIII）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－1），求為鈍角時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析，（Ⅱ）詳見(jiàn)解析，（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.【解析】證明：（I）由于函數(shù)定義，對(duì)任意整數(shù)，有（II）證明：由函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象知，對(duì)于任意整數(shù)，在開(kāi)區(qū)間（，）內(nèi)方程只有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，而在區(qū)間（，）內(nèi)，要么恒正，要么恒負(fù)因此時(shí)的符號(hào)與時(shí)的符號(hào)相反綜合以上，得：的每一個(gè)根都是的極值點(diǎn)③由得，當(dāng)時(shí)，，即對(duì)于時(shí)，④綜合③、④：對(duì)于任意，由：和，得：⑤又：，但時(shí)，⑥綜合⑤、⑥得：2.【2006天津，文22】如圖，雙曲線的離心率為、分別為左、右焦點(diǎn)，M為左準(zhǔn)線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，且 （I）求雙曲線的方程； （II）設(shè)和是軸上的兩點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)A作斜率不為0的直線使得交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，作直線BC交雙曲線于另一點(diǎn)E。證明直線DE垂直于軸?！敬鸢浮浚↖）（II）詳見(jiàn)解析【解析】（I）解：根據(jù)題設(shè)條件， 設(shè)點(diǎn)則、滿足 因解得，故 利用得于是因此，所求雙曲線方程為 （II）解：設(shè)點(diǎn)則直線的方程為 于是、兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足 將①代入②得 由已知，顯然于是因?yàn)榈? 同理，、兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足 可解得 所以，故直線DE垂直于軸3.【2007天津，文22】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求使得下述命題成立：設(shè)圓上任意點(diǎn)處的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，則．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即，將代入原式并化簡(jiǎn)得，即．（Ⅱ）解法一：圓上的任意點(diǎn)處的切線方程為．當(dāng)時(shí)，圓上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)和，因此點(diǎn)，的坐標(biāo)是方程組的解．當(dāng)時(shí)，由①式得代入②式，得，即，于是，．若，則．所以，．由，得．在區(qū)間內(nèi)此方程的解為．當(dāng)時(shí)，必有，同理求得在區(qū)間內(nèi)的解為．另一方面，當(dāng)時(shí)，可推出，從而．綜上所述，使得所述命題成立．4.【2008天津，文22】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．【答案】（I），（II）．【解析】（Ⅰ）解：設(shè)雙曲線的方程為，由題設(shè)得解得所以雙曲線的方程為．（Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組將①式代入②式，得，整理得．此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是，且．整理得．③由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足，．從而線段的垂直平分線的方程為．此直線與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．由題設(shè)可得．整理得，．將上式代入③式得，整理得，．解得或．所以的取值范圍是．5.【2009天津，文22】已知橢圓(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)和F2(c,0)(c＞0),過(guò)點(diǎn)E(,0)的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),且F1A∥F2B,|F1A|＝2|F2B|.(1)求橢圓的離心率;(2)求直線AB的斜率;(3)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,直線F2B上有一點(diǎn)H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圓上,求的值.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想,考查運(yùn)算能力和推理能力.滿分14分.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】(1)解:由F1A∥F2B且|F1A|＝2|F2B|,得,從而.整理,得a2＝3c2.故離心率.(2)解:由(1),得b2＝a2－c2＝2c2.所以橢圓的方程可寫(xiě)為2x2+3y2＝6c2.設(shè)直線AB的方程為,即y＝k(x－3c).由已知設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理,得(2+3k2)x2－18k2cx+27k2c2－6c2依題意,Δ＝48c2(1－3k2)＞0,得.而①.②由題設(shè)知,點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn),所以x1+3c＝2x2.③聯(lián)立①③解得,.將x1,x2代入②中,解得.由m≠0,解得.故.當(dāng)時(shí),同理可得.解法二:由(2)可知x1＝0,.當(dāng)時(shí),得A(0,),由已知得C(0,).由橢圓的對(duì)稱性知B,F2,C三點(diǎn)共線.因?yàn)辄c(diǎn)H(m,n)在△AF1C的外接圓上,且F1A∥F2B,所以四邊形AF1CH為等腰梯形由直線F2B的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m,).因?yàn)閨AH|＝|CF1|,所以,解得m＝c(舍),或.則.所以.當(dāng)時(shí),同理可得.6.【2010天津，文21】已知橢圓(a＞b＞0)的離心率e＝，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)文設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－a,0)．①若|AB|＝，求直線l的傾斜角；②若點(diǎn)Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且·＝4.求y0的值．【答案】(1)＋y2＝1.(2)①或.②y0＝±2或y0＝±.【解析】解：(1)由e＝，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由題意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程組得a＝2，b＝1.所以橢圓的方程為＋y2＝1.(文)①由(1)可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－2,0)．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y＝k(x＋2)．于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.由－2x1＝，得x1＝.從而y1＝.所以|AB|＝.由|AB|＝，得＝.整理得32k4－9k2－23＝0，即(k2－1)(32k2＋23)＝0.解得c＝±1.所以直線l的傾斜角為或.②設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，由①得M的坐標(biāo)為(－)．以下分兩種情況：(ⅰ)當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2.(ⅱ)當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為y－＝－．令x＝0，解得y0＝－.由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，·＝－2x1－y0(y1－y0)＝＝＝4，整理得7k2＝2.故k＝±，所以y0＝±.綜上，y0＝±2或y0＝±.7.【2015高考天津，文19】（本小題滿分14分）已知橢圓的上頂點(diǎn)為B,左焦點(diǎn)為,離心率為,（=1\*ROMANI）求直線BF的斜率;（=2\*ROMANII）設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P（P異于點(diǎn)B）,過(guò)點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)Q（Q異于點(diǎn)B）直線PQ與y軸交于點(diǎn)M,.（=1\*romani）求的值;（=2\*romanii）若,求橢圓的方程.【答案】（=1\*ROMANI）2;（=2\*ROMANII）（=1\*romani）;（=2\*romanii）【解析】（=1\*ROMANI）先由及得,直線BF的斜率;（=2\*ROMANII）先把直線BF,BQ的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點(diǎn)P,Q橫坐標(biāo),可得（=2\*romanii）先由得=,由此求出c=1,故橢圓方程為試題解析:（=1\*ROMANI）設(shè),由已知及可得,又因?yàn)?,故直線BF的斜率.（=2\*romanii）由（=1\*romani）得,所以,即,又因?yàn)?所以=.又因?yàn)?所以,因此所以橢圓方程為【考點(diǎn)定位】本題主要考查直線與橢圓等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力及用方程思想和化歸思想解決問(wèn)題的能力.8.【2016高考天