2018屆高考理科數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)檢測21

第三節(jié)用樣本估計(jì)總體【最新考綱】1.了解分布的意義與作用，能根據(jù)概率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋.4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征．理解用樣本估計(jì)總體的思想，并用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題．1．頻率分布直方圖①頻率分布表的畫法第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．②頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率．2．莖葉圖統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．3．樣本的數(shù)字特征1．(質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平均數(shù)，眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中．()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越高．()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)懀覀?cè)的葉按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)據(jù)可以只記一次．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2.若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和92解析：這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96.∴中位數(shù)是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.答案：A3．(2014·山東卷)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)．所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，……，第五組．下圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()A．6B．8C．12D．解析：全體志愿者共有：eq\f(20,（0.24＋0.16）×1)＝50(人)，所以第三組有志愿者：0.36×1×50＝18(人)，∵第三組中沒有療效的有6人，∴有療效的有18－6＝12(人)．答案：C4．(2015·廣東卷)已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值eq\o(x,\s\up6(－))＝5，則樣本數(shù)據(jù)2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值為________．解析：由條件知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，則所求均值eq\o(x,\s\up6(－))0＝eq\f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq\f(2（x1＋x2＋…＋xn）＋n,n)＝2eq\o(x,\s\up6(－))＋1＝2×5＋1＝11.答案：115．(2016·鄭州調(diào)研)抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績的方差為________．解析：易知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝90.則seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.答案：2一種思想用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想．兩點(diǎn)注意1．頻率分布直方圖與統(tǒng)計(jì)條形圖不同．2．(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量，與每個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，這是中位數(shù)、眾數(shù)所不具有的性質(zhì)．(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大．三個(gè)特征利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征：1．中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)．2．平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和．3．眾數(shù)：最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2015·湖北卷)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A．134石B．169石C．338石D．1365石解析：254粒和1543石中夾谷的百分比含量是大致相同的，可據(jù)此估計(jì)這批米內(nèi)夾谷的數(shù)量．設(shè)1534石米內(nèi)夾谷x石，則由題意知eq\f(x,1534)＝eq\f(28,254)，解得x≈169.故這批米內(nèi)夾谷約為169石．答案：B2．(2015·重慶卷)重慶市2013年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如右圖，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A．19B．20C．21.5D．23解析：由莖葉圖可知這組數(shù)據(jù)由小到大依次為8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，所以中位數(shù)為eq\f(20＋20,2)＝20.答案：B3．某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為()A．588B．480C．450D．120解析：不少于60分的學(xué)生的頻率為：(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，∴該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)應(yīng)為600×0.8＝480.答案：B4.(2016·濟(jì)南質(zhì)檢)將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場做的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示：則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為()A.eq\f(116,9)B.eq\f(36,7)C．36D.eq\f(6\r(7),7)解析：這組數(shù)據(jù)為87，87，94，90，91，90，90＋x，99，91，最高分為99，最低分為87，剩余數(shù)據(jù)為87，94，90，91，90，90＋x，91.eq\f(87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91,7)＝91，所以x＝4.方差為答案：B5．(2014·陜西卷)某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.eq\o(x,\s\up6(－))，s2＋1002B.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2＋1002C.eq\o(x,\s\up6(－))，s2D.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2解析：eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)＝eq\o(x,\s\up6(－))，yi＝xi＋100，所以y1，y2，…，y10的均值為eq\o(x,\s\up6(－))＋100，方差不變．答案：D二、填空題6．(2016·鄭州質(zhì)檢)已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的m、n的比值eq\f(m,n)＝________．解析：由莖葉圖可知甲的數(shù)據(jù)為27、30＋m、39，乙的數(shù)據(jù)為20＋n、32、34、38.由此可知乙的中位數(shù)是33，則30＋m＝33，∴m＝3.由此可以得出甲的平均數(shù)為33，所以乙的平均數(shù)也為33，所以有eq\f(20＋n＋32＋34＋38,4)＝33，所以n＝8，所以eq\f(m,n)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)7．抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績的方差為________．解析：由表中數(shù)據(jù)計(jì)算可得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝90，且seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，故乙的成績較為穩(wěn)定，其方差為2.答案：28．(2015·湖北卷)某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)區(qū)間[0.3，0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，[0.5，0.9]內(nèi)的頻率為1－0.4＝0.6.因此，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10000＝6000.答案：(1)3(2)6000三、解答題9．(2016·北京東城區(qū)調(diào)研)從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；(2)求頻率分布直方圖中的a，b的值；(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組(只需寫出結(jié)論)解：(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6＋2＋2＝10(名)．所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是1－eq\f(10,100)＝0.9.從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)其課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為0.9.(2)課外閱讀時(shí)間落在組[4，6)的有17人，頻率為0.17，所以a＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.17,2)＝0.085.課外閱讀時(shí)間落在組[8，10)的有25人，頻率為0.25，所以b＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.25,2)＝0.125.(3)樣本中的100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組．10．(2014·廣東卷)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；(2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差．解：(1)這20名工人年齡的眾數(shù)為：30；這20名工人年齡的極差為：40－19＝21.(2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖如下：(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以這20名工人年齡的方差為：eq\f(1,20)(30－19)2＋eq\f(3,20)(30－28)2＋eq\f(3,20)(30－29)2＋eq\f(5,20)(30－30)2＋eq\f(4,20)(30－31)2＋eq\f(3,20)(30－32)2＋eq\f(1,20)(30－40)2＝12.6.B級(jí)能力提升1．(2016·衡水中學(xué)質(zhì)檢)某高校進(jìn)行自主招生，先從報(bào)名者中篩選出400人參加筆試，再按筆試成績擇優(yōu)選出100人參加面試．現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了24名筆試者的成績，如下表所示：據(jù)此估計(jì)允許參加面試的分?jǐn)?shù)線大約是()A．75B．80C．85D．解析：因?yàn)閰⒓庸P試的400人中擇優(yōu)選出100人，故每個(gè)人被擇優(yōu)選出的概率P＝eq\f(100,400)＝eq\f(1,4)，因?yàn)殡S機(jī)調(diào)查24名筆試者，則估計(jì)能夠參加面試的人數(shù)為24×eq\f(1,4)＝6，觀察表格可知，分?jǐn)?shù)在[80，85)有5人，分?jǐn)?shù)在[85，90)的有1人，故面試的分?jǐn)?shù)線大約為80分．答案：B2．(2015·安徽高考改編)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為________．解析：已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s＝8，則s2＝64，數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(22×64)＝2×8＝16.答案：163．(經(jīng)典再現(xiàn))為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位：h)．試驗(yàn)的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.52．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.41．60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？解：(1)設(shè)A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x