高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、學(xué)問(wèn)網(wǎng)絡(luò)

二、高考考點(diǎn)

1、導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)知與應(yīng)用；

2、求導(dǎo)公式與運(yùn)算法則的運(yùn)用；

3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

4、導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用；

5、導(dǎo)數(shù)在尋求函數(shù)的極值或最值的應(yīng)用;

6、導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

三、學(xué)問(wèn)要點(diǎn)

(-)導(dǎo)數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)的概念

(1)導(dǎo)數(shù)的定義

I)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)”及其旁邊有定義，當(dāng)自變量x在“處有增量△x(4x可正可負(fù))，

則函數(shù)y相應(yīng)地有增量少=+Ax）-，這兩個(gè)增量的比后"&，叫

a

做函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)“到％+2這間的平均改變率。假如Ax—O時(shí)，正有極限，則說(shuō)函數(shù)

y=/（x）在點(diǎn)“處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做/（"）在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)（或改變率），記作

f（r”11m曳=Hm"土瓜"J①，

（II）假如函數(shù)/（X）在開(kāi)區(qū)間⑼b）內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則說(shuō)/（力在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo),

此時(shí)，對(duì)于開(kāi)區(qū)間S，b）內(nèi)每一個(gè)確定的值”,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)/'（"）,這樣在開(kāi)區(qū)間

（4b）內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)新函數(shù)叫做了（力在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)

”、,y-rw-tan曳4Hm小但-/⑴

數(shù)），記作了，“）或>，即?-?<>Ax。

認(rèn)知：

（1）函數(shù)/（力的導(dǎo)數(shù)/、X）是以x為自變量的函數(shù)，而函數(shù)/（為在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)/'（"）是

一個(gè)數(shù)值；/（X）在點(diǎn)益處的導(dǎo)數(shù)/是/（乃的導(dǎo)函數(shù)/"）當(dāng)x=%時(shí)的函數(shù)值。

（II）求函數(shù)/（X）在點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)的三部曲：

①求函數(shù)的增量每=汽%+帖）-/（“）；

②求平均改變率zAx；

如色.r（4）

③求極限Nr

上述三部曲可簡(jiǎn)記為一差、二比、三極限。

（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)/（X）在點(diǎn)％處的導(dǎo)數(shù)/'（"）,是曲線y=f（X）在點(diǎn)P（%J（X。））處的切線的斜率。

（3）函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)既有聯(lián)系又有區(qū)分:

（1）若函數(shù)/（X）在點(diǎn)r。處可導(dǎo)，則/（X）在點(diǎn)。處連續(xù)；

若函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間）內(nèi)可導(dǎo)，則/（x）在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)連續(xù)（可導(dǎo)肯定連續(xù)）。

/（%+聞?/（＞）

?八4）

事實(shí)上，若函數(shù)/（方在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，則有=7z此時(shí),

hm/(XQ+dx)='叫(/(而+^x)-/(^))+/(Xo)]

/(Xo+Az)-/(Xo)

?+/(%)]

/(x+zlx)-/(x)

00limdx+lim/(%)

Ax4D，…Jr

-/'(r0)xO+/(Xo)

-Ax.）

記“+Ax-x,則有圾f（x"八"）即/（用在點(diǎn)與處連續(xù)。

（U）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)飛處連續(xù)，但/（力在點(diǎn)。處不肯定可導(dǎo)（連續(xù)不肯定可導(dǎo)）。

反例：/（x）TH在點(diǎn)x-0處連續(xù)，但在點(diǎn)x=0處無(wú)導(dǎo)數(shù)。

丫+/（0）=|A^I.—=

事實(shí)上，了（N在點(diǎn)4處的增量AxZ

包7fan—?1

當(dāng)Ztt＞0時(shí)，Ax,zo*Ax

曳一tan---1

當(dāng)值＜0時(shí),△x,AX

由此可知，不存在,故/在點(diǎn)x?0處不行導(dǎo)。

2、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則

（1）基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（求導(dǎo)公式）

公式1常數(shù)的導(dǎo)數(shù)：c'-0（c為常數(shù)），即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0。

公式2幕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，）'=力產(chǎn)伽6Q）。

公式3正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（smr）'=co$x。

公式4余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（co$x）r=-$inx

公式5對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（taxY-l

（］）X；

,“、（iogaxy-liog.

公式6指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）㈠"；

（11）。

（2）可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則

設(shè)4V為可導(dǎo)函數(shù)，則有

法則1（u±v）'=u'士匕

法則23）'=〃3+"'；

,“、，u'v-uv',小

",（一）=-----（VW°）

法則3VV」2。

3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)y=/3）,”=*x）復(fù)合成以x為自變量的函數(shù)了=/1〃初，則復(fù)合函數(shù)對(duì)

自變量x的導(dǎo)數(shù)夕；，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量“二網(wǎng)乃的導(dǎo)數(shù)y：，乘以中間變量u對(duì)自變量x的

導(dǎo)數(shù)以，

即小。

引申：設(shè)y=/Q),?=^,v=g(x)復(fù)合成函數(shù)y=/I儂")1,則有咒-J；%咚

(2)認(rèn)知

(I)認(rèn)知復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系循著“由表及里”的依次，即從外向內(nèi)分析：首先由最外層的主體

函數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)出y=/w),由第一層中間變量U=%(D的函數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)出u=%e),由其次層中間變

量u=%(n的函數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)出口=叫(幻，由此一層一層分析，始終到最里層的中間變量z為自變量

x的簡(jiǎn)潔函數(shù)才=8(*)為止。于是所給函數(shù)便“分解”為若干相互聯(lián)系的簡(jiǎn)潔函數(shù)的鏈條：

y=/(?),?=^(v).v=.…，4=g(x)；

(11)運(yùn)用上述法則求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解題思路

①分解：分析所給函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，將所給函數(shù)“分解”為相互聯(lián)系的若干簡(jiǎn)

潔函數(shù)；

②求導(dǎo)：明確每一步是哪一變量對(duì)哪一變量求導(dǎo)之后，運(yùn)用上述求導(dǎo)法則和基本公式求；

③還原：將上述求導(dǎo)后所得結(jié)果中的中間變量還原為自變量的函數(shù)，并作以適當(dāng)化簡(jiǎn)或整理。

二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)的單調(diào)性

(1)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性：

一般地，設(shè)函數(shù)〃力在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若/'口”珊口)為增函數(shù);若/'6)＜吸切00

為減函數(shù)；若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有/'(D=°,則在這一區(qū)間上為常函數(shù)。

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的步驟

(I)確定函數(shù)/")的定義域；

(11)求導(dǎo)數(shù)/口);

(III)令,解出相應(yīng)的x的范圍

當(dāng)/時(shí)，/(X)在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)/(X)在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù)。

(3)強(qiáng)調(diào)與認(rèn)知

(I)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要確定函數(shù)的定義域D,并且解決問(wèn)題的過(guò)程中始終立

足于定義域D。若由不等式°確定的x的取值集合為A,由/'(力＜°確定的x的取值范圍為

B,則應(yīng)用；

（II）在某一區(qū)間內(nèi)°（或廣（力＜°）是函數(shù)/（X）在這一區(qū)間上為增（或減）函數(shù)的

充分（不必要）條件。因此方程/'（二）=°的根不肯定是增、減區(qū)間的分界點(diǎn)，并且在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)

區(qū)間時(shí)，除去確定/'（0=°的根之外，還要留意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不行導(dǎo)點(diǎn)，它們也可能是增、

減區(qū)間的分界點(diǎn)。

舉例：

（1）/（力="是R上的可導(dǎo)函數(shù)，也是R上的單調(diào)函數(shù)，但是當(dāng)x=0時(shí)，/W-0o

（2）F（K）TX|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，點(diǎn)x=0處不行導(dǎo)，但在（-8,0）內(nèi)遞減，在（0,+8）

內(nèi)遞增。

2、函數(shù)的極值

（1）函數(shù)的極值的定義

設(shè)函數(shù)/（X）在點(diǎn)與旁邊有定義，假如對(duì)”旁邊的全部點(diǎn)，都有了“）〈式”），則說(shuō)/（“）是

函數(shù)的一個(gè)極大值，記作）”入0=4%）；

假如對(duì)”旁邊的全部點(diǎn)，都有/?）＞/（"）,則說(shuō)/（“）是函數(shù)/（勸的一個(gè)微小值，記作

極大值與微小值統(tǒng)稱(chēng)極值

認(rèn)知：由函數(shù)的極值定義可知：

（I）函數(shù)的極值點(diǎn)。是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，并且函數(shù)的極值只有在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)處取得；

（U）極值是一個(gè)局部性概念；一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有多個(gè)極大值和微小值，并且在某一點(diǎn)

的微小值有可能大于另一點(diǎn)處的極大值；

（III）當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間［③可上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)/（X）在【a切內(nèi)的極大值

點(diǎn)，微小值點(diǎn)交替出現(xiàn)。

（2）函數(shù)的極值的判定

設(shè)函數(shù)/（X）可導(dǎo)，且在點(diǎn)4處連續(xù)，判定/（%）是極大（?。┲档姆椒ㄊ?/p>

（I）假如在點(diǎn)”旁邊的左側(cè)八0>°,右側(cè)/8<0,則/（%）為極大值;

（II）假如在點(diǎn)與旁邊的左側(cè)廠（力<°,右側(cè)r“）>°,則/（%）為微小值；

留意：導(dǎo)數(shù)為0的不肯定是極值點(diǎn)，我們不難從函數(shù)f（方=/的導(dǎo)數(shù)探討中悟出這一點(diǎn)。

（3）探求函數(shù)極值的步驟：

（I）求導(dǎo)數(shù)/口）；

（H）求方程/'（*）■°的實(shí)根及/I1）不存在的點(diǎn)；

考察/W在上述方程的根以及不存在的點(diǎn)左右兩側(cè)的符號(hào)：若左正右負(fù)，則,（X）在這

一點(diǎn)取得極大值，若左負(fù)右正，則/（X）在這一點(diǎn)取得微小值。

3、函數(shù)的最大值與最小值

（1）定理

若函數(shù)/（X）在閉區(qū)間上連續(xù)，則/（力在［&句上必有最大值和最小值；在開(kāi)區(qū)間（°，6）內(nèi)連

續(xù)的函數(shù)/（入）不肯定有最大值與最小值。

認(rèn)知：

（1）函數(shù)的最值（最大值與最小值）是函數(shù)的整體性概念：最大值是函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)間上全部

函數(shù)值中的最大值：最小值是函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)間上全部函數(shù)值中的最小值。

（11）函數(shù)的極大值與微小值是比較極值點(diǎn)旁邊的函數(shù)值得出的（具有相對(duì)性），極值只能在區(qū)間

內(nèi)點(diǎn)取得；函數(shù)的最大值與最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間上的函數(shù)值得出的（具有肯定性），最大（?。?/p>

值可能是某個(gè)極大（小）值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值。

（III）若/（X）在開(kāi)區(qū)間9，份內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（?。┲导礊樽?/p>

大（?。┲?。

（2）探求步驟：

設(shè)函數(shù)/（X）在〔2句上連續(xù)，在（a6）內(nèi)可導(dǎo)，則探求函數(shù)/（X）在U,句上的最大值與最小

值的步驟如下：

（I）求/（方在9，）內(nèi)的極值；

(II)求/(X)在定義區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值/(a),/?)；

(in)將力的各極值與79),/?)比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最

小值。

引申：若函數(shù)/(X)在〔③切上連續(xù)，則/(X)的極值或最值也可能在不行導(dǎo)的點(diǎn)處取得。對(duì)此,

假如僅僅是求函數(shù)的最值，則可將上述步驟簡(jiǎn)化：

(I)求出/(力的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(這兩種點(diǎn)稱(chēng)為可疑點(diǎn))；

(II)計(jì)算并比較/(X)在上述可疑點(diǎn)處的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，從中獲得所求最大值

與最小值。

(3)最值理論的應(yīng)用

解決有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的理論是有力的工具，基本解題思路為：

(I)認(rèn)知、立式：分析、認(rèn)知實(shí)際問(wèn)題中各個(gè)變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)

系；

(II)探求最值：立足函數(shù)的定義域，探求函數(shù)的最值；

(ITI)檢驗(yàn)、作答：利用實(shí)際意義檢查(2)的結(jié)果，并回答所提出的問(wèn)題，特殊地，假如所得

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)。滿(mǎn)意,并且/(力在點(diǎn)。處有極大(小)值，而所給實(shí)際問(wèn)

題乂必有最大(小)值，那么上述極大(小)值便是最大(小)值。

四、經(jīng)典例題

例1、設(shè)函數(shù)/(力在點(diǎn)與處可導(dǎo)，且廣(與)=人，試求

/(Xe-Ax)-/(x0)

uni-------------------------------------------

(1)X;

/(^+Ax)-/(Xo-Ax)

um--------------------------

(2)Ax；

UJI)........

⑶fx-x0.

/(Xo+oAx)-/(Xo-iAx)

hm

(4)33Ax（a，b為常數(shù)）。

/Qdx+/)-/(%)

八4）=Hm

解:留意到Ax

/XQfan〃1一八二)

當(dāng)XJT

O?-??.x-x0"+A=)

bm=至

=_km/k+(Vx).〃而)=_/u)=y

(1)Ax

hm?…)M…)=hmU8+/)-/g)】+U(4)-/(“-”x)】

(2)30』XAO

+4x)-/(%)[.

=hm????+hm?

『AxA。-Ax

=A+A=2A

(3)令r-0=',則當(dāng)x—“時(shí)力f0,

/(2X-AO)-/(2^-X)/(x0+㈤-/(/)+〃、)-/(%1)

hm=hm,

,fx.&rh

_10n/(%+2A)-/5)_1m〃[-(一他)

JOh*-?oh

2/(%+2用-/(%)八4T)-/(x)

?zu11mm-..........+MI—0—

-2h4-?o-h

=2/跖)+八%)=3八%=34

/(%+血-他-Mx)

Inn

(4)Ax

八/?oAx)-/(x)-[/%-2>Ax)-/(x)]

ufn-------------------------0------------------------------0---

“t。Ax

況竺如巫

aInn1mf-g

AI-?Oa2M-?O-fcAx

ahmK%+?>/(砧+6fanZ—g

MT。aM->o-?o-iAx

=/'(%)+次%)=(a+*心=(a+DM

點(diǎn)評(píng)：留意—卻產(chǎn)?與仙）的本質(zhì)，在這肯定義中，自變量,在％處的增量

Ax的形式是多種多樣的，但是，不論Ar選擇哪一種形式，相應(yīng)的卻也必需選擇相應(yīng)的形式，這

種步調(diào)的一樣是求值勝利的保障。

若自變量X在。處的增量為-mAx,則相應(yīng)的a-/XO-MAX）-/（XO）,

/(玉-M4X)一/(X())

hm

于是有T&

若令…3,則又有小"發(fā)筆詈

例2、

2X-3/W

⑴已知依="。)=-2,求小x-3

hmf(ss?-2

已知了⑴?.八?求FC0S

(2)21)3,x

解：

（1）令x-3,Ax,則x?Ax+3,且當(dāng)XT3時(shí)，AXTO。

〃33)-〃3)

留意到這里了（》=“々nm，n_/

&TOAX

勒2-3/(劉一如6+2Ax-3/(3+M

??.z3X-3AOAx

,3/(3+4x)-6_/(3+4x)-/(3)

=J-liimm--------------------=4-5hm-------------------------

J-。Axg-°Ax

-2-3/X3)-8

⑵???/。)=2

,/(sinx)-2./(?nx)-/(l)

hm--------j------=ltim-----------------------------

I：cosx-(sinx-IXsinx+1)

lim[/(s?nx)-/(l)-1'

-uxn-------------------------------

smx-11+smx

sinx-1,_￡l+$inx

①

x——Osmx-?l

留意到2

/(sinx)-/0)/(sinx)-/O)

hm-----------------=hm=/f(l)=3

,,，)anx-1siw—ianx-1

???由已知得2②

fanW-八])(iTi)"4r(1)*，4

.??由①、②得FCOi1

例3、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3

(Dy-e*+xcosx-7x.⑵y=。+4力。+2/);

y-(l-7x)(1+-]=r)2#-3x+石T

Jx；(4)-------x--jrx—；

11

y■-------?

(5)i-4i+4；(6)"取

解：

(i)y'=(<*+^cosx-7x)'

=(er)f+(?C-O)，

■a*?2xCOST-x3anx-7

(2)廠(1+4-)(1+2/)?1+2/+4/?8/

.?.y'?Q+2/+49+8/)'?4彳+12/+40#

?

y=233g、-l_2XL3X-5+產(chǎn)x

(4)xjx

3】J1_3-5

八(2/■3戶(hù)+—?x5)、儲(chǔ)+士戶(hù)■一+三戶(hù)

[1(1+向+(1.石)2

5)1~y/x1+>/x(1—V^f)(l+Vx)1-X,

J_。Q-K)-2Q-Q._2_

i-x(i-x)Ja-x)a

,Ilx.xiO;

(6)y,甲ITl-X,—O

.?.當(dāng)x^o時(shí)，y-(x3y-2x.

.?.當(dāng)x<0時(shí)，y=(-/)'=-2x

2x.x之Q;

y

-2x.x<0

即八21H。

點(diǎn)評(píng)：為避開(kāi)干脆運(yùn)用求導(dǎo)法則帶來(lái)的不必要的繁雜運(yùn)算，首先對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或化整為零，而

后再實(shí)施求導(dǎo)運(yùn)算，特殊是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶?shù)和的形式，或根式可轉(zhuǎn)化為方幕的形式時(shí)，“先

變后求”的手法明顯更為靈活。

例4、在曲線c：＞=》-6,-*+6上，求斜率最小的切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，并證明曲線c關(guān)于

該點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

解：

(1)了=3/?12釬1?3。?2)2-13

.?.當(dāng)x-2時(shí)，y'取得最小值-13

又當(dāng)x-2時(shí)，y?2J-62a-2+6--12

...斜率最小的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為A(2,-12)；

(2)證明：設(shè)為曲線C上隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

(4-r0-24-70)

且有先-^o-6^-x<)+6①

.?.將X=4-%代入y=#-6-->+6的解析式得

(4-%)"6(4-硝二(4?%)+6

=Y+4+q-30

--(胃-6年-x0+6)-24

=-24-/0,

.?.點(diǎn)54-%,-乂-月)坐標(biāo)為方程y?丁-6--X+6的解

.?0C

留意到P,Q的隨意性，由此斷定曲線C關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)。

例5、已知曲線了?/a卉7-7(0血水。?°),其中,且均為可導(dǎo)函數(shù),

求證：兩曲線在公共點(diǎn)處相切。

證明：留意到兩曲線在公共點(diǎn)處相切當(dāng)且僅當(dāng)它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線重合，

設(shè)上述兩曲線的公共點(diǎn)為J。)，則有

〃=/(4),幾=/(Q血/,

...河丹=1,

ax0-2Jt<+y(Jt€Z)

-1(2kft+—)(Jt€Z)

:.a2

于是，對(duì)于/i=7(D有/=/■口)；①

對(duì)于八./(x)Mnar,有其=」'(x)$mox+如(x)co$ax②

二由①得琳一-八4),

由②得閡i—r5)sin*+叫

-7'(%)$6(及斤+§+叭%)cos(2M+y)

44

-r(r0)

.乃1f=乃|aa^

,即兩曲線在公共點(diǎn)處的切線斜率相等,

.?.兩曲線在公共點(diǎn)處的切線重合

...兩曲線在公共點(diǎn)處相切。

例6、

/(x)-^2x*--x3-AJ??2x+—

(1)是否存在這樣的k值，使函數(shù)32在區(qū)間(1,2)上遞減,

在(2,+8)上遞增，若存在，求出這樣的k值；

(2)若/(x)=a?+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求出這三個(gè)單調(diào)區(qū)間。

解：

(I)f(S)?422/一2--2kx+2

由題意,當(dāng)xeQZ時(shí)八x)〈0,當(dāng)xe(2,+8)時(shí)/,

由函數(shù)廣⑴的連續(xù)性可知/'Q)=°,

即321-8-伙+2-。

整理得-2t-3-0

,_1.3

工—一尢=——

解得2或8

驗(yàn)證：

,1

(I)當(dāng)5時(shí)，八幻=丁-2/-升2=(升】)。-1)(?2)

.?.若1<K<2,則/'(x)<0.若x>2,則/'(x”0,符合題意;

Jt----xJ-2X2+—x+2

(II)當(dāng)8時(shí)，164

9,7-鬧、,?7+洞、

=而——^―)^-2)(x-—^―)

明顯不合題意。

于是綜上可知，存在.5使/（力在（1,2）上遞減，在（2,+8）上遞增。

⑵廣（力?3,+1

若"0,則/3>0（X€以，此時(shí)/區(qū)只有一個(gè)增區(qū)間S2）,與題設(shè)沖突;

若,則/'5）=1,此時(shí)/（力只有一個(gè)增區(qū)間（F2）,與題設(shè)沖突；

/'*）=3a（?+l）=3a（x+-jJ=）（x-1）

若4<0,則父，-3。

X<或X>^1—

并且當(dāng)-J-3a時(shí)，/（r）<0；

-11

—<X.

當(dāng)J-勿J-%時(shí)，/'"）》。

綜合可知，當(dāng)4<0時(shí)，/（X）恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間：

(-eq'I),(—J—,??>)

減區(qū)間yP3a三'：增區(qū)間

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（1）,由已知條件得了'（2）?°,并由此獲得k的可能取值，進(jìn)而再利用已知條件對(duì)

所得k值逐一驗(yàn)證，這是開(kāi)放性問(wèn)題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略。

例7、已知函數(shù)/（x）=工」+ad+6x+l,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，/（X）取得極值，并且極

大值比微小值大4.

（1）求常數(shù)a,b的值；

（2）求/（力的極值。

解；

（1）f（力=5x'+勿N+b,

令/'（x）-0得方程5x4.Sox?

?.?/（方在處取得極值

AI--I或?yàn)樯鲜龇匠痰母?/p>

故有卜⑴?辿產(chǎn)+…

513afb-0,即力--3一5①

.../*(x)?5/+3aN-3a-5

-5(x4-1).%(N-l)

=(x+l)(x-1)(5x2+%?5)

又僅當(dāng)X=±l時(shí)取得極值，

...方程/'(x)?°的根只有-x=-l或X=l,

...方程5d+3a+5?0無(wú)實(shí)根，

2

AA-0-4x5x(3a+5)<0即3a+5>0

5

ini"?3時(shí)，5xa+3a+5>0恒成立，

.../S)的正負(fù)狀況只取決于5+D(x-i)的取值狀況

當(dāng)x改變時(shí)，/〈X)與/(力的改變狀況如下表：

XST)-1(-1.1)1(1,+°°)

Ar)+0—0+

極大值、微小值/

f(x)在x--l處取得極大值f(T),在X=1處取得微小值/⑴。

由題意得了(T)-0=4

整理得q+>--3②

于是將①，②聯(lián)立，解得a--L6=-2

■由⑴知，/a”/-2工+1

/(X)*大u=A~0=3,/(力&卜0=/(I)=~1

點(diǎn)評(píng)：循著求函數(shù)極值的步驟，利用題設(shè)條件與的關(guān)系，立足探討了'")=°的根的狀況,

乃是解決此類(lèi)含參問(wèn)題的一般方法，這一解法體現(xiàn)了方程思想和分類(lèi)探討的數(shù)學(xué)方法，突出了“導(dǎo)數(shù)

/'(%)=0”與“f(x)在4處取得極值”的必要關(guān)系。

例8、

32

(1)已知/(彳)=。彳-&彳+/>(-1￡2)的最大值為3,最小值為-29,求的值；

<1/(x)-x3--JWX2

(2)設(shè)3,函數(shù)2的最大值為1,最小值為2,

求常數(shù)用，見(jiàn)的值。

解：

(1)這里。*0,不然與題設(shè)沖突

/*(力=勿--1加彳=3飆彳-4)

/(x)。，解得x=0或x=4(舍去)

(1)若a>0,則當(dāng)xw(TO)時(shí)，八x)>0,/(x)在(7。)內(nèi)遞增；

當(dāng)xw(Q2)時(shí)，/.(力<0,/(力在(Q2)內(nèi)遞減

又/(x)連續(xù)，故當(dāng)x=0時(shí)，/(X)取得最大值/(0)

由已知得/⑼=3勺6=3

而/(-I)=-7a+3J(2)=-16a+3</(-I)

此時(shí)f(x)的最小值為了Q)

由/⑶=-2"得-16。+3--29oa=2

(II)若,則運(yùn)用類(lèi)似的方法可得當(dāng)x=0時(shí)/(X)有最小值，故有

/(0)=-29-9.

又/(-1)=-7”29,〃2)=-16叱29>/(-I)

.?.當(dāng)x=2時(shí)，/(力有最大值，

由已知得-16a-29-3。a=-2

廣是綜合(I)<II>得所求-S或

2

(2)f(x)?'ix-3x(x-m)

令廣(x)=0得式x-源)=0

2

Xi=0.&=M—<w<1)

解得3

當(dāng)X在上改變時(shí)，/Xi)與/(X)的改變狀況如下表:

X-1(-1,0)0(0,?)(Ml)1

/V)+0—0+

微小值

/?/(-I)極大值nmq/(I)

、一+%

2

_用2+力

.?.當(dāng)x=0時(shí)，/(x)取得極大值"；當(dāng)x=m時(shí)，/W取得微小值V"

由上述表格中展示的/(方的單調(diào)性知/(O)>/(T)J(O)>>/(㈤J(D>/(?)

.??/(X)最大值在八°)與/①之中，/(力的最小值在/(T)和/>)之中，

<1Ao)-/O)>o

考察差式23,

即/(0)>/(D,

故f(x)的最大值為/(O)

由此得

/(-1)-/(??)=^(*?3-3w-2)=-J(w-2)(w+l)2

考察差式22

2

V3<W../X-1)-/(*)<0,即?⑺，

.??/（”的最小值為了（T）

3而任

—一用―—―m?—

由此得22,解得3

瓜,

m=—,”=I

于是綜合以上所述得到所求3

五、高考真題

（-）選擇題

1、設(shè)■而不,-CO?/M,/?（6=工'（X），…，XM（Q-Z；（X）,MN,則

/joos（x）"（）。

A、smxB、-smxc、cosxD、-COSX

分析：由題意得/】（D=cosr,

4（r）=-smr,

4（r）=-cosr,

4（x）-mxf

_4（x）=sinx=%（x）

.?.4（rX"€N）具有周期性，且周期為七

/.Zj005（r）=/l（X）=COSX,應(yīng)選C。

2、函數(shù)/（x）=a/+x+l有極值的充要條件為（）

A、<?>oB、C、a<0D、<?<0

分析：rO3#+l

.?.當(dāng)a20時(shí)，/（力）。且廣?”。；

當(dāng)a<0時(shí)，令/'（x）=0得3妝2+1-0有解,

因此/（X）才有極值，故應(yīng)選C。

3、設(shè).?X),g(x)分別是定義在R上的奇導(dǎo)數(shù)和偶導(dǎo)數(shù)，當(dāng)X<0時(shí)，

/V)g(x)+/(x)gV)>0,且g(-3)=o,則不等式/⑶g(x)<0的解集是()

A、(-3,0)U(3,+8)B、(-3,0)U(0,3)

C、(…，-3)U(3,+8)D、(…，-3)U(0,3)

分析：為便于描述，設(shè)Kx)=f(x)ga),則尸(X)為奇導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，尸口)>°,且

月(-3)=0

...依據(jù)奇函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性知，/(不)<0的解集為(-8,-3)U(0,3),應(yīng)選D。

二、填空題

1過(guò)原點(diǎn)作曲線y=e'的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為,切線的斜率為o

分析：設(shè)切點(diǎn)為,則以M為切點(diǎn)的切線方程為y-e"=e"(x-q)

...由曲線過(guò)原點(diǎn)得=e"(°-q)..-.Io=1,

???切點(diǎn)為，切線斜率為e。

點(diǎn)評(píng)：設(shè)出目標(biāo)(之一)迂回作戰(zhàn)，則從切線過(guò)原點(diǎn)切入，解題思路反而簡(jiǎn)明得多。

1

2曲線在點(diǎn)(aafa"。處的切線與x軸，直線工=。所圍成的三角形面積為《，則。

分析：

八3三

...曲線在點(diǎn)處的切線方程為=

即y=3aO-2/

自，。)

切線與X軸交點(diǎn)3,

又直線x-a與切線交點(diǎn)縱坐標(biāo)為a，,

"bl--

...上述三角形面積23c6,

由此解得同7即a=±l

y-2--x2y-x5-2

3曲線2與4在交點(diǎn)處的切線夾角是(以弧度數(shù)作答)

分析：設(shè)兩切線的夾角為6,將兩曲線方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為QQ)

又,力

即兩曲線在點(diǎn)(2R)處的切線斜率分別為-2,3

.，.4,應(yīng)填4。

(三)解答題

1已知4€夫，探討導(dǎo)數(shù)/(x)=/(/+(?+a+】)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

解析：先將八0求導(dǎo)，/'(x)-0即/+(a+2)x+0+1=0。

當(dāng)△》()時(shí)，/'(<)-0有兩根，于是/(Q有兩極值點(diǎn)。

當(dāng)A40時(shí)，/'(力之。,/(x)為增函數(shù)，/(x)沒(méi)極值點(diǎn)。

本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次方程根、“A”等學(xué)問(wèn)。

解答：+ux+tf+I)+€,(2X+O)

=e"(?+(?+2)x+(2a+1)]

令/'(x)-0,得x3+(x+2)x+為+1=0

1、當(dāng)A=(0+2>.4(2a+】)=a2-4tf-<r(a-4)>0

即a<0或a>4時(shí)，方程=°有兩個(gè)不同的實(shí)根4、b,

不防設(shè)xi<xa,

于是r(*).(x-Xi)(x-xJ,從而有下表：

X】(Xpjfj)X2(Xj.+?)

/Xx)+0一0+

Ax)//(11)為極大值/(n)為微小值/

即此時(shí)/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

2、當(dāng)A-0即°=:或<7=4時(shí)，方程r3+(<?+2)x+(2a+1.)=0有兩個(gè)相同的實(shí)根4=與，

于是/(力,故當(dāng)xvr】時(shí)，；當(dāng)時(shí)，八力>0,因此以。

無(wú)極值；

3、當(dāng)△<()B|j0<o<4時(shí)，x2+(a+2)x+(2a+l)>0,

而rOe32+(a+2)x+(2a+l)]>0,

故KQ為增函數(shù)。此時(shí)無(wú)極值；

.?.當(dāng)a>4或。<0時(shí)，/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0Wa§4時(shí)，/(r)無(wú)極值點(diǎn)。

2已知函數(shù)八"PTb的圖象在點(diǎn)“(7J(T))處的切線方程為x+2y+5=0。

(I)求函數(shù)了=角”的解析式；

(II)求函數(shù)了=力>)的單調(diào)區(qū)間。

解析：

__1

(1)由M(-Lf(T))在切線上，求得/(T)，再由M(-L/(T))在函數(shù)圖象上和‘'

得兩個(gè)關(guān)于為b的方程。

(2)令/'(x)?0,求出極值點(diǎn)，/'。)>。求增區(qū)間，/1(x)<o求減區(qū)間。

此題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

解答

(I)由函數(shù)AD的圖象在點(diǎn)」M(-Lf(7))處的切線方程為x+2y+5=0知：

-1+2/(-1)+5-0,即/(T)=-2,

不"二6./(_1)=,1

(x^+6/2

1+b

a(1?5)+2(-a-6)_1

?a+b)2=-2

a=2h-4

<a(l”U6)_]

即[一(i^5-=~2

解得a?2b-3(vt+1*0,?=-1舍去)

2x-6

所以所求函數(shù)解析式"*■

33

rw--2x2?12x+6

(II)(33)2

令-2x2+12x+6-0解得演=3-26.與-3+24

當(dāng)x<3-2石或X>3+2/時(shí)，/'(x)<0

當(dāng)3-26仃<3+2行時(shí)，/<(r)>0

.2x-6

所以“一/+3在（F3?2氏枇3+2百+?）內(nèi)是減函數(shù)，在。?2￡3+26內(nèi)是增

函數(shù)。

3已知X-［是函數(shù)廊+1）/+/U+I的一個(gè)極值點(diǎn)，其中用,“G尺標(biāo)＜0

（I）求陽(yáng)與M的關(guān)系表達(dá)式；

（II）求/1（力的單調(diào)區(qū)間；

（III）當(dāng)X6卜1川時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上隨意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m,求m的取值范

圍。

解析：（1）本小題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性的基本方法以及函數(shù)

與方程的思想，第2小題要依據(jù)/W的符號(hào)，分類(lèi)探討,（X）的單調(diào)區(qū)間；第3小題是二次三項(xiàng)式

在一個(gè)區(qū)間上恒成立的問(wèn)題，用區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)來(lái)表示二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，體現(xiàn)

出將一般性問(wèn)題特殊化的數(shù)學(xué)思想。

解答：

(I),.'/,(x)=W-6(m+l)x+?,r-1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)

../([)=務(wù)一6(用+T)+fi-0,

.?.〃=癡+6；

(II),**r(x),誦彳2-6(廊+l)x+“-Zmx2-6(m+1)彳+詞+6-3(彳一])(MX-柝-2)

令/3=。，得八』2…盛

?.?-2<4與八X)的改變?nèi)缦卤?

(-1.2)1+3

X(1?-.!)1a+8)

mmm

/Xx)—0+0—

M單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

(]+2)(]+2])

因此，『區(qū)的單調(diào)遞減區(qū)間是'm和。皿)；“X)的單調(diào)遞增區(qū)間是'm'；

(HI)由(H)/*(工)=3廊/~6(附+1)彳+辭工詞/~6(照+1)彳+*+6>加.(彳￡卜],1])

即用--2(廊+l)x+2>0t(^€[-lJ])

令gCO■牌/-2(唐+l)x+2.(廊<0),xw[-Ll],

vg(x)?wx2-2(w+l)x+2>0,xe[-l.l]且m<0,

)=/?+2w+4>0,4

=--<m<0

￡-w-2?>03

4A

--cw<0

即m的取值范圍是3o

4

4x，—7

/(x)=--.X€[0J]

已知函數(shù)2-xo

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;

(II)設(shè),函數(shù)g(x)=W-3a'x-2a.xe[0J,若對(duì)于隨意方"。』，總存在

,使得g(x)=/(r“成立，求q的取值范圍。

解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題實(shí)力，考查思維及推理實(shí)力以及

運(yùn)算實(shí)力，本題入手點(diǎn)簡(jiǎn)潔，

(I)中對(duì)分式函數(shù)定區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與值域問(wèn)題，往往以導(dǎo)數(shù)為工具，

(II)是三次函數(shù)問(wèn)題，因而導(dǎo)數(shù)法也是首選，若8(“)=/"】)成立，則二次函數(shù)值域必滿(mǎn)意

/(x)cg(x)關(guān)系，從而達(dá)到求解目的。

解:

-4x?+16x-7,17

--------a5——-0X--X-—

(I)由（2-x）得2或2

7

vX€t0-1lAX-2(舍去)

則X,八。，/(X)改變狀況表為:

￡5)

X01

吟2

八力一0+

7

——.-4/-3

2

因而當(dāng)時(shí)/(力為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)/(力為增函數(shù);

當(dāng)xe[OJ時(shí)，/(x)的值域?yàn)閇7廠3]；

（H）g'（x）=3（尹-a2）

因此