高一數(shù)學下冊暑假知識點梳理檢測題7

第2講兩條直線的位置關(guān)系★知識梳理★1.兩條直線的平行與垂直關(guān)系(分斜率存在與不存在兩種情況討論)=1\*GB3①若兩條不重合的直線的斜率都不存在,則這兩條直線平行;若一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0,則這兩條直線垂直.=2\*GB3②已知直線,,若,與相交,則;若,則;若//,則且;若與重合,則且2.幾個公式=1\*GB3①已知兩點,則=2\*GB3②設(shè)點，直線點到直線的距離為③設(shè)直線則與間的距離3.直線系=1\*GB3①與直線平行的直線系方程為;=2\*GB3②與直線垂直的直線系方程為;③過兩直線的交點的直線系方程為★重難點突破★重點:掌握兩條直線的平行與垂直的充要條件；掌握兩點之間的距離公式，點到直線的距離公式，會求兩條平行線之間的距離.難點:判斷兩條直線位置關(guān)系時的分類討論以及綜合運用平行與垂直的充要條件、距離公式解題重難點:綜合運用平行與垂直的充要條件和三個距離公式,進行合理轉(zhuǎn)化之后求直線方程（1）在判斷兩條直線的位置關(guān)系時的分類討論,要防止因考慮不周造成的增解與漏解,關(guān)鍵是要樹立檢驗的意識.=1\*GB3①要考慮斜率存在與斜率不存在兩種情形;=2\*GB3②要考慮兩條直線平行時不能重合;問題1:已知直線，，m為何值時，與平行點撥：當m=0時，當時，的斜率為，的斜率為由得或，時與重合，時（2）在分析題意,尋找解題思路時,要充分利用數(shù)形結(jié)合思想,將問題轉(zhuǎn)化,化繁為簡,有效降低運算量.問題2:已知點P（2，1）求過P點與原點距離最大的直線的方程點撥:過P點與原點距離最大的直線為垂直于直線的直線,直線的斜率為-2,直線的方程為,即（3）在使用點到直線的距離公式和兩條直線的距離公式時,應先將直線方程化為一般式,使用兩條直線的距離公式,還要使兩直線方程中的的系數(shù)對應相等問題2：求直線與的距離點撥：將的方程化為，則兩直線的距離為(4)處理動直線過定點問題的常用的方法:①將直線方程化為點斜式②化為過兩條直線的交點的直線系方程③特殊入手,先求其中兩條直線的交點,再驗證動直線恒過交點④從“恒成立”入手，將動直線方程看作對參數(shù)恒成立。問題3:求證:直線恒過某定點，并求該定點的坐標.將直線方程化為若直線過定點，則上式對恒成立，，，該直線必過定點★熱點考點題型探析★考點1:兩直線的平行與垂直關(guān)系題型:判斷兩條直線平行與垂直[例1]已知直線：3mx+8y+3m-10=0和：x+6my-4=0問m為何值時（1）與相交（2）與平行（3）與垂直;[解析]當時；，與垂直當時由，而無解綜上所述（1）時與相交（2）與平行（3）時與垂直【名師指引】判斷兩條直線的位置關(guān)系，一般要分類討論，分類討論要做到不重不漏，平時要培養(yǎng)分類討論的“意識”[例2]已知△三邊的方程為：，，；（1）判斷三角形的形狀；（2）當邊上的高為1時，求的值?！窘忸}思路】（1）三邊所在直線的斜率是定值,三個內(nèi)角的大小是定值,可從計算斜率入手;(2)邊上的高為1,即點到直線的距離為1，由此可得關(guān)于m的方程.解析：（1）直線的斜率為，直線的斜率為，所以，所以直線與互相垂直，因此△為直角三角形（2）解方程組，得，即由點到直線的距離公式得，當時，，即，解得或【名師指引】（1）一般地，若兩條直線的方向（斜率、傾斜角、方向向量）確定，則兩條直線的夾角確定（2）在三角形中求直線方程，經(jīng)常會結(jié)合三角形的高、角平分線、中線【新題導練】1.已知直線，直線，則“”是“直線”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]B2.已知過點A(-2，m)和B(m，4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值為（）A．0B．-8 C．2D.10[解析]設(shè)所求的直線，則那么m=-8，選B3.“m=”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的()A．充分必要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件[解析]當m=或-2時，兩條直線垂直，所以m=是兩條直線垂直的充分不必要條件，選B[點評]還要考慮斜率不存在的情形4.(山東省棗莊市2008屆高三第一次調(diào)研考試)已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點垂直，直線l2：2,4,6等于 （）2,4,6 A．－4 B．－2 C．0 D．2[解析]B[,又]考點2點到直線的距離題型:利用兩個距離公式解決有關(guān)問題[例3]已知直線及點（1）證明直線過某定點，并求該定點的坐標（2）當點到直線的距離最大時，求直線的方程【解題思路】分離參數(shù)求定點坐標;尋找到直線的距離最大時，直線滿足的條件解析：（1）將直線的方程化為：，無論如何變化，該直線系都恒過直線與直線的交點，由得，直線過定點（2）當時點到直線的距離最大，此時直線的斜率為-5，直線的方程為即【名師指引】（1）斜率不定的動直線，都應考慮是否過定點（2）處理解析幾何的最值問題，一般方法有：函數(shù)法；幾何法[例4]已知三條直線，若與的距離是（1）求a的值（2）能否找到一點P使得P同時滿足下列三個條件①P是第一象限的點；②P點到的距離是P點到的距離的③P點到的距離與P點到的距離的之比是；若能，求P點坐標；若不能，說明理由?！窘忸}思路】由三個條件可列三個方程或不等式，最終歸結(jié)為混合組是否有解的問題[解析]（1）(2)設(shè)同時滿足三個條件由②得：設(shè)在上則有------------（1）由③得：--------------（2）由①得----------------（3）解由（1）（2）（3）聯(lián)立的混合組得所以【名師指引】（1）在條件比較多時，思路要理順；（2）解混合組時，一般是先解方程，再驗證不等式成立【新題導練】6.點到直線的距離的最小值等于[解析]7.與直線的距離為的直線方程為[解析]或8.兩平行直線，分別過點P（-1，3），Q（2，-1）它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則之，間的距離的取值范圍是（）A．B.（0，5）C.D.[解析]最大值為P，Q的距離，即5，選C9.求過原點且與兩定點距離相等的直線的方程[解析]直線過線段AB的中點或平行于直線AB，故方程為或考點3直線系題型1:運用直線系求直線方程[例5]求過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程和平行的直線方程?！窘忸}思路】可直接求交點，也可用直線系求解[解析]解法一.設(shè)與直線垂直的直線方程為設(shè)與直線平行的直線方程為聯(lián)立方程得與的交點（1，-1）代入求得m=-5，n=3解法二.設(shè)與直線為由條件分別求得和化簡得和【名師指引】（1）使用直線系方程可以回避解方程組，從而達到減少運算量的目的（2）注意直線系不表示直線，這是一個容易丟解的地方題型2:動直線過定點問題[例6]已知圓，直線⑴證明不取何值，直線過定點⑵證明直線恒與圓C相交[解析](1)直線化為：故直線是經(jīng)過和交點（3，1）的直線系，故過定點（3，1）（2）因為所以（3,1）為圓內(nèi)的點。故直線恒與圓C相交【名師指引】在處理動直線過定點問題時，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為過兩條定直線的交點的直線系是簡單易行的方法【新題導練】10、方程所確定的直線必經(jīng)過點A．（2，2）B.（-2，2）C.（-6，2）D.（3，-6）[解析]代入驗證，選A11.已知為m實數(shù)，直線：（2m+1）x+（1-m）y-（4m+5）=0，P（7，0），求點P到直線的距離d的取值范圍。[解析]直線過定點，d的最大值為點P、Q的距離，因點P、Q的距離為，故d的取值范圍是12.直線經(jīng)過直線的交點，且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程解析：設(shè)直線方程為,化簡得:直線與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，直線的斜率為,解得:或代入并化簡得直線的方程為或★搶分頻道★基礎(chǔ)鞏固訓練1、若過點和的直線與直線平行,則的值為A．6B．C．2D．[解析]，2、已知三條直線和圍成一個直角三角形，則的值是A．或B．-1或C．0或-1或D．0或或[解析]C[直線垂直時，，但時后兩條直線重合，又時后兩條直線垂直，故選C]3、若直線l：y＝kx－eq\r(3)與直線2x＋3y－6＝0交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．[eq\f(p,6)，eq\f(p,3))B．(eq\f(p,6)，eq\f(p,2))C．(eq\f(p,3)，eq\f(p,2))D．[eq\f(p,6)，eq\f(p,2))[解析]B．[直線2x＋3y－6＝0與x軸、y軸交于（0，2）、（3，0）將兩點坐標代入可得答案]4、點P（x，y）在直線4x+3y=0上，且滿足－14≤x－y≤7，則點P到坐標原點距離的取值范圍是（）A.[0，5] B.[0，10] C.[5，10] D.[5，15]解：B.由得，點P到坐標原點距離的取值范圍是[0，10]5、設(shè),,若僅有兩個元素,則實數(shù)的取值范圍是[解析],數(shù)形結(jié)合，注意到直線的斜率為1，當時直線與不可能有兩個交點6、求經(jīng)過直線和的交點，且與原點距離為的直線方程[解析]解方程組得交點坐標為（-1，-1），設(shè)直線方程為即，解得所求直線方程為綜合提高訓練7、已知直線與軸軸正半軸所圍成的四邊形有外接圓，則，的取值范圍是[解析]由題意知直線與坐標軸交于點和，直線與線段（不含端點）相交，畫圖易得的取值范圍是8、已知兩直線,求分別滿足下列條件的、的值．（1）直線過點，并且直線與直線垂直；（2）直線與直線平行，并且坐標原點到、的距離相等．[解析]解：（1）即①又點在上，②由①②解得：（2）∥且的斜率為.∴的斜率也存在，即，.故和的方程可分別表示為：∵原點到和的距離相等.∴，解得：或.因此或.9、（華南師大附中2007—2008學年度高三綜合測試（三））如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，|AB|=3米，|AD|=2米.（Ⅰ）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AM的長應在什么范圍內(nèi)？（Ⅱ）當AM、AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e.以AM、AN分別為x、y軸建立直角坐標系，[解析]（Ⅰ）以A為原點，AB所在直線為x軸建立坐標系，則由C在直線MN上得∴∴AM的長取值范圍是（3，4）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即當且僅當即時取等號所以時，矩形AMPN的面積取得最小值2410.已知點A（1,4），B（6,2），試問在直線x-3y+3=0上是否存在點C，使得三角形ABC的面積等于14？若存在，求出C點坐標；若不存在，說明理由。[解析]AB=，直線AB的方程為，即，假設(shè)在直線x-3y+3=0上是否存在點C，使得三角形ABC的面積等于14，設(shè)C的坐標為，則一方面有m-3n+3=0①，另一方面點C到直線AB的距離為，由于三角形ABC的面積等于14，則，，即②或③.聯(lián)立①②解得，；聯(lián)立①③解得，.綜上，在直線x-3y+3=0上存在點C或，使得三角形ABC的面積等于14.參考例題：1.將一塊直角三角板（角）置于直角坐標系中，已知，點是三角板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角板中部分受損壞（），要把損壞的部分鋸