九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)試題 5.2.1 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（y=ax2、y=ax2 ka≠0）-滬科版（含答案）

5.2.1二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（y=ax2、y=ax2+k，a≠0）一．單選題1．關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣12x2A．開口向下 B．頂點(diǎn)是原點(diǎn) C．對(duì)稱軸是y軸 D．y隨x的增大而減小2．若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）3．已知拋物線y＝ax2（a＞0）過A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）兩點(diǎn)，則下列關(guān)系式一定正確的是（）A．y1＞y2＞0 B．y2＞y1＞0 C．y1＞0＞y2 D．y2＞0＞y14．已知點(diǎn)（x1，﹣7）和點(diǎn)（x2，﹣7）（其中x1≠x2）均在拋物線y＝ax2上，則當(dāng)x＝x1+x2時(shí)，y值是（）A．0 B．﹣3.5 C．﹣7 D．﹣145．如圖，ab＞0時(shí)，當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+a的圖象大致是（）A． B． C． D．6．如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)B在拋物線y＝x2的第一象限的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于6，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．23 C．25 D．267．二次函數(shù)y＝﹣x2+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，0） B．（0，3） C．（0，﹣3） D．（3，0）8．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+c和二次函數(shù)y＝a（x+c）2的圖象大致為（）A． B．C． D．二．填空題9．關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣14x2（1）其圖象開口向，對(duì)稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而，當(dāng)x＝時(shí)，y有最值，其值是．（2）若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）為函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是．10．如圖所示四個(gè)二次函數(shù)的圖象中，分別對(duì)應(yīng)的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．則a、b、c、d的大小關(guān)系為．11．如圖，拋物線y＝x2與矩形ABCD交于E、F兩點(diǎn)，y=12x2與矩形ABCD交于A、D兩點(diǎn)，y=﹣14x2與矩形ABCD交于B、C兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，則圖中陰影部分面積的和為12．如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，OC與x軸正半軸的夾角為15°，點(diǎn)B在拋物線y＝ax2（a＜0）的圖象上，則a的值為．13．與拋物線y＝﹣12x2+3的圖象形狀相同，但開口方向不同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣2）的拋物線解析式是三．解答題14．已知函數(shù)y＝（m+2）xm2+求：（1）滿足條件的m值；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)？求出此最低點(diǎn)，在這種情況下，當(dāng)x為何值時(shí)，y隨著x增大而增大？15．有一座橋，橋孔的形狀是一條開口向下的拋物線y＝﹣12x（1）畫出橋孔拋物草圖；（2）利用圖象求：當(dāng)水平線離開拋物線頂點(diǎn)2米時(shí)，水面的寬是多少米？（3）利用圖象求：當(dāng)水面寬為6米時(shí)，水平線離頂點(diǎn)的距離為多少米？（精確到0.1米）16．已知二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（12，18）、B（3，（1）求a與m的值；（2）當(dāng)﹣2＜x＜4時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍．17．不畫函數(shù)y＝﹣x2和y＝﹣x2+1的圖象，回答下面的問題：（1）拋物線y＝﹣x2+1經(jīng)過怎樣的平移才能得到拋物線y＝﹣x2？（2）函數(shù)y＝﹣x2+1，當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y有最大值，最大值y是；其圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．（3）試說出拋物線y＝x2﹣3的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．18．如圖所示，直線l經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和B（0，4）兩點(diǎn)，它與二次函數(shù)y＝ax2的圖象在第一象限內(nèi)交于P點(diǎn)，若△AOP的面積為4．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求二次函數(shù)的解析式；（3）能否將拋物線y＝ax2上下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A？如果能，請(qǐng)求出平移后的解析式；如果不能，請(qǐng)說明理由．19．如圖，已知拋物線y＝ax2+c過點(diǎn)（﹣2，2），（4，5），過定點(diǎn)F（0，2）的直線l；y＝kx+2與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的判斷．20．如圖，垂直于x軸的直線AB分別與拋物線C1：y＝x2（x≥0）和拋物線C2：y＝14x2（x≥0）交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作CD∥x軸分別與y軸和拋物線C2交于點(diǎn)C、D，過點(diǎn)B作BE∥x軸分別與y軸和拋物線C1交于點(diǎn)E、F，求S△OFB：S△EAD21．如圖，直線l過x軸上一點(diǎn)A（2，0），且與拋物線y＝ax2相交于B，C兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．（1）求直線AB的表達(dá)式及拋物線y＝ax2的表達(dá)式．（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)P（m，y1）在直線AB上，點(diǎn)Q（m，y2）在拋物線y＝ax2上．若y2＜y1，直接寫出m的取值范圍．（4）若拋物線上有一點(diǎn)D（在第一象限內(nèi)）使得S△AOD＝S△OBC，求D點(diǎn)坐標(biāo)．（5）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△POC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．如圖1，拋物線y＝ax2+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），且經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，若將拋物線y＝ax2+b中在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，x軸上方的圖象保持不變，就得到了函數(shù)y＝|ax2+b|，P是y＝|ax2+b|圖象上的任意一點(diǎn)，直線l是經(jīng)過（0，1）且平行于x軸的直線，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為D，猜想并探究：PO與PD的差是否為定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．23．如圖，已知拋物線y＝ax2+c過點(diǎn)（﹣4，5），（1，54）過定點(diǎn)F（0，2）的直線l：y＝kx+2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)D（a，0）在x軸上運(yùn)動(dòng)，連接FD，作FD的垂直平分線與過點(diǎn)D作x軸的垂線交于點(diǎn)I，判斷點(diǎn)I是否在拋物線y＝ax2+c，并證明你的判斷；（3）若k＝1，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PMF周長(zhǎng)最小，若存在求出周長(zhǎng)的最小值，若不存在說明理由；（4）若B（2+22，4+22），在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB的面積為42，若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在說明理由．答案一．單選題1．【詳解】解：A、由a＝﹣12B、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），此選項(xiàng)正確；C、對(duì)稱軸是直線x＝0，即y軸，此選項(xiàng)正確；D、在y軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在y軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．2．【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝ax2的對(duì)稱軸為y軸，∴若圖象經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（2，4）．故選：A．3．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2（a＞0），∴x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，∵﹣2＜﹣1＜0，∴y1＞y2＞0．故選：A．4．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2的對(duì)稱軸為y軸，點(diǎn)（x1，﹣7）和點(diǎn)（x2，﹣7）（x1≠x2）均在拋物線y＝ax2上，∴x＝x1+x2＝0，將x＝0代入y＝ax2，則y＝0．故選：A．5．【詳解】解：當(dāng)a＞0時(shí)，b＞0，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)交y軸的正半軸，且呈上升趨勢(shì)，沒有符合題意的選項(xiàng)；當(dāng)a＜0時(shí)，b＜0，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)交y軸的負(fù)半軸，且呈下降趨勢(shì)，A選項(xiàng)符合，B選項(xiàng)不符合．故選：A．6．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為為a，∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于6，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為6﹣a，∵點(diǎn)B在拋物線y＝x2的第一象限的圖象上，∴6﹣a＝a2，解得：a1＝﹣3（不合題意，舍去），a2＝2，∴6﹣a＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），如圖，連接OB，則OB＝22+4∵四邊形OABC是正方形，∴AC＝OB＝25．故選：C．7．【詳解】解：∵二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+3，∴二次函數(shù)y＝﹣x2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）．故選：B．8．【詳解】解：A、函數(shù)y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A錯(cuò)誤；B、函數(shù)y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正確；C、函數(shù)y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C錯(cuò)誤；D、函數(shù)y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D錯(cuò)誤．故選：B．二．填空題9．解：（1）∵y＝﹣14x2∴該圖象開口向下，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝0時(shí)，y有最小值，其值是0．故答案為：下，y軸，（0，0），減小，增大，0，小，0；（2）∵當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y3＜y1＜y2．故答案為：y3＜y1＜y2．10．【詳解】解：∵直線x＝1與四條拋物線的交點(diǎn)從上到下依次為（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），∴a＞b＞d＞c．11．【詳解】解：∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，∴y＝12×（﹣1）2＝12，y＝﹣14×（﹣1）2∴點(diǎn)A（﹣1，12），B（﹣1，﹣1∴AB＝12﹣（﹣14）＝根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，BC＝1×2＝2，陰影部分的面積＝12S矩形ABCD＝12×2×34故答案為：3412．【詳解】解：如圖，連接OB，∵四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，∴∠BOC＝45°，OB＝2，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，∵OC與x軸正半軸的夾角為15°，∴∠BOD＝45°﹣15°＝30°，∴BD＝12OB＝2OD＝22?2∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（62，﹣2∵點(diǎn)B在拋物線y＝ax2（a＜0）的圖象上，∴a（62）2＝﹣2解得：a＝﹣23故答案為：﹣2313．【詳解】解：∵形狀與拋物線y＝﹣12x2∴設(shè)拋物線的關(guān)系式為y＝12x2+k將頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣2）代入，解得：k＝﹣2，∴y＝12x2故答案為：y＝12x2三．解答題14．解：（1）∵函數(shù)y＝（m+2）xm2+∴m+2≠0m2+m?4=2，解得：即m的值是﹣3或2；（2）由（1）知，m＝﹣3或m＝﹣2，∴m+2＝﹣1或m+2＝4，∴當(dāng)m＝2時(shí)，y＝4x2，該拋物線有最低點(diǎn)，在這種情況下，該函數(shù)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大．15．解：（1）函數(shù)圖象如圖所示：（2）將y＝﹣2代入解析式得：﹣12x2＝﹣2，解得：x1＝﹣2，x2故水面的寬度＝2﹣（﹣2）＝4（米）；（3）由拋物線的對(duì)稱性可知：x1＝﹣3，x2＝3，將x＝3代入得：y＝﹣12×3216．解：（1）把A（12，18）代入y＝ax2得：a×（12）2＝18，解得：∴二次函數(shù)的解析式為y＝12x2把B（3，m）代入函數(shù)解析式得：m＝12×32＝9（2）x＝4時(shí)，y＝12×42＝8，x＝0時(shí)，y∴當(dāng)﹣2＜x＜4時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍0＜y＜8．17．解：（1）根據(jù)拋物線平移的知識(shí)可知：y＝﹣x2+1向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度才能得到拋物線y＝﹣x2；（2）函數(shù)y＝﹣x2+1，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減??；∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，∵當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)y有最大值，最大值y是1；其圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）；∵當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+1＝0，解得：x＝±1，∴與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，0），（1，0）．故答案為：＞0；＝0；1；（0，1）；（﹣1，0），（1，0）；（3）拋物線y＝x2﹣3開口向上，對(duì)稱軸為x＝0即y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）．18．解：（1）設(shè)直線l的解析式為：y＝kx+b，∵直線l過點(diǎn)A（4，0）和B（0，4）兩點(diǎn)，∴4k+b＝0，b＝4，∴k＝﹣1，b＝4，∴y＝﹣x+4，∵△AOP的面積為4，∴12×4×yp∴yp＝2，∴2＝﹣x+4，解得：x＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；（2）把點(diǎn)P（2，2）代入y＝ax2得：2＝a×（2）2，解得：a＝12∴二次函數(shù)的解析式為y＝12x2（3）能，理由如下：設(shè)將拋物線y＝12x2上下平移后的解析式為y＝12x2+把點(diǎn)A（4，0）代入得：y＝12×42+m，解得：m∴能將拋物線y＝ax2向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，平移后的解析式為：y＝12x219．解：（1）把點(diǎn)（﹣2，2），（4，5）代入y＝ax2+c得：4a+c∴拋物線解析式為y＝14x2（2）BF＝BC，證明：設(shè)B（x，14x2+1），而BC⊥x軸，F(xiàn)∴BC＝14x2+1，BF2＝x2+（14x2+1﹣2）2＝x2+（14x2﹣1）2＝（14x∴BF＝14x2∴BF＝BC．20．解：設(shè)點(diǎn)A、B橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)A縱坐標(biāo)為a2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為a2∵BE∥x軸，∴點(diǎn)F縱坐標(biāo)為a2∵點(diǎn)F是拋物線y＝x2上的點(diǎn)，∴點(diǎn)F橫坐標(biāo)為x＝y(tǒng)＝12a∵CD∥x軸，∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為a2，∵點(diǎn)D是拋物線y＝x2∴點(diǎn)D橫坐標(biāo)為x＝4y＝2a∴AD＝a，BF＝12a，CE＝34a2，OE＝14∴S△OFB：S△EAD＝（12?BF?OE）：（12?AD?CE）＝18×4故答案為：1621．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得a＝1，∴拋物線解析式為y＝x2，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（2，0），B（1，1）代入得：2k+b∴直線AB的解析式為y＝﹣x+2；（2）解方程組y=?x+2y=∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，4）；（3）若y2＜y1，m的取值范圍為﹣2＜m＜1；（4）S△COB＝S△COA﹣S△AOB＝12×2×4﹣1設(shè)D（t，t2）（t＞0），∵S△AOD＝S△COB，∴12?2?t2＝3，解得：t＝3或t＝﹣3∴D（3，3）；（5）由（2）可知：C（﹣2，4）、B（1，1），∴OC＝22+4①當(dāng)OC＝OP＝25時(shí)，P1（﹣25，0），P2（25，0）；②當(dāng)OP＝PC時(shí)，點(diǎn)P是線段OC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)．∵C（﹣2，4），∴OC中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣1，2），∴直線PD的解析式為：y＝12x+5則易得：P3（﹣5，0）；③當(dāng)OC＝PC＝25時(shí)，P4（﹣4，0）．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（﹣25，0），P2（25，0），P3（﹣5，0），P4（﹣4，0）．22．解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線解析式為y＝ax2﹣1，將點(diǎn)A（﹣2，0）代入得：4a﹣1＝0，解得：a＝14∴拋物線的解析式為y＝14x2（2）不一定是定值，理由如下：根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，翻折后的拋物線表達(dá)式為y＝﹣14x2①設(shè)點(diǎn)P（m，﹣14m2+1），則點(diǎn)D（m，1），即點(diǎn)P在AB之間的拋物線上時(shí)，即﹣2＜m由勾股定理得：OP＝m2+?14∵PD＝1﹣（﹣14m2+1）＝14m∴PO﹣PD＝1；②設(shè)點(diǎn)P（m，14m2﹣1），則點(diǎn)D（m，1），即點(diǎn)P在AB兩側(cè)的拋物線上，且m＞22或m＜﹣22由勾股定理得：OP＝m2+14m∵PD＝（14m2﹣1）﹣1＝14m∴PO﹣PD＝3；③設(shè)點(diǎn)P（m，14m2﹣1），則點(diǎn)D（m，1），即點(diǎn)P在AB兩側(cè)的拋物線上，且2＜m≤22或﹣22≤m由勾股定理得：OP＝m2+14m∵PD＝1﹣（14m2﹣1）＝2﹣14m∴PO﹣PD＝12m2∴PO﹣PD