2013年高考理科數(shù)學(xué)廣東卷-答案

9/92013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)(理科)答案解析一、選擇題1.【答案】D【解析】易得，，所以，故選D．【提示】根據(jù)并集的定義，直接寫答案即可．【考點(diǎn)】集合的基本運(yùn)算（補(bǔ)集）2.【答案】C【解析】是奇函數(shù)的為與，故選C．【提示】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷即可．【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷3.【答案】C【解析】對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選C．【提示】求出復(fù)數(shù)，確定其在復(fù)平面的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)式的運(yùn)算，復(fù)平面4.【答案】A【解析】，故選A．【提示】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列，求期望．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望5.【答案】B【解析】由三視圖可知，該四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為和的正方形，高為，故，故選B．【提示】通過(guò)給出的三視圖，得到四棱臺(tái)，求出四棱臺(tái)的體積．【考點(diǎn)】臺(tái)的體積，三視圖求幾何體的體積6.【答案】D【解析】若，，則不一定也可以平行或異面，若，，，則不一定，也可以垂直或異面，若，，則不一定，不符合面面垂直的判定定理，A，B，C是典型錯(cuò)誤命題，選D．【提示】在平面中，利用定理判定線線，線面，面面的平行和垂直．【考點(diǎn)】線線，線面，面面平行垂直的判定7.【答案】B【解析】依題意，，所以，從而，，故選B．【提示】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率大小，利用雙曲線的性質(zhì)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程8.【答案】B【解析】特殊值法，不妨令，，則，，故選B．如果利用直接法：因?yàn)椋?，所以①，②，③三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立；④，⑤，⑥三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立．配對(duì)后只有四種情況：第一種：①⑤成立，此時(shí)，于是，；第二種：①⑥成立，此時(shí)，于是，；第三種：②④成立，此時(shí)，于是，；第四種：③④成立，此時(shí)，于是，．綜合上述四種情況，可得，．故選B．【提示】描述法定義新集合，求集合間的基本關(guān)系．【考點(diǎn)】集合間的關(guān)系二、填空題9.【答案】【解析】易得不等式的解集為．【提示】直接求不等式解．【考點(diǎn)】解一元二次不等式10.【答案】【解析】求導(dǎo)得，依題意，所以．【提示】根據(jù)函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)，求導(dǎo)求斜率．【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義11.【答案】【解析】第一次循環(huán)后：；第二次循環(huán)后：；第三次循環(huán)后：；第四次循環(huán)后：；故輸出．【提示】給出框圖，分析框圖的邏輯關(guān)系以及計(jì)算步驟，求值．【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖12.【答案】【解析】依題意，所以．或：．【提示】根據(jù)等差數(shù)列的兩項(xiàng)和，利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)，求目標(biāo)式的值．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)．13.【答案】【解析】畫出可行域如圖所示，其中取得最小值時(shí)的整點(diǎn)為，取得最大值時(shí)的整點(diǎn)為，，，及共個(gè)整點(diǎn)．故可確定條不同的直線．【提示】給出不等式表示的約束條件，畫出可行域，找到目標(biāo)函數(shù)的最值整點(diǎn)，求滿足集合的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【考點(diǎn)】二元線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值14.【答案】【解析】曲線的普通方程為，其在點(diǎn)處的切線的方程為，對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)方程為，即．【提示】先將曲線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出直線方程，在建立極坐標(biāo)系，將直線方程化為極坐標(biāo)方程．【考點(diǎn)】坐標(biāo)系與參數(shù)方程，直線方程，導(dǎo)數(shù)的幾何意義15.【答案】【解析】依題意易知，所以，又，所以，從而．【提示】觀察圖形，根據(jù)已知條件，利用圓的性質(zhì)，通過(guò)相似三角形求距離．【考點(diǎn)】幾何證明選講三、解答題16.【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以，所以，所以．【提示】直接給出函數(shù)解析式，求函數(shù)值；給出角的余弦值，利用二倍角公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求目標(biāo)函數(shù)值．【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的的基本關(guān)系，二倍角17.【答案】（Ⅰ）22（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）樣本均值為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為，故推斷該車間名工人中有名優(yōu)秀工人．（Ⅲ）設(shè)事件：從該車間名工人中，任取人，恰有名優(yōu)秀工人，則．【提示】（Ⅰ）根據(jù)實(shí)際生活的例子以及莖葉圖，直接計(jì)算樣本的均值；（Ⅱ）利用莖葉圖推斷優(yōu)秀工人；（Ⅲ）直接通過(guò)莖葉圖求目標(biāo)事件的概率．【考點(diǎn)】莖葉圖，古典概型，排列組合及其應(yīng)用18.【答案】（Ⅰ）在圖1中，易得連結(jié)，在中，由余弦定理可得由翻折不變性可知，所以，所以，理可證，又，所以平面．（Ⅱ）傳統(tǒng)法：過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)，因?yàn)槠矫?，所以，所以為二面角的平面角．結(jié)合圖1可知，為中點(diǎn)，故，從而所以，所以二面角的平面角的余弦值為．向量法：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，解得，令，得由（Ⅰ）知，為平面的一個(gè)法向量，所以，即二面角的平面角的余弦值為．【提示】通過(guò)題設(shè)條件以及圖形，利用線線垂直，余弦定理證明線面垂直；利用各種判定定理，找到二面角的平面角，進(jìn)而求余弦值；或建立空間直角坐標(biāo)系將幾何問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題，利用空間向量及其運(yùn)算求值．【考點(diǎn)】空間直角坐標(biāo)系，空間向量及其運(yùn)算，二面角，線線，線面垂直的判定，余弦定理19.【答案】（Ⅰ）依題意，，又，所以；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，兩式相減得整理得，即，又故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)綜上，對(duì)一切正整數(shù)，有．【提示】已知數(shù)列前項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系式和首項(xiàng)，求第二項(xiàng)；根據(jù)題設(shè)條件，利用遞推公式求通項(xiàng)公式；通過(guò)放縮法直接證明不等式的大小．【考點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)，遞推公式求通項(xiàng)，間接證明20.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）依題意，設(shè)拋物線的方程為，由結(jié)合，解得．所以拋物線的方程為．（Ⅱ）拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得設(shè)，(其中)，則切線的斜率分別為，，所以切線的方程為，即，即同理可得切線的方程為因?yàn)榍芯€均過(guò)點(diǎn)，所以，所以，為方程的兩組解．所以直線的方程為．（Ⅲ）由拋物線定義可知，，所以聯(lián)立方程，消去整理得由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以又點(diǎn)在直線上，所以，所以所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為．【提示】利用點(diǎn)到直線的距離公式，求參數(shù)，解得拋物線的方程；通過(guò)對(duì)拋物線求導(dǎo)，以及導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)，根據(jù)兩直線的交點(diǎn)，聯(lián)立兩直線求直線方程；由直線與拋物線的位置關(guān)系得到關(guān)系式，求最小值．【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，直線方程，兩直線的交點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)，拋物線的定義21.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，令，得，當(dāng)變化時(shí)，的變化如下表：極大值極小值由表可知，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，．（Ⅱ）令，得，，令，則，所以在上遞增，所以，從而，所以所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以令，則，令，則所以在上遞減，而所以存在使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，