高考數(shù)學一輪復習選修部分幾何證明選講第2講直線與圓的位置關(guān)系知能訓練輕松闖關(guān)文北師大版選修4-1

第2講直線與圓的位置關(guān)系1．如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點F，連接CF并延長交AB于點E.(1)求證：E是AB的中點；(2)求線段BF的長．解：(1)證明：由題意知，AB與圓D和圓O相切，切點分別為A和B，由切割線定理有：EA2＝EF·EC＝EB2，所以EA＝EB，即E為AB的中點．(2)由BC為圓O的直徑，易得BF⊥CE，所以S△BEC＝eq\f(1,2)BF·CE＝eq\f(1,2)CB·BE，所以eq\f(BF,BE)＝eq\f(CB,CE)，所以BF＝eq\f(\r(5),5)a.2.(2015·高考全國卷Ⅰ)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E.(1)若D為AC的中點，證明：DE是⊙O的切線；(2)若OA＝eq\r(3)CE，求∠ACB的大小．解：(1)證明：如圖，連接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.連接OE，則∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切線．(2)設CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝2eq\r(3)，BE＝eq\r(12－x2).由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝eq\r(12－x2)，即x4＋x2－12＝0.解得x＝eq\r(3)，所以∠ACB＝60°.3.(2015·高考湖南卷)如圖，在⊙O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F，證明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.證明：(1)如圖所示，因為M，N分別是弦AB，CD的中點，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四邊形的內(nèi)角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四點共圓，故由割線定理即得FE·FN＝FM·FO.4.(2016·九江統(tǒng)考)如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD交⊙O于點E，連接AC、BC、OC、CE，延長AB交CD于F.(1)證明：BC＝CE；(2)證明：△BCF∽△EAC.證明：(1)因為CD為⊙O的切線，C為切點，AB為⊙O的直徑，所以OC⊥CD，又AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA＝∠CAE，又OC＝OA，所以∠OAC＝∠OCA，所以∠OAC＝∠CAE，所以BC＝CE.(2)由弦切角定理可知，∠FCB＝∠OAC，所以∠FCB＝∠CAE，因為四邊形ABCE為圓O的內(nèi)接四邊形，所以∠ABC＋∠CEA＝180°，又∠ABC＋∠FBC＝180°，所以∠FBC＝∠CEA，所以△BCF∽△EAC.1．(2016·西安地區(qū)八校聯(lián)考)如圖，圓O為四邊形ABCD的外接圓，AB＝BD.過點D作圓O的切線交AB延長線于點P，∠PBD的角平分線與DC的延長線交于點E.(1)若AB＝3，PD＝2eq\r(7)，求AD的長；(2)求證：BE2＝CE·DE.解：(1)PD為圓O的切線，PA為圓O的割線，故PD2＝PB·PA＝PB·(PB＋BA)，所以(2eq\r(7))2＝PB(PB＋3)，PB＝4.又∠A＝∠BDP，∠P＝∠P，所以△ADP∽△DBP，所以eq\f(AD,BD)＝eq\f(PD,PB)，AD＝eq\f(PD·DB,PB)＝eq\f(2\r(7)×3,4)＝eq\f(3\r(7),2).(2)證明：由已知：∠BCE＝∠A，∠PBD＝∠A＋∠BDA，而AB＝BD，故∠A＝∠BDA，所以∠PBD＝2∠A，又因為BE平分∠PBD，所以∠EBD＝∠A，所以∠BCE＝∠EBD，又∠BEC＝∠BED，所以△BEC∽△DEB，所以eq\f(BE,CE)＝eq\f(DE,BE)，BE2＝CE·DE.2．(2016·鄭州第一次質(zhì)量預測)如圖所示，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若AC＝BD，AB＝5，求弦DE的長．解：(1)證明：因為PG＝PD，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA，又因為∠EGA＝∠PGD，所以∠EGA＝∠DBA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，從而∠BDA＝∠PFA.又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB為圓的直徑．(2)連接BC，DC.由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，從而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因為∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.因為AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE為直角，所以ED為直徑，又由(1)知AB為圓的直徑，所以DE＝AB＝5.3.(2016·山西省質(zhì)檢)如圖，⊙O1與⊙O2交于C，D兩點，AB為⊙O1的直徑，連接AC并延長交⊙O2于點E，連接AD并延長交⊙O2于點F，連接FE并延長交AB的延長線于點G.(1)求證：GF⊥AG；(2)過點G作⊙O1的切線，切點為H，若G，C，D三點共線，GE＝1，EF＝6，求GH的長．解：(1)證明：連接BC，GD.因為AB是⊙O1的直徑，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＋∠CAB＝90°.由A，B，C，D四點共圓，得∠ABC＝∠FDC，由C，D，F(xiàn)，E四點共圓，得∠GEC＝∠FDC，所以∠GEC＝∠ABC，所以∠GEC＋∠CAB＝90°，所以∠EGA＝90°，即GF⊥AG.(2)因為GH為⊙O1的切線，GCD為⊙O1的割線，所以GH2＝GC·GD.又GCD，GEF為⊙O2的兩條割線，所以GC·GD＝GE·GF，所以GH2＝GE·GF＝7，所以GH＝eq\r(7).4.(2016·江西省調(diào)研)如圖，已知圓O和圓M相交于A，B兩點，AD為圓M的直徑，直線BD交圓O于點C，點G為圓弧BD的中點，連接AG分別交圓O、BD于點E，F(xiàn).連接CE.(1)求證：AG·EF＝CE·GD；(2)求證：eq\f(GF,AG)＝eq\f(EF2,CE2).證明：(1)連接AB，AC，GD，因為AD為圓M的直徑，所以∠AGD＝90°，∠ABD＝90°，則∠ABC＝90°，所以AC為圓O的直徑，所以∠CEA＝90°，所以∠CEF＝∠AGD＝90°，因為∠DFG＝∠CFE，所以∠ECF＝∠GDF，因為G為弧BD的中點，所以∠DAG＝∠GDF，所以∠DAG＝∠ECF，所以Rt△CEF∽Rt△AGD，所以eq\f(CE,EF)＝eq\f(AG,GD)，所以AG·EF＝CE·GD.(2)由(1)知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，所以Rt△DFG∽Rt△ADG，所以eq\f(DG