2019-2020學年高中數(shù)學課時分層作業(yè)1正弦定理1含解析蘇教版必修

PAGE課時分層作業(yè)(一)正弦定理(1)(建議用時：60分鐘)[基礎(chǔ)達標練]一、選擇題1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為()A.eq\r(3)＋1 B．2eq\r(3)＋1C．2eq\r(6) D．2＋2eq\r(3)C[由已知及正弦定理，得eq\f(4,sin45°)＝eq\f(b,sin60°)，∴b＝eq\f(4sin60°,sin45°)＝eq\f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq\r(6).]2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，則B等于()A．45°或135° B．135°C．45° D．以上答案都不對C[∵sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝45°或135°.但當B＝135°時，不符合題意，∴B＝45°，故選C.]3．在△ABC中，A>B，則下列不等式中不一定正確的是()A．sinA>sinB B．cosA<cosBC．sin2A>sin2B D．cos2A<cos2BC[A>B?a>b?sinA>sinB，A正確．由于(0，π)上，y＝cosx單調(diào)遞減，∴cosA<cosB，B正確．cos2A＝1－2sin2A.∵sinA>sinB>0，∴sin2A>sin2B，∴cos2A<cos2B，D正確．]4．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，則a∶b∶c等于()A．4∶1∶1 B．2∶1∶1C.eq\r(2)∶1∶1 D.eq\r(3)∶1∶1D[∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的變形公式得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝eq\f(\r(3),2)∶eq\f(1,2)∶eq\f(1,2)＝eq\r(3)∶1∶1.]5．在△ABC中，a＝bsinA，則△ABC一定是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形B[∵a＝bsinA，∴eq\f(a,b)＝sinA＝eq\f(sinA,sinB)，∴sinB＝1，又∵B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,2)，即△ABC為直角三角形．]二、填空題6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長等于________．eq\f(\r(6),3)[由三角形內(nèi)角和定理知：A＝75°，由邊角關(guān)系知B所對的邊b為最小邊，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6),3).]7．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，則b＝________.1[在△ABC中，∵sinB＝eq\f(1,2)，0<B<π，∴B＝eq\f(π,6)或B＝eq\f(5,6)π.又∵B＋C<π，C＝eq\f(π,6)，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2,3)π.∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝1.]8．在△ABC中，AB＝eq\r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，則AC＝________.2[由正弦定理可知eq\f(AB,sin[180°－75°＋45°])＝eq\f(AC,sin45°)，即eq\f(\r(6),sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得AC＝2.]三、解答題9．在△ABC中，A＝60°，sinB＝eq\f(1,2)，a＝3，求三角形中其它邊與角的大小．[解]由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即b＝eq\f(a·sinB,sinA)＝eq\f(3×\f(1,2),sin60°)＝eq\r(3).由于A＝60°，則B<120°，即B＝30°，則C＝90°，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(9＋3)＝2eq\r(3).綜上，b＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3)，B＝30°，C＝90°.10．在△ABC中，已知eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，試判斷△ABC的形狀．[解]令eq\f(a,sinA)＝k，由正弦定理得a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入已知條件，得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，即tanA＝tanB＝tanC.又A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC為等邊三角形．[能力提升練]1．在△ABC中，已知B＝60°，最大邊與最小邊的比為eq\f(\r(3)＋1,2)，則三角形的最大角為()A．60° B．75°C．90° D．115°B[不妨設(shè)a為最大邊，c為最小邊，由題意有eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，即eq\f(sinA,sin120°－A)＝eq\f(\r(3)＋1,2).整理得(3－eq\r(3))sinA＝(3＋eq\r(3))cosA.∴tanA＝2＋eq\r(3).又∵A∈(0°，120°)，∴A＝75°，故選B.]2．在△ABC中，a＝4，b＝eq\f(5,2)，5cos(B＋C)＋3＝0，則B的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5,6)πA[由5cos(B＋C)＋3＝0得cosA＝eq\f(3,5)，∵A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinA＝eq\f(4,5)，由正弦定理得eq\f(4,\f(4,5))＝eq\f(\f(5,2),sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2).又∵a>b，∴A>B，且A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴B必為銳角，∴B＝eq\f(π,6).]3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，則cosB＝________.eq\f(\r(5),4)[在△ABC中，因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(5),2)b，,A＝2B，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(\r(5),2)sinB，,sinA＝sin2B＝2sinBcosB，))所以cosB＝eq\f(\r(5),4).]4．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，則eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝________.2[∵A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(1,sin30°)＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，c＝2sinC，∴eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝2.]5．已知△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC＋eq\f(\r(3),2)c＝b.(1)求角A的大??；(2)若a＝1，b＝eq\r(3)，求c的值．[解](1)由acosC＋eq\f(\r(3),2)c＝b，得sinAcosC＋eq\f(\r(3),2)sinC＝sinB.因為sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以eq\f(\r(3),2)sinC＝cosAsinC.因為sinC≠0，所以cosA＝eq\f(\r(3),2).因為0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,