2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)8反證法與放縮法含解析新人教A版選修

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(八)反證法與放縮法(建議用時(shí)：45分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中，要把下列哪些作為條件使用()①結(jié)論相反的判斷，即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③C[由反證法的推理原理可知，反證法必須把結(jié)論的相反判斷作為條件應(yīng)用于推理，同時(shí)還可應(yīng)用原條件以及公理、定理、定義等．]2．用反證法證明命題“如果a＞b，那么eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是()A.eq\r(3,a)＝eq\r(3,b) B.eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)C.eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)且eq\r(3,a)＜eq\r(3,b) D.eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)D[應(yīng)假設(shè)eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)，即eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)＜eq\r(3,b).]3．對(duì)“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b與a＜b及a≠c中至少有一個(gè)成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立．其中判斷正確的個(gè)數(shù)為()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)C[對(duì)于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，則a＝b＝c，與已知矛盾，故①對(duì)；對(duì)于②，當(dāng)a＞b與a＜b及a≠c都不成立時(shí)，有a＝b＝c，不符合題意，故②對(duì)；對(duì)于③，顯然不正確．]4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，設(shè)M＝eq\f(8,27－27a)，N＝(a＋c)·(a＋b)，則()A．M≥N B．M≤NC．M>N D．M<NA[依題意易知1－a,1－b,1－c∈R＋，由均值不等式知eq\r(3,1－a1－b1－c)≤eq\f(1,3)[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝eq\f(2,3)，∴(1－a)(1－b)(1－c)≤eq\f(8,27)，從而有eq\f(8,271－a)≥(1－b)(1－c)，即M≥N，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時(shí)，取等號(hào)．故選A.]5．設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A．至少有一個(gè)不大于2B．都小于2C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2C[∵a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥2＋2＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)等號(hào)成立，∴a，b，c三者中至少有一個(gè)不小于2.]二、填空題6．若要證明“a，b至少有一個(gè)為正數(shù)”，用反證法的反設(shè)應(yīng)為_(kāi)_______．[答案]a，b中沒(méi)有任何一個(gè)為正數(shù)(或a≤0且b≤0)7．lg9·lg11與1的大小關(guān)系是________．[解析]∵lg9＞0，lg11＞0，∴eq\r(lg9·lg11)＜eq\f(lg9＋lg11,2)＝eq\f(lg99,2)＜eq\f(lg100,2)＝1，∴l(xiāng)g9·lg11＜1.[答案]lg9·lg11＜18．設(shè)M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)，則M與1的大小關(guān)系為_(kāi)_______．[解析]∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，∴M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)＜eq\f(1,210)＋eq\f(1,210)＋…＋eq\f(1,210)＝1.[答案]M＜1三、解答題9．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b[解]2a＋b＝2a＋2b≥2eq\r(2a＋b)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，即2a＋b≥4時(shí)取“＝”，由2a＋2b＋2c＝2a＋b得2a＋b＋2c＝2a＋b∴2c＝eq\f(2a＋b,2a＋b－1)＝1＋eq\f(1,2a＋b－1)≤1＋eq\f(1,4－1)＝eq\f(4,3)，故c≤log2eq\f(4,3)＝2－log23.10．已知n∈N＋，求證：eq\f(nn＋1,2)<eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(nn＋1)<eq\f(n＋12,2).[證明]k<eq\r(kk＋1)<eq\f(k＋k＋1,2)＝eq\f(1,2)(2k＋1)(k＝1,2，…，n)．若記Sn＝eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(nn＋1)，則Sn>1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，Sn<eq\f(1,2)(3＋5＋…＋2n＋1)＝eq\f(1,2)(n2＋2n)<eq\f(n＋12,2).[能力提升練]1．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)為偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為()A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)D[三個(gè)自然數(shù)的奇偶情況有“三偶、三奇、兩偶一奇、兩奇一偶”4種，而自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)為偶數(shù)包含“兩奇一偶”的情況，故反面的情況有3種，只有D項(xiàng)符合．]2．設(shè)x，y都是正實(shí)數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，則()A．x＋y≥2(eq\r(2)＋1) B．xy≤eq\r(2)＋1C．x＋y≤(eq\r(2)＋1)2 D．xy≥2(eq\r(2)＋1)A[由已知(x＋y)＋1＝xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.∵x，y都是正實(shí)數(shù)，∴x＞0，y＞0，∴x＋y≥2eq\r(2)＋2＝2(eq\r(2)＋1)．]3．已知a＞2，則loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)．[解析]∵a＞2，∴l(xiāng)oga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0.又loga(a－1)≠loga(a＋1)，∴eq\r(logaa－1logaa＋1)＜eq\f(logaa－1＋logaa＋1,2)，而eq\f(logaa－1＋logaa＋1,2)＝eq\f(1,2)loga(a2－1)＜eq\f(1,2)logaa2＝1，∴l(xiāng)oga(a－1)loga(a＋1)＜1.[答案]＜4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2·an(n∈N＋)，(1)求a2，a3，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝eq\f(n,an)，求證：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜eq\f(7,10).[解](1)∵a1＝2，an＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\s\up16(2)·an(n∈N＋)，∴a2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1)))eq\s\up16(2)·a1＝16，a3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\s\up16(2)·a2＝72.又∵eq\f(an＋1,n＋12)＝2·eq\f(an,n2)，n∈N＋，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n2)))為等比數(shù)列．∴eq\f(an,n2)＝eq\f(a1,12)·2n－1＝2n，∴an＝n2·2n.(2)證明：cn＝eq\f(n,an)＝eq\f(1,n·2n)，∴c1＋c2＋c3＋…＋cn＝eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·22)＋eq\f(1,3·23)＋…＋eq\f(1,n·2n)＜eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,24)＋eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,24)＋\f(1,25)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)·eq\f(\f(1,24)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a