2015年高考文科數(shù)學(xué)北京卷-答案

7-1-/NUMPAGES72015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)(文科)答案解析第Ⅰ卷一、選擇題1.【答案】A【解析】.故選A.【提示】在數(shù)軸上，將集合A，B表示出來，如圖所示：由交集的定義可得，為圖中陰影部分，即.【考點】集合的交集運算2.【答案】D【解析】由已知得，圓心為，半徑為，圓的方程為.故選D.【提示】由題意可得圓的半徑為，則圓的標準方程為.【考點】圓的標準方程3.【答案】B【解析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，A選項為奇函數(shù)，B選項為偶函數(shù)，C選項定義域為不具有奇偶性，D選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故選B.【提示】函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，與為非奇非偶函數(shù).【考點】函數(shù)的奇偶性4.【答案】C【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.【提示】根據(jù)題意，可先求出總體中青年教師與老年教師比例，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等即可得出結(jié)論?！究键c】分層抽樣5.【答案】B【解析】初值為，，進入循環(huán)體后，，；，；，；，；此時，退出循環(huán)，故.【提示】通過循環(huán)框圖，計算循環(huán)變量的值，當時結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果即可.【考點】程序框圖6.【答案】A【解析】，，即，.又當時，還可能是，，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選A.【提示】，由已知得，即，.而當時，還可能是，此時，故“”是“”的充分而不必要條件.【考點】充分必要條件，向量共線7.【答案】C【解析】四棱錐的直觀圖如圖所示：平面，是四棱錐最長的棱，.【提示】由三視圖可知，平面，是四棱錐最長的棱，通過勾股定理即可得出結(jié)論.【考點】三視圖8.【答案】B【解析】由題意知，耗油量升，所以這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為升，故選B.【提示】因為第一次郵箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時間內(nèi)的耗油量，故耗油量升.而這段時間內(nèi)行駛的里程數(shù)千米.【考點】平均耗油量第Ⅱ卷二、填空題9.【答案】【解析】復(fù)數(shù)，其實部為.【提示】直接進行計算即可得到答案.【考點】復(fù)數(shù)的乘法運算與實部10.【答案】【解析】，，，所以最大.【提示】將數(shù)化成簡單的數(shù)并與1比較即可得到答案.【考點】比較大小11.【答案】【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以.【提示】由正弦定理，得，將已知數(shù)值代入即可得到答案.【考點】正弦定理12.【答案】【解析】由題意知，，，所以.【提示】由題意知，，代入即可得到答案.【考點】雙曲線的焦點13.【答案】7【解析】由題圖可知，目標函數(shù)，因此當，，即在點A處時z取得最大值7.【提示】由題圖可知，將，代入目標函數(shù)即可得到答案.【考點】線性規(guī)劃14.【答案】乙數(shù)學(xué)【解析】①由圖可知，甲的語文成績排名比總成績排名靠后；而乙的語文成績排名比總成績排名靠前，故填乙.②由圖可知，比丙的數(shù)學(xué)成績排名還靠后的人比較多；而總成績的排名中比丙排名靠后的人數(shù)比較少，所以丙的數(shù)學(xué)成績的排名更靠前，故填數(shù)學(xué).【提示】①由圖可知，甲的語文成績排名比總成績排名靠后；而乙的語文成績排名比總成績排名靠前；由圖可知，比丙的數(shù)學(xué)成績排名還靠后的人比較多；而總成績的排名中比丙排名靠后的人數(shù)比較少.【考點】散點圖三、解答題15.【答案】（Ⅰ），的最小正周期為.（Ⅱ），.當，即時，取得最小值.在區(qū)間上的最小值為.【提示】（Ⅰ）先利用倍角公式降冪，再利用兩角和的正弦公式將化簡，使之化簡成的形式，最后利用計算函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）將的取值范圍代入，先求出的范圍，再數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)的最小值.【考點】倍角公式，兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的周期，三角函數(shù)的最值16.【答案】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為D.因為，所以.又因為，所以，故，所以；（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因為，，所以，，所以.由，得，所以與數(shù)列的第63項相等.【提示】（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項公式，將，，，轉(zhuǎn)化成和，解方程得到和的值，直接寫出等差數(shù)列的通項公式即可；（Ⅱ）先利用第一問的結(jié)論得到和的值，再利用等比數(shù)列的通項公式，將和轉(zhuǎn)化為和，解出和的值，得到的值，再代入到上一問等差數(shù)列的通項公式中，解出的值，即項數(shù).【考點】等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式17.【答案】（Ⅰ）從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為；（Ⅱ）從統(tǒng)計表可以看出，在在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為；（Ⅲ）與（Ⅰ）同理，可得：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為，顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為，顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為，所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.【提示】（Ⅰ）由統(tǒng)計表讀出顧客同時購買乙和丙的人數(shù)200，計算出概率；（Ⅱ）先由統(tǒng)計表讀出顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的人數(shù)100+200，再計算概率；（Ⅲ）由統(tǒng)計表讀出顧客同時購買甲和乙的人數(shù)為200，顧客同時購買甲和丙的人數(shù)為100+200+300，顧客同時購買甲和丁的人數(shù)為100，分別計算出概率，再通過比較大小得出結(jié)論.【考點】統(tǒng)計表，概率18.【答案】（Ⅰ）因為，分別為，的中點，所以.又因為平面，所以平面；（Ⅱ）因為，為的中點，所以.又因為平面平面，且平面，所以平面，所以平面平面.（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以，，所以等邊三角形的面積.又因為平面，所以三棱錐的體積等于.又因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為.【提示】（Ⅰ）在三角形中，利用中位線的性質(zhì)得，最后直接利用線面平行的判定得到結(jié)論；（Ⅱ）先在三角形中得到，再利用面面垂直的性質(zhì)得平面，最后利用面面垂直的判定得出結(jié)論；（Ⅲ）將三棱錐進行等體積轉(zhuǎn)化，利用，先求出三角形的面積，由于平面，所以O(shè)C為錐體的高，利用錐體的體積公式計算出體積即可.【考點】線線平行，線面平行，面面平行，線線垂直，線面垂直，面面垂直，三棱錐的體積公式19.【答案】（Ⅰ）由，得，由得解與在區(qū)間上的情況如下：↘↗所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在處取得極小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.因為存在零點，所以，從而.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間上僅有一個零點.綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.【提示】（Ⅰ）先對求導(dǎo)，令解出，將函數(shù)的定義域斷開，列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，所以由表格知當時，函數(shù)取得極小值，同時也是最小值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的表，知為函數(shù)的最小值，如果函數(shù)有零點，只需最小值，從而解出，下面再分情況分析函數(shù)有幾個零點.【考點】導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值，函數(shù)零點問題20.【答案】（Ⅰ）橢圓的標準方程為，所以，，，所以橢圓的離心率.（Ⅱ）因為過點且垂直于軸，所以可設(shè)，，直線的方程為，令，得，所以直線的斜率.（Ⅲ）當直線的斜率不存在時，由（Ⅱ）可知，又因為直線的斜率，所以.當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè)，，則直線的方程為，令，得點，由，得，所以，.直線的斜率，因為所以，所以.綜上可知，直線與直線平行.【提示】（Ⅰ）先將橢圓方程化為標準方程，得到，，的值，再利用計算離心率；（Ⅱ）由直線AB的特殊位置，設(shè)出A，B點坐標，設(shè)出直線AE的方程，由于直線AE與x=3相交于M點，所以得到M點坐標，利