高中數(shù)學(xué) 2-1-3推理案例賞析規(guī)范訓(xùn)練 蘇教版選修1-2

2.1.3雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘1．下面幾種推理是合情推理的是__________．①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則該教室內(nèi)的所有椅子都?jí)牧?；④三角形?nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n－2)×180°.解析①是類比推理，②④是歸納推理．答案①②④2．觀察以下不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，由以上各式歸納可得出的一般結(jié)論為________．答案1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(2n－1,n)(n≥2，n∈N*)3．已知圓的方程為x2＋y2＝a2，則圓的面積為πa2.類比上述結(jié)論，可得橢圓的類似結(jié)論為________________．答案橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則橢圓的面積為πab4．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為________．解析beq\o\al(2,5)＝b1b9＝b2b8＝b3b7＝b4b6，在等差數(shù)列中2a5＝a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6所以有a1＋a2＋…＋a9＝2×9.答案a1＋a2＋…＋a9＝2×95．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N＋)．計(jì)算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，推測(cè)當(dāng)n≥2時(shí)，有__________．解析f(21)＝eq\f(3,2)，f(22)>2＝eq\f(4,2)，f(23)>eq\f(5,2)，f(24)>eq\f(6,2)即f(2n)≥eq\f(n＋2,2).答案f(2n)>eq\f(n＋2,2)6．如圖所示，在三棱錐S-ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分別為α1、α2、α3，三側(cè)面△SBC，△SAC，△SAB面積分別為S1，S2，S3，類比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個(gè)猜想．解在△DEF中，由正弦定理，得eq\f(d,sinD)＝eq\f(e,sinE)＝eq\f(f,sinF).于是，類比三角形中的正弦定理，在四面體S－ABC中，我們猜想eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)成立．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)30分鐘)7．如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)eq\o(FB,\s\up8(→))⊥eq\o(AB,\s\up8(→))時(shí)，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝________.解析由題意，得b2＋c2＋c2＝(c＋a)2，即c2－ac－a2＝0，所以e2－e－1＝0，又e>1，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2).答案eq\f(\r(5)＋1,2)8．下列圖形中的線段有規(guī)則地排列，猜出第6個(gè)圖形中線段的條數(shù)為__________．解析第1個(gè)圖只有一條線段，則第2個(gè)圖比第1個(gè)圖增加4條線段，即線段上的端點(diǎn)上各增加2條，第3個(gè)圖比第2個(gè)圖增加8條線段，第4個(gè)圖比第3個(gè)圖增加2×8＝24條線段，則第6個(gè)圖中線段數(shù)為1＋22＋23＋24＋25＋26＝125.答案1259．設(shè)題中字母均為正數(shù)，由下列恒等式：①a·eq\f(1,a)＝1；②(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；③(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥9.可以歸納出的一般結(jié)論是______________．答案(a1＋a2＋…＋an)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋…＋\f(1,an)))≥n2(ai∈R＋，i＝1,2，…n)10．半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2，周長(zhǎng)C(r)＝2πr，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(πr2)′＝2πr①，①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)．對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于①的式子：_________________________________②，②式可以用語言敘述為：_____________.解析半徑為R的球，體積V(R)＝eq\f(4,3)πR3，表面積S＝4πR2，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))′＝4πR2.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))′＝4πR2球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)11．觀察①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上兩式成立得到一個(gè)由特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣．解觀察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推廣為α＋β＋γ＝eq\f(π,2)且α，β，γ都不為kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，則tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.證明：①γ＝0時(shí)，等式顯然成立．②當(dāng)γ≠0時(shí)，由α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，得α＋β＝eq\f(π,2)－γ，所以tan(α＋β)＝eq\f(1,tanγ).又因?yàn)閠an(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，所以tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝eq\f(1,tanγ)(1－tanαtanβ)，所以tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝tanαtanβ＋tanγ(tanα＋tanβ)＝tanαtanβ＋tanγ·eq\f(1,tanγ)·(1－tanαtanβ)＝1.綜上所述，等式成立．12．觀察下列算式，猜測(cè)此表提供的一般法則，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子表示，并加以證明．1＝1，3＋5＝8，7＋9＋11＝27，13＋15＋17＋19＝64，21＋23＋25＋27＋29＝125，……解數(shù)表中每行的每一項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為{an},1,3,7,13,21，…，其構(gòu)成規(guī)律是a1＝1，an－an－1＝2(n－1)(n≥2，n∈N)∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2[1＋2＋…＋(n－1)]＝1＋n(n－1)＝n2－n＋1.因此，此表反應(yīng)的一般規(guī)律可表示為：(n2－n＋1)＋[(n2－n＋1)＋2]＋[(n2－n＋1)＋4]＋…＋[(n2－n＋1)＋2(n－1)]＝n3.13．(創(chuàng)新拓展)設(shè)N＝，通過對(duì)n＝1,2,3等的研究，你能得到什么結(jié)果？歸納出一般結(jié)論，并加以證明．證明n＝2時(shí)，N＝eq\r(1111－22)＝eq\r(11×102＋11－22)＝eq\r(11