高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第4講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)文北師大版

PAGE第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．在直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓與直線x－eq\r(3)y－4＝0相切，則圓O的方程為()A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝3C．x2＋y2＝2D．x2＋y2＝1解析：選A.依題意，圓O的半徑r等于原點O到直線x－eq\r(3)y－4＝0的距離，即r＝eq\f(4,\r(1＋3))＝2，得圓O的方程為x2＋y2＝4.2．(2016·泉州質(zhì)檢)若直線3x－4y＝0與圓x2＋y2－4x＋2y－7＝0相交于A，B兩點，則弦AB的長為()A．2 B．4C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：選D.圓x2＋y2－4x＋2y－7＝0的標準方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝12，則圓心為(2，－1)，半徑r＝2eq\r(3)，又圓心到直線3x－4y＝0的距離d＝eq\f(|6＋4|,5)＝2，所以弦AB的長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(12－4)＝4eq\r(2).3．(2016·甘肅省診斷考試)已知圓O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，則兩圓的位置關(guān)系是()A．內(nèi)含 B．內(nèi)切C．相交 D．外切解析：選C.由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圓心坐標為(a，b)，半徑為2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圓心坐標為(a＋1，b＋2)，半徑為1，所以兩圓圓心之間的距離為|O1O2|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，因為|2－1|＝1＜eq\r(5)＜2＋1＝3，所以兩圓相交，故選C.4．(2015·高考安徽卷)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12解析：選D.法一：由3x＋4y＝b，得y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(b,4)，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化簡得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圓心坐標為(1，1)，半徑為1，所以eq\f(|3×1＋4×1－b|,\r(32＋42))＝1，解得b＝2或12.5．(2016·唐山模擬)已知圓C：x2＋y2＝1，點M(t，2)，若C上存在兩點A，B滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則t的取值范圍是()A．[－2，2] B．[－3，3]C．[－eq\r(5)，eq\r(5)] D．[－5，5]解析：選C.如圖，連接OM交圓于點D.因為eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A是MB的中點，因為圓x2＋y2＝1的直徑是2，所以MA＝AB≤2.又因為MD≤MA，OD＝1，所以O(shè)M≤3.即點M到原點的距離小于等于3，所以t2＋4≤9，所以－eq\r(5)≤t≤eq\r(5).6．(2016·重慶一模)已知P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k＞0)上一點，PA是圓C：x2＋y2－2y＝0的一條切線，A是切點，若PA的最小長度為2，則k的值為()A．3 B.eq\f(\r(21),2)C．2eq\r(2) D．2解析：選D.圓C：x2＋y2－2y＝0的圓心是(0，1)，半徑是r＝1，因為PA是圓C：x2＋y2－2y＝0的一條切線，A是切點，PA的最小長度為2，所以圓心到直線kx＋y＋4＝0的距離為eq\r(5)，由點到直線的距離公式可得eq\f(|1＋4|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，因為k＞0，所以k＝2，故選D.7．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋(y－3)2＝2，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ長的取值范圍為________．解析：設(shè)A(a，0)，由題意可得A，P，C，Q四點共圓，且AC是該圓的一條直徑，記該圓的圓心為D，則圓D的方程為x2＋y2－ax－3y＝0.易知PQ是圓C和圓D的公共弦，又圓C的方程為x2＋y2－6y＋7＝0，所以兩圓方程相減可得PQ：ax－3y＋7＝0，則圓心C到直線PQ的距離d＝eq\f(2,\r(a2＋9))，又a2≥0，所以d∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))，所以|PQ|＝2eq\r(2－d2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，2\r(2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，2\r(2)))8．(2016·云南省統(tǒng)一檢測)已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的圖像在切點P(1，－2)處的切線與圓(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________解析：由題意得f(1)＝－2?a－2b＝－3，又因為f′(x)＝3x2＋a，所以f(x)的圖像在點(1，－2)處的切線方程為y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，所以eq\f(|（3＋a）×2＋4－a－5|,\r(（3＋a）2＋1))＝eq\r(5)?a＝－eq\f(5,2)，所以b＝eq\f(1,4)，所以3a＋2b答案：－79．(2016·太原模擬)已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是________．解析：四邊形PACB的面積可表示為S＝2×eq\f(1,2)×|PA|×1＝|PA|＝eq\r(|PC|2－1)，故當|PC|最小時，四邊形PACB的面積最小．而|PC|的最小值是點C到直線3x＋4y＋8＝0的距離，此時|PC|＝3，故Smin＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)10．過直線x＋y－2eq\r(2)＝0上的點P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點P的坐標是________．解析：因為點P在直線x＋y－2eq\r(2)＝0上，所以可設(shè)點P(x0，－x0＋2eq\r(2))，且其中一個切點為M.因為兩條切線的夾角為60°，所以∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有|OP|＝2|OM|＝2.由兩點間的距離公式得|OP|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋（－x0＋2\r(2)）2)＝2，解得x0＝eq\r(2).故點P的坐標是(eq\r(2)，eq\r(2))．答案：(eq\r(2)，eq\r(2))11．已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程．(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)過切點A(4，－1)．解：(1)設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0，則eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10)，所以b＝1±2eq\r(5)，所以切線方程為x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，則eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10)，所以m＝±5eq\r(2)，所以切線方程為2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)因為kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3)，所以過切點A(4，－1)的切線斜率為－3，所以過切點A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.1．(2016·南昌模擬)已知過定點P(2，0)的直線l與曲線y＝eq\r(2－x2)相交于A，B兩點，O為坐標原點，當S△AOB＝1時，直線l的傾斜角為()A．150° B．135°C．120° D．不存在解析：選A.由y＝eq\r(2－x2)得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原點O為圓心，以eq\r(2)為半徑的半圓，其圖像如圖所示．設(shè)過點P(2，0)的直線為y＝k(x－2)，則圓心到此直線的距離d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，弦長|AB|＝2eq\r(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2k|,\r(1＋k2))))\s\up12(2))＝2eq\r(\f(2－2k2,1＋k2))，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(|2k|,\r(1＋k2))×2eq\r(\f(2－2k2,1＋k2))＝1，解得k2＝eq\f(1,3)，由圖可得k＝－eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(3),3)應(yīng)舍去))，故直線l的傾斜角為150°.2．(2015·高考全國卷Ⅰ)已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．(1)求k的取值范圍；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O為坐標原點，求|MN|.解：(1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1.因為直線l與圓C交于兩點，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))＜1，解得eq\f(4－\r(7),3)＜k＜eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(4（1＋k）,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8.由題設(shè)可得eq\f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1.故圓心C在直線l上，所以|MN|＝2.3．已知曲線C的方程為：ax2＋ay2－2a2x－4y＝0(a≠0，a(1)判斷曲線C的形狀；(2)設(shè)曲線C分別與x軸，y軸交于點A，B(A，B不同于原點O)，試判斷△AOB的面積S是否為定值？并證明你的判斷；(3)設(shè)直線l：y＝－2x＋4與曲線C交于不同的兩點M，N，且|OM|＝|ON|，求曲線C的方程．解：(1)將曲線C的方程化為x2＋y2－2ax－eq\f(4,a)y＝0?(x－a)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,a)))eq\s\up12(2)＝a2＋eq\f(4,a2)，可知曲線C是以點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,a)))為圓心，以eq\r(a2＋\f(4,a2))為半徑的圓．(2)△AOB的面積S為定值．證明如下：在曲線C的方程中令y＝0，得ax(x－2a)＝0，得點A(2a，0在曲線C方程中令x＝0，得y(ay－4)＝0，得點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,a)))，所以S＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·|2a|·eq\