2023-2024學(xué)年天津市津衡高級中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

2023-2024學(xué)年天津市津衡高級中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每小題5分，共60分）1．若復(fù)數(shù)z滿足zi＝i﹣1，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．已知空間向量，且共線，則λ＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．43．已知空間向量＝（1，﹣1．﹣2），＝（0，1，x），＝（2，0，0），若，，共面，則實數(shù)x等于（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或04．?dāng)?shù)據(jù)5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位數(shù)為（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.55．下列說法中正確的是（）A．＝k表示過點P1（x1，y1），且斜率為k的直線方程 B．直線y＝kx+b與y軸交于一點B（0，b），其中截距b＝|OB| C．在x軸和y軸上的截距分別為a與b的直線方程是+＝1 D．方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示過點P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線6．已知過坐標(biāo)原點的直線l的方向向量，則點P（1，2，3）到直線l的距離是（）A．2 B． C． D．7．已知，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A．（1，1，0） B．（1，2，0） C．（2，2，0） D．（1，1，1）8．在△ABC中，D是BC中點，AB＝2，BC＝3，AC＝4，則＝（）A． B． C． D．9．已知點A（2，3），B（3，﹣1），若直線l過點P（0，1）且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A．或k≥1 B．或0≤k≤1 C．或k≥1 D．10．一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體本塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．事件A與事件B互斥 C．事件A與事件B相互獨立 D．11．如圖，正六邊形ABCDEF中，，，則＝（）A． B． C． D．12．已知圓臺的上、下底面半徑分別為2cm，12cm，側(cè)面積等于280πcm2，若存在一個在圓臺內(nèi)部可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，那么該正方體的體積取最大值時，正方體的棱長為（）A．16cm B． C． D．8cm二、填空題（每小題5分，共30分）13．已知復(fù)數(shù)z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則a的取值范圍是．14．如果直線l1：6x+4y+7＝0與直線l2：ax﹣3y﹣1＝0垂直，則a＝．15．設(shè)＝（x，3），＝（2，﹣1），若與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是．16．一次考試，小明數(shù)學(xué)超過90分的概率是0.8，物理超過90分的概率是0.7，兩門都超過90分的概率是0.6，則他的數(shù)學(xué)和物理至少有一門超過90分的概率是．17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，，則該三角形的外接圓直徑2R＝．18．平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，動點P在直線CD1上運動，則的最小值為．三、解答題（19題每題10分，20-22題每題12分，23題14分，共60分）19．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知3cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求cosC的值；（2）若c＝2，△ABC的面積為，求△ABC的周長．20．當(dāng)我們沉浸在游戲世界中時，很容易忽視時間的流逝，甚至忘記自己的學(xué)業(yè)和生活．一些大學(xué)生因為過度沉迷網(wǎng)絡(luò)游戲，導(dǎo)致學(xué)業(yè)成績下滑，身體健康狀態(tài)也受到影響．長時間盯著電腦屏幕，不僅會導(dǎo)致視力下降，還可能引發(fā)頸椎病等健康問題．更為嚴(yán)重的是，過度依賴虛擬世界的社交可能會削弱我們在現(xiàn)實生活中的社交能力，造成人與人之間的疏離感．某大學(xué)心理機構(gòu)為了向大學(xué)生宣傳沉迷網(wǎng)絡(luò)游戲的危害，該機構(gòu)隨機選擇了200位沉迷網(wǎng)絡(luò)的大學(xué)生進行宣傳，將這些大學(xué)生每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時間分成五段：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]（單位：小時），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）請估計這200位大學(xué)生每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的平均時間（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值代替）；（3）現(xiàn)在從[2，4）和[4，6）兩組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行交流，求這2人每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時間所在區(qū)間不同的概率．21．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為3的正方形，點P為棱DD1的中點，PC⊥PB1．（1）求AA1的長度；（2）求點D到平面PB1C的距離．22．已知直線l：kx﹣y+1+2k＝0．（1）證明：直線l過定點；（2）若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，試求S的最小值并求出此時直線l的方程．23．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，點M在PD上．（Ⅰ）求證：AB⊥PC；（Ⅱ）求異面直線PB與DC所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣AC﹣D的平面角的大小為45°，求直線BM與平面PAC所成角的正弦值．

參考答案一、單選題（每小題5分，共60分）1．若復(fù)數(shù)z滿足zi＝i﹣1，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義化簡求解即可．解：因為zi＝i﹣1，所以z＝，所以虛部為1．故選：A．2．已知空間向量，且共線，則λ＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【分析】運用空間向量共線坐標(biāo)公式列方程計算即可．解：因為共線，則存在實數(shù)t，使得，則，解得，即λ＝2．故選：B．3．已知空間向量＝（1，﹣1．﹣2），＝（0，1，x），＝（2，0，0），若，，共面，則實數(shù)x等于（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或0【分析】根據(jù)共面向量基本定理即可求出x的值．解：∵不共線，共面，∴存在實數(shù)λ，μ，使，∴，解得x＝2．故選：A．4．?dāng)?shù)據(jù)5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位數(shù)為（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【分析】利用百分位數(shù)的求解公式即可求解．解：數(shù)據(jù)從小到大排列：4，4，5，6，7，7，8，9，9，9，因為10×60%＝6，所以10個數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第6和第7的平均數(shù)，即為＝7.5．故選：B．5．下列說法中正確的是（）A．＝k表示過點P1（x1，y1），且斜率為k的直線方程 B．直線y＝kx+b與y軸交于一點B（0，b），其中截距b＝|OB| C．在x軸和y軸上的截距分別為a與b的直線方程是+＝1 D．方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示過點P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線【分析】分別由直線的點斜式方程、直線在y軸上的截距、直線的截距式方程、兩點式方程的變形式逐一核對四個選項得答案．解：對于A，表示過點P1（x1，y1）且斜率為k的直線方程不正確，不含點P1（x1，y1），故A不正確；對于B，截距不是距離，是B點的縱坐標(biāo)，其值可正可負(fù)．故B不正確；對于C，經(jīng)過原點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是0，不能表示為+＝1，故C不正確；對于D，此方程即直線的兩點式方程變形，即（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1），故D正確．∴正確的是：D．故選：D．6．已知過坐標(biāo)原點的直線l的方向向量，則點P（1，2，3）到直線l的距離是（）A．2 B． C． D．【分析】求出投影向量的模長，利用勾股定理即可求解．解：由題意可知，在直線l上的投影向量的模長為，所以點P（1，2，3）到直線l的距離是，故點P（1，2，3）到直線l的距離是．故選：D．7．已知，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A．（1，1，0） B．（1，2，0） C．（2，2，0） D．（1，1，1）【分析】根據(jù)投影向量的概念求解即可．解：，則向量在上的投影向量為：．故選：C．8．在△ABC中，D是BC中點，AB＝2，BC＝3，AC＝4，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用余弦定理求出cos∠BAC，再計算?的值．解：△ABC中，D是BC中點，AB＝2，BC＝3，AC＝4，則cos∠BAC＝＝＝，?＝（+）?＝+?＝×4+×2×4×＝．故選：B．9．已知點A（2，3），B（3，﹣1），若直線l過點P（0，1）且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A．或k≥1 B．或0≤k≤1 C．或k≥1 D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，即可求解．解：A（2，3），B（3，﹣1），P（0，1），則，kPB＝，直線l過點P（0，1）且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是．故選：D．10．一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體本塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．事件A與事件B互斥 C．事件A與事件B相互獨立 D．【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式分析A，由互斥事件的定義分析B，由相互獨立事件的定義分析C，由概率的性質(zhì)分析D，綜合可得答案．解：根據(jù)題意，第一次向下的數(shù)字為m，第二次向下的數(shù)字為n，用（m，n）表示兩次向下的數(shù)字，依次分析選項：對于A，事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，P（A）＝＝，A錯誤；對于B，事件A、B可以同時發(fā)生，如事件（2，1），故事件A、B不是互斥事件，B錯誤；對于C，事件B有（1，2）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，3），共8個基本事件，則P（B）＝＝事件AB有四個基本事件，即（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4），則P（AB）＝＝，則有P（AB）＝P（A）P（B），則事件A、B相互獨立，C正確；對于D，P（A∪B）＝P（A}+P（B）﹣P（AB）＝+﹣＝，D錯誤．故選：C．11．如圖，正六邊形ABCDEF中，，，則＝（）A． B． C． D．【分析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，由平面向量的坐標(biāo)運算計算即可求得．解：由正六邊形性質(zhì)得：AB⊥AE，則以AB，AE所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正六邊形的邊長為1，則A（0，0），B（1，0），C（），E（0，），所以，，，設(shè)，則，所以，解得，所以＝．故選：B．12．已知圓臺的上、下底面半徑分別為2cm，12cm，側(cè)面積等于280πcm2，若存在一個在圓臺內(nèi)部可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，那么該正方體的體積取最大值時，正方體的棱長為（）A．16cm B． C． D．8cm【分析】求出圓臺的內(nèi)切球半徑，再求出該球的內(nèi)接正方體的棱長，即可求解．解：∵圓臺的上、下底面半徑分別為2cm，12cm，設(shè)母線長為l，∴側(cè)面積為（π×2+π×12）×l＝280πcm2，∴l(xiāng)＝20，∴圓臺的高為，∴易知母線與下底面所成角為60°，∴圓臺的軸截面為兩底角為60°的等腰梯形，且該梯形的上底為4，下底為24，腰為20，高為，∴該梯形兩腰延長后的三角形是邊長為24的正三角形，設(shè)該正三角形的內(nèi)切圓的半徑為R，根據(jù)等面積法可得：，解得R＝，又2R＝，∴該圓臺的內(nèi)切圓不與上底面相切，∴該圓臺的內(nèi)切圓的半徑為R＝，∴設(shè)該圓的內(nèi)接正方體的棱長為a，則該正方體的體對角線長為2R，∴，即，∴a＝8，∴所求正方體的棱長為8cm．故選：D．二、填空題（每小題5分，共30分）13．已知復(fù)數(shù)z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則a的取值范圍是（0，）．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解．解：復(fù)數(shù)z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（2a﹣1，a），若位于第二象限，則2a﹣1＜0，a＞0，解得a的取值范圍是（0，）．故答案為：（0，）．14．如果直線l1：6x+4y+7＝0與直線l2：ax﹣3y﹣1＝0垂直，則a＝2．【分析】若斜率存在的兩條直線互相垂直，則其斜率積為﹣1，由此求得．解：直線l1：6x+4y+7＝0的斜率為，直線l2：ax﹣3y﹣1＝0的斜率為，因為l1⊥l2，所以，解得a＝2．故答案為：2．15．設(shè)＝（x，3），＝（2，﹣1），若與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是{x|x且x≠﹣6}．【分析】根據(jù)的夾角為鈍角即可得出，且不平行，從而得出，解出x的范圍即可．解：∵的夾角為鈍角，∴，且不平行，∴，解得，且x≠﹣6，∴x的取值范圍是．故答案為：．16．一次考試，小明數(shù)學(xué)超過90分的概率是0.8，物理超過90分的概率是0.7，兩門都超過90分的概率是0.6，則他的數(shù)學(xué)和物理至少有一門超過90分的概率是0.9．【分析】根據(jù)事件的基本關(guān)系運算即可．解：設(shè)事件A＝“數(shù)學(xué)超過90分“，事件B＝“物理超過90分“，則P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（AB）＝0.6，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.8+0.7﹣0.6＝0.9．故答案為：0.9．17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，，則該三角形的外接圓直徑2R＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，三角形的面積公式，求出角C，再結(jié)合正弦定理，即可求解．解：△ABC的面積為＝，則，即tanC＝1，C∈（0，π），則C＝，，則＝2R．故答案為：．18．平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，動點P在直線CD1上運動，則的最小值為．【分析】根據(jù)題設(shè)，可選取，，為一組基底，將和分解為，，表示，進而利用數(shù)量積進行運算即可求出最小值．解：設(shè)＝，＝，＝，設(shè)，則，0≤λ≤1，＝＝（1﹣λ）++，由AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，可得：＝＝1，＝2，∴＝[（1﹣λ）++]?＝（λ2﹣λ）﹣﹣λ2+λ（1﹣λ）++＝4λ2﹣2λ＝4（）2﹣，當(dāng)λ＝時，的最小值為﹣．故答案為：．三、解答題（19題每題10分，20-22題每題12分，23題14分，共60分）19．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知3cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求cosC的值；（2）若c＝2，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可得；（2）利用余弦定理和面積公式即可得．解：（1）已知3cosC（acosB+bcosA）＝c，代入正弦定理得3cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，即3cosCsin（A+B）＝sinC，又sin（A+B）＝sinC＞0，則．（2）由于，則sinC＝＝，△ABC的面積為，則，所以ab＝3．由已知及余弦定理得a2+b2﹣2ab?cosC＝8，所以a2+b2＝10，從而（a+b）2＝16，a+b＝4，所以△ABC的周長為．20．當(dāng)我們沉浸在游戲世界中時，很容易忽視時間的流逝，甚至忘記自己的學(xué)業(yè)和生活．一些大學(xué)生因為過度沉迷網(wǎng)絡(luò)游戲，導(dǎo)致學(xué)業(yè)成績下滑，身體健康狀態(tài)也受到影響．長時間盯著電腦屏幕，不僅會導(dǎo)致視力下降，還可能引發(fā)頸椎病等健康問題．更為嚴(yán)重的是，過度依賴虛擬世界的社交可能會削弱我們在現(xiàn)實生活中的社交能力，造成人與人之間的疏離感．某大學(xué)心理機構(gòu)為了向大學(xué)生宣傳沉迷網(wǎng)絡(luò)游戲的危害，該機構(gòu)隨機選擇了200位沉迷網(wǎng)絡(luò)的大學(xué)生進行宣傳，將這些大學(xué)生每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時間分成五段：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]（單位：小時），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）請估計這200位大學(xué)生每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的平均時間（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值代替）；（3）現(xiàn)在從[2，4）和[4，6）兩組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行交流，求這2人每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時間所在區(qū)間不同的概率．【分析】（1）利用頻率分布直方圖tk小矩形面積和為1求出a值．（2）利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)的算法，列式計算即得．（3）利用分層抽樣求出指定的兩個區(qū)間的人數(shù)，再利用列舉法求出古典概率．解：（1）由頻率分布直方圖得2（0.025+a+0.2+a+0.075）＝1，所以a＝0.1；（2）每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的平均時間（小時）；（3）每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時間在[2，4）和[4，6）內(nèi)的人數(shù)比為，則用分層抽樣的方法抽取的5人中，在[2，4）內(nèi)的有1人，記為A，在[4，6）內(nèi)的有4人，記為b，c，d，e，這5人中隨機抽取2人的試驗的樣本空間Ω＝{Ab，Ac，Ad，Ae，bc，bd，be，cd，ce，de}，共10個樣本點，玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時間所在區(qū)間不同的事件M＝{Ab，Ac，Ad，Ae}，共4個樣本點，所以這2人每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時間所在區(qū)間不同的概率．21．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為3的正方形，點P為棱DD1的中點，PC⊥PB1．（1）求AA1的長度；（2）求點D到平面PB1C的距離．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1＝h，由已知可得＝，由PC⊥PB1解得h；（2）求得平面PB1C的一個法向量，利用點到平面的距離公式求解即可．解：（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1＝h，由已知可得，所以＝，因為PC⊥PB1，所以，解得h＝6，所以AA1＝6；（2）設(shè)平面PB1C的一個法向量，則由，得，令z＝1，可得平面PB1C的一個法向量，又，則點D到平面PB1C的距離．22．已知直線l：kx﹣y+1+2k＝0．（1）證明：直線l過定點；（2）若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，試求S的最小值并求出此時直線l的方程．【分析】（1）直線l過定點，說明定點的坐標(biāo)與參數(shù)k無關(guān)，故讓k的系數(shù)為0可得定點坐標(biāo)．（2）求出A、B的坐標(biāo)，代入三角形的面積公式化簡，再使用基本不等式求出面積的最小值，注意等號成立條件要檢驗，求出面積最小時的k值，從而得到直線方程．解：（1）證明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）＝0，∴無論k取何值，直線過定點（﹣2，1）．（2）令y＝0得A點坐標(biāo)為（﹣2﹣，0），令x＝0得B點坐標(biāo)為（0，2k+1）（k＞0），∴S△AOB＝|﹣2﹣||2k+1|＝（2+）（2k+1）＝（4k++4）≥（4+4）＝4．當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時取等號．即△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為x﹣y+1+1＝0．即x﹣2y+4＝023．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，點M在PD上．（Ⅰ）求證：AB⊥PC；（Ⅱ）求異面直線PB與DC所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣AC﹣D的平面角的大小為45°，求直線BM與平面P