2014-2018全國各省文科立體幾何大題真題

第頁）2014-2018全國各省文科立體幾何大題真題一、解答題（共35小題；共455分）1.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=6， （1）求證：FG∥（2）求證：平面BED⊥（3）求直線EF與平面BED所成角的正弦值．2.如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G． （1）證明：G是AB的中點；（2）在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．3.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為 （1）證明MN∥（2）求四面體N-BCM的體積．4.如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達(dá)點D的位置，且 （1）證明：平面ACD⊥（2）Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=23DA5.如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M分別為 （1）求證：VB（2）求證：平面MOC⊥（3）求三棱錐V-ABC的體積．6.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC （1）證明：PO⊥平面（2）若點M在棱BC上，且MC=2MB，求點C到平面POM的距離．7.如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點． （1）證明：平面AMD⊥（2）在線段AM上是否存在點P，使得MC∥8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD （1）求證：PE⊥BC；（2）求證：平面PAB⊥（3）求證：EF∥9.如圖四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． 1.證明：AC⊥BD； 2.已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．10.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD （1）證明：直線BC（2）若△PCD面積為27，求四棱錐P-ABCD11.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且 （1）證明：平面PAB⊥（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱錐P-ABCD的體積為12.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點． （1）求證：PA⊥BD；（2）求證：平面BDE⊥（3）當(dāng)PA∥平面BDE13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面 （1）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（2）求證：PD⊥平面（3）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．14.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1 （1）證明：A1（2）設(shè)M是OD的中點，證明：平面A15.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥ （1）求證：DC⊥平面（2）求證：平面PAB⊥（3）設(shè)點E為AB的中點．在棱PB上是否存在點F，使得PA∥16.在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥ （1）已知AB=BC，AE=EC．求證：AC⊥FB；（2）已知G、H分別是EC和FB的中點，求證：GH∥17.如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點H．將△DEF沿EF折到△D?EF的位置． （1）證明：AC⊥HD?；（2）若AB=5，AC=6，AE=54，OD?=2218.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD， （1）證明：MN∥（2）求四面體N-BCM的體積．19.將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，AC長為5π6，A （1）求圓柱的體積與側(cè)面積；（2）求異面直線O1B120.如圖，在四棱錐中P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90 （1）在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM∥（2）證明：平面PAB⊥平面21.如圖，圓錐的頂點為P，底面圓心為O，底面的一條直徑為AB，C為半圓弧AB的中點，E為劣弧CB的中點，已知PO=2，OA=1，求三棱錐P-AOC的體積，并求異面直線PA與OE所成角的余弦值． 22.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A （1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法與理由）；（2）求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．23.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示， （1）請將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處（不需說明理由）；（2）判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）證明：直線DF⊥平面24.如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2， （1）求三棱錐P-ABC的體積；（2）證明：在線段PC上存在點M，使得AC⊥BM，并求PMMC25.如圖，三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點． （1）求證：BD∥（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥26.如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3． （1）證明：BC∥（2）證明：BC⊥PD；（3）求點C到平面PDA的距離．27.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在如圖所示的陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點E是PC的中點，連接DE，BD （1）證明：DE⊥平面PBC．試判斷四面體（2）記陽馬P-ABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，求28.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E， （1）證明：平面AEF⊥（2）若直線A1C與平面A1ABB29.如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且PO=OB=1． （1）若D為線段AC的中點，求證：AC⊥平面（2）求三棱錐P-ABC體積的最大值；（3）若BC=2，點E在線段PB上，求CE+OE30.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，∠BAD= （1）求證：FG∥（2）求證：平面BED⊥（3）求直線EF與平面BED所成角的正弦值.31.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面 （1）證明：平面AEC⊥（2）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為32.如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=25， （1）求證：EF∥（2）求證：平面AE（3）求直線A1B133.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4， （1）證明：A1（2）求直線A1B和平面34.如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=π2，點D，E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點F （1）證明：AB⊥平面（2）若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長．35.如圖（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=BC=12AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE （1）證明：CD⊥平面（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，四棱錐A答案第一部分1.（1）設(shè)BD的中點為O，連接OE，OG，在△BCD中，因為G是BC的中點，所以O(shè)G∥DC，且又因為EF∥AB，所以EF∥OG，且EF=OG，即四邊形所以FG∥因為FG?平面BED，所以FG∥

（2）在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60由余弦定理可得BD=3，進(jìn)而得∠ADB=90°又因為平面AED⊥平面ABCD，BD?所以BD⊥平面因為BD?平面所以平面BED⊥

（3）因為EF∥所以直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，過點A作AH⊥DE于點H，連接BH，又平面BED∩平面由（2）知AH⊥平面所以直線AB與平面BED所成的角為∠ABH，在△ADE，AD=1，DE=3，AE=6，由余弦定理得cos所以sin∠ADE=所以AH=AD?5在Rt△AHB中，sin所以直線EF與平面BED所成角的正弦值為562.（1）因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以AB⊥PD．因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以AB⊥DE．所以AB⊥平面故AB⊥PG．又由已知可得，PA=PB，從而G是AB的中點．

（2）如圖，在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交PA于點F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即點F為E在平面連接CG，因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心，由（1）知，G是AB的中點，所以D在CG上，故CD=2由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，所以DE∥因此PE=23PG由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PE=22在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面體PDEF的體積V=13.（1）取PB中點Q，連接AQ，NQ．因為N是PC中點，NQ∥BC，且又AM=23AD=所以QN∥AM，且所以AQNM是平行四邊形．所以MN∥又MN?平面PAB，AQ?平面PAB，所以MN∥

（2）由（1）QN∥所以VN-BCM所以VN-BCM4.（1）由已知可得，∠BAC=90°，又BA⊥AD，所以AB⊥平面又AB?平面所以平面ACD⊥

（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32又BP=DQ=2所以BP=22作QE⊥AC，垂足為E，則QE∥DC，由已知及（1）可得DC⊥平面所以QE⊥平面ABC，因此，三棱錐Q-ABP的體積為V5.（1）因為O，M分別為，AB，VA的中點，所以O(shè)M∥又因為VB?平面又因為MO?平面所以VB∥

（2）因為AC=BC，O為AB的中點，所以O(shè)C⊥AB，又因為平面VAB⊥平面ABC所以O(shè)C⊥平面所以平面MOC⊥

（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=2所以AB=2，OC=1，所以等邊三角形VAB的面積S△VAB又因為OC⊥平面所以VC-ABV又因為VV-ABC所以VV-ABC6.（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以O(shè)P⊥AC，且OP=23連接OB．因為AB=BC=2所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=1由OP2+O由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面

（2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面故CH的長為點C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC=12AC=2，CM=所以O(shè)M=253所以點C到平面POM的距離為457.（1）由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD因為BC⊥CD，BC?平面所以BC⊥平面CMD，故因為M為CD上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面而DM?平面故平面AMD⊥

（2）當(dāng)P為AM的中點時，MC∥證明如下：連接AC交BD于O．因為ABCD為矩形，所以O(shè)為AC中點．連接OP，因為P為AM中點，所以MC∥MC?平面PBD，所以MC∥8.（1）因為平面PAD⊥平面ABCD因為PA=PD，E為AD中點，所以PE⊥AD．又PE?平面所以PE⊥平面又BC?平面所以PE⊥BC．

（2）因為平面PAD⊥平面ABCD因為ABCD為矩形，所以CD⊥AD，又CD?平面所以CD⊥平面所以CD⊥PA，又PA⊥PD，且PD∩CD=D，所以PA⊥平面又PA?平面所以平面PAB⊥

（3）取PC中點G，連FG，DG，因為F，G分別為PB，PC的中點，所以FG為△PBC的中位線，所以FG∥BC，又E為AD的中點，四邊形ABCD為矩形，所以ED∥BC，所以FG∥ED，所以四邊形EFGD為平行四邊形，所以EF∥又EF?平面PCD，所以EF∥9.1.取AC中點O，連接DO，BO，因為△ABC是正三角形，AD=CD，所以DO⊥AC，BO⊥AC，因為DO∩BO=O，所以AC⊥平面因為BD?平面所以AC⊥BD．2.法一：連接OE，由（1）知AC⊥平面因為OE?平面所以O(shè)E⊥AC，設(shè)AD=CD=2，則OC=OA=1所以O(shè)是線段AC垂直平分線上的點，所以EC=EA=CD=2由余弦定理得：cos∠CBD=即4+4-22×2×2=4+BE2因為BE<BD=2，所以BE=1，所以BE=ED，因為四面體ABCE與四面體ACDE的高都是點A到平面BCD的高h(yuǎn)，因為BE=ED，所以S△DCE所以四面體ABCE與四面體ACDE的體積比為1．法二：設(shè)AD=CD=2，則AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1所以BO=4-1因為BO所以BO⊥DO，以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C-1,0,0，D0,0,1，B0,設(shè)Ea,b,c，DE則a,b,c-1=λ解得E0,所以CE=1,3因為AE⊥EC，所以AE?由λ∈0,1，解得λ=所以DE=BE，因為四面體ABCE與四面體ACDE的高都是點A到平面BCD的高h(yuǎn)，因為DE=BE，所以S△DCE所以四面體ABCE與四面體ACDE的體積比為1．10.（1）四棱錐P-ABCD中，因為∠BAD=∠ABC=90所以BC∥因為AD?平面PAD，所以直線BC

（2）設(shè)AD=2x，則AB=BC=x，CD=2設(shè)O是AD的中點，連接PO，OC，CD的中點為E，連接OE，由題意得，四邊形ABCO為正方形，則CO⊥AD．因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩所以PO⊥AD，PO⊥平面因為CO?底面所以PO⊥CO，則OE=22x，PO=△PCD面積為27，可得：1即：12×72x×則V11.（1）因為在四棱錐P-ABCD中，∠BAP=∠CDP=90所以AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥所以AB⊥PD，因為PA∩PD=P，所以AB⊥平面因為AB?所以平面PAB⊥

（2）設(shè)PA=PD=AB=DC=a，取AD中點O，連接PO，因為PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，所以PO⊥底面ABCD，且AD=a因為四棱錐P-ABCD的體積為83所以VP-ABCD解得a=2，所以PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=22，PO=所以PB=PC=4+4所以該四棱錐的側(cè)面積為：S12.（1）由PA⊥AB，PA⊥BC，AB?平面ABC，BC?平面可得PA⊥平面由BD?平面可得PA⊥BD．

（2）由AB=BC，D為線段AC的中點，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，可得平面PAC⊥又平面PAC∩平面ABC=AC，BD?即有BD⊥平面PAC，可得平面BDE⊥

（3）PA∥平面BDE且平面PAC∩可得PA∥又D為AC的中點，可得E為PC的中點，且DE=1由PA⊥平面可得DE⊥平面可得S△BDC則三棱錐E-BCD的體積為1313.（1）如圖，由已知AD∥故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角，因為AD⊥平面所以AD⊥PD，在Rt△PDA中，由已知，得AP=故cos∠DAP=所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為55

（2）因為AD⊥平面PDC，直線所以AD⊥PD，又因為BC∥所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC=B，且PB?平面PBC，所以PD⊥平面

（3）過點D作AB的平行線交BC于點F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角，因為PD⊥平面故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角，由于AD∥故BF=AD=1，由已知，得CF=BC-BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，DF=16+4=2所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為5514.（1）取B1D1中點G，連接A因為四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，所以四棱柱ABCD-A1B1C1D所以四邊形OCGA所以A1因為A1O?所以A1

（2）四棱柱ABCD-A1B1C1D因為M是OD的中點，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1又BD?所以BD⊥A因為四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，所以AO⊥BD，因為M是OD的中點，E為AD的中點，所以EM⊥BD，因為A1所以BD⊥平面因為BD∥所以B1因為B1所以平面A15.（1）因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC．又因為DC⊥AC，AC∩PC=C，所以DC⊥平面

（2）因為AB∥DC，所以AB⊥AC．因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．又AC∩PC=C，所以AB⊥平面又AB?平面PAB，所以

（3）棱PB上存在點F，使得PA∥取PB中點F，連接EF，CE，CF．又因為E為AB的中點，所以EF∥又因為PA?平面CEF，所以PA∥16.（1）連接DE，因為EF∥BD，所以EF與因為AE=EC，D為AC的中點，所以DE⊥AC；同理可得BD⊥AC．又因為BD∩DE=D，所以AC⊥平面又因為FB?平面所以AC⊥FB．

（2）設(shè)FC的中點為I，連接GI，HI．在△CEF中，因為G是CE的中點，所以GI∥又EF∥所以GI∥在△CFB中，因為H是FB的中點，所以HI∥又GI∩HI=I，所以平面GHI∥因為GH?平面所以GH∥17.（1）由已知得AC⊥BD，AD=CD．又由AE=CF得AEAD故AC∥由此得EF⊥HD，EF⊥HD?，所以AC⊥HD?．

（2）由EF∥AC得由AB=5，AC=6得DO=BO=A所以O(shè)H=1，D?H=DH=3．于是OD?故OD?⊥OH．由（1）知AC⊥HD?，又AC⊥BD，BD∩HD?=H，所以AC⊥平面BHD?，于是又由OD?⊥OH，AC∩OH=O，所以O(shè)D?⊥平面又由EFAC=DH五邊形ABCFE的面積S=1所以五棱錐D?-ABCFE的體積V=118.（1）由已知條件，得AM=2取BP的中點T，連接AT，TN．因為N為PC的中點，所以TN∥BC，所以TN=AM．又AD∥所以TN∥AM，且故四邊形AMNT為平行四邊形，所以MN∥因為AT?平面PAB，所以MN∥

（2）因為PA⊥平面ABCD，N為所以N到平面ABCD的距離為12取BC的中點E，連接AE．因為AB=AC=3，所以AE⊥BC，AE=A因為AM∥所以點M到BC的距離為5，故S△BCM所以四面體N-BCM的體積VN-BCM19.（1）由題意可知，圓柱的母線長l=1，底面半徑r=1．圓柱的體積V=π圓柱的側(cè)面積S=2π

（2）設(shè)過點B1的母線與下底面交于點B，則O所以∠COB或其補(bǔ)角為O1B1由A1B1長為π由AC長為5π6，可知∠AOC=5所以異面直線O1B1與OC20.（1）取棱AD的中點MM∈平面PAD理由如下：因為AD∥BC，所以BC∥AM，且所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥又AB?平面PAB，所以CM∥

（2）由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因為AD∥BC，所以直線AB與CD相交，所以PA⊥平面從而PA⊥BD．因為AD∥BC，所以BC∥MD，且所以四邊形BCDM是平行四邊形．所以BM=CD=1所以BD⊥AB．又AB∩AP=A，所以BD⊥平面又BD?平面所以平面PAB⊥平面21.VP-AOC因為AC∥OE，所以∠PAC為異面直線PA與由PO=2，OA=OC=1，得PA=PC=5，AC=在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC=故異面直線PA與OE所成角的余弦值為101022.（1）交線圍成的正方形EHGF如圖．

（2）作EM⊥AB，垂足為M，則AM=A1E=4，E因為四邊形EHGF為正方形，所以EH=EF=BC=10．于是MH=EH2-EM故S四邊形A1因為長方體被平面α分為兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為97（723.（1）點F，G，H的位置如圖所示．

（2）平面BEG證明如下：因為六面體ABCD-EFGH為正方體，所以BC∥FG，又FG∥EH，所以BC∥EH，于是四邊形BCHE為平行四邊形．所以BE∥又CH?平面ACH，所以BE∥同理BG∥又BE∩BG=B，所以平面BEG

（3）連接FH，與EG交于點O，連接BD．因為ABCD-EFGH為正方體，所以DH⊥平面因為EG?平面所以DH⊥EG．又EG⊥FH，DH∩FH=H，所以EG⊥平面又DF?平面所以DF⊥EG．同理DF⊥BG．又EG∩BG=G，所以DF⊥平面24.（1）在△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=60又因為PA⊥面所以PA是三棱錐P-ABC的高，所以V

（2）過點B作BN垂直AC于點N，過N作NM∥PA交PC于則MN⊥面AC?此時M即為所找點，在△ABN中，易知AN=25.（1）證法一：如圖，連接DG，CD，設(shè)CD∩GF=O，連接OH．在三梭臺DEF-ABC中，AB=2DE，G為AC的中點，可得DF∥GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則O為CD的中點．又H為BC的中點，所以O(shè)H∥又OH?平面FGH，所以BD∥證法二：在三棱臺DEF-ABC中，由BC=2EF，H為BC的中點，可得BH∥EF，所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得BE∥在△ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH∥又GH∩HF=H，所以平面FGH∥因為BD?平面所以BD∥

（2）如圖，連接HE．因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GH∥由AB⊥BC，得GH⊥BC．又H為BC的中點，所以EF∥HC，因此四邊形EFCH是平行四邊形．所以CF∥又CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE,GH?平面EGH，所以BC⊥平面又BC?平面所以平面BCD⊥26.（1）∵四邊形ABCD為長方形，∴BC∥又BC?平面PDA，∴BC∥

（2）∵BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD且平面∴BC⊥平面∵PD?平面∴BC⊥PD．

（3）取CD的中點E，連接PE，AC．∵PD=PC，∴PE⊥CD，∴PE=P∵平面PDC⊥平面ABCD且∴PE⊥平面由（2）知BC⊥平面又AD∥∴AD⊥平面又PD?平面∴AD⊥PD．設(shè)點C到平面PDA的距離為h，則VC-PDA∴1∴h=S故點C到平面PDA的距離為3727.（1）因為PD⊥底面所以PD⊥BC．由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面因為DE?平面所以BC⊥DE．又因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC．而PC∩BC=C，所以DE⊥平面由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠BCD，∠BCE，

（2）由已知，PD是陽馬P-ABCD的高，所以V由（1）知，DE是鱉臑D-BCE的高，BC⊥CE，所以V在Rt△PDC中，因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE=CE=V28.（1）證明：如圖，因為三棱柱ABC-A所以AE⊥BB又E是正三角形ABC的邊BC的中點，所以AE⊥BC,BC∩BB1于點B，因此AE⊥平面所以平面AEF⊥

（2）設(shè)AB的中點為D，連接A1D，因為△ABC是正三角形，所以CD⊥AB．又三棱柱ABC-A所以CD⊥AA因此CD⊥平面A1ABB1，于是由題設(shè)，∠CA所以A1在RtAA1所以FC=1故三棱錐F-AEC的體積V=129.（1）在△AOC中，因為OA=OC，D為AC的中點，所以AC⊥DO．又PO垂直于圓O所在的平面，所以PO⊥AC．因為DO∩PO=O，所以AC⊥平面

（2）因為點C在圓O上，所以當(dāng)CO⊥AB時，C到AB的距離最大，且最大值為1．又AB=2，所以△ABC面積的最大值為12又因為三棱錐P-ABC的高PO=1，故三棱錐P-ABC體積的最大值為13

（3）解法一：在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90所以PB=1同理PC=2，所以PB=PC=BC在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC?P，使之與平面ABP共面，如圖所示．當(dāng)O，E，C?共線時，CE+OE取得最小值．又因為OP=OB，C?P=C?B，所以O(shè)C?垂直平分PB，即E為PB的中點．從而OC?=OE+EC?=22+62解法二：在△POB中，PO=OB=1，∠POB＝所以∠OPB＝45°同理，PC=2所以PB=PC=BC，所以∠CPB＝在三梭錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC?P，使之與平面ABP共面，如圖所示．當(dāng)O，E，C'共線時，CE所以在△OC?P中，由余弦定理得OC從而OC?=2+所以CE+OE的最小值為2+30.（1）取BD的中點為O，連接OE，OG．在△BCD中，因為G是BC的中點，所以O(shè)G∥DC，且又因為EF∥AB，所以EF∥OG，且從而四邊形OGFE是平行四邊形，所以FG∥又FG?平面BED，所以FG∥

（2）在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60由余弦定理，得BD=3則∠ADB=90°，即又平面AED⊥平面ABCD所以BD⊥平面又BD?平面所以平面BED⊥

（3）因為EF∥所以直線EF與平面BED所成的角就是直線AB與平面BED所成的角．過點A作AH⊥DE于點H，連接BH．因為平面BED⊥所以AH⊥平面BED，則∠ABH是直線AB與平面BED所成的角．在△ADE中，AD=1，DE=3，AE=6由余弦定理，得cos∠ADE=23，因為∠ADE因此AH=AD?sin在Rt△AHB中，sin所以直線AB與平面BED所成角的正弦值為5631.（1）因