第五章 第1講　開(kāi)普勒三定律與萬(wàn)有引力定律-2025高三總復(fù)習(xí) 物理（新高考）

三年考情開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律2022·湖南卷·T8、2022·浙江1月選考·T8、2021·全國(guó)甲卷·T18、2021·天津卷·T5、2021·北京卷·T6、2021·福建卷·T8萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用2023·浙江6月選考·T9、2023·山東卷·T3、2023·遼寧卷·T7、2022·全國(guó)乙卷·T14、2022·遼寧卷·T9、2022·河北卷·T2、2022·廣東卷·T2、2021·全國(guó)乙卷·T18、2021·山東卷·T5人造衛(wèi)星宇宙速度2023·浙江1月選考·T9、2023·新課標(biāo)卷·T17、2023·湖南卷·T4、2023·湖北卷·T2、2023·江蘇卷·T4、2022·湖北卷·T2、2022·山東卷·T6、2021·湖南卷·T7命題規(guī)律目標(biāo)定位本章主要考查開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律的理解及應(yīng)用，人造衛(wèi)星的發(fā)射、運(yùn)行、回收及宇宙速度的理解及應(yīng)用，命題常與現(xiàn)代航天技術(shù)的實(shí)際情境相聯(lián)系，常以選擇題形式呈現(xiàn)。第1講開(kāi)普勒三定律與萬(wàn)有引力定律[課標(biāo)要求]1．通過(guò)史實(shí)了解開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。2．知道萬(wàn)有引力定律，認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律的重要意義。3．認(rèn)識(shí)科學(xué)定律對(duì)探索未知世界的作用。4．掌握計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法?？键c(diǎn)一開(kāi)普勒定律的理解開(kāi)普勒定律內(nèi)容圖示或公式開(kāi)普勒第一定律所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上開(kāi)普勒第二定律對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等開(kāi)普勒第三定律所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的常量自主訓(xùn)練1開(kāi)普勒三定律的理解(多選)如圖所示，八大行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，下列說(shuō)法中正確的是()A．太陽(yáng)處在八大行星的橢圓軌道的一個(gè)公共焦點(diǎn)上B．火星繞太陽(yáng)運(yùn)行過(guò)程中，速率不變C．土星比地球的公轉(zhuǎn)周期大D．地球和土星分別與太陽(yáng)的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等答案：AC解析：根據(jù)開(kāi)普勒第一定律可知，太陽(yáng)處在每顆行星運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，故必然處在八大行星的橢圓軌道的一個(gè)公共焦點(diǎn)上，故A正確；根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知，火星繞太陽(yáng)運(yùn)行過(guò)程中，在離太陽(yáng)較近的位置運(yùn)行速率較大，在離太陽(yáng)較遠(yuǎn)的位置運(yùn)行速率較小，故B錯(cuò)誤；由題圖可知土星軌道的半長(zhǎng)軸比地球軌道的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，土星比地球的公轉(zhuǎn)周期大，故C正確；根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知，同一顆行星與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，而地球和土星不是同一顆行星，二者分別與太陽(yáng)的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積不相等，故D錯(cuò)誤。故選AC。自主訓(xùn)練2開(kāi)普勒第二定律的應(yīng)用如圖是地球沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行所處不同位置對(duì)應(yīng)的節(jié)氣，下列說(shuō)法正確的是()學(xué)生用書第90頁(yè)A．夏至?xí)r地球的運(yùn)行速度最大B．從冬至到春分的運(yùn)行時(shí)間為公轉(zhuǎn)周期的eq\f(1,4)C．若用a代表橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，T代表公轉(zhuǎn)周期，則eq\f(a3,T2)＝k，地球和火星對(duì)應(yīng)的k值是不同的D．太陽(yáng)既在地球公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上，也在火星公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上答案：D解析：根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知，地球與太陽(yáng)中心的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，根據(jù)S＝eq\f(1,2)r·vΔt，可知地球近日點(diǎn)離太陽(yáng)最近，地球在近日點(diǎn)的運(yùn)行速度最大，地球在遠(yuǎn)日點(diǎn)離太陽(yáng)最遠(yuǎn)，地球在遠(yuǎn)日點(diǎn)的運(yùn)行速度最小，故夏至?xí)r地球的運(yùn)行速度最小，故A錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性可知，從冬至到夏至的運(yùn)行時(shí)間為公轉(zhuǎn)周期的eq\f(1,2)，由于從冬至到春分地球的運(yùn)行速度大于從春分到夏至地球的運(yùn)行速度，可知從冬至到春分的運(yùn)行時(shí)間小于從春分到夏至的運(yùn)行時(shí)間，故從冬至到春分的運(yùn)行時(shí)間小于公轉(zhuǎn)周期的eq\f(1,4)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知，所有繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的行星軌道半長(zhǎng)軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比，則有eq\f(a3,T2)＝k，其中k與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，地球和火星都是繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，故地球和火星對(duì)應(yīng)的k值相同，故C錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第一定律可知，所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，故太陽(yáng)既在地球公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上，也在火星公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上，故D正確。故選D。自主訓(xùn)練3開(kāi)普勒第三定律的應(yīng)用(2021·全國(guó)甲卷)2021年2月，執(zhí)行我國(guó)火星探測(cè)任務(wù)的“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問(wèn)一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m答案：C解析：在火星表面附近，對(duì)于繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，有mg火＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))R火，得Teq\o\al(2,1)＝eq\f(4π2R火,g火)，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，有eq\f(Req\o\al(3,火),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l近＋2R火＋l遠(yuǎn),2)))\s\up8(3),Teq\o\al(2,2))，代入數(shù)據(jù)解得l遠(yuǎn)≈6×107m，故C正確。對(duì)開(kāi)普勒定律的三點(diǎn)理解1．開(kāi)普勒定律除了適用于行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，同樣適用于月球(人造衛(wèi)星)繞地球的運(yùn)動(dòng)等天體系統(tǒng)。2．由開(kāi)普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，即eq\f(1,2)v1Δtr1＝eq\f(1,2)v2Δtr2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在兩個(gè)位置的速度之比與到太陽(yáng)的距離成反比，在近日點(diǎn)速度最大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小。3．開(kāi)普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，且該定律只能適用于環(huán)繞同一中心天體的運(yùn)動(dòng)天體?？键c(diǎn)二萬(wàn)有引力定律的理解1．內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。2．表達(dá)式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G為引力常量，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪什測(cè)定。3．適用條件(1)公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。(2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離。【高考情境鏈接】(2023·江蘇高考·改編)如圖所示，“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器靜止在月球平坦表面處。已知探測(cè)器質(zhì)量為m，四條腿與豎直方向的夾角均為θ，月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)。判斷下列說(shuō)法的正誤：(1)“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器受到月球的萬(wàn)有引力大小為mg。(×)(2)“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器受到月球的萬(wàn)有引力方向一定指向月球的中心。(√)(3)只要知道兩個(gè)物體的質(zhì)量和兩個(gè)物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)計(jì)算物體間的萬(wàn)有引力。(×)(4)兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大。(×)學(xué)生用書第91頁(yè)1．萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是產(chǎn)生重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力Fn，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：萬(wàn)有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力Fn的矢量和。2．星體表面及上空的重力加速度(以地球?yàn)槔?(1)地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空某高度h處的重力加速度g′由于mg′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)。3．萬(wàn)有引力定律的“兩個(gè)推論”(1)推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬(wàn)有引力的合力為零，即∑F引＝0。(2)推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬(wàn)有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M)對(duì)它的萬(wàn)有引力，即F＝Geq\f(Mm,r2)。考向1萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用(2023·山東高考)牛頓認(rèn)為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)、且都滿足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為()A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))答案：C解析：設(shè)地球半徑為R，由題知，地球表面的重力加速度為g，則有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球繞地球公轉(zhuǎn)有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，聯(lián)立有T＝120πeq\r(\f(r,g))，故選C?？枷?重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系(多選)萬(wàn)有引力定律能夠很好地將天體運(yùn)行規(guī)律與地球上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來(lái)。用彈簧測(cè)力計(jì)稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，引力常量為G，將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。下列說(shuō)法正確的是()A．在北極地面稱量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面稱量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北極上空高出地面h處稱量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F2＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)D．在赤道上空高出地面h處稱量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F3＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)答案：AC解析：在北極地面稱量時(shí)，物體不隨地球自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力等于重力，則有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正確；在赤道地面稱量時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力加上物體隨地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力，則有F1＜Geq\f(Mm,R2)，故B錯(cuò)誤；在北極上空高出地面h處稱量時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力，則有F2＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故C正確；在赤道上空高出地面h處稱量時(shí)，萬(wàn)有引力大于重力，則彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)F3＜Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故D錯(cuò)誤?？枷?不同天體表面萬(wàn)有引力的比較火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5答案：B解析：萬(wàn)有引力表達(dá)式為F＝Geq\f(Mm,r2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值為eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火req\o\al(2,地),M地req\o\al(2,火))＝0.4，故B正確。學(xué)生用書第92頁(yè)考向4地球表面某高度處與地表下某深度處重力加速度的比較如圖是某礦區(qū)打出的一口深度為d的水井，如果質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，地球可以看作是質(zhì)量分布均勻的球體，地球半徑為R，則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為()A．eq\f(R－d,R) B．eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R3)C．eq\f(R2－d2,R) D．eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R2)答案：B解析：根據(jù)萬(wàn)有引力定律得，地球表面上的重力加速度為g＝eq\f(GM,R2)，設(shè)離地面高度為d處的重力加速度為g′，由萬(wàn)有引力定律有g(shù)′＝eq\f(GM,（R＋d）2)，兩式聯(lián)立得g′＝eq\f(R2g,（R＋d）2)。在地面上質(zhì)量為m的物體，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，從而得g＝eq\f(Gρ·\f(4,3)πR3,R2)＝Gρ·eq\f(4,3)πR；根據(jù)題意，球殼對(duì)其內(nèi)部物體的引力為零，則水井底部的物體只受到其以下球體對(duì)它的引力，同理有g(shù)″＝eq\f(GM′,（R－d）2)，式中M′＝ρ·eq\f(4,3)π(R－d)3，聯(lián)立得g″＝eq\f(R－d,R)g。所以eq\f(g″,g′)＝eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R3)，故B正確。考點(diǎn)三天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1．利用“天體表面的重力加速度g和天體半徑R”——“自力更生法”(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．利用繞行天體的“周期和軌道半徑”——“環(huán)繞法”(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面附近運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見(jiàn)，只要測(cè)出近地衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度?？枷?“自力更生法”計(jì)算天體質(zhì)量和密度某人在地球表面以某一豎直速度跳起，其重心可上升的高度為0.5m，假設(shè)該人以同樣的速度在水星表面豎直跳起，其重心可上升1.3m，而在火星表面同樣可上升1.3m。已知地球的半徑為R，水星的半徑約為0.38R，火星的半徑約為0.53R，可估算出()A．火星的質(zhì)量為水星質(zhì)量的eq\f(53,38)倍B．火星與水星的密度相等C．地球表面的重力加速度是水星表面重力加速度的eq\r(,2.6)倍D．火星的第一宇宙速度是水星第一宇宙速度的eq\r(,\f(53,38))倍答案：D解析：根據(jù)g＝eq\f(v2,2h)，因人以同樣的速度在火星和水星上跳起的高度相等，可知g火＝g水，根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得M＝eq\f(gR2,G)，eq\f(M火,M水)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R火,R水)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(53,38)))2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)，可得eq\f(ρ火,ρ水)＝eq\f(R水,R火)＝eq\f(38,53)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)g＝eq\f(v2,2h)，可得eq\f(g地,g火)＝eq\f(h火,h地)＝eq\f(1.3,0.5)＝2.6，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)meq\f(v2,R)＝mg，可得v＝eq\r(,gR)，可得eq\f(v火,v水)＝eq\r(,\f(R火,R水))＝eq\r(,\f(53,38))，選項(xiàng)D正確?？枷?“環(huán)繞法”計(jì)算天體的質(zhì)量和密度(2023·遼寧高考)在地球上觀察，月球和太陽(yáng)的角直徑(直徑對(duì)應(yīng)的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T1，地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽(yáng)的平均密度之比約為()A．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 B．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2C．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 D．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2答案：D解析：設(shè)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r1，地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r2，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得Geq\f(m地m月,req\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r1，Geq\f(m地m日,req\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r2，其中eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)＝eq\f(R地,kR日)，ρ＝eq\f(m,\f(4,3)πR3)，聯(lián)立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2，故選D。學(xué)生用書第93頁(yè)對(duì)點(diǎn)練．(多選)已知引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間T1(地球自轉(zhuǎn)周期)，一年的時(shí)間T2(地球公轉(zhuǎn)周期)，地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽(yáng)中心的距離L2。你能計(jì)算出()A．地球的質(zhì)量m地＝eq\f(gR2,G)B．太陽(yáng)的質(zhì)量m太＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,2),GTeq\o\al(2,2))C．月球的質(zhì)量m月＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,1),GTeq\o\al(2,1))D．太陽(yáng)的平均密度ρ＝eq\f(3π,GTeq\o\al(2,2))答案：AB解析：對(duì)地球表面的一個(gè)物體m0來(lái)說(shuō)，應(yīng)有m0g＝Geq\f(m地m0,R2)，所以地球質(zhì)量m地＝eq\f(gR2,G)，故A正確；地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，有Geq\f(m太m地,Leq\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))L2，則m太＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,2),GTeq\o\al(2,2))，故B正確；同理，月球繞地球運(yùn)動(dòng)，能求出地球質(zhì)量，無(wú)法求出月球的質(zhì)量，故C錯(cuò)誤；由于不知道太陽(yáng)的半徑，不能求出太陽(yáng)的平均密度，故D錯(cuò)誤。運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題的關(guān)鍵是緊扣萬(wàn)有引力定律的適用條件，先填補(bǔ)后運(yùn)算，運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題主要體現(xiàn)了等效思想。應(yīng)用1．有一質(zhì)量為M、半徑為R的密度均勻的球體，在距離球心O為3R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。先從M中挖去一半徑為eq\f(R,2)的球體，如圖所示，則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力大小為()A．Geq\f(Mm,9R2) B．Geq\f(Mm,4R2)C．Geq\f(41Mm,450R2) D．Geq\f(7Mm,36R2)答案：C解析：半徑為R的密度均勻的完整球體對(duì)距離球心O為3R的質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的萬(wàn)有引力為F＝Geq\f(Mm,r2)＝Geq\f(Mm,（3R）2)，挖去部分的質(zhì)量為M′＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)·eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up8(3)＝eq\f(1,8)M，挖去部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的萬(wàn)有引力為F1＝Geq\f(M′m,r′2)＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2R＋\f(1,2)R))\s\up8(2))＝eq\f(1,50)Geq\f(Mm,R2)，則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力大小為F′＝F－F1＝Geq\f(41Mm,450R2)，故選C。應(yīng)用2．如圖所示，將一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為M的均勻大球，沿直徑挖去兩個(gè)半徑分別為大球一半的小球，并把其中一個(gè)放在球外與大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球的球心、大球的球心在一條直線上，則大球中剩余部分與球外小球的萬(wàn)有引力大小約為(已知引力常量為G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)答案：D解析：由題意知，所挖出小球的半徑為eq\f(R,2)，質(zhì)量為eq\f(M,8)，則未挖出小球前大球?qū)η蛲庑∏虻娜f(wàn)有引力大小為F＝Geq\f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))\s\up8(2))＝eq\f(GM2,18R2)，將所挖出的其中一個(gè)小球填在原位置，填入左側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f(wàn)有引力為F1＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),（2R）2)＝eq\f(GM2,256R2)，填入右側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f(wàn)有引力為F2＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq\f(GM2,64R2)，則大球中剩余部分對(duì)球外小球的萬(wàn)有引力大小為F3＝F－F1－F2≈0.04eq\f(GM2,R2)，故D正確。課時(shí)測(cè)評(píng)22開(kāi)普勒三定律與萬(wàn)有引力定律eq\f(對(duì)應(yīng)學(xué)生,用書P392)(時(shí)間：45分鐘滿分：60分)(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)(選擇題每題5分，共60分)1．某行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，如圖所示，在這顆行星的軌道上有a、b、c、d四個(gè)點(diǎn)，a、c在長(zhǎng)軸上，b、d在短軸上。若該行星運(yùn)動(dòng)周期為T，則該行星()A．從a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于從c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間B．從d經(jīng)a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于從b經(jīng)c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間C．a(chǎn)到b的時(shí)間tab＞eq\f(T,4)D．c到d的時(shí)間tcd＞eq\f(T,4)答案：D解析：由開(kāi)普勒第二定律可知，行星在近日點(diǎn)的速度最大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度最小，行星由a到b運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均速率大于由c到d運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均速率，而弧長(zhǎng)ab等于弧長(zhǎng)cd，故從a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于從c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，同理可知，從d經(jīng)a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于從b經(jīng)c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，A、B錯(cuò)誤；從a經(jīng)b到c的時(shí)間和從c經(jīng)d到a的時(shí)間均為eq\f(T,2)，可得tab＝tda＜eq\f(T,4)，tbc＝tcd＞eq\f(T,4)，C錯(cuò)誤，D正確。2．如圖所示，1、2分別是A、B兩顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的軌道，1為圓軌道，2為橢圓軌道，橢圓軌道的長(zhǎng)軸(近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)間的距離)是圓軌道半徑的4倍。P點(diǎn)為橢圓軌道的近地點(diǎn)，M點(diǎn)為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，TA是衛(wèi)星A的周期。則下列說(shuō)法正確的是()A．B衛(wèi)星在由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到地球的引力將先增大后減小B．地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積為橢圓面積C．衛(wèi)星B的周期是衛(wèi)星A的周期的8倍D．1軌道圓心與2軌道的一個(gè)焦點(diǎn)重合答案：D解析：根據(jù)萬(wàn)有引力定律有F＝Geq\f(Mm,r2)，可知B衛(wèi)星在由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到地球的引力逐漸減小，A錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得eq\f(R3,Teq\o\al(2,A))＝eq\f(（2R）3,Teq\o\al(2,B))，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積小于橢圓面積，B、C錯(cuò)誤；1軌道圓心在地心，2軌道的一個(gè)焦點(diǎn)也在地心，所以二者重合，D正確。3．(2023·江蘇高考)設(shè)想將來(lái)發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是()A．質(zhì)量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的萬(wàn)有引力大小答案：C解析：根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，因該衛(wèi)星與月球的軌道半徑相同，可知向心加速度相等；因該衛(wèi)星的質(zhì)量與月球質(zhì)量不同，則向心力大小以及受地球的萬(wàn)有引力大小均不相等。故選C。4．(2022·山東高考)“羲和號(hào)”是我國(guó)首顆太陽(yáng)探測(cè)科學(xué)技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星。如圖所示，該衛(wèi)星圍繞地球的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平面與赤道平面接近垂直。衛(wèi)星每天在相同時(shí)刻，沿相同方向經(jīng)過(guò)地球表面A點(diǎn)正上方，恰好繞地球運(yùn)行n圈。已知地球半徑為地軸R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，則“羲和號(hào)”衛(wèi)星軌道距地面高度為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))答案：C解析：地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓第二定律得Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得GM＝gR2，根據(jù)題意可知，衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T′＝eq\f(T,n)，根據(jù)牛頓第二定律，萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力，則有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T′2)(R＋h)，聯(lián)立解得h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R，故選C。5．(多選)(2021·福建高考)兩位科學(xué)家因?yàn)樵阢y河系中心發(fā)現(xiàn)了一個(gè)超大質(zhì)量的致密天體而獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。他們對(duì)一顆靠近銀河系中心的恒星S2的位置變化進(jìn)行了持續(xù)觀測(cè)，記錄到的S2的橢圓軌道如圖所示。圖中O為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓偏心率(離心率)約為0.87。P、Q分別為軌道的遠(yuǎn)銀心點(diǎn)和近銀心點(diǎn)，Q與O的距離約為120AU(太陽(yáng)到地球的距離為1AU)，S2的運(yùn)行周期約為16年。假設(shè)S2的運(yùn)動(dòng)軌跡主要受銀河系中心致密天體的萬(wàn)有引力影響，根據(jù)上述數(shù)據(jù)及日常的天文知識(shí)，可以推出()A．S2與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比B．銀河系中心致密天體與太陽(yáng)的質(zhì)量之比C．S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的速度大小之比D．S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的加速度大小之比答案：BCD解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2a，兩焦點(diǎn)的距離為2c，則偏心率0.87＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(c,a)，且由題知Q與O的距離約為120AU，即a－c＝120AU，由此可得出a與c。由于S2是圍繞致密天體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力定律，Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，即Geq\f(M,r2)＝ω2r，與m無(wú)關(guān)，可知無(wú)法求出兩者的質(zhì)量之比，故A錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有eq\f(a3,T2)＝k，式中k是與中心天體的質(zhì)量M有關(guān)，且與M成正比，所以，對(duì)S2圍繞致密天體運(yùn)動(dòng)有eq\f(a3,Teq\o\al(2,S2))＝k致∝M致，對(duì)地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)有eq\f(req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地))＝k太∝M太，兩式相比，可得eq\f(M致,M太)＝eq\f(a3Teq\o\al(2,地),req\o\al(3,地)Teq\o\al(2,S2))，因S2的半長(zhǎng)軸a、周期TS2、日地之間的距離r地、地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期T地都已知，故由上式，可以求出銀河系中心致密天體與太陽(yáng)的質(zhì)量之比，故B正確；根據(jù)開(kāi)普勒第二定律有eq\f(1,2)lPRP＝eq\f(1,2)lQRQ，則有eq\f(1,2)vPtRP＝eq\f(1,2)vQtRQ，eq\f(1,2)vPeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))＝eq\f(1,2)vQeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))，解得eq\f(vP,vQ)＝eq\f(a－c,a＋c)，因a、c已求出，故可以求出S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的速度大小之比，故C正確；S2不管是在P點(diǎn)，還是在Q點(diǎn)，都只受致密天體的萬(wàn)有引力作用，根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，因P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為a＋c，Q點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為a－c，解得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))2)，因a、c已求出，故可以求出S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的加速度大小之比，故D正確。故選BCD。6．(2023·安徽蚌埠一模)如圖所示，哈雷彗星在近日點(diǎn)與太陽(yáng)中心的距離為r1，線速度大小為v1，加速度大小為a1；在遠(yuǎn)日點(diǎn)與太陽(yáng)中心的距離為r2，線速度大小為v2，加速度大小為a2，則()A．eq\f(v1,v2)＞eq\r(\f(r2,r1)) B．eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))C．eq\f(a1,a2)＝eq\f(veq\o\al(2,1)req\o\al(2,2),veq\o\al(2,2)req\o\al(2,1)) D．eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)答案：A解析：由于哈雷彗星做的不是圓周運(yùn)動(dòng)，在近日點(diǎn)做離心運(yùn)動(dòng)，在遠(yuǎn)日點(diǎn)做近心運(yùn)動(dòng)，因此不能通過(guò)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力計(jì)算其在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的線速度之比，需通過(guò)開(kāi)普勒第二定律求解，設(shè)在極短時(shí)間Δt內(nèi)，在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)哈雷彗星與太陽(yáng)中心的連線掃過(guò)的面積相等，即有eq\f(1,2)v1Δt·r1＝eq\f(1,2)v2Δt·r2，可得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，故eq\f(v1,v2)＞eq\r(\f(r2,r1))，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)近日點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))＝ma1，對(duì)遠(yuǎn)日點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm,req\o\al(2,2))＝ma2，聯(lián)立解得eq\f(a1,a2)＝eq\f(req\o\al(2,2),req\o\al(2,1))，故C、D錯(cuò)誤。故選A。7．假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))eq\s\up8(2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))eq\s\up8(2)答案：A解析：如圖所示，根據(jù)題意，地面與礦井底部之間的環(huán)形部分對(duì)處于礦井底部的物體引力為零。設(shè)地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，地球表面的物體m受到的重力近似等于萬(wàn)有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，又M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，故g＝eq\f(4,3)πρGR；設(shè)礦井底部的重力加速度為g′，圖中陰影部分所示球體的半徑r＝R－d，則g′＝eq\f(4,3)πρG(R－d)，聯(lián)立解得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，故A正確。8．中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所主持研制的“海斗一號(hào)”在無(wú)纜自主模式下刷新了中國(guó)下潛深度紀(jì)錄，最大下潛深度超過(guò)了10000米，首次實(shí)現(xiàn)了無(wú)纜無(wú)人潛水器萬(wàn)米坐底并連續(xù)拍攝高清視頻影像。若把地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，且球殼對(duì)球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為零，忽略地球的自轉(zhuǎn)，則下列關(guān)于“海斗一號(hào)”下潛所在處的重力加速度大小g和下潛深度h的關(guān)系圖像可能正確的是()答案：D解析：設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球的半徑為R，“海斗一號(hào)”下潛h深度后，以地心為球心、以R－h(huán)為半徑的球體的質(zhì)量為M′，則根據(jù)密度相等有eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(M′,\f(4,3)π（R－h(huán)）3)，由于球殼對(duì)球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為零，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有Geq\f(M′m,（R－h(huán)）2)＝mg，聯(lián)立以上兩式并整理可得g＝eq\f(GM,R3)(R－h(huán))＝－eq\f(GM,R3)h＋eq\f(GM,R2)，由該表達(dá)式可知D正確，A、B、C錯(cuò)誤。9．(2024·四川成都模擬)將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點(diǎn)時(shí)，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時(shí)，該物體的重力為mg。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的質(zhì)量為eq\f(gR2,G)C．地球自轉(zhuǎn)的角速度為eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度為eq\f(3g,4πGR)答案：C解析：設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體在赤道處隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，軌道半徑等于地球半徑，物體在赤道上受到的重力和物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是萬(wàn)有引力的分力，有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物體在兩極受到的重力等于萬(wàn)有引力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A錯(cuò)誤；在兩極有Geq\f(Mm,R2)＝mg0，解得M＝eq\f(g0R2,G)，故B錯(cuò)誤；由Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得ω＝eq\r(\f(g0－g,R))，故C正確；地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g0,4πGR)，故D錯(cuò)誤。10．如圖為“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器進(jìn)入火星停泊軌道(如圖所示的橢圓軌道)示意圖。若火星可視為半徑為R的質(zhì)量均勻分布的球體，軌道的近火點(diǎn)P離火星表面的距離為L(zhǎng)1，遠(yuǎn)火點(diǎn)Q離火星表面的距離