2020春北師版九年級數(shù)學下冊 第3章全章教案

垂徑定理

教學目標：

(1)知識與技能

理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算

和證明；

(2)過程與方法

進一步培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；

(3)情感態(tài)度與價值觀

通過圓的對稱性，培養(yǎng)學生對數(shù)學的審美觀，并激發(fā)學生對數(shù)學的熱愛.

教學重點、難點：

重點：①垂徑定理及應用；②從感性到理性的學習能力.

難點：垂徑定理的證明.

教學學習活動設計：

(一)實驗活動，提出問題：

1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發(fā)現(xiàn)：圓具

有軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)不變性.

2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.通過“演示實

驗一一觀察一一感性一一理性”引出垂徑定理.

(二)垂徑定理及證明：已知：在。0中，CD是直徑，AB是弦，CD±AB,垂

足為E.求證：AE=EB.

證明：連結OA、0B,則OA=OB.又?.?CD_LAB,.?.直線CD是等腰aOAB的對稱軸，

又是。0的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B

點重合，AE和BE重合，因此，AE=BE.從而得到圓的一條重要性質(zhì).

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：CD為。0的直徑，

CD1ABAE=EB.

為了運用的方便，不易出現(xiàn)錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③

平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.

加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混.

(三)應用和訓練例1、已知在。0中，弦AB的長為8cm,圓心0到AB的距

離為3cm,求。。的半徑.

分析：要求。。的半徑，連結0A,只要求出0A的長就可以了，因為已知條件點

0至ijAB的距離為3cm,所以作OE±AB于E,而AE=EB='AB=4cm.止匕時解RtAAOE

2

即可.

解：連結0A,作OELAB于E.則AE=EB.VAB=8cm,/.AE=4cm.

又,?0E=3cm,二00的半徑為5cm.

說明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線

段的長:弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h關系：r=h+d；r2=d2+（a/2）2

例2、已知：在以0為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求

證AC=BD.（證明略）

說明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成.

練習1：教材中練習1,2兩道題.由學生分析思路，學生之間展開評價、交流.指

導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦

長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經(jīng)常作的輔助

線一一弦心距.

（四）小節(jié)與反思

（1）圓的軸對稱性；（2）垂徑定理及應用.

方法：（1）垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法,

構造直角三角形；（2）在因中解決與弦有關問題經(jīng)常作的輔助線一一弦心距；（3）

為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平

分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.

（五）作業(yè)教材.

課時作業(yè)設計

一、選擇題.

1.如圖1,如果AB為。。的直徑，弦CDJ_AB,垂足為E,那么下列結論中,

錯誤的是（）.

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AOAD

2.如圖2,00的直徑為10,圓心0到弦AB的距離0M的長為3,則弦AB的長

是（）

A.4B.6C.7D.8

3.如圖3,在。0中，P是弦AB的中點，CD是過點P的直徑，則下列結論中不

正確的是()

A.AB±CDB.ZA0B=4ZACDC.AD=BDD.PO=PD

二、填空題

1.如圖4,AB為如0直徑,E是中點如E交BC于點D,BD=3,AB=10,則AC=

(4)(5)

2.P為。0內(nèi)一點，0P=3cm,00半徑為5cm,則經(jīng)過P點的最短弦長為—

最長弦長為?

3.如圖5,0E、0F分別為。0的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF,那么____

(只需寫一個正確的結論)

三、綜合提高題

1.如圖24-11,AB為。。的直徑，CD為弦,過C、D分別作CNJ_CD、DM1CD,

分別交AB于N、M,請問圖中的AN與BM是否相等，說明理由.

2.如圖，。。直徑AB和弦CD相交于點E,AE=2,EB=6,ZDEB=30°,求弦CD

長.

D

3.(開放題)AB是。。的直徑，AC、AD是。。的兩弦，已知AB=16,AC=8,AD=8,

求NDAC的度數(shù).

答案:

一、1.D2.D3.D

二、1.82.8103.AB=CD

三、1.AN=BM理由：過點0作0E_LCD于點E,則CE=DE,且CN〃0E〃DM.

.?.0N=0M,/.0A-0N=0B-0M,

/.AN=BM.

2.過。作0F_LCD于F,如右圖所示

VAE=2,EB=6,r.0E=2,

，EF=G,0F=l,連結0D,

在RtAODF中，42=12+DF2,DF=厲，；.CD=2后.

3.(1)AC、AD在AB的同旁，如右圖所示:

VAB=16,AC=8,AD=8百，

.\-AC=-(，AB),.,.ZCAB=60°,

222

同理可得NDAB=30°,

/.ZDAC=30°.

(2)AC、AD在AB的異旁，同理可得：ZDAC=60°+30°=90°.

弧長和扇形面積

教學目標

（-）知識與技能

1.經(jīng)歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程；

2.了解弧長計算公式及扇形面積計算公式，并會應用公式解決問題.

（二）過程與方法

1.經(jīng)歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程，培養(yǎng)學生的探索能

力.

2.了解弧長及扇形面積公式后，能用公式解決問題，訓練學生的數(shù)學運用

能力.

（三）情感態(tài)度與價值觀

1.經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計算公式，讓學生體驗教學活動充滿著探索與

創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結論的確定性.

2.通過用弧長及扇形面積公式解決實際問題，讓學生體驗數(shù)學與人類生活

的密切聯(lián)系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高他們的學習積極性，同時提高大家

的運用能力.

教學重點

1.經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程.

2.了解弧長及扇形面積計算公式.

3.會用公式解決問題.

教學難點

1.探索弧長及扇形面積計算公式.

2.用公式解決實際問題.

教學方法

學生互相交流探索法

教學過程

I.創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］在小學我們已經(jīng)學習過有關圓的周長和面積公式，弧是圓周的一部分，

扇形是圓的一部分，那么弧長與扇形面積應怎樣計算？它們與圓的周長、圓的面

積之間有怎樣的關系呢？本節(jié)課我們將進行探索.

n.新課講解

一、復習

i.圓的周長如何計算？

2.圓的面積如何計算？

3.圓的圓心角是多少度？

［生］若圓的半徑為人則周長1=2"八面積S=口3圓的圓心角是360°.

二、探索弧長的計算公式

如圖，某傳送帶的一個轉(zhuǎn)動輪的半徑為10cm.

(1)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品力被傳送多少厘米？

(2)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°,傳送帶上的物品力被傳送多少厘米？

(3)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn),傳送帶上的物品/被傳送多少厘米？

［師］分析：轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品應被傳送一個圓的周長；因為圓

的周長對應360°的圓心角，所以轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°,傳送帶上的物品力被傳送圓周

長的-L;轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)〃°，傳送帶上的物品/被傳送轉(zhuǎn)1°時傳送距離的〃倍.

360

［生］解：⑴轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品/被傳送2萬X10=20萬cm；

(2)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°,傳送帶上的物品/被傳送3匹=2cm；

36018

(3)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn))°,傳送帶上的物品/被傳送〃義跑=BL=cm.

360180

［師］根據(jù)上面的計算，你能猜想出在半徑為不的圓中，n。的圓心角所對的

弧長的計算公式嗎？請大家互相交流.

［生］根據(jù)剛才的討論可知，360°的圓心角對應圓周長2”兄那么1°的圓

心角對應的弧長為鄴的圓心角對應的弧長應為1°的圓心角對應的

360180

弧長的〃倍，即“X變＞=理.

180180

［師］表述得非常棒.

在半徑為A的圓中，n的圓心角所對的弧長(arclength)的計算公式為:

180

下面我們看弧長公式的運用.

三、例題講解

制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算下圖中

管道的展直長度，即AB的長(結果精確到0.1mm).

分析：要求管道的展直長度，即求A8的長，根根弧長公式/=巴上可求得

180

A3的長，其中刀為圓心角，彳為半徑.

解：7?=40mm,z?=110.

，A8的長='-—X40開心76.8mm.

因此，管道的展直長度約為76.8mm.

四、想一想

在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長3m的繩子，繩子的另

一端拴著一只狗.

(1)這只狗的最大活動區(qū)域有多大？

(2)如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過〃。角，那么它的最大活動區(qū)域有多大？

［師］請大家互相交流.

［生］(1)如圖(1)，這只狗的最大活動區(qū)域是圓的面積，即9萬；

(2)如圖(2),狗的活動區(qū)域是扇形，扇形是圓的一部分，360°的圓心角對

應的圓面積，1°的圓心角對應圓面積的一!一，即」—X9/=正，n°的圓心角

36036040

對應的圓面積為〃Xe=處.

4040

［師］請大家根據(jù)剛才的例題歸納總結扇形的面積公式.

［生］如果圓的半徑為/?,則圓的面積為萬"，1°的圓心角對應的扇形面積為

哈，〃。的圓心角對應的扇形面積為〃?%:嚼.因此扇形面積的計算公

式為s1s形=」-萬#，其中A為扇形的半徑，〃為圓心角.

360

五、弧長與扇形面積的關系

［師］我們探討了弧長和扇形面積的公式，在半徑為A的圓中，n的圓心角

a

所對的弧長的計算公式為1=」一頁R,n的圓心角的扇形面積公式為S扁形=

180

’-乃川，在這兩個公式中，弧長和扇形面積都和圓心角〃.半徑A有關系，因

360

此,和S之間也有一定的關系，你能猜得出嗎？請大家互相交流.

=

［生］,［1---刀R,S扇彩=刀R，

180360

二—萬#=17?.2LJTR,二sm=-1R.

36021802

六、扇形面積的應用

扇形4班的半徑為12cm,N4仍=120°,求AB的長（結果精確到0.1cm）和

扇形/防的面積（結果精確到0.1cm2）

分析：要求弧長和扇形面積，根據(jù)公式需要知道半徑〃和圓心角〃即可，本

題中這些條件已經(jīng)告訴了，因此這個問題就解決了.

解：A8的長=上萬X12弋25.1cm.

180

170

s=—〃x12,心150.7cm2.

m360

因此，AB的長約為25.1cm,扇形4仍的面積約為150.7cm、

m.課堂練習

IV.課時小結

本節(jié)課學習了如下內(nèi)容：

1.探索弧長的計算公式/=」-"R并運用公式進行計算；

180

2.探索扇形的面積公式S='-并運用公式進行計算；

360

3.探索弧長/及扇形的面積S之間的關系，并能已知一方求另一方.

V.課后作業(yè)

練習

VI.活動與探究

如圖，兩個同心圓被兩條半徑截得的AB的長為6"cm,CO的長為10》

cm,又力C=12cm,求陰影部分的面積.

分析:要求陰影部分的面積，需求扇形。切的面積與扇形/防的面積之差.根

據(jù)扇形面積5=-1R,1已知，則需要求兩個半徑0C與0A,因為OC=OA+AC,

2

力。已知，所以只要能求出勿即可.

解：設/=兄OC=R+12,/0=n°,根據(jù)已知條件有：

671=HR①

V180

10TI=—n(R+12)②

I180

他得3一上

②‘5R+12

/.3(7?+12)=5/?,.?./?=18.

.?.%=18+12=30.

2

，S=S扇形網(wǎng)一S扇形被='X10"X30-，義6"X18=96Jicm.

22

所以陰影部分的面積為96萬cm3.

切線的判定

教學目標：1、理解切線的判定定理，并并能初步運用它解決簡單的問題。

2、知道判定切線的常用的三種方法，初步掌握方法的選擇。

3、掌握在解決切線的問題中常用的輔助線的作法。

情感態(tài)度：通過判定定理的學習，培養(yǎng)學生觀察、分析和歸納問題的能力，并激

發(fā)學生學習數(shù)學的興趣；。

教學重點：切線的判定定理的理解和應用。

教學難點：理解切線判定定理的中的兩個條件：一是經(jīng)過半徑的外端；二是直線

垂直于這條半徑。

教學過程:

一、創(chuàng)設情景,導入新課。

問題：直線和圓有幾種位置關系？你是如何來判斷這幾種位置關系的？

在學生回答后再展示相應的位置關系及判斷的方法：

圖（1）相交P圖（2）相切，

判斷的方法：（1）根據(jù)直線與圓的交點的個數(shù)；

（2）圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系。

教師強調(diào)：圖（2）中的直線與圓相切，我們可以通過上述兩種方法來判

斷它們的位置關系。但在實際問題中如果我們始終用尋找交點的個數(shù)和

圓心到直線的距離來判斷很不方便，也難于操作，還有沒有其它的方法

呢？（引導學生思考）

二，啟發(fā)學生，探究新知。

1、待學生思考后，可能沒有什么發(fā)現(xiàn)。我們可以讓

學生在觀察剛才的圖（2）,提示學生可再任作一條半徑。

如圖（4）所示：

教師引導：回顧圖（2）中判斷直線1與圓相

切的方法:利用圓心0到直線1的距離等于圓

的半徑。

2、教師啟發(fā):

（1）你能否把上面的文字敘述的條件改成數(shù)學語言呢？

可由學生積極思考，討論，然后給出參考的答案:

距離0A：改寫成OAJ_1;

等于半徑：改寫成OA=r;

垂足A在半徑0A上且為半徑的一個端點。

（2）你能嘗試在不改變句子意思的條件下把上面的文字敘述的命題

改成意思相同的命題嗎？

學生改寫后交流，然后在集體討論交流的基礎上得出：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（這就是我們今天

要學習的內(nèi)容：圓的切線的判定，并板書課題）

（3）熟悉定理，分析命題的題設和結論，并能用幾何語言表示它們。

如圖：題設兩條件：①經(jīng)過半徑的外端；②垂直于這條半徑。

幾何語言的表示：?.?直線1_LOA,1經(jīng)過半徑0A的外端

,直線1為圓0的切線。

教師強調(diào)：上述兩個條件缺一不可。

（4）學生思考：為什么不能缺少條件？能否舉出反例。

圖（6）經(jīng)過半徑的外端但不與半徑垂直；圖（7）與直線垂直，但沒有經(jīng)過

半徑的外端，都不是圓的切線。加強學生的認識，判斷圓的切線時，這兩個條件

缺一不可。

三，互動深化。

1、例1,如圖（8）,已知4ABC內(nèi)接于，00

的直徑AE交BC于點F,點B在BC的延長線上，且

CAP=ZABC；求證：PA是。。的切線。

分析:依據(jù)題目的條件有半徑0A且PA經(jīng)過0A

的外端,對照定理只須證PA±0A就可以了。

證明：連接CE

VAE是。A的直徑

.'.NACE=90°

/.ZE+ZEAC=90o

VZE=ZABCZABC=ZCAP

.\ZE=ZCAP

ZCAP+ZEAC=ZE+ZEAC=90°

BPZ0AP=90°

...PA_L0A,且PA經(jīng)過A點

...PA為的。0切線。

教師點評：依據(jù)定理判斷切線時對照定理需要

的條件，看已知條件滿足其中的什么條件，再證明

或查找另一個條件就可以了。

2、教學例2,如圖（10）,CD是aABC中AB邊上的高，以CD為直徑的。0

分別交CA,CB于點E、F,點G是AD的中點，求證：GE是。。的切線。

分析：E是GE上的點又是。0上的一點，連接DE就是。。的半徑，對照判

定定理只需證明GE1OE就行。

證明：連接0E、DE

?；CD是。0的直徑

ZAED=ZCED=90°

?G是AD的中點

AEG=1/2AD=DG

/.ZDEG=ZEDG

V0E=0D

.,.ZDE0=ZED0

/.ZDEG+ZDE0=ZEDG+ZED0

即NE0G=NCDA

VCD1AB

.*.ZCDA=90o

/.ZEG0=ZCDA=90o

：DE是。0半徑

.?.GE是。。的切線。

教師點評：在已知條件中當這條直線過圓上某一個點時，通常情況下，先連

接圓心與這個公共點就成為半徑，然后再證明直線與這條半徑垂直。

3、教學例3,如圖（13）,在AABC中，ADLBC于D,且AD=%BC,E、F分

別是AB、AC的中點，0為EF的中點。

求證：以EF為直徑的圓0與BC相切。

分析：本題對照切線的判定方法都沒有可用的條件，既沒半徑，又沒垂直,

可過0作0H_LBC于Ho

證明：過0作0H_LBC于H

?E、F是AB、AC的中點

.,.EF=l/2BC

M是AD的中點，MD=1/2AD

VAD=1/2BC

，EF=AD

AMD=1/2EF

VAD±BCOH±BC

AOHMD

則四邊形OHDM是矩形

/.OH=MD=l/2EF

，0H為。。的半徑.

XV0H1BC

...以EF為直徑的圓0與BC相切。

教師點評：證明切線時，已知條件沒有直接可用的條件，既沒有公共點，也

沒有垂直時，通常情況下，可以過圓心作這條直線的垂線，然后再證明這條垂線

段等于半徑。

四，應用創(chuàng)新

1、如圖（9）,AB是。0的直徑，ZABT=，/I\45°,AT

=AB。求證：AT是00的切線。XI°/

2、如圖RtZ\ABC中，ZABC=90°,以AB為直

徑的。。交AC于點E、點D是BC的中點、連接DE。

求證：DE與。。相切。

BDC

圖（11）

3,如圖AABC中，AB=AC,0是BC的中點,

?0與AB相切于點D.

五，課堂小結

切線的判定定理。

判定一條直線是圓的切線的方法。

（1）定義：直線和圓有唯一公共點。

（2）數(shù)量關系：直線到圓心的距離等于半徑。

（3）判定定理：經(jīng)過半徑的外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線。

3、輔助線作法：

（1）有公共點：作半徑證垂直。

（2）無公共點：作垂直證半徑。

六,反饋評價。

1、如圖，AB是。0的直徑，ZBAC=30°,M是0A

上一點，過M作AB垂線交AC于點N,交BC的延長線

于點E,直線CF交EN于點F,且NECF=NE。

求證：CF是。0的切線。（有公共點的情況）

2、如圖、DB是圓0的直徑，點A在BD的延長線上AB=OB,ZCAD=30°

求證：AC是。0的切線。（屬于沒有公共點的

情況）

確定圓的條件

教學目標

（一）教學知識點

了解不在同一條直線上的三個點確定一個圓，以及過不在同一條直線上的三

個點作圓的方法，了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念.

（二）能力訓練要求

1.經(jīng)歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，培養(yǎng)學生的探

索能力.

2.通過探索不在同一條直線上的三個點確定一個圓的問題，進一步體會解

決數(shù)學問題的策略.

（三）情感與價值觀要求

1.形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐

能力與創(chuàng)新精神.

2.學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.

教學重點

1.經(jīng)歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，并能掌握這個

結論.

2.掌握過不在同一條直線上的三個點作圓的方法.

3.了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念.

教學難點

經(jīng)歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，并能過不在同一條

直線上的三個點作圓.

教學方法

教師指導學生自主探索交流法.

教學過程

I.創(chuàng)設問題情境，引入新課［師］我們知道經(jīng)過一點可以作無數(shù)條直線，經(jīng)

過兩點只能作一條直線，那么，經(jīng)過一點能作幾個圓?經(jīng)過兩點、三點……呢？

本節(jié)課我們將進行有關探索.

II.新課講解

1.回憶及思考

1).線段垂直平分線的性質(zhì)及作法.

2).作圓的關鍵是什么？

［生］1).線段垂直平分線的性質(zhì)是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點

的距離相等.

作法：如圖，分別以A、B為圓心，以大于5AB長為半徑畫弧，在AB的兩

側找出兩交點C、D,作直線CD,則直線CD就是線段AB的垂直平分線，直線CD

上的任一點到A與B的距離相等.

［師］我們知道圓的定義是：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖

形叫做圓.定點即為圓心，定長即為半徑，根據(jù)定義大家覺得作圓的關鍵是什么？

［生］由定義可知，作圓的問題實質(zhì)上就是圓心和半徑的問題.因此作圓的關

鍵是確定圓心和半徑的大小.確定了圓心和半徑，圓就隨之確定.

2.做一做

(1)作圓，使它經(jīng)過已知點A,你能作出幾個這樣的圓？

(2)作圓，使它經(jīng)過已知點A、B.你是如何作的?你能作出幾個這樣的圓？其

圓心的分布有什么特點?與線段AB有什么關系?為什么？

(3)作圓，使它經(jīng)過已知點A、B、C(A、B、C三點不在同一條直線上).你是

如何作的?你能作出幾個這樣的圓？

［師］根據(jù)剛才我們的分析已知，作圓的關鍵是確定圓心和半徑，下面請大家

互相交換意見并作出解答.

［生］(1)因為作圓實質(zhì)上是確定圓心和半徑，要經(jīng)過已知點A作圓，只要圓

心確定下來，半徑就隨之確定了下來.所以以點A以外的任意一點為圓心，以這

一點與點A所連的線段為半徑就可以作一個圓.由于圓心是任意的.因此這樣的

圓有無數(shù)個，如圖(1).

(2)已知點A、B都在圓上，它們到圓心的距離都等于半徑.因此圓心到A、

B的距離相等.根據(jù)前面提到過的線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，線段的垂直平

分線上的點到線段兩端點的距離相等，則圓心應在線段AB的垂直平分線上.在

AB的垂直平分線上任意取一點，都能滿足到A、B兩點的距離相等，所以在AB

的垂直平分線上任取一點都可以作為圓心，這點到A的距離即為半徑.圓就確定

下來了.由于線段AB的垂直平分線上有無數(shù)點，因此有無數(shù)個圓心，作出的圓

有無數(shù)個.如圖(2).

(3)要作一個圓經(jīng)過A、B、C三點，就是要確定一個點作為圓心，使它到三

點的距離相等.因為到A、B兩點距離相等的點的集合是線段AB的垂直平分線，

到B、C兩點距離相等的點的集合是線段BC的垂直平分線，這兩條垂直平分線的

交點滿足到A、B、C三點的距離相等，就是所作圓的圓心.

因為兩條直線的交點只有一個，所以只有一個圓心，即只能作出一個滿足條

件的圓.

［師］大家的分析很有道理.究竟應該怎樣找圓心呢?

3.過不在同一條直線上的三點作圓.

作法圖示

A

1.連結AB、BC

-------C

2.分別作AB、BC的垂直平分線DE和

FG,DE和FG相交于點0L_c

(

3.以0為圓心，0A為半徑作圓。0就

是所要求作的圓

他作的圓符合要求嗎?與同伴交流.

［生］符合要求.

因為連結AB,作AB的垂直平分線ED,則ED上任意一點到A、B的距離相等,

連結BC,作BC的垂直平分線FG,則FG上的任一點到B、C的距離相等.ED與

FG的交點0滿足OA=OB=OC,因此這樣的畫法滿足條件.

［師］由上可知，過已知一點可作無數(shù)個圓，過已知兩點也可作無數(shù)個圓，過

不在同一條直線上的三點可以作一個圓，并且只能作一個圓.

不在同一直線上的三個點確定一個圓.

4.有關定義

由上可知，經(jīng)過三角形的三個頂點可以

作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓(circumcircleoftriangle).這個

三角：形叫這個圓的內(nèi)接三角形.

外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心

(circumcenter).

III.課堂練習

已知銳角三角形、直角-三角形、鈍角三角形，分別作出它們的外接圓.它

們外心的位置有怎樣的特點？

解：如下圖.

銳角三角形直角三角形鈍角三角形

0為外接圓的圓心，即外心.

銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊上，鈍角三角

形的外心在三角形的外部.

IV.課時小結

本節(jié)課所學內(nèi)容如下：

1.經(jīng)歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程.

2.過不在同一條直線上的二個點作圓的方法.

3.了解三角形的外接圓，三角形的外心等概念.

V.課后作業(yè)

習題

VI.活動與探究

如下圖，CD所在的直線垂直平分線段AB.怎樣使用這樣的工具找到圓形工

件的圓心？

解：因為A、B兩點在圓上，所以圓心必與A、B兩點的距離相等，又因為和

一條線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.所以圓心在CD

所在的直線上.因此使用這樣的工具可以作出圓形工件的任意兩條直徑.它們的

交點就是圓心.

板書設計

確定圓的條件

一、1.回憶及思考

2.做一做

3.過不在同一條直線上的三點作圓.

4.有關定義

二、課堂練習

三、課時小結

四、課后作業(yè)

三角形的內(nèi)切圓

教學目標

1、使學生學會作三角形的內(nèi)切圓.

2、理解三角形內(nèi)切圓的有關概念.

3、掌握三角形的內(nèi)心、外心的位置、數(shù)量特征.

4、會關于內(nèi)心的一些角度的計算.

教學重點：

掌握三角形內(nèi)切圓的畫法、理解三角形內(nèi)切圓的有關概念.同三角形的外接圓一

樣，務必使學生準確掌握三角形內(nèi)切圓的畫法.

教學難點：

畫鈍角三角形的內(nèi)切圓，學生極有可能畫出與三角形的邊相交或相離的情形.

教學過程：

一、新課引入：

我們已經(jīng)學習過三角形的外接圓的畫法及有關概念，現(xiàn)在我們用同樣的思想方法

來研究三角形的內(nèi)切圓的畫法及有關概念.

二、新課講解：

在一塊三角形的紙片上，怎樣才能剪下一個面積最大的圓呢？實際上它就是作圖

問題：

例1作圓，使它和已知三角形的各邊都相切.

已知：△ABC.

求作：和AABC的三邊都相切的圓.

讓學生展開討論，教師指導學生發(fā)現(xiàn)，作圓的關鍵是確定圓心，因為所求圓與△

ABC的三邊都相切，所以圓心到三邊的距離相等，顯然這個點既要在NB的平分

線上，又要在NC的平分線上.那它就應該是兩條角平分線的交點，而交點到任

何一邊的垂線段長就是該圓的半徑.

學生動手畫，教師巡視.當所有學生把銳角三角形的內(nèi)切圓畫出來時，教師可打

開計算機或幻燈機給同學們作演示，演示的過程一定要分步驟進行.然后學生按

左右分別畫直角三角形和鈍角三角形的內(nèi)切圓.這時學生在畫鈍角三角形的內(nèi)切

圓時，可能出現(xiàn)與邊相交或相離的情形，這很正常，教師要幫助學生加以糾正，

并最終指導學生完成下列問題：

1.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形：

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)

心，這個三角形叫做圓的外切三角形.

2.多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形：

和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊

形.

3.內(nèi)心是什么的交點？

內(nèi)心是三角形三個角的平分線的交點.

4.內(nèi)心有什么數(shù)量特征？

內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.

5.內(nèi)心的位置：三角形的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部.

（三）重點、難點的學習與目標完成過程.

關于三角形內(nèi)切圓的有關概念，與三角形的外接圓類似，三角形的內(nèi)切圓是直線

和圓的位置關系中的一個非常重要的位置.待學生理解了有關概念后，可在黑板

上采取對比的方式.如：

三角形的外接圓

三角形的內(nèi)切圓

1.定

義

1.定義

2.外

心

2.內(nèi)心

3.圓的內(nèi)接三角

形3.圓的

外切三角形

4.外心是誰的交

點4.內(nèi)心

是誰的交點

5.外心的數(shù)量特

征5.內(nèi)心

的數(shù)量特征

6.外心的位

置

6.內(nèi)心的位置

7.三角形外接圓的畫

法7.三角形內(nèi)切圓的畫

法

8.外接圓的唯一性與內(nèi)接三角形的多重性8.內(nèi)切圓的唯一性與外切三角形的

多重性.

練習一，0是4ABC的內(nèi)心，則0A平分NBAC對不對？為什么？

練習二，0是aABC的內(nèi)心，ZBAC=100°,則N0AC=50°,對不對？

練習三，Z0AC=40°,則NB+NC等于多少度？

這是一組強化三角形內(nèi)心性質(zhì)的習題，逐題增加了靈活度，教學中也可就不同班

級選用.

三、課堂小結：

學生閱讀教材后總結出本課的主要內(nèi)容：

1.會作各種三角形的內(nèi)切圓.

2.定義三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心及圓的外切三角形.

3.內(nèi)心是誰的交點：位置如何？它有什么位置關系？

四、布置作業(yè)

圓的對稱性

教學目標

（一）教學知識點

1.圓的軸對稱性.

（二）能力訓練要求

1.經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關性質(zhì)的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方

法.

2.培養(yǎng)學生獨立探索、相互合作交流的精神.

教學過程

I.創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］前面我們已探討過軸對稱圖形，哪位同學能敘述一下軸對稱圖形的定義？

［生］如果一個圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個

圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸.

［師］我們是用什么方法研究了軸對稱圖形？

［生］折疊.

［師］今天我們繼續(xù)用前面的方法來研究圓的對稱性.

II.講授新課

［師］同學們想一想：圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少

條對稱軸？

［生］圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸，有無數(shù)條對稱軸.

［師］是嗎？你是用什么方法解決上述問題的？大家互相討論一下.

［生］我們可以利用折疊的方法，解決上述問題.把一個圓對折以后，圓的兩半部分重

合，折痕是一條過圓心的直線，由于過圓心可以作無數(shù)條直線，這樣便可知圓有無數(shù)條對稱

軸.

［師］很好.

教師板書：

圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線.

下面我們來認識一下弧、弦、直徑這些與圓有關的概念.

1.圓?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧(arc).

2.弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦(chord).

3.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫直徑(diameter).

如下圖，以力、6為端點的弧記作48,讀作“圓弧四”或“弧您'；線段四是

的一條弦，弧切是。。的一條直徑.

注意：

1.弧包括優(yōu)弧(majorarc)和劣弧(minorarc),大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的

弧稱為劣弧.如上圖中，以/、〃為端點的弧有兩條：優(yōu)弧力切(記作ACD),劣弧力加(記

作A。）.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫半圓弧，簡稱半

圓.半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧.

2.直徑是弦，但弦不一定是直徑.

下面我們一起來做一做：（出示投影片§3.2.1A）

按下面的步驟做一做：

1.在一張紙上任意畫一個。0,沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重

合.

2.得到一條折痕G9.

3.在。。上任取一點力，過點4作切折痕的垂線，得到新的折痕，其中，點"是兩條

折痕的交點，即垂足.

4.將紙打開，新的折痕與圓交于另一點8,如上圖.

［師］老師和大家一起動手.

（教師敘述步驟，師生共同操作）

［師］通過第一步，我們可以得到什么？

［生齊聲］可以知道：圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸.

［師］很好.在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的??？

［生］我發(fā)現(xiàn)了，AM=BM,AC=BC,AD=BD.

［師］為什么呢？

［生］因為折痕4V與8"互相重合，1點與6點重合.

［師］還可以怎么說呢？能不能利用構造等腰三角形得出上面的等量關系？

［師生共析］如下圖示，連接M仍得到等腰即以=如因SL/8,故△加/

與△如獷都是打△,又〃獷為公共邊，所以兩個直角三角形全等，則4仁6隊又。。關于直

徑切對稱，所以4點和6點關于切對稱，當圓沿著直徑切對折時，點A與點6重合，AC

與重合，與方重合.因此41/=的入AC=BC,AD=BD.

m.課時小結

i.本節(jié)課我們探索了圓的對稱性.

2.利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理.

3.垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等

問題.

IV.課后作業(yè)

(一)課本

(二)1.預習內(nèi)容：

2.預習提綱：

(1)圓是中心對稱圖形.

(2)圓心角、弧、弦之間相等關系定理.

V.活動與探究

1.銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道.如圖所示,

污水水面寬度為60cm,水面至管道頂部距離為10cm,問修理人員應準備內(nèi)徑多大的管道？

［過程］讓學生在探究過程中，進一步把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，掌握通過作輔助線

構造垂徑定理基本結構圖，進而發(fā)展學生的思維.

［結果］

如下圖示，連結04過。作施LL46,垂足為色交圓于尸，則力￡=，46=30cm.令O

2

。的半徑為兄則/=凡O￡=OF-EF=R-\Q.在火力中，OAl=A^+OJi,即*=30?

+(7?-10)、解得"=50cm.修理人員應準備內(nèi)徑為100cm的管道.

板書設計

圓的對稱性

一、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直徑.

二、與圓有關的概念：

1.圓弧

2.弦

3.直徑

注意：弧包括優(yōu)弧、劣弧、半圓.

三、課堂練習

四、課時小結

五、課后作業(yè)

圓的認識

教學內(nèi)容

圓的有關概念.

教學目標

知識與技能

了解圓的有關概念，靈活運用圓的概念解決一些實際問題.

過程與方法

從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關概念.利用操

作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸.

重點：圓的概念.

難點：定義圓應該具備的兩個條件.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學口答下面兩個問題（提問一、兩個同學）

1.舉出生活中的圓三、四個.

2.你能講出形成圓的方法有多少種？

老師點評（口答）：（1）如車輪、杯口、時針等.（2）圓規(guī)：固定一個定點，固

定一個長度，繞定點拉緊運動就形成一個圓.

二、探索新知

從以上圓的形成過程，我們可以得出：

在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，回另一個端點所形成

的圖形叫做圓.固定的端點。叫做圓心，線段0A叫做半徑.

以點0為圓心的圓，記作“。0”，讀作“圓0”.

學生四人一組討論下面的兩個問題：

問題1：圖上各點到定點（圓心。）的距離有什么規(guī)律？

問題2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？

老師提問幾名學生并點評總結.

（1）圖上各點到定點（圓心。）的距離都等于定長（半徑r）；

（2）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上.

因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為。，半徑為r的圓可以看成是所有到定

點。的距離等于定長r的點組成的圖形.

同時，我們又把

①連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖線段AC,AB；

②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖線段AB；

③圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以A、C為端點的弧記作AC”，

讀作“圓弧AC”或“弧AC”.大于半圓的?。ㄈ鐖D所示ABC叫做優(yōu)弧，小于半

圓的?。ㄈ鐖D所示）AC或叫做劣弧.

④圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

（學生活動）請同學們回答下面兩個問題.

1.圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱

軸？

2.你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進行交流.

（老師點評）1.圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑，我能找到無數(shù)多條直徑.

3.我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸問題的.

因此，我們可以得到：

圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線.

三、鞏固練習

教材練習.

四、歸納小結（學生歸納，老師點評）

本節(jié)課應掌握：

1.圓的有關概念；

2.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.

五、布置作業(yè)

1.教材

2.車輪為什么是圓的呢？

圓周角與圓心角、弧的關系

一、知識講解：

1.圓周角與圓心角的的概念：

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2.在同圓或等圓中，如果兩條弦，兩條弧，兩個圓心角中有一組量相等，那么它們所

對應的其它各組量都分別相等。

3.一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半。

4.直徑所對的圓周角是90度，90度的圓周角所對的弦是直徑。

5.圓的內(nèi)接四邊形對角之和是180度。

6.弧的度數(shù)就是圓心角的度數(shù)。

解題思路：

1.已知圓周角，可以利用圓周角求出圓心角

2.已知圓心角，可以利用圓心角求出圓周角

3.已知直徑和弧度，可以求出圓周角與圓心角

1.圓周角與圓心角的定義

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

注意圓周角定義的兩個基本特征：

⑴頂點在圓上；

⑵兩邊都和圓相交。

二、教學內(nèi)容

[1]圓心角：頂點在圓心的角。

利用兩個錯誤的圖形來強調(diào)圓周角定義的兩個基本特征:

練習：判斷下列各圖形中的是不是圓周角，并說明理由.

[2]理解圓周角定理的證明

一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角度數(shù)的一半。

已知：。。中，弧BC所對的圓周角是NBAC,圓心角是NBOC,

求證：ZBAC=1/2ZB0C.

分析：通過圖形的演示指導學生進一步去尋找圓心0與NBAC的關系

本題有三種情況：A

(1)圓心。在NBAC的一邊上/彳0

(2)圓心0在NBAC的內(nèi)部//1

(3)圓心0在NBAC的外部BDC

?如果圓心0在NBAC的邊AB上，只要利用三角形內(nèi)角和定理的推論和等腰三角

形的性質(zhì)即可證明

?如果圓心0在NBAC的內(nèi)部或外部，那么只要作出直徑AD,將這個角轉(zhuǎn)化為上述

情況的兩個角的和或差即可

證明:

圓心。在NBAC的一條邊上A

OA=OC==>ZC=ZBACx°

ZBOC=ZBAC+ZC

==>ZBAC=l/2ZB0C.BC

［3］圓周角與圓心角的關系

（1）.在同圓或等圓中，如果兩條弦，兩條弧，兩個圓心角中有一組量相等，那么它

們所對應的其它各組量都分別相等。

（2）.一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半。

（3）.直徑所對的圓周角是90度，90度的圓周角所對的弦是直徑。

（4）.圓的內(nèi)接四邊形對角之和是180度。

（5）.弧的度數(shù)就是圓心角的度數(shù)。

三、精講精練

（-）選擇、填空題：

1.在。0中，同弦所對的圓周角（）

A.相等B.互補C.相等或互補D.都不對

2.如圖，在。0中，弦八口=弦口。則圖中相等的圓周角的對數(shù)是（）

A.5對B.6對C.7對D.8對一一》

3.下列說法正確的是（）禰［

A.頂點在圓上的角是圓周角

B.兩邊都和圓相交的角是圓周角

C.圓心角是圓周角的2倍

D.圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半

4.下列說法錯誤的是（）

A.等弧所對圓周角相等B.同弧所對圓周角相等

C.同圓中，相等的圓周角所對弧也相等.D.同圓中，等弦所對的圓周角相等

5.如圖4,AB是。0的直徑，NAOD是圓心角，NBCD是圓周角.若NBCD=25°,則

ZA0D=.

6.如圖5,。。直徑MNLAB于P,ZBMN=30°,則NA0N=

M

c

N

5

7.。0的弦AB等于半徑，那么弦AB所對的圓周角一定是（）.

A、30°B、150°C、30°或150°D、60°

8.AABC4'，ZB=90°,以BC為直徑作圓交AC于E,若BC=12,AB=12后，則

晶的度數(shù)為（）.

A、60°B、80°C、100°D、120°

9.如圖，AABC是。。的內(nèi)接等邊三角形，D是AB上一點，AB與CD交于E點，則

圖中60°的角共有（）個.

A、3B、4C、5D、6

10.如圖，AABC內(nèi)接于。0,Z0BC=25°,則NA的度數(shù)為（）

A、70°B、65°C、60°D、50°

11.圓內(nèi)接三角形三個內(nèi)角所對的弧長為3:4:5,那么這個三角形

內(nèi)角的度數(shù)分別為.

（二）解答題

1.如圖，以AABC的BC邊為直徑的半圓交AB于D,交AC于E,

過E點作EF1BC,垂足為F,且BF：FC=5：1,AB=8,AE=2,求

的長.

2.如圖，已知圓心角NAOB=100°,求圓周角NACB、NADB的度數(shù)？

3.如圖，0A、OB、0C都是圓0的半徑，ZA0B=2ZB0C.求證：ZACB=2ZBAC

C

4.如圖，已知AABC是等邊三角形，以BC為直徑的。。交AB、AC于D、E.(1)求

證：/XDOE是等邊三角形；(2)如圖3-3T4,若NA=60°,ABWAC,則①中結論是否

成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由？

5.如圖，已知。0中，AB為直徑，AB=10cm,弦AC=6cm,NACB的平分線交。。于D,

求BC、AD和BD的長.

6.如圖，AB是。。的直徑，CDJ_AB于D,AD=9cm,DB=4cm,求CD和AC的長.

7.如圖所示，已知AB為。。的直徑，A