新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第11講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（含解析）

第11講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（精講）題型目錄一覽①對數(shù)式的化簡與求值②對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)③解對數(shù)方程與不等式④對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用★【文末附錄-對數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)思維導(dǎo)圖】一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理1.對數(shù)式的運(yùn)算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，那么數(shù)SKIPIF1<0叫做以SKIPIF1<0為底SKIPIF1<0的對數(shù)，記作SKIPIF1<0，讀作以SKIPIF1<0為底SKIPIF1<0的對數(shù)，其中SKIPIF1<0叫做對數(shù)的底數(shù)，SKIPIF1<0叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為底，記為SKIPIF1<0，讀作以SKIPIF1<0為底SKIPIF1<0的對數(shù)；②常用對數(shù)：以SKIPIF1<0為底，記為SKIPIF1<0；③自然對數(shù)：以SKIPIF1<0為底，記為SKIPIF1<0；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)；③對數(shù)換底公式：SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；⑦SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；⑧SKIPIF1<0；2.對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖象性質(zhì)定義域：SKIPIF1<0值域：SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上增函數(shù)在SKIPIF1<0上是減函數(shù)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0【常用結(jié)論】在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，隨SKIPIF1<0的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近SKIPIF1<0軸；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象隨SKIPIF1<0的增大而遠(yuǎn)離SKIPIF1<0軸．(見下圖)二、題型分類精講二、題型分類精講刷真題明導(dǎo)向刷真題明導(dǎo)向一、單選題1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)題意得到SKIPIF1<0，再解不等式組即可.【詳解】由題知：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.所以函數(shù)定義域?yàn)镾KIPIF1<0.故選：B2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）化簡SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.【詳解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：B3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由已知表示出SKIPIF1<0，再由換底公式可求.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C.4．（2021·全國·高考真題）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足SKIPIF1<0．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（SKIPIF1<0）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【分析】根據(jù)SKIPIF1<0關(guān)系，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求出SKIPIF1<0，再用指數(shù)表示SKIPIF1<0，即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C.5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：SKIPIF1<0，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(SKIPIF1<0)=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則SKIPIF1<0約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】將SKIPIF1<0代入函數(shù)SKIPIF1<0結(jié)合SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0即可得解.【詳解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6．（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先求出SKIPIF1<0的定義域，然后求出SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增所以SKIPIF1<0，故選：D7．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)SKIPIF1<0的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC，再由當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，排除D，即可得解.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，排除AC；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，排除D.故選：B.8．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和SKIPIF1<0的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是SKIPIF1<0．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【分析】根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，因SKIPIF1<0,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D9．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出SKIPIF1<0的范圍即可求解.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D.10．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：C.11．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】分別將SKIPIF1<0,SKIPIF1<0改寫為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用單調(diào)性比較即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【點(diǎn)晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.12．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】[方法一]：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；下面比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系.記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0所以當(dāng)0<x<2時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，在x>0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即b<c；綜上，SKIPIF1<0，故選：B.[方法二]：令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0在（1，+∞)上單調(diào)遞減SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0在（1，3)上單調(diào)遞增SKIPIF1<0綜上，SKIPIF1<0，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.二、填空題13．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳解】由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值是______.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算化簡為SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0的值.【詳解】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0三、雙空題15．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若SKIPIF1<0是奇函數(shù)，則SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，不關(guān)于原點(diǎn)對稱SKIPIF1<0若奇函數(shù)的SKIPIF1<0有意義，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0[方法三]：因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即函數(shù)的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，在定義域內(nèi)滿足SKIPIF1<0，符合題意．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．題型一對數(shù)式的化簡與求值策略方法對數(shù)運(yùn)算的一般思路【典例1】解答下列問題：(1)用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求M的值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】(1)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算公式化簡即可；(2)由題意可得SKIPIF1<0，再根據(jù)換底公式可得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）解：因?yàn)镾KIPIF1<0；（2）解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【題型訓(xùn)練】一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）計(jì)算：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，逐步計(jì)算，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，以及對數(shù)的運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．

（2）原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)x的值；（3）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用a，b，表示SKIPIF1<0．【答案】（1）7；（2）109；（3）SKIPIF1<0．【解析】（1）利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）利用指對互化可得實(shí)數(shù)x的值；（3）先求出SKIPIF1<0，再利用換底公式結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則求得結(jié)果．【詳解】（1）原式=SKIPIF1<0；（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以x=109；（3）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．二、單選題3．（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┤艉瘮?shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先求得SKIPIF1<0，再代入SKIPIF1<0的解析式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.4．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．16【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)式與對數(shù)式互化，及指數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C5．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級SKIPIF1<0（單位：dB）與聲音強(qiáng)度x（單位：SKIPIF1<0）滿足SKIPIF1<0.一般兩人正常交談時(shí)，聲音的等級約為60dB，燃放煙花爆竹時(shí)聲音的等級約為150dB，那么燃放煙花爆竹時(shí)聲音強(qiáng)度約為兩人正常交談時(shí)聲音強(qiáng)度的（

）A．SKIPIF1<0倍 B．SKIPIF1<0倍 C．SKIPIF1<0倍 D．SKIPIF1<0倍【答案】C【分析】根據(jù)解析式分別求出對于聲音強(qiáng)度可得.【詳解】分別記正常交談和燃放煙花爆竹時(shí)的聲音強(qiáng)度分別為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C三、多選題6．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考二模）若a，b，c都是正數(shù)，且SKIPIF1<0則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】設(shè)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則等號(hào)不成立，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：BCD四、填空題7．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)a的值為____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)給定條件，確定SKIPIF1<0，再借助奇函數(shù)性質(zhì)及給定值列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)a的值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<08．（2023·全國·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）大氣壓強(qiáng)SKIPIF1<0，它的單位是“帕斯卡”（Pa，SKIPIF1<0），已知大氣壓強(qiáng)SKIPIF1<0隨高度SKIPIF1<0的變化規(guī)律是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是海平面大氣壓強(qiáng)，SKIPIF1<0.當(dāng)?shù)馗呱缴弦惶幋髿鈮簭?qiáng)是海平面處大氣壓強(qiáng)的SKIPIF1<0，則高山上該處的海拔為___________米.（答案保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)SKIPIF1<0）【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意解方程SKIPIF1<0即可得解.【詳解】由題意可知：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型二對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)策略方法1.利用對數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類問題及技巧(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．2.比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法常見類型解題方法底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進(jìn)行分類討論底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1，0等中間量進(jìn)行比較【典例1】若對數(shù)SKIPIF1<0有意義，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由對數(shù)式有意義列不等式求SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】由對數(shù)SKIPIF1<0有意義可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，故選：C.【典例2】在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】假設(shè)指數(shù)函數(shù)圖象正確，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和SKIPIF1<0處函數(shù)值的正負(fù)可得到正確圖象.【詳解】對于AB，若SKIPIF1<0圖象正確，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，A正確，B錯(cuò)誤；對于CD，若SKIPIF1<0圖象正確，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，CD錯(cuò)誤.故選：A.【典例3】已知直線SKIPIF1<0過函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）的定點(diǎn)T，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)SKIPIF1<0求出點(diǎn)SKIPIF1<0，再代入直線方程得到SKIPIF1<0，最后利用基本不等式里“1”的妙用求最值.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入直線SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)“=”成立.故選：C.【典例4】分別比較下列各組數(shù)的大?。?1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）對于同底數(shù)的對數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，對于不同底數(shù)的對數(shù)，利用中間值法；（2）對數(shù)與指數(shù)之間的比較，利用中間值法；（3）對于真數(shù)相同的對數(shù)，利用函數(shù)圖象.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因?yàn)镾KIPIF1<0在R上是增函數(shù)，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．（3）方法一：函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖象如圖所示．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的圖象在SKIPIF1<0的圖象的上方，所以SKIPIF1<0．方法二：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎蟂KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解：由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故選：C．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0（a，b為常數(shù)，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【分析】由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，可得SKIPIF1<0，排除A，C；代入SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，從而得答案.【詳解】解：由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，排除A，C；又因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：D3．（2023·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)SKIPIF1<0的部分圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的取值情況或零點(diǎn)，利用排除法判斷即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B，C；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，或當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故排除D.故選：A.4．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】引入中間值，SKIPIF1<0與1比較大小，SKIPIF1<0與0比較大小即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B.5．（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較SKIPIF1<0，由指數(shù)的性質(zhì)即可求解SKIPIF1<0.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：A6．（2023·福建莆田·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】取中間值SKIPIF1<0，根據(jù)指、對數(shù)運(yùn)算估算范圍，進(jìn)而比較大小.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.7．（2023·河北承德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，利用單調(diào)性得SKIPIF1<0，進(jìn)而根據(jù)指對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可比較.【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取極小值也是最小值，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，進(jìn)而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故選：D【點(diǎn)睛】比較值的大小，是對函數(shù)性質(zhì)綜合運(yùn)用的考查.一般常采用以下方法：利用指對冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性比較大小，利用不等式的性質(zhì)以及基本不等式，進(jìn)行放縮比較.二、多選題8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0，則下列關(guān)系成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)C不正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷底數(shù)與1的大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.三、填空題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0的定義域?yàn)開______________【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)解析式，求出使解析式有意義的自變量的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<010．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過同一個(gè)定點(diǎn)，則SKIPIF1<0__________.【答案】1【分析】由SKIPIF1<0可得出函數(shù)SKIPIF1<0所過定點(diǎn)，再由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0的值，得出答案.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過定點(diǎn)SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的圖象也過定點(diǎn)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為：111．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為________．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用換元法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】顯然SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，

令SKIPIF1<0，∵x∈SKIPIF1<0，∴t∈[－1，2]，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)t＝－SKIPIF1<0即x＝SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0四、解答題12．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的解析式;(2)若不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）由題意SKIPIF1<0求SKIPIF1<0解析式，再由SKIPIF1<0求參數(shù)a，即可得解析式；（2）由（1）及題設(shè)得SKIPIF1<0，結(jié)合解集列方程組求m、a，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以函數(shù)SKIPIF1<0的解析式SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．題型三解對數(shù)方程與不等式策略方法求解對數(shù)不等式的兩種類型及方法類型方法logax＞logab借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論logax＞b需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解【典例1】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（3）當(dāng)SKIPIF1<0恒取正值時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【分析】（1）由增函數(shù)性質(zhì)去“SKIPIF1<0”解不等式即可；（2）由減函數(shù)性質(zhì)去“SKIPIF1<0”解不等式即可；（3）分類討論底數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性去“SKIPIF1<0”解不等式即可.【詳解】（1）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為增函數(shù)，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為減函數(shù)，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為增函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為減函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）方程SKIPIF1<0的解是（

）A．1 B．2 C．e D．3【答案】D【分析】利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：D.2．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】可解出集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可．【詳解】集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C3．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知集合SKIPIF1<0，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】求出集合SKIPIF1<0，由集合間的關(guān)系對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】SKIPIF1<0，對于A，SKIPIF1<0，故A正確；對于B，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；對于C，SKIPIF1<0，故C正確；對于D，SKIPIF1<0，故D不正確.故選：D.4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】先根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算得SKIPIF1<0，再利用基本不等式求解．【詳解】由正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，故選：C二、填空題5．（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式分類討論求解不等式的解集即可.【詳解】解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上，不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<06．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)命題SKIPIF1<0，命題SKIPIF1<0．若q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】SKIPIF1<0【分析】化簡命題SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用真子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因?yàn)閝是p的必要不充分條件，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集，所以SKIPIF1<0且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<07．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集是__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及SKIPIF1<0即可求解.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，又SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1