北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教學(xué)課件

北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

學(xué)習(xí)新知第一章特殊平行四邊形檢測(cè)反饋1菱形的性質(zhì)與判定（1）觀察思考（1）圖片中有平行四邊形嗎？（2）這些平行四邊形具有哪些特征？其中哪個(gè)特征不是平行四邊形的性質(zhì)？學(xué)習(xí)新知想一想問(wèn)題：（1）上面這些圖形都是平行四邊形嗎？（2）上述圖形都有一組鄰邊相等嗎？（3）如果平行四邊形有一組鄰邊相等，那么各組鄰邊都相等嗎？平行四邊形菱形菱形:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形概念

菱形是不是軸對(duì)稱圖形？如果是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸各幾條？菱形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有兩條。菱形也是中心對(duì)稱圖形,它的兩條對(duì)角線交點(diǎn)是對(duì)稱中心.定理證明

如圖所示,在菱形ABCD中,已知AB=AD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.證:(1)AB=BC=CD=AD;(2)AC⊥BD.∴AB=BC=CD=AD.證明:(1)∵菱形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AD=BC(平行四邊形的對(duì)邊相等).∵AB=AD,

菱形的四條邊相等.

菱形的對(duì)角線互相垂直.（2）∵AB=AD∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是菱形∴OB=OD（菱形的對(duì)角線互相平分）在等腰三角形ABD中，∵OB=OD∴AO⊥BD即AC⊥BD菱形性質(zhì)定理演示角邊對(duì)角線對(duì)稱性中心對(duì)稱圖形,軸對(duì)稱圖形.性質(zhì):菱形菱形的對(duì)邊平行,四條邊相等.菱形的兩組對(duì)角分別相等.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.菱形的性質(zhì)歸納知識(shí)拓展（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）菱形的定義既可以看做菱形的性質(zhì)，也可以看做菱形的判定.例題講解

例1如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長(zhǎng)AB和對(duì)角線AC的長(zhǎng).

分析

因?yàn)榱庑蔚泥忂呄嗟龋粋€(gè)內(nèi)角是60°，這樣就可以得到等邊△ABD，BD=6，菱形的邊長(zhǎng)也是6；菱形的對(duì)角線互相垂直，可以得到直角△AOB；菱形的對(duì)角線互相平分，可以得到OB=3，根據(jù)勾股定理就可以求出OA的長(zhǎng)度；再一次根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分，即AC=2OA，求出AC.OB=OD=BD=×6=3(菱形的對(duì)角線互相平分).解：∵四邊形ABCD是菱形

，∴AB=AD(菱形的四條邊都相等).AC⊥BD(菱形的對(duì)角線互相垂直),在等腰三角形ABD中,∵∠BAD=60°,∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.在Rt△AOB中,由勾股定得:OA2+OB2=AB2,菱形一組鄰邊相等對(duì)角線互相平分一組對(duì)邊平行且相等兩組對(duì)邊分別平行或相等四邊形平行四邊形兩組對(duì)角分別相等

課堂小結(jié)2.菱形的性質(zhì):(1)菱形是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是兩條對(duì)角線所在的直線;(2)菱形的四條邊都相等;(3)菱形的對(duì)角線互相垂直平分.3.菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì),應(yīng)用菱形的性質(zhì)可以進(jìn)行計(jì)算和推理.1.菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是（）A．20B．15C．10D．5【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AB=CB，AD∥BC，所以∠ABC=180°=∠BCD=180°－120°=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以AC=AB=5.D檢測(cè)反饋2.如圖，菱形ABCD周長(zhǎng)為8㎝．∠BAD=60°，則AC=_______cm.

【解析】

因?yàn)榱庑蜛BCD周長(zhǎng)為8㎝，所以AB=2，AB=AD.又因?yàn)椤螧AD=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以AC=AB=2，所以O(shè)B=，所以AC=.

3.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，則四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？解：四邊形ABCD是菱形

理由：∵AB∥CD，AB=CD∴四邊形ABCD是平行四邊形又∵CD=BC∴平行四邊形ABCD是菱形4.已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．

∵在菱形ABCD中，AB∥CD，

∴∠AFD=∠FDC.∴∠AFD=∠CBE．

謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門(mén)窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門(mén)窗、關(guān)閉電源。

學(xué)習(xí)新知第一章特殊平行四邊形檢測(cè)反饋1菱形的性質(zhì)與判定（2）生活觀察

很多服裝設(shè)計(jì)者在設(shè)計(jì)服裝的時(shí)候，往往青睞于菱形圖案的設(shè)計(jì).這是因?yàn)榱庑蔚奶厥庖蛩啬芙o人一種舒服的感覺(jué).那么,我們?cè)鯓优袛嘁粋€(gè)四邊形是否是菱形呢?溫故知新邊:兩組對(duì)邊分別平行；兩組對(duì)邊分別相等；一組對(duì)邊平行且相等.角:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.對(duì)角線:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.菱形的判定學(xué)習(xí)新知

已知:如圖1-3,在□ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AC⊥BD.

求證:□ABCD是菱形

證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC又∵AC⊥BD∴BD是線段AC的垂直平分線∴BA=BC∴四邊形ABCD是菱形(菱形定義)菱形的判定（1）學(xué)習(xí)活動(dòng)

用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可動(dòng)的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個(gè)四邊形.(1)轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)四邊形總有什么特征?

對(duì)角線互相平分

學(xué)習(xí)活動(dòng)（2）繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)木條,觀察什么時(shí)候橡皮筋圍成的四邊形變成菱形?當(dāng)木條互相垂直時(shí)

學(xué)生活動(dòng)（3）你的猜想是什么?如果一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直,那么這個(gè)平行四邊形是菱形.

證明猜想已知:在ABCD中,對(duì)角線AC,BD互相垂直.求證ABCD是菱形.□□∴ABCD是菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC(平行四邊形的對(duì)角線互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直線是線段AC的垂直平分線,∴AB=BC,□畫(huà)一畫(huà)畫(huà)兩條等長(zhǎng)的線段AB,AD,然后分別以B,D為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,得到兩弧的交點(diǎn)C,連接BC,CD,就得到了一個(gè)四邊形,猜一猜,這是什么四邊形?做一做我們?nèi)绾萎?huà)一個(gè)菱形呢?通常先畫(huà)兩條等長(zhǎng)的線段AB,AD,然后分別以B,D為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,得到兩弧交點(diǎn)C,連接BC,CD即可.想一想小明是這樣做的：將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，打開(kāi)即可.你知道其中的道理嗎？菱形的判定定理演示定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.定理：四邊相等的四邊形是菱形.例題講解例1

猜想:四條邊相等的四邊形是菱形.如圖所示,在四邊形ABCD,已知AB=BC=CD=DA.求證四邊形ABCD是菱形.證明:∵AB=CD,BC=AD,∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形).又∵AB=BC,∴平行四邊形ABCD是菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).例題講解例2

在?ABCD中,已知對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=,OA=2,OB=1.求證□

ABCD是菱形.

∴□

ABCD是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形).證明:在△AOB中,∵AB=,OA=2,OB=1,∴∴△AOB是直角三角形,即∠AOB是直角.∴AC⊥BD.知識(shí)拓展(1)菱形的判斷可以從兩個(gè)基本圖形(四邊形或平行四邊形)考慮,進(jìn)行證明.(2)菱形的性質(zhì)定理和菱形的判定定理是互逆定理.四條邊都相等菱形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相平分一組對(duì)邊平行且相等兩組對(duì)邊分別平行或相等四邊形平行四邊形兩組對(duì)角分別相等每條對(duì)角線平分一組對(duì)角知識(shí)小結(jié)1.下列命題正確的是 ()A.對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形B.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形

DD檢測(cè)反饋2.用兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是 (

)

A.等腰梯形

B.正方形

C.長(zhǎng)方形 D.菱形3.如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,點(diǎn)D,E,F分別是BC,AB,AC的中點(diǎn).求證四邊形AEDF是菱形.解析:首先判定四邊形AEDF是平行四邊形,然后連接EF,證明EF⊥AD,利用對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形來(lái)判定.證明:∵點(diǎn)D,E,F分別是BC,AB,AC的中點(diǎn),∴DE∥AC,DF∥AB,∴四邊形AEDF是平行四邊形.連接EF,如圖所示,∵

點(diǎn)E,F分別是AB和AC的中點(diǎn),∴EF∥BC.又∵AD⊥BC,∴AD⊥EF,∴平行四邊形AEDF是菱形.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門(mén)窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門(mén)窗、關(guān)閉電源。

學(xué)習(xí)新知第一章特殊平行四邊形檢測(cè)反饋1菱形的性質(zhì)與判定（3）將兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條交叉疊放,重疊部分是一個(gè)四邊形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°,則四邊形ABCD的面積等于

.

你能解答這個(gè)問(wèn)題嗎?問(wèn)題思考例3如圖所示,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm的菱形,其中對(duì)角線BD長(zhǎng)10cm.求:(1)對(duì)角線AC的長(zhǎng)度;(2)菱形ABCD的面積.例題講解學(xué)習(xí)新知解：⑴∵四邊形ABCD是菱形，AC與BD相交于點(diǎn)E，∴∠AED=90°（菱形的對(duì)角線互相垂直），（菱形的對(duì)角線互相平分）

AC=2AE=2×12=24（cm）（菱形的對(duì)角線互相平分）.=2×△ABD的面積⑵菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△CBD的面積ABCDOS菱形=S△ABD+S△CBD因此,S菱形=對(duì)角線乘積的一半=BD·AO+BD·CO1212=BD·AC12=BD·(AO+CO)12菱形的面積

菱形的面積公式菱形ABCDOES菱形=BC×AE思考:計(jì)算菱形的面積除了上式方法外,利用對(duì)角線能計(jì)算菱形的面積公式嗎?

課堂小結(jié)

菱形是特殊的平行四邊形，所以平行四邊形的面積公式同樣適用于菱形，即底×高即可；要注意底與高必須是相互對(duì)應(yīng)的；另外由于菱形的特殊性，也有它自己的面積求法，即兩條對(duì)角線乘積的一半.1.如圖所示,在菱形ABCD中,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,△ABC的面積為2,菱形ABCD的面積是

.

4檢測(cè)反饋2.菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)是8cm和10cm,則菱形的面積是

cm2.

3.一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為7cm和8cm,則這個(gè)菱形面積為 (

)

A.56cm2 B.28cm2C.14cm2 D.36cm240B4.如圖所示,四邊形ABCD是菱形,O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn),過(guò)O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影部分和空白部分.當(dāng)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8時(shí),則陰影部分的面積為

.

解析:根據(jù)菱形的面積等于其對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的一半求出面積,再根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半解答.∵菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8,∴菱形的面積

由中心對(duì)稱的性質(zhì),得陰,影部分的面積==菱形邊對(duì)稱性角對(duì)角線性質(zhì)面積對(duì)邊平行四條邊都相等中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形對(duì)角相等對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相平分每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角1.底乘以高2.（a，b表示兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）菱形的性質(zhì)歸納謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門(mén)窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門(mén)窗、關(guān)閉電源。

學(xué)習(xí)新知第一章特殊平行四邊形檢測(cè)反饋2矩形的性質(zhì)與判定（1）生活中的矩形（說(shuō)明：圖的活動(dòng)的平行四邊形框架）(1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形還是平行四邊形嗎?(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形不變的是什么?改變的是什么?(3)在角的大小改變過(guò)程中有特殊值嗎?這時(shí)的平行四邊形是什么圖形?觀察思考一個(gè)角是直角兩組對(duì)邊分別平行平行四邊形矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.四邊形矩形的定義學(xué)習(xí)新知觀察思考

在平行四邊形活動(dòng)框架上,用兩根橡皮筋分別固定在相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)上,作為它的對(duì)角線,拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn),改變平行四邊形的形狀.觀察并思考:(1)隨著∠ABC的變化,兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度是怎樣變化的?(2)當(dāng)∠ABC是直角時(shí),平行四邊形變成了矩形,此時(shí)其他內(nèi)角有何變化?兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度有何關(guān)系?性質(zhì):矩形的四個(gè)角都是直角已知：四邊形ABCD是矩形,∠C=90°求證：∠A=∠B=∠C=∠D=90°DCBA即∠A=∠B=∠C=∠D=90°證明：∵四邊形ABCD是矩形，令∠C=90°∴∠A=∠C=90°∠B+∠C=180°∴∠B=180－∠C=90°∴∠D=∠B=90°(2)當(dāng)∠α是直角時(shí),平行四邊形變成矩形,此時(shí)兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度有什么關(guān)系?觀察思考在一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架上,用兩根橡皮筋分別固定在相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)上,拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn),改變平行四邊形的形狀.(1)隨著∠α的變化,兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別是怎樣變化的?矩形的特殊性質(zhì)矩形的四個(gè)角都是直角數(shù)學(xué)語(yǔ)言ABCD∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=900矩形的特殊性質(zhì)矩形的對(duì)角線相等數(shù)學(xué)語(yǔ)言ABCD∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD

矩形有哪些性質(zhì)？

邊：矩形的對(duì)邊平行且相等角：矩形對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)對(duì)角線：矩形對(duì)角線互相平分具有平行四邊形的所有性質(zhì)ABCDO矩形的對(duì)角線把矩形分成四個(gè)等腰三角形,其中,相對(duì)的兩個(gè)三角形全等.思考：矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)什么三角形？它們之間有什么關(guān)系？矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,那么BO是Rt△ABC中一條怎樣的特殊線段?它與AC邊的長(zhǎng)度有什么大小關(guān)系?由此你能得到怎樣的結(jié)論?觀察思考定理

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

如圖所示,在矩形ABCD中,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=2.5,求這個(gè)矩形對(duì)角線的長(zhǎng).例題講解(解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD(矩形的對(duì)角線相等)∴OA=OD．∵∠AOD=120°，又∵∠DAB=90°(矩形的四個(gè)角都是直角)∴BD=2AB=2×2.5=5.名稱特征定義性質(zhì)邊角對(duì)角線軸對(duì)稱性推論有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 (

)A.矩形的對(duì)角線互相平分B.矩形的對(duì)角線相等C.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形D.有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形解析:根據(jù)矩形定義,得有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.故選C.C檢測(cè)反饋2.已知矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為10cm,兩條對(duì)角線所成的角為120°,則矩形的邊長(zhǎng)分別為

.

解析:因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等且平分,且兩條對(duì)角線所成的角是120°,所以矩形的較短的邊長(zhǎng)為5cm,較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為

.3.如圖所示,在矩形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在AB,CD邊上,BE=DF,連接CE,AF.求證AF=CE.∴四邊形AFCE是平行四邊形,證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴DC∥AB,DC=AB,∴CF∥AE.∵DF=BE,∴CF=AE,∴AF=CE.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門(mén)窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門(mén)窗、關(guān)閉電源。

學(xué)習(xí)新知第一章特殊平行四邊形檢測(cè)反饋2矩形的性質(zhì)與判定（2）生活思考

一天,小麗和小娟到一個(gè)商店準(zhǔn)備給今天要過(guò)生日的小華買生日禮物,選了半天,她們最后決定買相框送給她,在里面擺放她們?nèi)齻€(gè)人的合影,為了相框擺放的美觀性,她們選擇了矩形的相框,那么用什么方法可以確定她們拿的就是矩形的相框呢?定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形性質(zhì)角邊對(duì)角線對(duì)稱性推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半ACBD復(fù)習(xí)與回顧矩形四個(gè)角都是直角對(duì)邊平行且相等互相平分且相等是軸對(duì)稱圖形∵∠ACB=90°AD=BD矩形的判定(1)

用上、下一樣長(zhǎng),左、右一樣長(zhǎng)的四根木條,長(zhǎng)對(duì)長(zhǎng),短對(duì)短,首尾相接,做成一個(gè)木條框一定是矩形嗎?還要滿足什么條件?平行四邊形一個(gè)角是直角∟矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

學(xué)習(xí)新知矩形的判定方法1

∵在ABCD中∠B=90°∴四邊形ABCD是矩形ABCD∟有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.矩形的判定(2)下圖所示的是一個(gè)平行四邊形的木條框,拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn),平行四邊形的形狀會(huì)發(fā)生變化.(2)當(dāng)兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等時(shí),平行四邊形有什么特征?由此你能得到一個(gè)怎樣的猜想?(1)隨著∠α的變化,兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度將發(fā)生怎樣的變化?定理：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

已知：在□ABCD中,AC,DB是它的兩條對(duì)角線，AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:AB=CDBC=BCAC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）又∵

AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°

∴四邊形ABCD是矩形∴

∠ABC=∠DCB∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC,AB∥DC在△ABC和△DCB中矩形的判定方法2對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.ABDC幾何語(yǔ)言：∵在ABCD中

AC=BD∴ABCD是矩形0有一個(gè)角是直角有兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形嗎？有三個(gè)角是直角ABDC(有一個(gè)角是直角)ABDC(有二個(gè)角是直角)ABDC(有三個(gè)角是直角)探究猜想：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。你能證明上述結(jié)論嗎？已知：在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求證：四邊形ABCD是矩形.ABCD∟∟∟證明：∵

∠A=∠B=90°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可證：AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形又∵

∠A=90°∴四邊形ABCD是矩形定理：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

例如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，△ABO是等邊三角形，AB=4cm，求這個(gè)□ABCD的面積.∴∠ABC=90°.（矩形的四個(gè)角是直角）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，.又∵△ABO是等邊三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°.∴OA=OB=OC=OD=4，∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴ABCD是矩形.（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）在Rt△ABC中，，矩形的判定思路四邊形有三個(gè)角是直角平行四邊形矩形對(duì)角線相等一個(gè)角是直角矩形1.下列說(shuō)法正確的是 (

)(1)對(duì)角線相等的四邊形是矩形;(2)對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形;(3)有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形;(4)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;(5)四個(gè)角都相等的四邊形是矩形;(6)對(duì)角線相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形;(7)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是矩形.

A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5)C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(7)B

檢測(cè)反饋2.如圖所示,工人師傅做鋁合金窗框分下面幾個(gè)步驟進(jìn)行:①②③④(1)先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗框,如圖①所示,即AB=CD,EF=GH;(2)這時(shí)窗框的形狀是

,根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是

.

平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形(3)將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角(如圖③)調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無(wú)縫隙時(shí)(如圖④)，說(shuō)明窗框合格。這時(shí)窗框是

，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是

.矩形有一個(gè)角是直角的的平行四邊形是矩形∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴四邊形ABCD是矩形.3.如圖所示,在?ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10,求證四邊形ABCD是矩形.證明:∵在△ABC中，

AB=6,BC=8,AC=10,∴AC2=AB2+BC2,∴∠ABC=90°.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門(mén)窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門(mén)窗、關(guān)閉電源。

學(xué)習(xí)新知第一章特殊平行四邊形檢測(cè)反饋2矩形的性質(zhì)與判定（3）閱讀思考問(wèn)題3：如何判定一個(gè)四邊形是矩形？回答下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：矩形有哪些性質(zhì)?問(wèn)題2：如何判定一個(gè)平行四邊形是矩形？馬虎同學(xué)的作業(yè)中有這樣一道題目：

如圖，四邊形ABCD中，

（1）∵四邊形ABCD是矩形∴AB=BC=CD=DA

OA=OB=OC=OD

（2）∵AB=CD,AC=BD,OA=OC,OB=OD∴四邊形ABCD是矩形.

同學(xué)們幫助他看一下有沒(méi)有錯(cuò)誤，如果有你能改正過(guò)來(lái)嗎？例3如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，求AE的長(zhǎng).矩形性質(zhì)的運(yùn)用解析：根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分可得OB=OD，然后求出OE=BE，然后判斷出△ABO是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出邊長(zhǎng)AB即OB的長(zhǎng)，然后根據(jù)學(xué)習(xí)新知解：∵四邊形ABCD是矩形，(矩形的對(duì)角線相等且互相平分),∠BAD=90°(矩形的四個(gè)角都是直角).∴∠ABO=60°，∴∠ADB=90°∠ABO=90°-60°=30°.∵ED=3BE,∴BE=OE.又∵AE⊥BD,∴AB=AO.∴AB=AO=BO，即△ABO是等邊三角形.∵∠ADE=30°,

在Rt△AED中,如圖所示,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD,垂足為點(diǎn)E,若ED=3EO,AE=2,求BD的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練】提示：在矩形ABCD中，AO=BO,三角形ABO中，BE=OE，可得到該三角形為等邊三角形.例4已知:如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一條角平分線,AN為△ABC的外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E.求證:四邊形ADCE是矩形.證明:∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°，∴四邊形ADCE是矩形．在△ABC中，∵AB=AC，AD為∠BAC的平分線，∴AD⊥BC．∴∠ADC=90°，提示：四邊形ABDE為平行四邊形；線段DF=AB.【變式訓(xùn)練2】

在例4中，連接DE，交AC于點(diǎn)F，如圖．

（1）試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論．（2）線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論．1.如圖所示,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于O,∠ACB=30°,BD=4,則此矩形的面積是 (

)

B.4

C.8

D.8

BA.2檢測(cè)反饋2.如圖所示,矩形ABCD沿AE折疊,使D點(diǎn)落在BC邊上的F處,若∠BAF=50°,則∠DAE等于 (

)A.10° B.20° C.30° D.40°B3.一個(gè)平行四邊形,如果對(duì)角線

,則此平行四邊形就變成矩形;如果對(duì)角線

,則此平行四邊形就變成菱形.

4.已知一個(gè)長(zhǎng)為acm的矩形的面積等于腰長(zhǎng)為acm的等腰直角三角形的面積,則此矩形的周長(zhǎng)等于

cm.

相等互相垂直3a5.如圖所示,四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的等邊三角形ABD和CBD組成的.M,N分別是BC和AD的中點(diǎn).求證四邊形BMDN是矩形.提示:利用等邊三角形的三線合一可以證明.提示:利用等邊三角形的三線合一可以證明.6.如圖所示,將矩形紙片折疊,使A點(diǎn)落在對(duì)角線BD上,折痕是DG,若AB=2,BC=1,求AG的長(zhǎng).謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門(mén)窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門(mén)窗、關(guān)閉電源。

學(xué)習(xí)新知第一章特殊平行四邊形檢測(cè)反饋3正方形的性質(zhì)與判定（1）生活中的正方形

學(xué)習(xí)新知矩形的性質(zhì)圖形矩形性質(zhì)角線邊數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系對(duì)角線數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系對(duì)稱性

四個(gè)角都相等都是90°兩組對(duì)邊分別相等兩組對(duì)邊分別平行相等且互相平分相交軸對(duì)稱圖形正方形的性質(zhì)圖形菱形性質(zhì)角線邊數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系對(duì)角線數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系對(duì)稱性

四個(gè)角都相等都是90°四條邊都相等兩組對(duì)邊分別平行相等且互相平分垂直有學(xué)習(xí)新知平行四邊形平行四邊形、矩形、菱形與正方形關(guān)系演示有一個(gè)直角有一個(gè)直角矩形有一個(gè)直角矩形有一個(gè)直角一組鄰邊相等矩形菱形有一個(gè)直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形有一個(gè)直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形有一個(gè)直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形有一個(gè)直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形有一個(gè)直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形有一個(gè)直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形有一個(gè)直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等有一個(gè)直角正方形平行四邊形你能給正方形下一個(gè)定義嗎？例題講解

例1如圖所示,在正方形ABCD中,E為CD邊上一點(diǎn),F為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角).∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF,∴BE⊥DF.(2)延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)M(如圖所示).∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.平行四邊形正方形矩形菱形一組鄰邊相等一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角正方形定義定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。菱形矩形平行四邊形正形方

正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系知識(shí)拓展1.由正方形的性質(zhì)可以得出:正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成了4個(gè)全等的等腰直角三角形.2.已知正方形的邊長(zhǎng)可以利用勾股定理求出其對(duì)角線的長(zhǎng)度.課堂小結(jié)正方形的性質(zhì)1:正方形的四個(gè)角都是直角,四

條邊都相等.正方形的性質(zhì)2:正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.1.正方形的四條邊

,四個(gè)角

,兩條對(duì)角線

.

2.如圖所示,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為CD,CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且DE=BF.求證∠AFE=∠AEF.提示:可證△ECF是等腰三角形,△ABF≌△ADE,利用等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)證明.相等相等且互相垂直平分提示:可證△ECF是等腰三角形,△ABF≌△ADE,利用等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)證明.檢測(cè)反饋都是直角3.

如圖所示,E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且△EBC是等邊三角形,求∠EAD與∠ECD的度數(shù).答案：∠EAD=15°,∠ECD=30°.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門(mén)窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門(mén)窗、關(guān)閉電源。

學(xué)習(xí)新知第一章特殊平行四邊形檢測(cè)反饋3正方形的性質(zhì)與判定（2）問(wèn)題2

如圖所示,將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次,然后剪下一個(gè)角,打開(kāi).怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形?問(wèn)題3

議一議:滿足什么條件的矩形是正方形?滿足什么條件的菱形是正方形?與同伴交流一下.

問(wèn)題思考問(wèn)題1

我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形,那么請(qǐng)思考一下,它們之間有什么關(guān)系?你能用一個(gè)圖直觀地表示它們之間的關(guān)系嗎?與同伴交流一下.

菱形與正方形學(xué)習(xí)新知菱形與正方形?問(wèn)題:

從這個(gè)圖形中你能得到什么？

┓90°有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCDABC

D

問(wèn)題:

從這個(gè)變化中你能得到什么？有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

例題講解

已知:如圖所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求證:四邊形BECF是正方形.

思路2:要證四邊形BECF是正方形,也可以先證明四邊形BECF是矩形,然后證明四邊形BECF中有一組鄰邊相等即可.解析

思路1:要證四邊形BECF是正方形,可以先證明四邊形BECF是菱形,然后證明四邊形BECF中有一個(gè)角是直角即可;

證法1:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四邊形BECF是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°.

又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,

平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角正方形菱形一內(nèi)角是直角矩形一組鄰邊相等正方形小結(jié)定義法菱形法矩形法有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形。有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。有一組鄰邊相等的一個(gè)角是直角平行四邊形叫做正方形。如果四邊形ABCD變?yōu)樘厥獾乃倪呅?，中點(diǎn)四邊形EFGH會(huì)有怎樣的變化呢？平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形原四邊形可以是：中點(diǎn)四邊形特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形：平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形猜想驗(yàn)證特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形：等腰梯形的中點(diǎn)四邊形是菱形直角梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形猜想驗(yàn)證對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形對(duì)角線既相等又垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形對(duì)角線既不相等又不垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形猜想驗(yàn)證歸納：一般四邊形的中點(diǎn)四邊形：決定中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀的主要因素是原四邊形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)度和位置關(guān)系原四邊形對(duì)角線關(guān)系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直所得中點(diǎn)四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形5種識(shí)別方法三個(gè)角是直角四條邊相等一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)

1.下列說(shuō)法中正確的有

(

)

①有一個(gè)角為直角的菱形是正方形;

②四個(gè)角相等的四邊形是正方形;

③四條邊都相等的四邊形是正方形;

④有一組鄰邊相等的矩形是正方形;

⑤對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形;

⑥對(duì)角線相等的菱形是正方形;

⑦對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形;

⑧對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形.

A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)

B檢測(cè)反饋2.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分別是BC,AB,AC的中點(diǎn),連接DE,DF.

(1)求證DE=DF.

(2)你能添加一個(gè)條件,使四邊形EDFA是正方形嗎?若能,請(qǐng)說(shuō)明.提示:(1)利用三角形的中位線定理可以證明;(2)添加條件∠A=90°;先證明四邊形AEDF是菱形,然后根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形得出即可.3.如下左圖所示,E,F,G,H分別是正方形ABCD四邊的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀,并給出證明.如果改變E,F,G,H的位置,但仍滿足AE=BF=CG=DH,如下右圖所示,結(jié)果如何呢?提示:四邊形EFGH是正方形.如果改變E,F,G,H的位置,但仍滿足AE=BF=CG=DH,仍可得四邊形EFGH是正方形.可先證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,然后利用全等三角形的性質(zhì)可得到結(jié)論.謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門(mén)窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門(mén)窗、關(guān)閉電源。第2章一元二次方程1一元二次方程（1）

學(xué)習(xí)新知檢測(cè)反饋

幼兒園某教室矩形地面的長(zhǎng)為8m,寬為5m,現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為18m2的地毯,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同(如圖所示),你能求出這個(gè)寬度嗎?如果設(shè)所求的寬度為xm,那么你能列出怎樣的方程?生活思考（2）如果將這個(gè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)設(shè)為x，那么怎樣用含x的代數(shù)式表示其余四個(gè)數(shù)？根據(jù)題意，你能列出怎樣的方程？觀察下面等式：數(shù)學(xué)思考（1）你還能找出五個(gè)連續(xù)整數(shù)，使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎？你能計(jì)算出滑動(dòng)前梯子底端距墻的距離嗎？如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，那么你能列出怎樣的方程？生活中的數(shù)學(xué)如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的低端滑動(dòng)多少米？你能化簡(jiǎn)這個(gè)方程嗎?6x＋672＋(x＋6)2

＝102xm8m10m7m6m10m數(shù)學(xué)化1m解：由勾股定理可知，滑動(dòng)前梯子底端距墻

m.如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，那么滑動(dòng)后梯子底端距墻

m;根據(jù)題意，可得方程：一元二次方程的定義歸納:上面的方程經(jīng)過(guò)整理后都是只含有—個(gè)未知數(shù)x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)的形式,這樣的方程叫作一元二次方程.這三個(gè)方程有什么共同特點(diǎn)?

什么樣的方程是一元二次方程呢?由上面的三個(gè)問(wèn)題,我們可以得到三個(gè)方程:學(xué)習(xí)新知一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)知識(shí)拓展①只含有一個(gè)未知數(shù)②未知數(shù)的最高次數(shù)為2③是整式方程構(gòu)成一元二次方程的條件

例題講解

例1判斷下列方程是否是一元二次方程.

(1)2x-x2=0;

(2)2x2-x+5=0;

(3)ax2+bx+c=0;

(4)4x2-+7=0.解:(1)(2)符合一元二次方程的概念,方程(3)中的a等于0時(shí),方程不是一元二次方程,(4)不是整式方程,所以(3)和(4)都不是一元二次方程.例題講解

例2

把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式,并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).解:去括號(hào),得3x2-3x=2x+4+8,

移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得3x2-5x-12=0,

二次項(xiàng)系數(shù)是3,一次項(xiàng)系數(shù)是-5,常數(shù)項(xiàng)是-12.

（2）任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理都可以變?yōu)橐话阈问?【知識(shí)拓展】對(duì)于一元二次方程的一般形式的理解應(yīng)注意以下四點(diǎn)：（1）“a≠0”是一元二次方程的一般形式的一個(gè)重要組成部分，因?yàn)榉匠蘟x2

＋bx

＋c=0只有當(dāng)a≠0時(shí)，才叫做一元二次方程.當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，它是一元一次方程.（4）要分清二次項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù).（3）二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，必須先將方程化為一般形式.

ax2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)且a≠

0)

一般地,任何一個(gè)關(guān)于x

的一元二次方程都可以化為的形式,我們把(a,b,c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式。為什么要限制a≠0，b,c可以為零嗎？二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)bx叫一次項(xiàng)

ax2又叫二次項(xiàng)課堂小結(jié)

1.下列6個(gè)方程

(1)3x+2=x2;(2)+y=5;

(3)y2+2x3=0;

(4)mnx2+(m+n)x+1=0;

(5)x2-2x+4=0;

其中是一元二次方程的是

.(填序號(hào))

解析:一元二次方程要符合以下三個(gè)條件:①只含有一個(gè)未知數(shù);②未知數(shù)的最高次數(shù)為2;③是整式方程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5).(1)(5)檢測(cè)反饋

2.將方程3x2=5x+2化為一元二次方程的一般形式為

.

解析:一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a≠0),注意移項(xiàng)時(shí)要注意變號(hào),答案為3x2-5x-2=0.故填3x2-5x-2=0.

解析:二次項(xiàng)系數(shù)為2,一次項(xiàng)系數(shù)為4,常數(shù)項(xiàng)為-1,所以它們的和為2+4+(-1)=5.故填5.53x2-5x-2=03.一元二次方程2x2+4x-1=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之和為

.4.下列方程中,是一元二次方程的是 (

）

A.x2+5x=2 B.x3+7x-2=0

C.x2+=3 D.7x-=2

解析:本題主要考查一元二次方程的概念.觀察選項(xiàng),只有A中的方程是一元二次方程.故選A.A謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門(mén)窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門(mén)窗、關(guān)閉電源。第2章一元二次方程1一元二次方程（2）

學(xué)習(xí)新知檢測(cè)反饋

幼兒園某教室矩形地面的長(zhǎng)為8m,寬為5m,現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為18m2的地毯,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同(如圖所示),你能求出這個(gè)寬度嗎?

如果設(shè)所求的寬度為xm,那么列出的方程為(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大約是多少嗎?

觀察思考學(xué)習(xí)新知

如果設(shè)所求的寬度為xm,那么列出的方程為(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大約是多少嗎?

(1)x可能小于0嗎?可能大于4嗎?可能大于2.5嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.

探索嘗試分析:因?yàn)?0m2>18m2,所以x不可能小于0,因?yàn)?-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于2.5.分析:x的大致范圍是0到2.5之間.但這只是一個(gè)大致的估計(jì),精確度還有待于我們進(jìn)一步去探討.(2)你能確定x的大致范圍嗎?

x00.511.522.5(8-2x)(5-2x)4028181040

(3)計(jì)算,填寫(xiě)下表:分析:由上表可以看出,如果寬度大于1,那么地毯的面積會(huì)小于18,不符合要求.如果寬度小于1,那么地毯的面積會(huì)大于18,也不符合要求.提示:通過(guò)表格的計(jì)算可以知道所求的寬度的大致范圍,通過(guò)解一元一次方程等方法可以求出具體的寬度.(4)你知道所求寬度x(m)是多少嗎?你還有其他求解方法嗎?

問(wèn)題探究

在前一節(jié)課的問(wèn)題中,梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿足方程(x+6)2+72=102,即x2+12x-15=0.

(1)小明認(rèn)為底端也滑動(dòng)了1m,他的說(shuō)法正確嗎?為什么?

分析:若底端也滑動(dòng)了1m,此(1+6)2+72<102,因此滑動(dòng)的距離是大于1m的.

(2)底端滑動(dòng)的距離可能是2m嗎?可能是3m嗎?為什么?

分析:通過(guò)計(jì)算,可以得出下表,根據(jù)表格可知,如果底端滑動(dòng)的距離是2m或者3m,那么x2+12x-15的值都大于0,即(x+6)2+72>102,所以底端滑動(dòng)的距離小于2m.(3)你能猜出滑動(dòng)距離x(m)的大致范圍嗎?根據(jù)前面的分析,得出x的取值范圍大致是1<x<1.5,但這還不是一個(gè)很精確的數(shù)字.x00.511.52－15－8.75－25.2513

(4)x的整數(shù)部分是幾?十分位是幾?分析:通過(guò)計(jì)算,得出下表:2.當(dāng)x取1.2和1.3的時(shí)候,哪個(gè)數(shù)字更接近真實(shí)值?x1.11.21.31.4－0.590.842.293.76根據(jù)上表思考:1.當(dāng)x取1.3和1.4的時(shí)候,哪個(gè)數(shù)字更接近真實(shí)值?(1.3更接近)(1.2更接近)綜合上述分析,我們可以進(jìn)一步確定x的取值范圍是1.1<x<1.2.所以x的整數(shù)部分是1,十分位是1.(大于真實(shí)值)3.當(dāng)x取1.1的時(shí)候,與真實(shí)值是什么關(guān)系?(小于真實(shí)值)4.當(dāng)x取1.2的時(shí)候,與真實(shí)值是什么關(guān)系?估計(jì)一元二次方程近似解的基本思路:將一元二次方程變形為一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),分別將x1,x2代入等式左邊,當(dāng)獲得的值為一正、一負(fù)時(shí),方程必定有一根x0,而且x1<x0<x2.這是因?yàn)楫?dāng)a+bx1+c<0(或>0)而a+b+c>0(或<0)時(shí),在x1到x2之間由小變大時(shí),ax2+bx+c的值也將由小于0(或大于0),逐步變成大于0(或小于0),其間ax2+bx+c的值必有等于0的時(shí)候,此時(shí)的x的值就是原方程的根x0.[知識(shí)拓展]課堂小結(jié)在解決某些實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候,可以根據(jù)實(shí)際情況確定出方程解的大致范圍.一般采用“夾逼法”,選取的未知數(shù)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果的絕對(duì)值越接近0,這個(gè)數(shù)值就越接近未知數(shù)的真實(shí)值.(2)根據(jù)實(shí)際情況確定方程的解的大致范圍;

(1)將方程變?yōu)橐辉畏匠痰囊话阈问?

采用“夾逼法”求一元二次方程近似解的一般步驟:(3)根據(jù)方程的解的大致范圍,在這個(gè)范圍內(nèi)取一個(gè)整數(shù)值,然后把這個(gè)值代入方程左邊的代數(shù)式進(jìn)行驗(yàn)證,看是否能使方程左邊代數(shù)式的值為0,如果為0,那么這個(gè)數(shù)就是方程的解;如果不為0,那么根據(jù)這個(gè)整數(shù)再找出一個(gè)使方程左邊的值最接近于0但小于0的整數(shù),這個(gè)數(shù)就是方程的解的整數(shù)部分;(4)保留整數(shù)部分不變,小數(shù)部分可參照求整數(shù)部分的方法進(jìn)行,以此類推可得出該方程更準(zhǔn)確的近似解.

3.解:(1)由題意得,網(wǎng)球場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為(80-2x)m,(60-2x)m,則可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整理得x2-70x+325=0.

(2)x的值不可能小于0,因?yàn)槿诵械赖膶挾炔豢赡転樨?fù)數(shù).

(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因?yàn)楫?dāng)x>30時(shí),網(wǎng)球場(chǎng)的寬60-2x<0,這不符合實(shí)際,當(dāng)然x更不可能大于40.

1.根據(jù)下表,判斷方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的一個(gè)解x的范圍是 (

)A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26解析:由表中的數(shù)據(jù)可知,當(dāng)x的值由3.24變化到3.25時(shí),ax2+bx+c的值由-0.02變化到0.03,所以在3.24到3.25之間存在一數(shù)值,使ax2+bx+c的值等于0.故選C.C檢測(cè)反饋

2.用22cm長(zhǎng)的鐵絲,折成一個(gè)面積為15cm2的矩形,設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm,則x的大致范圍是 (

)

A.x>0 B.0<x<1

C.1<x<2 D.2<x<3

C

（2題）解析:對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的近似解的問(wèn)題,應(yīng)先根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定其解的大致范圍,再通過(guò)具體計(jì)算進(jìn)行“夾逼”,逐步獲得其近似解,“夾逼”思想是近似計(jì)算的重要思想.由題意可列出方程(11-x)x=15,整理得x2-11x+15=0,估算此一元二次方程解的范圍如下表所示:

由此可知,當(dāng)x在1~2之間取某一值時(shí),

x2-11x+15可能等于零.故選C.

3.如圖所示,某大學(xué)為改善校園環(huán)境,計(jì)劃在一塊長(zhǎng)80m,寬60m的長(zhǎng)方形場(chǎng)地的中央建一個(gè)長(zhǎng)方形網(wǎng)球場(chǎng),網(wǎng)球場(chǎng)占地面積為3500m2,四周為寬度相等的人行道,設(shè)人行道的寬為xm.

(1)你能根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程嗎?由題意得,網(wǎng)球場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為(80-2x)m,(60-2x)m,則可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整理得x2-70x+325=0.

(2)x可能小于0嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由;

(3)x可能大于40嗎?可能大于30嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由;

x的值不可能小于0,因?yàn)槿诵械赖膶挾炔豢赡転樨?fù)數(shù).

x的值不可能大于40,也不可能大于30,因?yàn)楫?dāng)x>30時(shí),網(wǎng)球場(chǎng)的寬60-2x<0,這不符合實(shí)際,當(dāng)然x更不可能大于40.

謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時(shí)上課，不得無(wú)故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問(wèn)候。上課時(shí)衣著要整潔，不得穿無(wú)袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無(wú)關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽(tīng)課時(shí)有問(wèn)題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問(wèn)。上課期間離開(kāi)教室須經(jīng)老師允許后方可離開(kāi)。上課必須按座位表就坐。要愛(ài)護(hù)公共財(cái)物，不得在課桌、門(mén)窗、墻壁上涂寫(xiě)、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開(kāi)教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門(mén)窗、關(guān)閉電源。第2章一元二次方程2配方法求解一元二次方程（1）

學(xué)習(xí)新知檢測(cè)反饋你會(huì)解下列一元二次方程嗎?你是怎么做的?(1)x2=5;

(2)2x2+3=5;(3)x2+2x+1=5;

(4)(x+6)2+72=102.解:(1)x2=5?x=±.(2)2x2+3=5?2x2=2?2x2=1?x=±1.(3)x2+2x+1=5?(x+1)2=5?x=-1±..(4)(x+6)2+72=102?(x+6)2=51?x=-6±思考探索填上適當(dāng)?shù)臄?shù),使下列等式成立.(1)x2+12x+

=(x+6)2;

(2)x2-4x+

=(x-

)2;

(3)x2+8x+

=(x+

)2.

在上面等式的左邊,常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)有什么關(guān)系?(常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方)62

22

2

42

4

學(xué)習(xí)新知例1

解方程:x2+8x-9=0.解:移項(xiàng),得:x2+8x=9,配方,得:x2+8x+42=9+42(兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方),即(x+4)2=25,開(kāi)平方,得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5,所以x1=1,x2=-9.通過(guò)配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法.(5)定解:寫(xiě)出原方程的解.利用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的一般步驟:(1)移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;(2)配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,使左邊化成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式的形式,右邊為一常數(shù);(3)開(kāi)方:根據(jù)平方根的意義,方程兩邊開(kāi)平方,使其化為一元一次方程；(4)求解:解一元一次方程;知識(shí)拓展例題

已知一面積為120m2的矩形苗圃的長(zhǎng)比寬多2m,則苗圃的長(zhǎng)和寬各是多少?解得x1=10,x2=-12(不合題意,舍去).則x+2=10+2=12(m).解:設(shè)矩形的寬為xm,則長(zhǎng)為(x+2)m,依題意,得x(x+2)=120,即x2+2x=120,方程可化為(x+1)2=121,答:苗圃的長(zhǎng)為12m,寬為10m.知識(shí)拓展

配方法,顧名思義,就是利用添項(xiàng)或