3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)

.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)3.2.1函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)增加：（僅可能在個(gè)別點(diǎn)為零）單調(diào)減少：（僅可能在個(gè)別點(diǎn)為零）.定理1（單調(diào)性判定法）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)若，則函數(shù)上單調(diào)增加.若，則函數(shù)上單調(diào)減少.證（1）對(duì)任意，且，由拉格朗日中值定理，有.若，則必有，又，故有，即函數(shù)上單調(diào)增加.同理可證（2）.例1判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.解因?yàn)樵趦?nèi)，由定理可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增加.函數(shù)具有單調(diào)性的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該為零，但導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)，不一定是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).使的點(diǎn)，叫做函數(shù)的駐點(diǎn).例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解，令，得駐點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增加.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)減少.例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解函數(shù)的定義域?yàn)?，，此函?shù)無(wú)駐點(diǎn)，但當(dāng)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增加.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)減少.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下：第一步，確定函數(shù)的定義域；第二步，求，并求出函數(shù)在定義域內(nèi)的駐點(diǎn)以及不可導(dǎo)點(diǎn)；第三步，用駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)將定義域分成若干小區(qū)間，列表分析；第四步，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例4求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得駐點(diǎn)，.，把定義域分成三部分，12＋0－0＋↗2↘1↗例5求證（）證設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，由定理1知為單調(diào)增加，又所以在上單調(diào)增加，又，故當(dāng)時(shí)，，即.從而.例6（人口增長(zhǎng)問(wèn)題）中國(guó)的人口總數(shù)（以10億為單位）在1993-1995年間可近似用方程來(lái)計(jì)算，其中是以1993年為起點(diǎn)的年數(shù)，根據(jù)這一方程，說(shuō)明中國(guó)人口總數(shù)在這段時(shí)間是增長(zhǎng)還是減少？解.因此，中國(guó)人口總數(shù)在1993-1995年期間是增長(zhǎng)的.3.2.2曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定義1在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，如果曲線上每一點(diǎn)處的切線都在它的下方，則稱曲線在內(nèi)是凹的.如果曲線上每一點(diǎn)處的切線都在它的上方，則稱曲線在內(nèi)是凸的.定理2（曲線凸凹性的判定定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果對(duì)任意的，有（1），則曲線在閉區(qū)間上是凹的（2），則曲線在閉區(qū)間上是凸的曲線凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn).求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，，解出的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)；（3）這些點(diǎn)將定義域分成若干小區(qū)間，列表判定在這些小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)；（4）寫出函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).例7確定曲線的凸凹性和拐點(diǎn).解，由，得.2-0+拐點(diǎn)例8確定曲線的凹凸性和拐點(diǎn).解，當(dāng)時(shí)，不存在.1+不存在+拐點(diǎn)3.2.3函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)的極值定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)去心鄰域內(nèi)的任一，有（或），那么就稱是函數(shù)的一個(gè)極大值（或極小值）.函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).注：（1）極值是函數(shù)值，而極值點(diǎn)是指自變量的值.（2）極值與函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的最大值、最小值不同，前者是局部性的，而后者是整體性的.因此，對(duì)于同一函數(shù)來(lái)說(shuō)，其極小值可能大于極大值.定理3（必要條件）若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處取得極值，那么必有.注：（1）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是他的駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；函數(shù)在它的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能取得極值.定理4（極值判定法則1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)且在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值.定理5（極值判定法則2）設(shè)函數(shù)在某一鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，，則（1）當(dāng)時(shí)，那么函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；（2）當(dāng)時(shí)，那么函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；求極值的步驟:（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）求的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；（3）檢查在駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)，判斷極值點(diǎn)；如果是極值點(diǎn)，進(jìn)一步判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；（4）求極值.例9求函數(shù)的極值.解，求得駐點(diǎn).-11＋0+0-0+↗無(wú)極值↗有極大值↘有極小值↗，有極大值；，有極小值.例10求函數(shù)在區(qū)間上的極值.解令得駐點(diǎn)，而，故為極大值，為極小值.2.最大值與最小值函數(shù)的最值，最大值及最小值的概念。說(shuō)明：由極值和最值的定義可知，極值是一個(gè)局部概念，而最值是一個(gè)整體概念。根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，由以上內(nèi)容可知函數(shù)最大值和最小值只可能在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)、或內(nèi)的極值點(diǎn)處取得，而只有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)。小結(jié)：求函數(shù)在閉區(qū)間上最大值和最小值的步驟可歸納為：在閉區(qū)間上（1）求出函數(shù)在內(nèi)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；（2）求出各駐點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；（3）比較這些函數(shù)值的大小，其中最大者即為函數(shù)在內(nèi)的最大值；最小者即為函數(shù)在內(nèi)的最小值。注如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)例11求函數(shù)在上的最大值與最小值.解令得駐點(diǎn)為.計(jì)算比較得，最大值為28，最小值為0.例12一個(gè)有上下底的圓柱形鐵桶，容積是常數(shù)，問(wèn)底半徑多大時(shí)，鐵桶的表面積最??？解表面積，，令，得到函數(shù)在內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，故其為最小值點(diǎn).此時(shí).例13某礦務(wù)局?jǐn)M從地平面上一點(diǎn)挖掘一管道至地平面下一點(diǎn)，設(shè)長(zhǎng)600米，長(zhǎng)240米，如圖P73-3-8,.沿水平方向是黏土，掘進(jìn)費(fèi)為每米5元，地平面下是巖石，掘進(jìn)費(fèi)是每米13元，怎么樣挖掘費(fèi)用最??？最省要多少元？解設(shè)先在地平面上由點(diǎn)掘