3.2利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)

.2利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)3.2.1函數(shù)的單調性單調增加：（僅可能在個別點為零）單調減少：（僅可能在個別點為零）.定理1（單調性判定法）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導若，則函數(shù)上單調增加.若，則函數(shù)上單調減少.證（1）對任意，且，由拉格朗日中值定理，有.若，則必有，又，故有，即函數(shù)上單調增加.同理可證（2）.例1判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性.解因為在內(nèi)，由定理可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調增加.函數(shù)具有單調性的區(qū)間為函數(shù)的單調區(qū)間.單調區(qū)間的分界點處的導數(shù)值應該為零，但導數(shù)值為零的點，不一定是單調區(qū)間的分界點.使的點，叫做函數(shù)的駐點.例2求函數(shù)的單調區(qū)間.解，令，得駐點.當時，，所以在上單調增加.當時，，所以在上單調減少.例3求函數(shù)的單調區(qū)間.解函數(shù)的定義域為，，此函數(shù)無駐點，但當時，函數(shù)的導數(shù)不存在.當時，，所以在上單調增加.當時，，所以在上單調減少.求函數(shù)單調區(qū)間的步驟如下：第一步，確定函數(shù)的定義域；第二步，求，并求出函數(shù)在定義域內(nèi)的駐點以及不可導點；第三步，用駐點和不可導點將定義域分成若干小區(qū)間，列表分析；第四步，寫出函數(shù)的單調區(qū)間.例4求函數(shù)的單調區(qū)間.解（1）函數(shù)的定義域為.，令，得駐點，.，把定義域分成三部分，12＋0－0＋↗2↘1↗例5求證（）證設，則.當時，，由定理1知為單調增加，又所以在上單調增加，又，故當時，，即.從而.例6（人口增長問題）中國的人口總數(shù)（以10億為單位）在1993-1995年間可近似用方程來計算，其中是以1993年為起點的年數(shù)，根據(jù)這一方程，說明中國人口總數(shù)在這段時間是增長還是減少？解.因此，中國人口總數(shù)在1993-1995年期間是增長的.3.2.2曲線的凹凸性與拐點定義1在開區(qū)間內(nèi)，如果曲線上每一點處的切線都在它的下方，則稱曲線在內(nèi)是凹的.如果曲線上每一點處的切線都在它的上方，則稱曲線在內(nèi)是凸的.定理2（曲線凸凹性的判定定理）設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在開區(qū)間內(nèi)具有二階導數(shù)，如果對任意的，有（1），則曲線在閉區(qū)間上是凹的（2），則曲線在閉區(qū)間上是凸的曲線凹凸區(qū)間的分界點叫做曲線的拐點.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，，解出的點和不存在的點；（3）這些點將定義域分成若干小區(qū)間，列表判定在這些小區(qū)間內(nèi)的符號；（4）寫出函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點.例7確定曲線的凸凹性和拐點.解，由，得.2-0+拐點例8確定曲線的凹凸性和拐點.解，當時，不存在.1+不存在+拐點3.2.3函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)的極值定義2設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果對去心鄰域內(nèi)的任一，有（或），那么就稱是函數(shù)的一個極大值（或極小值）.函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使得函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點.注：（1）極值是函數(shù)值，而極值點是指自變量的值.（2）極值與函數(shù)在整個區(qū)間上的最大值、最小值不同，前者是局部性的，而后者是整體性的.因此，對于同一函數(shù)來說，其極小值可能大于極大值.定理3（必要條件）若函數(shù)在點處可導，且在點處取得極值，那么必有.注：（1）可導函數(shù)的極值點必是他的駐點，但函數(shù)的駐點不一定是極值點；函數(shù)在它的導數(shù)不存在的點處也可能取得極值.定理4（極值判定法則1）設函數(shù)在點處連續(xù)且在的某一去心鄰域內(nèi)可導，則（1）當時，，當時，，那么函數(shù)在點處取得極大值；（2）當時，，當時，，那么函數(shù)在點處取得極小值.定理5（極值判定法則2）設函數(shù)在某一鄰域內(nèi)二階可導，且，，則（1）當時，那么函數(shù)在點處取得極大值；（2）當時，那么函數(shù)在點處取得極小值；求極值的步驟:（1）求導數(shù)；（2）求的全部駐點和不可導點；（3）檢查在駐點或不可導點左右的正負號，判斷極值點；如果是極值點，進一步判斷是極大值點還是極小值點；（4）求極值.例9求函數(shù)的極值.解，求得駐點.-11＋0+0-0+↗無極值↗有極大值↘有極小值↗，有極大值；，有極小值.例10求函數(shù)在區(qū)間上的極值.解令得駐點，而，故為極大值，為極小值.2.最大值與最小值函數(shù)的最值，最大值及最小值的概念。說明：由極值和最值的定義可知，極值是一個局部概念，而最值是一個整體概念。根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，由以上內(nèi)容可知函數(shù)最大值和最小值只可能在區(qū)間內(nèi)的端點、或內(nèi)的極值點處取得，而只有駐點和不可導點有可能是極值點。小結：求函數(shù)在閉區(qū)間上最大值和最小值的步驟可歸納為：在閉區(qū)間上（1）求出函數(shù)在內(nèi)的所有駐點及不可導點；（2）求出各駐點不可導點及區(qū)間端點處的函數(shù)值；（3）比較這些函數(shù)值的大小，其中最大者即為函數(shù)在內(nèi)的最大值；最小者即為函數(shù)在內(nèi)的最小值。注如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)例11求函數(shù)在上的最大值與最小值.解令得駐點為.計算比較得，最大值為28，最小值為0.例12一個有上下底的圓柱形鐵桶，容積是常數(shù)，問底半徑多大時，鐵桶的表面積最??？解表面積，，令，得到函數(shù)在內(nèi)的唯一駐點，故其為最小值點.此時.例13某礦務局擬從地平面上一點挖掘一管道至地平面下一點，設長600米，長240米，如圖P73-3-8,.沿水平方向是黏土，掘進費為每米5元，地平面下是巖石，掘進費是每米13元，怎么樣挖掘費用最省？最省要多少元？解設先在地平面上由點掘