中考數(shù)學滿分之路【05】瓜豆原理

中考數(shù)學滿分之路（5）：瓜豆原理【引例】在平面直角坐標系中，，，過點作直線//軸，點是直線上的一個動點，以為邊在右側(cè)作，使，且，連接，，則的周長的最小值為______．當我們對本題進行初步分析后，能較容易將“求周長的最小值”轉(zhuǎn)化為求“的最小值”*，其中，為定點，為動點”，進而聯(lián)想到“將軍飲馬”模型，從而問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為“求點如何運動”．*注：有同學已經(jīng)知道，此處可將打包轉(zhuǎn)換出去，容易求解，后面會進一步說明．所謂“瓜豆原理”，是我們在考慮一個動點如何運動時的一種思考方向．觀察下列圖形中動點如何運動？并嘗試推廣（比如：點在線段上且，點如何運動？點在的延長線上，，點如何運動？）．①點為定點，點在定直線上運動，點為線段的中點，點如何運動？②點為定點，點在定圓⊙上運動，點為線段的中點，點如何運動？以下討論的均為在繞點順時針旋轉(zhuǎn)的方向．③點為定點，點在定直線（定圓⊙）上運動，，且，則點如何運動？④點為定點，，且，若點的運動路徑為英文單詞，則點的運動路徑什么？⑤點為定點，且，點在定直線（定圓⊙）上運動，，則點如何運動？【瓜豆原理】若點為定點，為定角，為定值，則點與點的運動路徑相同．需注意的是始終在繞點順時針旋轉(zhuǎn)的方向上（或始終在繞點順時針旋轉(zhuǎn)的方向上），即線段是由旋轉(zhuǎn)放縮得來的．【引例】在平面直角坐標系中，，，過點作直線//軸，點是直線上的一個動點，以為邊在右側(cè)作，使，且，連接，，則的周長的最小值為______．當我們對本題進行初步分析后，能較容易將“求周長的最小值”轉(zhuǎn)化為求“的最小值”*，其中，為定點，為動點”，進而聯(lián)想到“將軍飲馬”模型，從而問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為“求點如何運動”．*注：有同學已經(jīng)知道，此處可將打包轉(zhuǎn)換出去，容易求解，后面會進一步說明．當點在定直線上運動時，點如何運動呢？點為定點，，，點在定直線上運動，則點在某條直線上運動．至于在哪條直線上運動，需要抓住題目中不變的信息，即點到直線的距離不變．具體的處理方式如下：如圖，過作于點，作，在繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°的方向上，射線交直線于點，有∽，進而∽，所以，所以點在過點且與垂直的直線上運動．【方法小結(jié)】作出垂線段，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似．到此，會發(fā)現(xiàn)其實原題早已經(jīng)給我們做好了一組旋轉(zhuǎn)相似，連接，根據(jù)∽，將整體轉(zhuǎn)化為，容易求解．【反思】思路要靈活，不要固守于某個方法．平時也要多積累各種作法．那么，點在定圓上運動時，我們又該如何確定點在哪個定圓上運動呢？解決問題的關(guān)鍵仍然在于：抓住題目中不變的信息，具體如下：①如圖，點為定點，點在定圓⊙上運動，點為線段的中點，點如何運動？②如圖，點為定點，點在定圓⊙上運動，且，點如何運動？這兩個問題中，始終不變的是兩個定點間的距離即的長度以及⊙的半徑即的長度．對于①，連接，，取的中點，連接，有，∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動．對于②，如圖，連接，，過作的垂線，在垂線上取，有∽，相似比為，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動．注意，若在繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°方向上，則在繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°方向上．【方法小結(jié)】連接定點，定半徑，構(gòu)造中位線或旋轉(zhuǎn)相似．核心為“抓住不變的信息”．【同步練習】1、在中，邊上的高為1，點為的中點，則的最小值為______．2、如圖，在中，，對角線，，點是線段上的一動點，連接，過點作，在射線上取點，使得，連接，則周長的最小值為______．3、如圖，在等腰中，，點在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點．當點沿半圓從點運動至點時，點運動的路徑長是______．4、如圖，在中，，，，點是以為圓心，4為半徑的圓上的一動點，連接，為的中點，則線段長度的最大值為______．5、如圖，在中，為坐標原點，，，若點在反比例函數(shù)（）的圖象上運動，則點在某個函數(shù)的圖象上運動，這個函數(shù)的解析式為______．（請寫出自變量的取值范圍）6、如圖，點在線段上，點，在同側(cè)，，，，，點為線段上的動點，連接，作，交直線與點，當點從點運動到的中點時，線段的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長為______．7、正方形的邊長為4，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為______．8、