2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-第1章 數(shù)列測評卷

第1章數(shù)列

（滿分150分，考試用時120分鐘）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列,ai+a7=-8,a2=2,則數(shù)列｛an｝的公差d等于（）

A.-lB.-2

C.-3D.-4

2.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中,a6與ai2的等比中項(xiàng)為3,則log3a7+log3ali=（）

A.lB.2C.3D.4

3.《算法統(tǒng)宗》是我國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)

知識起到了很大的作用.在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒問甲歌”

就是其中一首:一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多

少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個問題中，這位公公的長兒的年齡為（）

A.23歲B.32歲

C.35歲D.38歲

11

4.已知數(shù)列｛a“中,ai=7，an=l--（n，2）,則aioo=（）

4an-i

A.5B.-41

4

44

C虧D-5

5.設(shè)等比數(shù)列｛a”的前n項(xiàng)和為Sn,若:m，則獸=（）

“3316

6.若等差數(shù)列｛a"的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,記悅=知，則（）

A.數(shù)列｛bn｝是公差為d的等差數(shù)列

B.數(shù)列｛bn｝是公差為2d的等差數(shù)列

C.數(shù)歹U｛an+bn｝是公差為|d的等差數(shù)列

D.數(shù)歹U｛an-bn｝是公差為|d的等差數(shù)列

7.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn,已知a=ll,Sio=12O,bn=--—，若

5an*an+l

Tk。則正整數(shù)k的值為（）

A.9B.8

C.7D.6

1

8.已知數(shù)歹U｛an｝滿足ai=l,a2=而,anan+2=4a"i，則an的最小值為（）

40

A.2-12B.2

C.2-5D.2-6

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.設(shè)d,Sn分別為等差數(shù)列｛a“的公差與前n項(xiàng)和，若Sio=S2o,則下列判斷中正確的有（）

A.當(dāng)n=15時,Sn取最大值

B.當(dāng)n=30時,Sn=0

C.當(dāng)d>0時,aio+a22>O

D.當(dāng)d<0時,|aio|>|a22|

10.如圖所示的數(shù)表中，第1行是從1開始的正奇數(shù)，從第2行開始，每個數(shù)是它肩上兩個數(shù)之和，

則下列說法正確的是（）

1357911

48121620???

12202836???

A.第6行第1個數(shù)為192

B.第10行的數(shù)從左到右構(gòu)成公差為21。的等差數(shù)列

C.第10行前10個數(shù)的和為95x29

D.第2021行第2021個數(shù)為6061x22020

11.在數(shù)列⑶｝中，若心碌kp（nN2,n?N+,p為常數(shù)），則稱｛a“為等方差數(shù)列.下列對等方差數(shù)列

的判斷正確的是（）

A.若｛an｝是等差數(shù)列，則｛成｝是等方差數(shù)列

B.｛（-l）n｝是等方差數(shù)列

C.若｛an｝是等方差數(shù)列，則｛akn｝（kGN+,k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列

D.若｛an｝既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列

12.設(shè)正整數(shù)n=ao,2°+ai?2〔+…+ak-i?2k-1+ak?2k淇中a6｛0,1｝,記co（n）=ao+ai+,,,+ak,（）

A.3（2n）=3（n）B.co（2n+3）=co（n）+1

C.co（8n+5）=（o（4n+3）D.co（2n-l）=n

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

13.設(shè)｛an｝是公差為-2的等差數(shù)列，如果ai+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+ag+…+a99=______.

14.已知等比數(shù)列｛a“是遞增數(shù)歹U,若ai=l,且3a2,2a3,a4為等差數(shù)列，則｛aQ的前4項(xiàng)獷

S4=.

15.設(shè)Sn是等差數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和，若結(jié)圣則沙=______.

3317

16.如圖,Pi是一塊半徑為2a的半圓形紙板，在Pi的左下端剪去一個半徑為a的半圓后得到圖形

P2,然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得到圖形P3,P4,…,Pn,…，

記第n塊紙板Pn的面積為Sn,則S3=，若Vn?N+,Sn>咨必恒成立，則a的取值范圍

是

RP，匕匕

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）在①Sn=2an-1,②皿=巖,a2=9,③Sn=2n+1這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題

Z7T十J.<J

中，并解答.

已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,，數(shù)列｛bn｝滿足bn=anan+l,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.

18.（12分）在等差數(shù)列｛an｝中,25=-10趣+27+28=-電其前n項(xiàng)和為Sn.

⑴求Sn的最小值及此時n的值；

（2）求數(shù)列｛同｝的前n項(xiàng)和Tn.

19.（12分）已知數(shù)列｛an｝,｛bn｝滿足an-bn=2n.

（1）若｛an｝是等差數(shù)列,b2=l,b4=-7,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn;

⑵若｛bn｝是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列,是否存在實(shí)數(shù)q,使｛an｝為等比數(shù)列?若存在，求

出q的值;若不存在,請說明理由.

20.(12分)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn滿足tSn+i-Sn=t(an+i+an-l),tGR且t(t-l)W0,n?N+.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知｛bn｝是等差數(shù)列,bi=3ai,b2=2a2,b3=a3,求數(shù)列｛anbn｝的前n項(xiàng)和Tn.

21.（12分）已知數(shù)歹U｛a"滿足an+i-2an+2=0,且ai=8.

⑴證明:數(shù)列｛a『2｝為等比數(shù)列；

⑵設(shè)b后再舒南記數(shù)列｛b“的前n項(xiàng)和為Tn,若對任意的ndN+,m，Tn恒成立，求m的取

值范圍.

22.(12分)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,2Sn=(2n+l)an-2n2(n?N+),數(shù)列｛回｝滿足bi=ai,nbn+尸anbn.

(1)求數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛Cn｝滿足ci=4,Cn+i=Cn-詈(nGN+),若不等式入+審大心GN+)恒成立，求實(shí)數(shù)X的取值

范圍.

答案與解析

l.c由題意得:+-=—8,解得優(yōu)1=5故選c

91+d=2,Id=-3.

2.B易知a6?ai2=9,/.Iog3a7+log3an=log3(a7?an)=log3(a6?ai2)=log39=2.故選B.

3.C設(shè)第n個兒子的年齡為an歲，由題可知｛a“是等差數(shù)列,且公差d=-3,則

S9=9ai+爭x(-3)=207,解得ai=35,即這位公公的長兒的年齡為35歲，故選C.

11

4.B因?yàn)閍i=--,an-1----(nN2),

4an-l

匚匚I、I.1.1^.1.14.1.1.51

所以a2=l后=「=5,a3=l-司=1年二初=1工=1篇=匕=彳

所以數(shù)列｛a“是以每3個數(shù)為一個周期的周期數(shù)列，

43

1

因?yàn)?00=33x3+1,所以aioo=ai=J,故選B.

4

5.C由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比數(shù)列，設(shè)S4=m(mW0),因?yàn)閙，

所以S8=3m,則S8-S4=2m,所以Si2-S8=4m,Si6-Si2=8m,所以Si2=7m,Si6=15m,所以普二萼■二：,故選

31615m5

C.

6.C易知an=ai+(n-l)d,Sn=nai+坐Id,故bn=&=4dn+aiWd,因止匕bn是關(guān)于n的一次函數(shù),故數(shù)列

｛bn｝是公差為京的等差數(shù)列，故A,B錯誤;由an+bn,dn+2a「|d是關(guān)于n的一次函數(shù),得數(shù)列｛an+b“

是公差為卦的等差數(shù)列，故C正確;由an-bn=|dn-|d是關(guān)于n的一次函數(shù),得數(shù)列｛a『bn｝是公差為

|d的等差數(shù)列，故D錯誤.故選C.

7.A設(shè)等差數(shù)列⑸｝的公差為d,因?yàn)镾io=&歿幺Q=5(a5+a6)=5(U+a6)=120,所以a6=13,則

d=a6@=2,所以an=a5+2(n-5)=2n+l,所以bn=^7rx焉一熹),

所以Tn=lG1+93+…+JF焉)耳(I-焉)=息兩，因?yàn)槎〔饭跃?。解?/p>

k=9.故選A.

17

8.Dai=1,a2=—,anan+2=4a^+,

.,.an^0,^=^±i,

。幾+1。九

署=2,公比為4的等比數(shù)歹U,

n1n3

...En±l=J_x4-=4-.

a九16

1

當(dāng)n》2時,an=2?—.....—?ai=4n-4x4n-5x???x4-2x1=42(n-1)(n-6),

an-lan-2

11

n=1時,42?l)(n-6)=1=ai,...an=42(n”)(n-6).

??.當(dāng)n=3或n=4時,an取得最小值，最小值為4-3=2-6,故選D.

9.BC因?yàn)镾io=S2o,所以10ai+竽d=20ai+2°,9d,解得ai=,^d.

因?yàn)闊o法確定ai和d的正負(fù)，所以無法確定Sn是否有最大值，故A錯誤.

S3o=3Oai+^1^d=3Ox(§d)+15x29d=0,故B正確.

aio+a22=2ai6=2(ai+15d)=2(-與d+15d)=d>0,故C正確.

29112913

aio=ai+9d=-—d+9d=--d,a22=ai+21d=--d+21d=—d,

因?yàn)閐<0,所以|ai()|=-爹&忖22|=下￡1,

所以|aio|<|a22|,故D錯誤.

故選BC.

10.ABD數(shù)表中，第1行的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列;第2行的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為4,公差

為4的等差數(shù)列;第3行的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為12,公差為8的等差數(shù)列;……;故第n行的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)

是an=nx2n」,公差為dn=2n的等差數(shù)列.故第6行第1個數(shù)為a6=6x2&i=192,故A正確;第10行的

數(shù)從左到右構(gòu)成公差為210的等差數(shù)列，故B正確;第10行的第1個數(shù)為aio=lOx2lo-1=lOx29>

以第10行前10個數(shù)的和為10x10x29+嗒x21°=190x29,故C錯誤;第2021行第1個數(shù)為a202i=

2021x22027=2021X22°2。,第2021行的公差為2202\故第2021行第

2021個數(shù)為2021X22020+Q021-l)x22021=6061x2?嗎故D正確.故選ABD.

11.BCD在選項(xiàng)A中，取an=n,則｛a"是等差數(shù)列，且磷=R則a"1-成=(n+l)2-n2=2n+l,不是常數(shù),

所以｛成｝不是等方差數(shù)列，故A錯誤.

在選項(xiàng)B中，設(shè)an=(-l)n,則哈碌尸[(-1)呼-[(-1)叩2=1_1=0,是常數(shù)，所以｛(-1尸｝是等方差數(shù)歹(],故

B正確.

在選項(xiàng)C中，由｛an｝是等方差數(shù)列，得哈Wu=p,從而若=c^+(n-l)p,所以

硫n+i)-扁=[a什(kn+k-l)p]-[a什(kn-l)p]=kp,是常數(shù)，所以｛akn｝(k@N+,k為常數(shù))是等方差數(shù)列，

故C正確.

在選項(xiàng)D中,由⑶｝是等差數(shù)列,可設(shè)其公差為d,則an-a?i=d,又⑶｝是等方差數(shù)列，所以哈臉尸p,

所1以a:-a/_]=(an+an-i)(an-an-i)=(an+an-i)d=pCD,^Affif(an+i+an)d=p②).

②-①，得(d+d)d=O,所以d=0,所以｛a“是常數(shù)列，故D正確.故選BCD.

12.ACD對于A選項(xiàng),3(n)=ao+ai+…+ak,2n=ao?2x+ai,2?+…+ak-i?2k+ak,2卜+1,所以

w(2n)=ao+ai+,,,+ak=w(n),A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，取n=2,2n+3=7=lx2°+lx21+lx22,co(7)=3,

而2=0x20+lx2\則3(2尸1,即3(7)WS(2)+1,B選項(xiàng)錯誤；

對于C選項(xiàng),8n+5=ao?23+ai,24H--卜ak,2k+3+5=lx2°+lx22+ao,23+ai,24+—i-ak,2k+',所以

3(8n+5尸2+ao+ai+…+ak,

23k+2123

4n+3=ao?2+ai?2+-+ak.2+3=lx2°+lx2+ao?2+ai?2+-+ak?2k+2,所以

3(4n+3)=2+ao+ai+…+ak,因此3(8n+5)=3(4n+3),C選項(xiàng)正確；

對于D選項(xiàng),2工1=20+21+…+211],故co(2n-l)=n,D選項(xiàng)正確.

故選ACD.

13.答案-82

解析???｛an｝是公差為-2的等差數(shù)列,...

a3+a6+ag+…+a99=(ai+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=ai+a4+a7+…+a97+33x2d=50-132=-82.

14.答案40

解析由題意知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù).設(shè)｛an｝的公比為q(q>l),因?yàn)?a2,2a3,a4為等差數(shù)列，所

以4a3=3a2+a4.因?yàn)閍i=l,所以4q2=3q+q3,BPq2-4q+3=0,解得q=l(舍去)或q=3,所以

的(1曾4)=1-34=

S4=1-q~1-3-4U-

15.答案1

勺+。)

15(1515(ai+ai5)_15x2a8_15

解析在等差數(shù)列｛an｝中華=圣所以盥=?2臭1

317。1+勺7)-1791+。17)-17義22—17。9

172

16.答案等a?;[逐而,+到)

O

-1

解析依題意得,Si=^x(2a)2=2兀

Si-S2=，ia2,

S2-S3=5xg)21a2,

/.53=52-，兀22=51片兀22-：兀22=^^@2.

oZoo

以此類推,{Sn+1$}是以S2s=-%2為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列,

Z4

1

記S2-S1--7ia2=S,

1/1\n-2

則S3-S2苦s,……,Sn-Sn-i=(yS(nN2),

Azq\71-11n9zq\71-1

/.Sn=Si+-Sx1-(-)=27ia2--7ia2+^7ia2x(-)

3\4/J33\4/

=^a2+|jra2Q)(n>2),

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=l時,上式也成立，

47ziX71-1

?二Sn=-7ia2+^7ia2(7)(n￡N+).

33\4/

?.?Sn>2對任意n?N+恒成立，且Sn>ya2,

只需融2三咨叨即可，解得a2>505,

又..飛〉。,，a三同^即a的取值范圍是［同5+oo).

17.解析選條件①Sn=2a『l,

(Sn=2an-l,

W《導(dǎo)an=2an-2an-i,

Un-i=2aM-l(n22),

所以an=2an-i(n22),(3分)

又因?yàn)镾i=2ai-1,所以ai=l,

所以數(shù)列｛a“是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)歹(J,

n1

所以an=2-.(5分)

n1n2n1

因此bn=anan+i=2-?2=2-,(7分)

所以Tn=21+23+…+22~1=笑孚=練2(10分)

選條件②皿=駕,a2=]

an2n+l3

解法一:由皿=等■，得"4又a2=9,所以ai=l.

an2n+la133

當(dāng)n三2時3="x^x…x-^=ix-x…x—=—,

a1?2an-i352n-l2n-l

1

所以a=3—7（n^2）,

nZ71-1

又因?yàn)閍i=l也符合an=J1,所以an=J1.（5分）

2n-l2n-l

因止匕bn=ana+i=-7zQ11_n[J。分）

n（2n-l）（2n+l）2\2n-l2n+l/

所以Tn=l[（1-I）+G4）+…+（+-焉）KO一焉卜舟0°分）

解法二:由皿=算，得（2n+l）an+i=（2n-l）an,

Q■八^iL~iA.

所以數(shù)列｛（2n-l）an｝是常數(shù)列,（3分）

1

所以（2n-l）an=（2x2-l）a2=l,所以an=^^-.（5分）

下同解法一.（10分）

選條件③Sn=2n+1,

當(dāng)n>2時,an=Sn-Sn-l=（2n+l）-（2n1+l）=2n-l,（3分）

又因?yàn)閍i=Si=3,顯然不符合上式，

所以2,（5分）

則bn=an,an+i=[鬻；o（7分）

[21,n>2.

111

當(dāng)心2時,Tn=6+23+25+…+22、-I=6+8（|-，）=|X4+學(xué),

1—4DD

又因?yàn)門l=6,符合Tn=|x4n+y,

所以Tn=|x4n+y.（10分）

18.解析⑴設(shè)｛an｝的公差為d.

*/a6+a7+as=-18=3a7,/.a7=-6.

;a5=-10,/.d=-6；（-：0）=2,/.ai=a5-4d—18,（3分）

Sn=nai+g羅L18n+n2-n=n2-19n=（n-當(dāng)）-岑

/.當(dāng)n=9或n=10時,Sn取得最小值，且最小值為-90.（6分）

⑵由⑴得an=2n-20,則當(dāng)nW10時,anWO,當(dāng)nN11時,an>0,

.,.當(dāng)nW10時,Tn=|ai|+|a2|+…+|an|=-ai-a2-a3-…-an=-迎電受上?=19n-n2,（9分）

當(dāng)nN11時,Tn=|a[+|a2|+…+|an|=-ai-a2-a3-…-aio+a“+ai2+…+an=90+（"1°）（?2n2°）=n2-i9n+180.

綜上,Tn=4霽f詈，，(12分)

lnz-19n+180,n>11.

n

19.解析⑴由an-bn=2,b2=1,b4=-7,

得a2=b2+22=5,a4=b4+24=9,

設(shè)｛a“的公差為d,貝lja4=a2+2d=5+2d=9,解得d=2,

所以an=a2+(n-2)d=5+2(n-2)=2n+l,(3分)

nn

所以bn=an-2=2n+1-2,

所以Sn=bi+b2+b3+???+bn=[3+5+???+(2n+l)]-(2+22+???+2n)

(3+2n+l)n2(1-2n)2?onn+1衣八、

=----------\-nz+2n+2-2n1.(6分)

L1—QL

(2)因?yàn)椋鸼n｝是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，

所以bn=biqnl(q>0),

nn111

由an-bn=2n,得an=bn+2=2+biq-.

若｛an｝是等比數(shù)列，則譴=aia3,即S2+4)2=(bi+2)(ba+8),

整理得西+8b2+16=bib3+8bi+2b3+I6,所以4b2=4bi+b3,

所以4biq=4bi+biq2,解得q=2.(9分)

當(dāng)q=2時,ai+bi?2~i=(bi+2)?2%

因?yàn)閎i>0,所以皿=2,為常數(shù)，故⑶｝是等比數(shù)列.

an

所以存在實(shí)數(shù)q=2,使｛a“為等比數(shù)列.(12分)

20.解析⑴當(dāng)n=l時,tS2-Si=t(a2+ai-l),即-Si=-ai=-t,解得ai=t.

當(dāng)n》2時，由tSn+l-Sn=t(an+l+an-l),①

得tSn-Sn-尸t(an+an-l-l),②(3分)

tcln+1-3.n=t(an+1-cln-1),an=tfln-l,

由于ai=tW0,所以2"=t,

an-l

所以數(shù)列｛an｝是以t為首項(xiàng),t為公比的等比數(shù)列，即an=tn.(6分)

(2)由｛bn｝是等差數(shù)列，得2b2=bi+b3,即4a2=3ai+a3,所以4t2=3t+t3,

n

又因?yàn)閠(t-l)WO,所以t=3,故an=3.(8分)

設(shè)等差數(shù)列｛bn｝的公差為d,

貝Ibi=3ai=3x3=9,b2=2a2=2x32=18,

所以d=b2-bi=9,所以bn=9+9(n-l)=9n,

nn+2

所以anbn=3,9n=n?3,（9分）

貝ijTn=lx33+2x34+3x35+-+n?3班①

3Tn=lx34+2x35+3x36+-+n?3H3,②

2幾+377

n+3n+3

①-②，得-2Tn=33+34+35+…+3n+2-n?3=2-n?3,

所以Tn。'）1+3+27.（12分）

4

21.解析⑴證明:因?yàn)閍n+i-2an+2=0,所以an+i=2an-2,

即an+i-2=2（a『2）,則％±4=2,

an-^

所以數(shù)列｛a『2｝是以ai-2=6為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.（4分）

n

（2）由⑴知an