湘教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教學(xué)課件

第1章分式1.1分式1.分式的基本性質(zhì)：（1）分式的分子與分母都乘_________________，所得分式與原分式相等.（2）分式的分子與分母都除以它們的一個(gè)________，所得分式與原分式相等.知識(shí)回顧同一個(gè)非零整式公因式2.把下列多項(xiàng)式因式分解：(1)a2-2a=________a2-4a+4=_______(2)x2-9=____________x2+6x+9=________a(a-2)(a-2)2由此得它們的公因式是____.a-2(x+3)(x-3)(x+3)2由此得它們的公因式是____.x+3歸納：由以上可得2.把一個(gè)分式的分子與分母的________約去的運(yùn)算叫作分式的約分.約分的依據(jù)是_______________.1.分子與分母沒(méi)有__________的分式叫作

.

公因式分式的基本性質(zhì)公因式最簡(jiǎn)分式（1）把分子與分母因式分解，找出分子與分母的公因式.約分的一般步驟:（2）根據(jù)分式的基本性質(zhì)約去分子與分母的公因式.自我檢測(cè)交流1.下列分式，最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)是（）

①②③④

A.1B.2C.3D.4a2-b2________(a-b)2a-b______a+bx-y_______y-xx2+1_______x+1B-x-y=-(x+y)(-x-y)2

=(x+y)2

y-x=-(x-y)(y-x)2

=(x-y)2

提示：找公因式時(shí)要熟悉以下轉(zhuǎn)化關(guān)系

思考：當(dāng)x=5，y=3時(shí)，怎樣求分式的值？當(dāng)x=5，y=3時(shí)，約分的應(yīng)用方法：先約分化成最簡(jiǎn)分式，再代值計(jì)算.第1章分式1.2分式的乘法和除法背景導(dǎo)入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了：分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘同一個(gè)非零整式，所得分式與原分式相等。能對(duì)分式進(jìn)行約分。將一個(gè)分式化成最簡(jiǎn)分式。接下來(lái)我們將學(xué)習(xí)分式的乘除法運(yùn)算。一、做一做，回顧分?jǐn)?shù)的乘除法。１、

２、

解:(1)(2)回顧分?jǐn)?shù)的乘、除法法則分?jǐn)?shù)的乘法法則：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，把分子乘分子，分母乘分母，分別作為積的分子、分母。然后約去分子與分母的公因數(shù)。分?jǐn)?shù)的除法法則：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，把除數(shù)的分子和分母顛倒位置后，再與被除數(shù)相乘。提問(wèn)：你能用代數(shù)式表示上題的計(jì)算過(guò)程嗎？經(jīng)觀察、類(lèi)比，不難發(fā)現(xiàn)：分式的乘、除法法則：分式的乘法法則：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分別作為積的分子、分母。然后約去分子與分母的公因式。分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘。例題講解例１計(jì)算：（１）（２）例題解答解：（１）

（２）

注意：分式運(yùn)算的最后結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式。（２）（分析：若分式的分子、分母可以因式分解，則先分解因式，再進(jìn)行計(jì)算）例２計(jì)算：（１）解：（１）（２）教學(xué)總結(jié)提問(wèn)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)和數(shù)學(xué)思想？１、分式的乘除法。２、數(shù)學(xué)中重要的一種思想—類(lèi)比轉(zhuǎn)化思想。由小學(xué)所學(xué)的分?jǐn)?shù)的乘除法類(lèi)比分式的乘除法，分式的除法可以化歸為分式的乘法。第1章分式1.3整數(shù)指數(shù)冪說(shuō)一說(shuō)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則有哪些？am·an=am+n(m，n都是正整數(shù))；(am)n=amn(m，n都是正整數(shù))；(ab)n=anbn(n是正整數(shù)).(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n)；

(b≠0，n是正整數(shù)).

在前面我們已經(jīng)把冪的指數(shù)從正整數(shù)推廣到了整數(shù).

可以說(shuō)明：當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，正整數(shù)指數(shù)冪的上述運(yùn)算法則對(duì)于整數(shù)指數(shù)冪也成立.am

·an=am+n(a≠0，m，n都是整數(shù))，(am)n=amn(a≠0，m，n都是整數(shù))，(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整數(shù)).①②③即實(shí)際上，對(duì)于a≠0，m，n是整數(shù)，有(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n)；因此，同底數(shù)冪相除的運(yùn)算法則被包含在公式①中.am

·

an=am+n(a≠0，m，n都是整數(shù))而對(duì)于a≠0，b≠0，

n是整數(shù)，有因此，分式的乘方的運(yùn)算法則被包含在公式③中.(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整數(shù))③例7設(shè)a≠0，b≠0，計(jì)算下列各式：

（1）a7·

a-3；（2）(a-3)-2；

（3）a3b(a-1b)-2.

舉例解：（1）a7·a-3（2）(a-3)-2=a7+(-3)=

a(-3)×(-2)=a4.=a6.（3）a3b(a-1b)-2=a3b·a2b-2=a3+2b1+(-2)=a5b-1=舉例例8計(jì)算下列各式：練習(xí)1.設(shè)a≠0，b≠0，計(jì)算下列各式：（1）-a

·

(-a)3；答案：a4.（2）(-a)3·(a-1)2

；（3）[(-a)2]-1；（4）a-5(a2b-1)3.答案：-a.答案：.答案：.2.計(jì)算下列各式：

第1章分式1.4分式的加法和減法

類(lèi)似地，同分母的分式的加、減法運(yùn)算法則是：

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

即同分母的分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，把分子相加減.

例1

計(jì)算：舉例

分式運(yùn)算的最后結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式.分式運(yùn)算的最后結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式.注意下列等式是否成立？為什么？說(shuō)一說(shuō)

因?yàn)樗?/p>

因?yàn)樗岳?

計(jì)算：舉例練習(xí)1.計(jì)算：答案：x-y2.計(jì)算：答案：1做一做

；

.計(jì)算：

異分母的分?jǐn)?shù)相加減，要先通分，化成同分母的分?jǐn)?shù)，再加減.

類(lèi)似地，異分母的分式進(jìn)行加、減運(yùn)算時(shí)，也要先化成同分母的分式，再加減.

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式化成同分母的分式的過(guò)程，叫作分式的通分.動(dòng)腦筋如何把分式通分？

通分時(shí)，關(guān)鍵是確定公分母.

一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母稱(chēng)為最簡(jiǎn)公分母.2x的因式有2，x；

兩式中所有因式的最高次冪的積是6xy，3y的因式有3，y，

所以這兩個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母為6xy.

從而可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分別把原來(lái)各分式的分子和分母都乘同一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?，使各分式的分母都化?xy.通分過(guò)程如下:舉例例3通分：解:

最簡(jiǎn)公分母是12xy2.最簡(jiǎn)公分母是20a2b2c2.舉例例4通分：解

最簡(jiǎn)公分母是x(x-1).最簡(jiǎn)公分母是2(x+2)(x-2).

練習(xí)

1.通分：2.通分：動(dòng)腦筋

從甲地到乙地依次需經(jīng)過(guò)1km的上坡路和2km的下坡路.已知小明騎車(chē)在上坡路上的速度為v

km/h，在下坡路上的速度為3v

km/h，則他騎車(chē)從甲地到乙地需多長(zhǎng)時(shí)間？

這是異分母的分式的加法，因此我們應(yīng)先把它們化成同分母的分式，然后再相加，即

小明騎車(chē)走1km上坡路和2km下坡路的時(shí)間分別為，，那么騎行所需的總時(shí)間為.因此，小明騎車(chē)從甲地到乙地需.舉例例5計(jì)算：解：舉例例6計(jì)算：解:原式舉例例3計(jì)算：注意

把“x+1”看作“”，有助于尋找兩個(gè)分式的公分母.練習(xí)

1.計(jì)算：2.計(jì)算：3.甲、乙兩城市之間的高鐵全程長(zhǎng)1500km，列車(chē)的運(yùn)行速度為bkm/h.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間試運(yùn)行后，鐵路部門(mén)決定將列車(chē)運(yùn)行速度再提高50km/h，則提速后列車(chē)跑完全程要少花多長(zhǎng)時(shí)間？答：提速后列車(chē)跑完全程要少花中考試題例1化簡(jiǎn)：的結(jié)果是（）.A.-x-y

B.y-x

C.x-y

D.x+y解析A中考試題例2計(jì)算：=

.解析1中考試題例3解析當(dāng)時(shí)，=

.

當(dāng)時(shí)，原式第1章分式1.5可化為一元一次方程的分式方程動(dòng)腦筋

某校八年級(jí)學(xué)生乘車(chē)前往某景點(diǎn)秋游，現(xiàn)有兩條線路可供選擇：線路一全程25km，線路二全程30km；若走線路二平均車(chē)速是走線路一的1.5倍，所花時(shí)間比走線路一少用10min，則走線路一、二的平均車(chē)速分別為多少？

設(shè)走線路一的平均車(chē)速為xkm/h，則走線路二的平均車(chē)速為1.5xkm/h.又走線路二比走線路一少用10min，即因此，根據(jù)這一等量關(guān)系，我們可以得到如下方程：走線路一的時(shí)間-走線路二的時(shí)間=像這樣，分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.議一議

分式方程的分母中含有未知數(shù)，我們?cè)撊绾蝸?lái)求解呢？

聯(lián)想到我們?cè)谄吣昙?jí)已經(jīng)學(xué)過(guò)一元一次方程的解法，因此我們應(yīng)通過(guò)“去分母”，將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)求解.方程兩邊同乘6x，得解得x=30.25×6-30×4=x

.經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是所列方程的解.

由此可知，走線路一的平均車(chē)速為30km/h，走線路二的平均車(chē)速為45km/h.

從上面可以看出，解分式方程的關(guān)鍵是把含未知數(shù)的分母去掉，這可以通過(guò)在方程的兩邊同乘各個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母而達(dá)到.例1解方程

：舉例解：方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母x(x-2)，得5x-3(x-2)=0.

解得x=-3.檢驗(yàn)：把x=-3代入原方程，得因此x=-3是原方程的解.左邊==右邊，分式方程的解也叫作分式方程的根.例2解方程

：舉例

解：方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母(x+2)(x-2)，得

x+2=4.

解得x=2.檢驗(yàn)：把x=2代入原方程，方程兩邊的分式的分母都為0，這樣的分式?jīng)]有意義.因此，x=2不是原分式方程的根，從而原分式方程無(wú)解.

從例2看到，方程左邊的分式的分母x-2是最簡(jiǎn)公分母(x+2)(x-2)的一個(gè)因式.

這啟發(fā)我們，在檢驗(yàn)時(shí)只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母中，如果它使最簡(jiǎn)公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一個(gè)根；

如果它使最簡(jiǎn)公分母的值為0，那么它不是原分式方程的根，稱(chēng)它是原方程的增根.

例2解方程：

解分式方程有可能產(chǎn)生增根，因此解分式方程必須檢驗(yàn).說(shuō)一說(shuō)解可化為一元一次方程的分式方程的基本步驟有哪些？可化為一元一次方程的分式方程一元一次方程一元一次方程的解

把一元一次方程的解代入最簡(jiǎn)公分母中，若它的值不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的根；若它的值等于0，則原分式方程無(wú)解.方程兩邊同乘各個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母求解檢驗(yàn)練習(xí)1.解下列方程：答案：x=5答案：無(wú)解2.解下列方程：答案：x=0答案：x=4動(dòng)腦筋

A，B兩種型號(hào)機(jī)器人搬運(yùn)原料.已知A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)20kg，且A型機(jī)器人搬運(yùn)1000kg所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)800kg所用時(shí)間相等，求這兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少原料.

設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)xkg，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（x+20）kg.由“A型機(jī)器人搬運(yùn)1000kg所用時(shí)間=B型機(jī)器人搬運(yùn)800kg所用時(shí)間”由這一等量關(guān)系可列出如下方程：方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母x(x+20)，得1000x=800(x+20).解得x=80.檢驗(yàn)：把x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，因此x=80是原方程的根，且符合題意.由此可知，B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)原料80kg，A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)原料100kg.例3國(guó)家實(shí)施高效節(jié)能電器的財(cái)政補(bǔ)貼政策，某款空調(diào)在政策實(shí)施后，客戶(hù)每購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)可獲得補(bǔ)貼200元，若同樣用11萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)此款空調(diào)，補(bǔ)貼后可購(gòu)買(mǎi)的臺(tái)數(shù)比補(bǔ)貼前多10%，則該款空調(diào)補(bǔ)貼前的售價(jià)為多少元？舉例分析本題涉及的等量關(guān)系是：

補(bǔ)貼前11萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)的臺(tái)數(shù)×(1+10%)=補(bǔ)貼后11萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)的臺(tái)數(shù).解:

設(shè)該款空調(diào)補(bǔ)貼前的售價(jià)為每臺(tái)x元，由上述等量關(guān)系可得如下方程：即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母x(x-200)，

解得x=2

200.

得1.1(x-200)=x.檢驗(yàn)：把x=2

200代入x(x-200)中，它的值不等于0，

因此x=2

200是原方程的根，且符合題意.答：該款空調(diào)補(bǔ)貼前的售價(jià)為每臺(tái)2200元.練習(xí)1.某單位蓋一座樓房，如果由建筑一隊(duì)施工，那么180天就可蓋成；如果由建筑一隊(duì)、二隊(duì)同時(shí)施工，那么30天能完成工程總量的.現(xiàn)若由二隊(duì)單獨(dú)施工，則需要多少天才能蓋成？解設(shè)由二隊(duì)單獨(dú)施工需x天完成任務(wù)，則

答：由二隊(duì)單獨(dú)施工，則需225天才能蓋成.2.一艘輪船在兩個(gè)碼頭之間航行，順?biāo)叫?0km所需時(shí)間與逆水航行48km所需時(shí)間相同.已知水流的速度是2km/h，求輪船在靜水中航行的速度.解設(shè)輪船在靜水中航行的速度為xkm/h，則

答：輪船在靜水中航行的速度為18km/h.中考試題例1分式方程的解是（）

A.-3B.2C.3D.-2A解析將各選項(xiàng)的值代入檢驗(yàn)或者直接解出方程.只有A項(xiàng)正確，故選A.中考試題例2

解分式方程，方程的解為（）

A.x=2B.x=4C.x=3D.無(wú)解解析在方程兩邊同乘(x-2)，約去分母，得1-x+2(x-2)=-1，1-x+2x-4=-1，x=2.檢驗(yàn)，當(dāng)x=2時(shí)，x-2=2-2=0，所以x=2是增根.所以原方程無(wú)解.D中考試題例3

輪船順?biāo)叫?0千米所需的時(shí)間和逆水航行30千米所需的時(shí)間相同.已知水流速度為3千米/時(shí)，設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，則可列方程為

.解析V順=(x+3)千米/時(shí)，V逆=(x-3)千米/時(shí)，故中考試題例4

在達(dá)成鐵路復(fù)線工程中，某路段需要鋪軌.先由甲工程隊(duì)獨(dú)做2天后，再由乙工程隊(duì)獨(dú)做3天剛好完成這項(xiàng)任務(wù).已知乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)比甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)多用2天，求甲、乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)各需多少天？解：設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需(x+2)天.依題意，得化簡(jiǎn)，得x2-3x-4=0，解得x=-1或x=4.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4和x=-1時(shí)，x(x+2)≠0，

x=4和x=-1都是原分式方程的解.

但x=-1不符合實(shí)際意義，故x=-1舍去.

乙單獨(dú)完成任務(wù)需要x+2=6(天).

答：甲、乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)分別需要4天、6天.小結(jié)與復(fù)習(xí)1.舉例說(shuō)明分式的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則.2.舉例說(shuō)明如何利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分.3.整數(shù)指數(shù)冪有哪些運(yùn)算法則？4.解可化為一元一次方程的分式方程的基本思路是什么？解分式方程時(shí)為什么要檢驗(yàn)？本章知識(shí)結(jié)構(gòu)分式基本性質(zhì)運(yùn)算可化為一元一次方程的分式方程乘、除運(yùn)算整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算加、減運(yùn)算注意1.分式與分?jǐn)?shù)有許多相似之處，在學(xué)習(xí)分式的性質(zhì)與運(yùn)算時(shí)，可類(lèi)比分?jǐn)?shù).2.解分式方程的關(guān)鍵在于去分母，這時(shí)可能產(chǎn)生增根，因此必須檢驗(yàn).

除了要看求出的未知數(shù)的值是否使最簡(jiǎn)公分母的值為0外，在實(shí)際問(wèn)題中還需檢查求出的根是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求.第2章三角形2.1三角形觀察

觀察下圖，找一找圖中的三角形，并把它們勾畫(huà)出來(lái).你還能舉出一些實(shí)例嗎？不在同一直線上的三條線段首尾相接所構(gòu)成的圖形叫作三角形.三角形可用符號(hào)“△”來(lái)表示，如圖中的三角形可記作“△ABC

”，讀作“三角形ABC

”.其中，點(diǎn)A，B，C叫作△ABC的頂點(diǎn)；∠A，∠B，∠C叫作△ABC的內(nèi)角（簡(jiǎn)稱(chēng)△ABC的角）；線段AB，BC，CA叫作△ABC的邊.通?！螦，∠B，∠C的對(duì)邊BC，AC，AB可分別用a，b，c來(lái)表示.

在三角形中，有的三邊各不相等，有的兩邊相等，有的三邊都相等.

兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形.

在等腰三角形中，相等的兩邊叫作腰，

另外一邊叫作底邊，

兩腰的夾角叫作頂角，

腰和底邊的夾角叫作底角.腰腰底邊頂角底角底角

三邊都相等的三角形叫作等邊三角形（或正三角形）.

等邊三角形是特殊的等腰三角形——腰和底邊相等的等腰三角形.

在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和與第三邊的長(zhǎng)度之間有怎樣的大小關(guān)系？為什么？動(dòng)腦筋

在△ABC中，BC是連接B，C兩點(diǎn)的一條線段，由基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得AB+AC>BC.同理可得AB+BC>AC，AC+BC>AB

.結(jié)論三角形的任意兩邊之和大于第三邊.一般地，我們可以得出：做一做

有三根木棒，其長(zhǎng)度分別為2cm，3cm，6cm，它們能否首尾相接構(gòu)成一個(gè)三角形？舉例例1如圖，D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，AD=BD，試判斷AC與BC的大小.解在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）.又AD=BD，所以BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.練習(xí)1.（1）如圖，圖中有幾個(gè)三角形？把它們分別表示出來(lái).答：五個(gè)三角形.（2）如圖，在△DBC

中，寫(xiě)出∠D的對(duì)邊，BD

邊的對(duì)角.答：∠D的對(duì)邊是BC，

BD邊的對(duì)角是∠BCD.2.三根長(zhǎng)分別為2cm，5cm，6cm的小木棒能首尾相接構(gòu)成一個(gè)三角形嗎？答：能.

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高線，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的高.

如圖，AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，則線段AH是△ABC的BC邊上的高.如圖，試畫(huà)出圖中△ABC的BC邊上的高.做一做D

在三角形中，一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫作三角形的角平分線.

如圖，∠BAD=∠CAD，則線段AD是△ABC的一條角平分線.

在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫作三角形的中線.

如圖，BE=EC，則線段AE是△ABC的BC邊上的中線.

任意畫(huà)一個(gè)三角形，畫(huà)出三邊上的中線.你發(fā)現(xiàn)了什么？做一做EFDEFD

事實(shí)上，三角形的三條中線相交于一點(diǎn).

我們把這三條中線的交點(diǎn)叫作三角形的重心.

如圖，△ABC的三條中線AD，BE，CF相交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為△ABC的重心.G舉例例2如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高.（1）圖中共有幾個(gè)三角形？請(qǐng)分別列舉出來(lái).解（1）圖中有6個(gè)三角形，它們分別是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面積相等？解：因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD=DC.因?yàn)锳E是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又練習(xí)1.利用三角尺（或直尺）、量角器任意畫(huà)出一個(gè)三角形，并畫(huà)出其中一條邊上的中線、高以及這條邊所對(duì)的角的平分線.2.如圖，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中線，

BF是△EBD的角平分線，根據(jù)已知條件填空：ADC90AEABEBFDBE動(dòng)腦筋

在小學(xué)，我們通過(guò)對(duì)一個(gè)三角形進(jìn)行折疊、剪拼等操作（如圖），知道三角形的內(nèi)角和是180°，你能說(shuō)出這些方法的原理嗎？

上述兩種操作都是將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起構(gòu)成一個(gè)平角.結(jié)論三角形的內(nèi)角和等于180°.舉例例3

在△ABC中，∠A的度數(shù)是∠B的度數(shù)的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解：設(shè)∠B為x，則∠A為(3x)°，∠C為(x+15)°，從而有3x+x+(x+15)=180.解得x=33.所以3x=99，x+15=48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，33°，48°.議一議

一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最多有幾個(gè)直角？最多有幾個(gè)鈍角？

三角形的內(nèi)角和等于180°，因此最多有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角.

三角形中，三個(gè)角都是銳角的三角形叫銳角三角形，

有一個(gè)角是直角的三角形叫直角三角形，有一個(gè)角是鈍角的三角形叫鈍角三角形.銳角三角形直角三角形鈍角三角形

直角三角形可用符號(hào)“Rt△”來(lái)表示，例如直角三角形ABC可以記作“Rt△ABC”.

在直角三角形中，夾直角的兩邊叫作直角邊，直角的對(duì)邊叫作斜邊.

兩條直角邊相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.

如圖，把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)，得到∠ACD.

像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角，叫作三角形的外角.

對(duì)外角∠ACD來(lái)說(shuō)，∠ACB是與它相鄰的內(nèi)角，∠A，∠B是與它不相鄰的內(nèi)角.D

探究

在圖中，外角∠ACD和與它不相鄰的內(nèi)角∠A，∠B之間有什么大小關(guān)系？

我覺(jué)得可以利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論.因?yàn)椤螦CD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD-∠A-∠B=0（等量減等量，差相等），于是∠ACD=∠A+∠B.結(jié)論

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.練習(xí)1.填空：（1）在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，則∠B=

；（2）在△ABC中，∠A-∠B=50°，∠C-∠B=40°，則∠B=

.60°30°2.如圖，AD是△ABC的角平分線，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAC的度數(shù).答：∠DAC的度數(shù)是34°.3.如圖，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度數(shù).答：∠C的度數(shù)是70°.第2章三角形2.2命題與證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.學(xué)會(huì)判斷命題的真假2.掌握如何證明命題

引入三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角叫三角形的外角.我們前面學(xué)習(xí)了許多有關(guān)三角形的概念，如：不在同一直線上的三條線段首尾相接所構(gòu)成的圖形叫三角形.

像這樣，對(duì)一個(gè)概念的含義加以描述說(shuō)明或作出明確規(guī)定的語(yǔ)句叫作這個(gè)概念的定義.

例如：“把數(shù)與表示數(shù)的字母用運(yùn)算符號(hào)連接而成的式子叫作代數(shù)式”是“代數(shù)式”的定義.“同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線叫作平行線”是“平行線”的定義.下列敘述事情的語(yǔ)句，哪些是對(duì)事情作出了判斷？（1）三角形的內(nèi)角和等于180°;（2）如果|a|=3，那么a=3;（3）1月份有31天;（4）作一條線段等于已知線段;（5）一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角互補(bǔ)嗎？

一般地，對(duì)某一件事情作出判斷的語(yǔ)句（陳述句）叫作命題.

如上述語(yǔ)句中,（1）（2）（3）都是命題，（4）（5）沒(méi)有對(duì)事情作出判斷，不是命題.觀察下列命題的表述形式有什么共同點(diǎn)？（1）如果a=b且b=c，那么a=c；（2）如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角.

它們的表述形式都是“如果……，那么……”.

命題通常寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是條件，“那么”引出的部分就是結(jié)論.

例如，對(duì)于上述命題（2），“兩個(gè)角的和等于90°”就是條件，“這兩個(gè)角互為余角”就是結(jié)論.（2）如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角.

有時(shí)為了敘述的簡(jiǎn)便，命題也可以省略關(guān)聯(lián)詞“如果”、“那么”.

如：“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“對(duì)頂角相等”；

“如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等”可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“同角的余角相等”.做一做（1）指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式：命題條件結(jié)論①能被2整除的數(shù)是偶數(shù)②有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角③兩直線平行，同位角相等④同位角相等，兩直線平行那么這個(gè)數(shù)是偶數(shù)如果一個(gè)數(shù)能被2整除那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)那么它們的同位角相等如果兩條直線平行那么這兩條直線平行

如果兩個(gè)同位角相等（2）上述命題③與④的條件與結(jié)論之間有什么聯(lián)系？③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.

命題③與④的條件與結(jié)論互換了位置.

對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，我們把這樣的兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題，其中一個(gè)叫作原命題，另一個(gè)叫作逆命題.

例如，上述命題③與④就是互逆命題.

從以上我們可以看出，只要將一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換，就可得到它的逆命題，所以每個(gè)命題都有逆命題.1.下列語(yǔ)句，哪些是命題，哪些不是命題？（2）兩點(diǎn)之間，線段最短；（4）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.（3）任意一個(gè)三角形的三條中線都相交于一點(diǎn)嗎？（1）如果x=3，求的值；2.將下列命題改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式.（1）兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）個(gè)位數(shù)字是5的整數(shù)一定能被5整除；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0；（4）三角形的一個(gè)外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角.練習(xí)3.寫(xiě)出下列命題的逆命題：（1）若兩數(shù)相等，則它們的絕對(duì)值也相等；（2）如果m是整數(shù)，那么它也是有理數(shù)；（3）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（4）兩邊相等的三角形是等腰三角形.4.在下列空格上填寫(xiě)適當(dāng)?shù)母拍睿海?）垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的

.

（2）在數(shù)軸上，表示一個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作這個(gè)實(shí)數(shù)的

.垂直平分線絕對(duì)值練習(xí)議一議

下列命題，哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的？說(shuō)一說(shuō)你的理由.（1）每一個(gè)月都有31天；（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)；（3）同位角相等；（4）同角的補(bǔ)角相等.錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確上面五個(gè)命題，命題(4)是正確的，命題(1)(2)(3)都是錯(cuò)誤的.我們把正確的命題稱(chēng)為真命題，把錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為假命題.

（1）每一個(gè)月都有31天；（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)；（3）同位角相等.

（4）同角的補(bǔ)角相等.結(jié)論（1）如果a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；解:

如果a是整數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的定義：“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)”,得出a是實(shí)數(shù).因此命題(1)為真．（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù).解:

0.5是有理數(shù)，因此命題(2)為假．但是0.5不是整數(shù).

像此例的第(1)題那樣，從一個(gè)命題的條件出發(fā)，通過(guò)講道理(推理)，得出它的結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)過(guò)程叫作證明.

像此例的第(2)題那樣，找出一個(gè)例子，它符合命題的條件，但它不滿(mǎn)足命題的結(jié)論，從而判斷這個(gè)命題為假，這個(gè)過(guò)程叫作舉反例.判斷下列命題為真命題是根據(jù)什么呢？

分別根據(jù)有理數(shù)、等腰（等邊）三角形的定義作出判斷．（1）如果a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；（2）如果三角形ABC是等邊三角形，那么它是等腰三角形．

從上面的例子看到，在判斷一個(gè)命題是否為真命題時(shí)常常要利用一些概念的定義，但是光用定義只能判斷一些很簡(jiǎn)單的命題是否為真.

對(duì)于絕大多數(shù)命題的真假的判斷，光用定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，那么除了根據(jù)定義外，還能根據(jù)什么來(lái)推理，去判斷命題的真假呢？數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫作基本事實(shí).有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫作定理.

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid，約公元前330—前275)對(duì)他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)化的總結(jié)，他挑選出一些人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的公認(rèn)的真命題，作為證明的原始依據(jù)，稱(chēng)這些真命題為公理.

歐幾里得本書(shū)中，我們把少數(shù)真命題作為基本事實(shí).

例如，兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間線段最短；經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.

人們可以用定義和基本事實(shí)作為推理的出發(fā)點(diǎn)，去判斷其他命題的真假.基本事實(shí)同位角相等，兩直線平行.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.我們把經(jīng)過(guò)證明為真的命題叫作定理.

例如，“三角形的內(nèi)角和等于180°”稱(chēng)為“三角形內(nèi)角和定理”.

定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，由某定理直接得出的真命題叫作這個(gè)定理的推論.

例如，“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”稱(chēng)為“三角形內(nèi)角和定理的推論”，也可稱(chēng)為“三角形的外角定理”.

當(dāng)一個(gè)命題是真命題時(shí)，它的逆命題不一定是真命題.

例如，“如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它的逆命題“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是對(duì)頂角”就是假命題.

如果一個(gè)定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理.

我們前面學(xué)過(guò)的定理中就有互逆的定理.

例如，“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”和“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是互逆的定理.

采用剪拼或度量的方法，猜測(cè)“三角形的外角和”等于多少度.從剪拼或度量可以猜測(cè)三角形的三個(gè)外角之和等于360°，但是剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只是接近周角；分別度量這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能接近360°，但不能很準(zhǔn)確地都得360°．

另外，由于不同形狀的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，我們也不可能用剪拼或度量的方法來(lái)一一驗(yàn)證，因此，我們只能猜測(cè)任何一個(gè)三角形的外角和都為360°．此時(shí)猜測(cè)出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真命題．要確定這個(gè)命題是真命題，還需要通過(guò)推理的方法加以證明.證明命題“三角形的外角和為360°”是真命題.動(dòng)腦筋

已知：如圖，∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC的三個(gè)外角.

求證︰∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.證明:∵∠BAF=∠2+∠3，

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.經(jīng)過(guò)剛才三站的“證明”之旅，你能說(shuō)出完整的幾何命題證明需要哪幾個(gè)步驟嗎？（1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形.（2）結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證.（3）寫(xiě)出證明過(guò)程，并且步步有依據(jù).依據(jù)(定義)(定理)(推論)(基本事實(shí))（真命題）條件結(jié)論

數(shù)學(xué)上證明一個(gè)命題時(shí)，通常從命題的條件出發(fā)，運(yùn)用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證明了的定理和推論，通過(guò)一步步的推理，最后證實(shí)這個(gè)命題的結(jié)論成立.

證明的每一步都必須要有根據(jù).推理例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.證明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理）,

∠B=∠C（已知）,∴∠DAC=2∠B（等式的性質(zhì)）.又∵AE平分∠DAC（已知）,∴∠DAC=2∠DAE（角平分線的定義）,∴∠DAE=∠B（等量代換）,∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）.例2

已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.

分析這個(gè)命題的結(jié)論是“至少有一個(gè)”，也就是說(shuō)可能出現(xiàn)“有一個(gè)”“有兩個(gè)”“有三個(gè)”這三種情況.如果直接來(lái)證明，將很煩瑣，因此，我們將從另外一個(gè)角度來(lái)證明.證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒(méi)有一個(gè)角大于或等

于60°,即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.

像這樣，當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們可以先假設(shè)命題不成立，然后利用命題的條件或有關(guān)的結(jié)論，通過(guò)推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱(chēng)為反證法.

反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，肯定結(jié)論”.反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面成立→邏輯推理得出矛盾→肯定原結(jié)論正確2.已知：如圖，直線AB，CD被直線MN所截，∠1=∠2.

求證：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.證明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）,∠3+∠4=180°（兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）.∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）.3.已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E.求證：∠A+∠C=∠B+∠D.證明：∵

AB與CD相交于點(diǎn)E，∴∠AEC=∠BED（對(duì)頂角相等）.又∵∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.4.已知：如圖,有a、b、c三條直線，且a//c,b//c.

求證：a//b.Aabc證明：假設(shè)a與b不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A.那么過(guò)點(diǎn)A

就有兩條直線a、b分別與直線c平行，這與“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾,故假設(shè)不成立.∴a//b.證明與圖形有關(guān)的命題時(shí)，一般有以下步驟：第一步第二步第三步畫(huà)出圖形寫(xiě)出已知、求證寫(xiě)出證明的過(guò)程根據(jù)題意根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形通過(guò)分析，找出證明的途徑第2章三角形2.3等腰三角形

我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性質(zhì)，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有哪些特殊的性質(zhì)呢？探究

任意畫(huà)一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖.

作△ABC關(guān)于頂角平分線AD所在直線的軸反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D12ABABBAD射線AB的像是射線AC，射線AC的像是射線

；線段AB的像是線段AC，線段AC的像是線段

；點(diǎn)B的像是點(diǎn)C，點(diǎn)C的像是點(diǎn)

；線段BC的像是線段CB.從而等腰三角形ABC關(guān)于直線

對(duì)稱(chēng).由于點(diǎn)D的像是點(diǎn)D，因此線段DB的像是線段

，從而AD是底邊BC上的

.由于射線DB的像是射線DC，射線DA的像是射線

，因此∠BDA

∠CDA=

°，從而AD是底邊BC上的

.由于射線BA的像是射線CA，射線BC的像是射線

，因此∠B

∠C.DC中線DA=90高CB=結(jié)論由此得到等腰三角形的性質(zhì)定理：

等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是頂角平分線所在的直線.

等腰三角形的兩底角相等(簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”).

結(jié)論

等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合(簡(jiǎn)稱(chēng)為“三線合一”).動(dòng)腦筋因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB=BC=AC，從而∠C=∠A=∠B.由三角形內(nèi)角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之間有什么關(guān)系呢？由此得到等邊三角形的如下性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于60°.結(jié)論

由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸，分別是三個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線.例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E

在邊BC上，且AD=AE.求證：BD=CE.舉例證明:

作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，則AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底邊上的高，也是底邊上的中線.∴BF=CF，∴BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F

如圖的三角測(cè)平架中，AB=AC，在BC的中點(diǎn)D掛一個(gè)重錘，自然下垂，調(diào)整架身，使點(diǎn)A恰好在鉛垂線上.（1）AD與BC是否垂直，試說(shuō)明理由.（2）這時(shí)BC處于水平位置，為什么？議一議練習(xí)1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度數(shù)及DC的長(zhǎng).答：∠BAD=24.5°，DC=2.2.如圖，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的邊BC上一點(diǎn)，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC的度數(shù).答：∠DPC=20°.

我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過(guò)來(lái)，兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎？探究

如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系嗎？我測(cè)量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.3cm3cm事實(shí)上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過(guò)點(diǎn)A的直線把∠BAC對(duì)折，得∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，則∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形內(nèi)角和定理得∠ADB=∠ADC.D12沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合.從而點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，于是AB=AC.結(jié)論有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”).結(jié)論三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形.

由此并且結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，還可以得到等邊三角形的判定定理：例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E

分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC.

求證：△ADE為等腰三角形.舉例證明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.

有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？動(dòng)腦筋如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內(nèi)角和定理,得∠A+∠B+∠C=180°.如果頂角∠A=60°，那么∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等邊三角形.由此得到另一條等邊三角形的判定定理：結(jié)論有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E

分別在BA，CA的延長(zhǎng)線上，且AD=AE.

求證：△ADE是等邊三角形.舉例證明∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）.練習(xí)1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠ABD=∠DBC=，∠ACE=∠ECB=，∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，ABCDEO2.

已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠ACE=60°.求證：△ACE是等邊三角形.證明:∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°,又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，∴∠ACD=∠DCB.∴∠ACD=∠DCB=60°.又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°,∴△ACE是等邊三角形.3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.求證：△ABC是等邊三角形.證明:∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形.∴∠EDF=∠FDC=60°.又∵DF∥BA，中考試題例1

一個(gè)等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是2cm和5cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB解析

另一邊長(zhǎng)為2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三邊關(guān)系定理，∴周長(zhǎng)為5+5+2=12（cm）.中考試題例2

若等腰三角形中有一個(gè)角等于50°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°解析

因?yàn)?0°可作為等腰三角形的一頂角或一底角，故選D.D第2章三角形2.4線段的垂直平分線操作指出下列圖形中的軸對(duì)稱(chēng)圖形，并畫(huà)出它們的對(duì)稱(chēng)軸。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）問(wèn)題怎樣做出一條線段的垂直平分線？2.過(guò)點(diǎn)E、F作直線。1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑，畫(huà)弧交于點(diǎn)E、F；尺規(guī)作圖作法：探究測(cè)量證明測(cè)量線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離已知，如圖，直線MN經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)O，且MN⊥AB,P是MN上任意一點(diǎn).求證：.線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端的距離相等。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.定理

如圖，在四邊形ABCD中，直線AC垂直平分BD于點(diǎn)O.（1）圖中有多少對(duì)全等三角形，請(qǐng)把它們寫(xiě)出來(lái)；（2）任選（1）中一對(duì)全等三角形加以證明.例1范例學(xué)習(xí)針對(duì)性訓(xùn)練1、如圖，DE是線段AB的垂直平分線，下列結(jié)論一定成立的是（）A．ED=CD

B．∠DAC=∠B

C．∠C

＞2∠B

D．∠B+∠ADE=90°2、如圖，在△ABC中，BC的中垂線交斜邊AB于點(diǎn)D，圖中相等的線段有（）A、1組B、2組C、3組D、4組針對(duì)性訓(xùn)練3、已知，如圖，y軸垂直平分線段BC，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B、C在x軸上。（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________；（2）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________。針對(duì)性訓(xùn)練4、已知如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點(diǎn)E，且AC＝8，BC＝5，則△BEC的周長(zhǎng)為_(kāi)______。針對(duì)性訓(xùn)練5、公路l同側(cè)的A、B兩村，共同出資在公路邊修建一個(gè)?？空綜，使?？空镜紸、B兩村距離相等，你如何確定停靠站C的位置。針對(duì)性訓(xùn)練思考

你能寫(xiě)出上述定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？逆命題定理與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端的距離相等。定理范例學(xué)習(xí)例2已知：如圖，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，DE＝DF。求證：AD垂直平分EF。整理小結(jié)

一個(gè)方法證明線段相等的新方法：利用線段垂直平分線的性質(zhì)。

兩條定理線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端的距離相等。與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

三種作圖折紙過(guò)中點(diǎn)作垂線

尺規(guī)作圖法樣，也可能因討厭一位老師而討厭學(xué)習(xí)。一個(gè)被學(xué)生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無(wú)論中學(xué)生還是小學(xué)生，他們對(duì)自己喜歡的老師都會(huì)有一些普遍認(rèn)同的標(biāo)準(zhǔn)，諸如尊重和理解學(xué)生，寬容、不傷害學(xué)生自尊心，平等待人、說(shuō)話辦事公道、有耐心、不輕易發(fā)脾氣等。教師要放下架子，把學(xué)生放在心上?！岸紫律碜雍蛯W(xué)生說(shuō)話，走下講臺(tái)給學(xué)生講課”;關(guān)心學(xué)生情感體驗(yàn)，讓學(xué)生感受到被關(guān)懷的溫暖;自覺(jué)接受學(xué)生的評(píng)價(jià)，努力做學(xué)生喜歡的老師。教師要學(xué)會(huì)寬容，寬容學(xué)生的錯(cuò)誤和過(guò)失，寬容學(xué)生一時(shí)沒(méi)有取得很大的進(jìn)步。蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：有時(shí)寬容引起的道德震動(dòng)，比懲罰更強(qiáng)烈。每當(dāng)想起葉圣陶先生的話：你這糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛頓，在你的譏笑里有愛(ài)迪生。身為教師，就更加感受到自己職責(zé)的神圣和一言一行的重要。善待每一個(gè)學(xué)生，做學(xué)生喜歡的老師，師生雙方才會(huì)有愉快的情感體驗(yàn)。一個(gè)教師，只有當(dāng)他受到學(xué)生喜愛(ài)時(shí)，才能真正實(shí)現(xiàn)自己的最大價(jià)值。義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）簡(jiǎn)介新課標(biāo)的全名叫做《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，文件包括義務(wù)教育課程方案和16個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版），不僅有語(yǔ)文數(shù)學(xué)等主要科目，連勞動(dòng)、道德這些，也有非常詳細(xì)的課程標(biāo)準(zhǔn)。現(xiàn)行義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)，是2011年制定的，離現(xiàn)在已經(jīng)十多年了；而課程方案最早，要追溯到2001年，已經(jīng)二十多年沒(méi)更新過(guò)了，很多內(nèi)容，確實(shí)需要根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況更新。所以這次新標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，首先是對(duì)老課標(biāo)的一次升級(jí)完善。另外，在雙減的大背景下頒布，也能體現(xiàn)出，國(guó)家對(duì)未來(lái)教育改革方向的規(guī)劃。課程方案課程標(biāo)準(zhǔn)是啥？課程方案是對(duì)某一學(xué)科課程的總體設(shè)計(jì)，或者說(shuō)，是對(duì)教學(xué)過(guò)程的計(jì)劃安排。簡(jiǎn)單說(shuō)，每個(gè)年級(jí)上什么課，每周上幾節(jié)，老師上課怎么講，課程方案就是依據(jù)。課程標(biāo)準(zhǔn)是規(guī)定某一學(xué)科的課程性質(zhì)、課程目標(biāo)、內(nèi)容目標(biāo)、實(shí)施建議的教學(xué)指導(dǎo)性文件，也就是說(shuō)，它規(guī)定了，老師上課都要講什么內(nèi)容。課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)，就像是一面旗幟，學(xué)校里所有具體的課程設(shè)計(jì)，都要朝它無(wú)限靠近。所以，這份文件的出臺(tái)，其實(shí)給學(xué)校教育定了一個(gè)總基調(diào)，決定了我們孩子成長(zhǎng)的走向。各門(mén)課程基于培養(yǎng)目標(biāo)，將黨的教育方針具體化細(xì)化為學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展要求，明確本課程應(yīng)著力培養(yǎng)的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力。進(jìn)一步優(yōu)化了課程設(shè)置，九年一體化設(shè)計(jì)，注重幼小銜接、小學(xué)初中銜接，獨(dú)立設(shè)置勞動(dòng)課程。與時(shí)俱進(jìn)，更新課程內(nèi)容，改進(jìn)課程內(nèi)容組織與呈現(xiàn)形式，注重學(xué)科內(nèi)知識(shí)關(guān)聯(lián)、學(xué)科間關(guān)聯(lián)。結(jié)合課程內(nèi)容，依據(jù)核心素養(yǎng)發(fā)展水平，提出學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)和幫助教師把握教學(xué)深度與廣度。通過(guò)增加學(xué)業(yè)要求、教學(xué)提示、評(píng)價(jià)案例等，增強(qiáng)了指導(dǎo)性。教育部將組織宣傳解讀、培訓(xùn)等工作，指導(dǎo)地方和學(xué)校細(xì)化課程實(shí)施要求，部署教材修訂工作，啟動(dòng)一批課程改革項(xiàng)目，推動(dòng)新修訂的義務(wù)教育課程有效落實(shí)。

本課件是在MicorsoftPowerPoint的平臺(tái)上制作的，可以在Windows環(huán)境下獨(dú)立運(yùn)行，集文字、符號(hào)、圖形、圖像、動(dòng)畫(huà)、聲音于一體，交互性強(qiáng)，信息量大，能多路刺激學(xué)生的視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)等器官，使課堂教育更加直觀、形象、生動(dòng)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性，減輕了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，有力地促進(jìn)了課堂教育的靈活與高效。部分內(nèi)容取材于網(wǎng)絡(luò)，如有雷同，請(qǐng)聯(lián)系刪除！作品整理不易，僅供下載者本人使用，禁止轉(zhuǎn)載！第2章三角形2.5全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形。下列同一類(lèi)的圖形有什么特點(diǎn)？下面各組圖形是不是全等圖形？為什么？（1）（2）（3）邊長(zhǎng)都是10cm的兩個(gè)正方形。（4）半徑相等的兩個(gè)圓。兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，能互相重合的頂點(diǎn)叫做全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，如A與D,互相重合的邊叫做全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，如AB與DE?；ハ嘀睾系慕墙凶鋈热切蔚膶?duì)應(yīng)角，如∠A與∠D。FEDCBA能夠重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。三角形全等的表示方法“全等”可用“≌”來(lái)表示，如ΔABC和ΔDEF全等，記做“ΔABC≌ΔDEF”，讀做“三角形ABC全等于三角形DEF”。注意

表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上。FEDCBA已知圖中的兩個(gè)三角形全等，請(qǐng)你找出它們的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊，并用符號(hào)表示這兩個(gè)三角形全等。練一練如圖，已知ΔOCA≌ΔOBD，請(qǐng)說(shuō)出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。ODCBA對(duì)應(yīng)邊：CO和BO，對(duì)應(yīng)角：∠A和∠D，∠C和∠B，∠COA和∠BOD。AO和DO。CA和BD，答案：AB=CD，AD=CB，BD=DB練一練：請(qǐng)找出右圖中對(duì)應(yīng)的邊.ABCDABD≌CDB1、已知：ABCDEABC≌AED2、已知：請(qǐng)找出右圖中對(duì)應(yīng)的角.答案：ABCDE3、已知：ABC≌DCE請(qǐng)找出圖中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn).答案:A與D，B與C，C與E.總結(jié)尋找對(duì)應(yīng)元素的規(guī)律（1）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（3）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角；（4）兩個(gè)全等三角形最大的邊是對(duì)應(yīng)邊，最小的邊是對(duì)應(yīng)邊；（5）兩個(gè)全等三角形最大的角是對(duì)應(yīng)角，最小的角是對(duì)應(yīng)角；兩個(gè)全等三角形的位置變化了，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的大小有變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？觀察與思考全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

∵△ABC≌△DFE,∴AB=DF,BC=FE,AC=DE

（）,∴∠

A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E（）.全等三角形的性質(zhì)應(yīng)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等CBAD12例題如圖,AD平分∠BAC,AB=AC.△ABD和△ACD全等嗎?BD與CD相等嗎?∠B與∠C呢?請(qǐng)說(shuō)明理由.1、能夠

的兩個(gè)圖形叫全等形；2、兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做

；互相重合的邊叫做

；互相重合的角叫做

；3、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊

，對(duì)應(yīng)角

；完全重合對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等相等小結(jié)4、記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在

；例如△ABC≌△DFE，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別是

.

5、兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的角是

，對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是

，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是

。對(duì)應(yīng)位置點(diǎn)A和點(diǎn)D、點(diǎn)B和點(diǎn)F、點(diǎn)C和點(diǎn)E對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊2.5全等三角形（2）

三角形全等的判定定理（SAS）思考(2)三條邊(1)三個(gè)角(3)兩邊一角(4)兩角一邊當(dāng)兩個(gè)三角形滿(mǎn)足六個(gè)條件的三個(gè)時(shí)，有四種情況:不能!???繼續(xù)探討三角形全等的條件：兩邊一角思考：已知一個(gè)三角形的兩條邊和一個(gè)角，那么這兩條邊與這一個(gè)角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC圖一圖二在圖一中，∠A是AB和AC的夾角，符合圖一的條件，它可稱(chēng)為“兩邊及其夾角”。符合圖二的條件，通常說(shuō)成“兩邊和其中一邊的對(duì)角”探究

在紙上的不同位置分別畫(huà)一個(gè)三角形,它的一個(gè)角為50°,夾這個(gè)角的兩邊分別為2cm,2.5cm.將這兩個(gè)三角形疊在一起,它們完全重合嗎？由此你能得到什么結(jié)論？探究

(1)△ABC和△A′B′C′

的位置關(guān)系如圖2-38.

圖2-38A’B’C’在△ABC和△A′B′C′中,∠ABC=∠A′B′C′

,AB=A′B′,BC=B′C′

.探究(2)△ABC和△A’B’C’

的位置關(guān)系如圖2-39.

圖2-39在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C’

,AB=A’B’,BC=B’C’

.

探究(3)△ABC和△A’B’C’

的位置關(guān)系如圖2-40.

圖2-40在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C’

,AB=A’B’,BC=B’C’

.

探究(4)△ABC和△A’B’C’

的位置關(guān)系如圖2-41.

圖2-41CABA’（B’）（C’）在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C’,AB=A’B’,BC=B’C’.