數(shù)學(xué)歸納法(2)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

第4章數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法*4.4.2數(shù)學(xué)歸納法(2)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，能通過“歸納→猜想→證明”的方法處理問題．2.通過數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，體會(huì)用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明規(guī)律的途徑．活動(dòng)方案例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正整數(shù)n,4n＋15n－1能被9整除．活動(dòng)一用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題【解析】①當(dāng)n＝1時(shí)，4n＋15n－1＝18，能被9整除，故當(dāng)n＝1時(shí)，4n＋15n－1能被9整除．②假設(shè)當(dāng)n＝k，k≥1，k∈N*時(shí)，命題成立，即4k＋15k－1能被9整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，4k＋1＋15(k＋1)－1＝4(4k＋15k－1)－9(5k－2)也能被9整除．綜合①②可得，

對(duì)任意正整數(shù)n,4n＋15n－1能被9整除．方法一：配湊遞推假設(shè)；方法二：計(jì)算f(k＋1)－f(k)，避免配湊．說明：①歸納證明時(shí)，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件是解題的關(guān)鍵；②注意從“n＝k”到“n＝k＋1”時(shí)項(xiàng)的變化．例2求證：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)．【解析】①當(dāng)n＝1時(shí)，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，命題成立，即ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋(a2＋2a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，所以ak＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．綜上，對(duì)任意n∈N*命題都成立．例3平面內(nèi)有n(n≥2)個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，記這n個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．活動(dòng)二用數(shù)學(xué)歸納法證明平面幾何問題【解析】當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝2＝1×2；當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝2＋4＝6＝2×3；當(dāng)n＝4時(shí)，f(4)＝6＋6＝12＝3×4；當(dāng)n＝5時(shí)，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：①當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝2＝2×(2－1)，猜想成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，其中圓O與其余k個(gè)圓各有兩個(gè)交點(diǎn)，而由假設(shè)知這k個(gè)圓有f(k)個(gè)交點(diǎn)，所以這k＋1個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)·[(k＋1)－1]，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立．由①②知，f(n)＝n(n－1)(n≥2).(1)求a2，a3，并根據(jù)前3項(xiàng)的規(guī)律猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．活動(dòng)三體會(huì)歸納→猜想→證明的方法則a2＝7，a3＝10，猜想an＝3n＋1.①當(dāng)n＝1時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，猜想成立，即

ak＝3k＋1；即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立，由①②知猜想恒成立，即an＝3n＋1.1.猜歸法是發(fā)現(xiàn)與論證的完美結(jié)合．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)問題的一般方法：歸納→猜想→證明．2.兩個(gè)注意：(1)是否用了歸納假設(shè)；(2)從n＝k到n＝k＋1時(shí)關(guān)注項(xiàng)的變化．

已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1.(1)寫出a1，a2，a3，并推測an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，猜想成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＋1＋ak＋1＝Sk＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1，而Sk＝2k＋1－ak，所以2k＋1－ak＋2ak＋1＝2k＋3，檢測反饋245131.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)等于f(k)加上(

)【解析】由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.【答案】B245132.在數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn表示前n項(xiàng)和，且Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列，通過計(jì)算S1，S2，S3的值，猜想Sn等于(

)【答案】B24533.(多選)(2023濰坊期中)斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.a8＝13B.a2023是奇數(shù)1D.a2022被4除的余數(shù)為024531【解析】對(duì)于A，因?yàn)閍1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，所以a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù)，其他項(xiàng)為奇數(shù)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，a1＝a2＝1，a3＝2，滿足規(guī)律；②假設(shè)當(dāng)

n＝3k－3,3k－2,3k－1時(shí)，滿足a3k－3為偶數(shù)，a3k－2，a3k－1為奇數(shù)，則當(dāng)n＝3k,3k＋1,3k＋2時(shí)，因?yàn)閍3k＝a3k－2＋a3k－1，且a3k－2，a3k－1為奇數(shù)，所以a3k為偶數(shù)；因?yàn)閍3k＋1＝a3k－1＋a3k，且a3k－1為奇數(shù)，a3k為偶數(shù)，所以a3k＋1為奇數(shù)；因?yàn)閍3k＋2＝a3k＋a3k＋1，且a3k＋1為奇數(shù)，a3k為偶數(shù)，所以a3k＋2為奇數(shù)．綜上，3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù)，其他項(xiàng)為奇數(shù)，得證．因?yàn)?023項(xiàng)是非3的倍數(shù)項(xiàng)，故B245312453【答案】BCD12a6k＋2＝5a6k＋2＋3a6k＋1＝8a6k＋1＋5a6k＝8a6k＋1＋20m＝4(2a6k＋1＋5m)，因?yàn)閍6k＋1，m∈Z，所以a6k＋6能被4整除．綜上，a6k能被4整除，因?yàn)閍2022＝a6×337，所以a2022能被4整除，故D正確．故選BCD.2453【答案】k＋112453(1)計(jì)算a2，a3，猜想an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；124