江蘇省揚州市廣陵區(qū)2023-2024學年八年級下學期期中數學試題【含答案解析】

揚州市梅嶺中學教育集團2023—2024學年第二學期期中考試試卷初二年級數學學科（時間：120分鐘）一．選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題僅有一個答案正確，請把你認為正確的答案填寫在答題紙相應位置）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，根據“如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形”，即可求解．【詳解】解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；故選：D2.下列代數式中，屬于分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關鍵．形如，B中含有字母且的代數式是分式，根據分式的定義判斷即可．【詳解】解：上列代數式中，屬于分式的是：，其他三項分母中不含字母，不是分式，故C正確．故選：C．3.矩形具有而菱形不一定具有性質是()A.對角線互相垂直 B.對角線互相平分 C.對角線相等 D.對角線平分一組對角【答案】C【解析】【分析】本題考查的是矩形的性質，菱形的性質，熟記矩形與菱形的對角線的性質是解本題的關鍵．矩形的對角線相等且互相平分，菱形的對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角，根據以上性質逐一分析即可．【詳解】解：矩形的對角線相等且互相平分，菱形的對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角，∴對角線互相垂直菱形具備，矩形不一定具有；故A不符合題意；對角線互相平分矩形與菱形都有，故B不符合題意；對角線相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合題意；對角線平分一組對角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合題意；故選：C．4.將分式中的x，y的值都大為原來的3倍，則分式的值（）A.擴大為原來的3倍 B.擴大為原來的6倍C.縮小為原來的一半 D.不變【答案】D【解析】【分析】本題考查了分式的性質，先把x，y的值都大為原來的3倍，得，再化簡，據此即可作答．【詳解】解：∵將分式中的x，y的值都大為原來的3倍∴得到把的分子和分母同時除以3，即故選：D5.在如圖所示的正方形網格中，四邊形繞某一點旋轉某一角度得到四邊形（所有頂點都是網格線交點），在網格線交點中，可能是旋轉中心的是（）A.點 B.點 C.點 D.點【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了旋轉的性質，對應頂點到旋轉中心的距離應相等且旋轉角也相等，對稱中心在連接對應點線段的垂直平分線上，連接，，作的垂直平分線，作的垂直平分線，交于點M，則M為旋轉中心．【詳解】解：連接，，作的垂直平分線，作的垂直平分線，交到在M處，所以可知旋轉中心的是點M．如下圖：故選∶A．6.用反證法證明，“在中，對邊是a、b．若，則．”第一步應假設（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據反證法的步驟，直接選擇即可．【詳解】解：根據反證法的步驟，得第一步應假設不成立，即．故選：D．【點睛】本題考查了反證法，熟知反證法的步驟是關鍵．7.糖固體溶于水可得到糖水．現有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如圖：軸表示糖水質量，軸表示含榶濃度（含糖濃度：瓶中榶固體質量與糖水質量的比值），其中描述甲、丁的兩點恰好在同一個反比例函數的圖象上，則這四瓶糖水中含糖固體質量最多的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征．結合實際含義理解圖象上點的坐標的含義是解題的關鍵．由題意知，的值表示糖水中含糖固體質量，根據圖象確定乙瓶的糖水中含糖固體質量最多，甲、丁兩瓶糖水中含糖固體質量相同，丙瓶糖水中含糖固體質量最少，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，的值表示糖水中含糖固體質量，∵描述甲、丁兩點恰好在同一個反比例函數的圖象上，∴甲、丁兩瓶糖水中含糖固體的質量相同，∵點乙在反比例函數圖象上方，點丙在反比例函數圖象下方，∴乙瓶的的值最大，即糖水中含糖固體質量最多；丙瓶的的值最小，即糖水中含糖固體質量最少，故選：B．8.如圖，點是矩形邊上一點，連接，將沿翻折，點落在點處，的角平分線與的延長線交于點，若，當點從點運動到點時，則點運動的路徑長是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】過點M作，交延長線于G，延長線于H，可證明四邊形為正方形，當點E與D重合時，，設，在中，由勾股定理即可求解．【詳解】過點M作，交延長線于G，延長線于H則四邊形為矩形∵平分∴∵∴∴由折疊可得：∴∴四邊形為正方形∴∴當點E與D重合時，設，則在中，，解得∴∴當點從點運動到點時，則點運動的路徑長是故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，角平分線的性質，勾股定理等知識，熟練掌握折疊的性質及矩形的性質是解題的關鍵．二．填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，請把你認為正確的答案填寫在答題紙相應位置）9.使分式有意義的條件為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了分式有意義的條件．根據分式有意義的條件，即可求解．【詳解】解：根據題意得：，∴．故答案為：10.已知函數是反比例函數，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查反比例函數的定義，一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成（k為常數，）的形式，那么稱y是x的反比例函數，根據和即可得到答案．【詳解】解：∵函數是反比例函數，∴，且，解得，故答案為：．11.分式與的最簡公分母為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了最簡公分母的確定，熟練掌握最簡公分母的定義是解題關鍵．先將各分母分解因式，最簡公分母是各分母的所有因式的高次冪的乘積．【詳解】解：∵，∴分式與的最簡公分母是．故答案為：．12.如圖是反比例函數的圖象，點是反比例函數圖象上任意一點，過點A作軸于點B，連接，則的面積是_______．【答案】##0.5【解析】【分析】本題考查反比例函數值的幾何意義．根據值的幾何意義，進行求解即可．【詳解】解：∵點是反比例函數圖象上任意一點，軸于點B，∴的面積為，故答案為：．13.已知菱形的兩條對角線長分別是4和7，則菱形的面積為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的面積公式，熟練掌握菱形面積公式是求解的關鍵．直接利用菱形的面積等于對角線乘積的一半，進而得出答案．【詳解】解：根據題意可得：，

故答案是：．14.如圖，在平面直角坐標系中，函數與的圖像交于點，則代數式的值為______．【答案】

【解析】【分析】因為函數與的圖像交于點，將點坐標代入到兩個解析式，可以得到和，將代數式變形成，代入即可解決．【詳解】解：函數與圖像交于點，，，，，故答案為．【點睛】本題考查的是反比例與一次函數的交點問題，關鍵步驟是將代數式變形成，再運用整體思想進行代入，是本題的突破口．15.已知點都在函數的圖象上，則的大小關系是______（用“”號表示）．【答案】【解析】【分析】本題主要考查反比例函數的圖象與性質．根據題意易得反比例函數在每個象限內，y隨x的增大而增大，由此問題可求解．【詳解】解：∵，∴該函數的圖象位于第二、四象限，且再每一象限內，y隨x的增大而增大，∵點都在函數圖象上，且，∴．故答案為：16.若關于x的分式方程的解為負數，則a的取值范圍是____________．【答案】，且【解析】【分析】本題考查了根據分式方程的解求參數的取值范圍，先求解分式方程，再根據解為負數和分式有意義的條件即可求解．【詳解】解：方程左右兩邊同乘以去分母得，解得，∵關于x的分式方程的解為負數，∴，即∵，即∴，即∴，且．故答案為：，且．17.如圖，在中，，將平移個單位長度得到，點、分別是、的中點，的取值范圍__．【答案】【解析】【分析】取的中點，的中點，連接，，，，根據平移的性質和三角形的三邊關系即可得到結論．【詳解】解：如圖，取的中點，的中點，連接，，，，∵將平移個單位長度得到，，∴，，∵點、分別是、的中點，∴，∴，即，∴的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查平移的性質，三角形中位線定理，三角形的三邊關系，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵．18.如圖，在矩形中，點為坐標原點，點的坐標為，點在坐標軸上，直線與交于點，與軸交于點．有一動點在邊上，點是坐標平面內的點，若是以點為直角頂點的等腰直角三角形，則整個運動過程中點縱坐標的取值范圍為______．【答案】或．【解析】【分析】本題主要考查了一次函數與幾何綜合，矩形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質，如圖所示，當點N在上方時，過點N作軸，交y軸于H，過點B作于H，證明，得到，由矩形的性質得到；證明四邊形是矩形，得到，，設，則，可得，則點N在直線上運動，當點M于點B重合時，則點N在線段垂直平分線上，可得此時；當點M與點C重合時，則此時，即，則此時，可得；同理可求出當點N在下方時．【詳解】解：如圖所示，當點N在上方時，過點N作軸，交y軸于H，過點B作于H，∴，∵是以點為直角頂點的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵點的坐標為，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，設，∴，∴，∴點N在直線上運動，當點M于點B重合時，則點N在線段垂直平分線上，在中，當時，，即此時；當點M與點C重合時，則此時，即，∴此時；∴；同理可求出當點N在下方時，；綜上所述，或．故答案為：或．三．解答題（本大題共10小題，共96分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，請把答案填寫在答題紙相應位置）19.計算【答案】c【解析】【分析】本題主要考查了同分母分式加減運算，根據同分母分式加減運算法則進行計算即可．【詳解】解：．20.解方程（1）（2）【答案】（1）原方程無解（2）【解析】【分析】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．需要注意分式方程需要檢驗．（1）兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗根即可．（2）兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗根即可．【小問1詳解】解：，檢驗：當時，，∴是原方程的增根，原方程無解；【小問2詳解】解：，檢驗：當時，，∴是原方程的解．21.先化簡：，再從中選擇一個合適的數作為x代入求值．【答案】，時，原式【解析】【分析】本題考查分式的化簡求值，先根據分式的混合運算法則，進行計算，再選取一個使分式有意義的值，代入計算即可．【詳解】解：；∵，時，原分式無意義，∴∴當時，原式．22.已知與成正比例，與成反比例，且當時，；時，：（1）求關于的函數解析式；（2）求當時的函數值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，已知自變量求函數值的方法，是基礎題，表示出、的函數關系式是解題的關鍵．（1）設，，然后表示出、的函數關系式，再把兩組數據代入函數解析式進行計算即可得解；（2）把自變量代入函數解析式進行計算即可得解．【小問1詳解】解：與成正比例，設，與成反比例，設，∵，，當時，；當時，．，解得，；【小問2詳解】解：當時，．23.“煙花三月下揚州”使得揚州在清明小長假期間接待游客人數創(chuàng)歷史新高．皮市街夜市一商鋪售賣“小時候的揚州”手辦盲盒，該商鋪第一次批發(fā)購進該盲盒共花費3000元，很快全部售完，接著該商鋪第二次批發(fā)購進該盲盒共花費9000元．已知第二次所購進該盲盒的數量是第一次的2倍還多300個，第二次的進價比第一次的進價提高了．求第一次購進該盲盒的進價是多少元？【答案】第一次購進該盲盒的進價是元【解析】【分析】本題主要考查的是分式方程的實際應用，理解題意是解題的關鍵．設第一次購進該紀念品的進價是，列出分式方程即可．【詳解】解：設第一次購進該盲盒的進價是元，則第二次購進該盲盒為元，根據題意，得：，解得：．經檢驗，在原方程的解，且符合題意；答：第一次購進該盲盒的進價是元．24.如圖，在四邊形中，，，對對角線，交于點O，平分，過點C作，交的延長線于點E，連接．（1）求證：四邊形是菱形．（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）4【解析】【分析】（1）根據題意先證明四邊形是平行四邊形，再由可得平行四邊形是菱形；（2）根據菱形的性質得出的長以及，利用勾股定理求出的長，再根據直角三角形斜邊中線即可解答．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形；【小問2詳解】解：∵四邊形是菱形，對角線，交于點O，∴，，，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，，O為中點，∴．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質、勾股定理、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等角對等邊，角平分線的定義等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．25.已知正方形，是的中點，請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）（1）在圖①中，畫，垂足為；（2）在圖②中，畫，垂足為．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）連接點P與正方形的對角線的交點，并延長交AB于一點，即為點Q；（2）連接BD，交AP于點F，連接CF并延長交AD于點E，連接BE交AP于一點即為點H．【小問1詳解】解：如圖，即為所求．．【小問2詳解】解：連接BD，交AP于點F，連接CF并延長交AD于點E，連接BE交AP于一點即為點H，∵四邊形ABCD是正方形，BD為對角線，∴∠ADB=∠CDB，AD=CD，∵DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴∠DAF=∠DCF，∵∠ADP=∠CDE=90°，∴△ADP≌△CDE，∴DE=DP，∴AE=DP，∵AB=AD，∠BAE=∠ADP=90°，∴△ABE≌△DAP，∴∠ABE=∠DAP，∵∠BAH+∠DAP=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，即如圖，即為所求．．【點睛】此題考查了利用正方形的性質作垂線，全等三角形的判定及性質，熟記正方形的性質是解題的關鍵．26.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數圖象與反比例函數圖象相交于兩點，與軸相交于點．（1）若點坐標為，第一象限內有一點在反比例函數圖像上，它到軸的距離不大于3，則的取值范圍為．（2）以為邊作菱形，邊所在直線軸于點．若點的坐標為，，求點坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了反比例函數的綜合應用，熟練掌握反比例函數性質和菱形性質是解答本題的關鍵．（1）先求出反比例函數解析式，再把問題轉化為不等式，解不等式即可；（2）先求出反比例函數解析式，再求出點A坐標，根據菱形性質和勾股定理求出菱形邊長即可得到點E坐標．【小問1詳解】∵點坐標為，A在反比例函數圖象上∴∴反比例函數解析式為：∵第一象限內有一點在反比例函數圖像上，它到軸的距離不大于3，∴∴∴；【小問2詳解】連接，作∵點的坐標為，，∴∴反比例函數解析式為：∵點A在反比例函數圖象上∴，解得：∴∴根據勾股定理得：∵為菱形∴∴27.在平面直角坐標系中，定義：橫坐標與縱坐標均為整數的點為整點．如圖，已知雙曲線經過點，在第一象限內存在一點，滿足．（1）求的值（2）如圖1，過點分別作平行于軸，軸的直線，交雙曲線于點，記為線段、雙曲線所圍成的區(qū)域為（含邊界），①當時，區(qū)域的整點個數為；②當區(qū)域的整點個數為4時，點橫坐標滿足，則縱坐標取值范圍為；（3）直線將分成兩部分，直線上方（不包含直線）區(qū)域記為，直線下方（不包含直線）區(qū)域記為，當的整點個數之差不超過2時，則的取值范圍為．【答案】（1）4（2）①11；②（3）【解析】【分析】本題考查反比例函數的性質，正確理解題目中所給出的新定義，結合圖形合理的分析是解題的關鍵．（）根據點A在的圖象上，可求出的值；（）標出區(qū)域，再統(tǒng)計區(qū)域內的整數點即可；過定點即表示與的取值無關，則有的系數等于，便可解決問題，利用圖象，求出區(qū)域內的所有整數點，再分類討論即可【小問1詳解】解：∵雙曲線經過點，∴，即的值為；【小問2詳解】解：當時，由圖可知，上的整點有個，上的整點有個，雙曲線上段的整點有個，區(qū)域內部的整點有個，又點，，都被算了次，所以區(qū)域的整點個數為：，故答案為：；∵區(qū)域的整點個數為4，且點橫坐標滿足，∴區(qū)域內的整點為，，，，如圖所示：∴縱坐標的取值范圍為；【小問3詳解】解：由題知，，則不論為何值，時，即直線過定點，如圖所示，當時，區(qū)域內的整點共有個，又被分成的區(qū)域和的整點個數之差不超過，則當直線經過點時，的整點個數是，的整點個數是，滿足要求，此時，得，當直線過點時，的整點個數是，的整點個數是，不滿足要求，故當點在直線上方時，即可，此時，解得：，故的取值范圍是：．28.在矩形中，是直線上的兩個動點，分別從同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為秒．（1）如圖1，分別是中點，當時，四邊形是矩形．（2）若在點運動的同時，點以每秒1個單位長度的速度從出發(fā)，沿折線運動，點以每秒1個單位長度的速度從出發(fā)，沿折線運動．①如圖2，作的垂直平分