高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案55第八章解析幾何第七講拋物線含解析新人教版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第七講拋物線A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2021·河北邯鄲質(zhì)檢)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)M(2，m)滿足|MF|＝6，則拋物線C的方程為(D)A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝16x〖〖解析〗〗設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，作MM′⊥直線l于點(diǎn)M′，交y軸于M″，由拋物線的定義可得：MM′＝MF＝6，結(jié)合xM＝2可知：M′M″＝6－2＝4，即eq\f(p,2)＝4，∴2p＝16，據(jù)此可知拋物線的方程為：y2＝16x.選D.2．(2021·山東濟(jì)寧期末)拋物線y＝4x2的準(zhǔn)線方程是(A)A．y＝－eq\f(1,16) B．y＝eq\f(1,16)C．x＝1 D．x＝－1〖〖解析〗〗拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,4)y，∴p＝eq\f(1,8)，∴準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2)，即y＝－eq\f(1,16)，故選A.3．(2021·山西八校聯(lián)考)斜率為eq\f(\r(3),3)的直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，若直線l與圓M：(x－2)2＋y2＝4相切，則p＝(A)A．12 B．8C．10 D．6〖〖解析〗〗拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直線l的方程為eq\r(3)y＝x－eq\f(p,2)，又直線l與圓M：(x－2)2＋y2＝4相切，可得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(p,2))),\r(3＋1))＝2，解得p＝12，故選A.4．(2020·北京)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作PQ⊥l于Q，則線段FQ的垂直平分線(B)A．經(jīng)過點(diǎn)O B．經(jīng)過點(diǎn)PC．平行于直線OP D．垂直于直線OP〖〖解析〗〗由拋物線定義知|PQ|＝|PF|，∴FQ的垂直平分線必過P，故選B.5．(2021·陜西西安一中調(diào)研)已知F為拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)，且|MF|＝4，則M到x軸的距離為(A)A．4 B．4eq\r(2)C．8 D．16〖〖解析〗〗設(shè)M(x1，y1)，由拋物線性質(zhì)得：x1＝4－2＝2，∴yeq\o\al(2,1)＝8·2＝16?|y1|＝4，故M到x的距離為4，故選A.6．(2021·安徽皖南八校聯(lián)考)已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線互相垂直，且焦距為2eq\r(6)，則拋物線y2＝2bx的準(zhǔn)線方程為(B)A．x＝－eq\r(3) B．x＝－eq\f(\r(3),2)C．y＝－eq\r(3) D．y＝－eq\f(\r(3),2)〖〖解析〗〗由題意a2＝b2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),2)))2＝3，∴b＝eq\r(3).∴拋物線y2＝2bx的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(\r(3),2).故選B.7．(2021·福建龍巖質(zhì)檢)已知點(diǎn)A在圓(x－2)2＋y2＝1上，點(diǎn)B在拋物線y2＝8x上，則|AB|的最小值為(A)A．1 B．2C．3 D．4〖〖解析〗〗由題得圓(x－2)2＋y2＝1的圓心為(2,0)，半徑為1.拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)C(2,0)，則|BC|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－22＋8x)＝x＋2，∴|BC|min＝2，∴|AB|min＝2－1＝1，故選A.8．(2021·廣東肇慶統(tǒng)測)拋物線方程為x2＝4y，動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，t)，若過P點(diǎn)可以作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率為(A)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2〖〖解析〗〗設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＝4y1,x\o\al(2,2)＝4y2))，∴(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，所以k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(1,2)，故選A.9．(2021·江蘇高郵一中檢測)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F和拋物線上一點(diǎn)M(3,2eq\r(3))的直線l交拋物線于另一點(diǎn)N，則|NF||FM|等于(B)A．12 B．13C．14 D．1eq\r(3)〖〖解析〗〗∵F(1,0)，∴kl＝eq\f(2\r(3)－0,3－1)＝eq\r(3)，∴l(xiāng)：y＝eq\r(3)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝\r(3)x－1))解得xN＝eq\f(1,3)，xM＝3，∴eq\f(|NF|,|FM|)＝eq\f(\f(1,3)＋1,3＋1)＝eq\f(1,3).故選B.10．已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為(D)A．eq\f(3,4) B．eq\f(3,2)C．1 D．2〖〖解析〗〗如圖F為拋物線的焦點(diǎn)，則|FA|＋|FB|≥|AB|＝6(當(dāng)且僅當(dāng)A、F、B共線時取等號)，即yA＋yB＋2≥6，∴eq\f(yA＋yB,2)≥2，故選D.二、多選題11．(2021·山東煙臺期末)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F、準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，點(diǎn)P在l上的射影為P1，則(ABC)A．若x1＋x2＝6，則|PQ|＝8B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)M(0,1)，則|PM|＋|PP1|≥eq\r(2)D．過點(diǎn)M(0,1)與拋物線C有且僅有一個公共點(diǎn)的直線至多有2條〖〖解析〗〗對于選項A，因為p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，則|PQ|＝8，故A正確；對于選項B，設(shè)N為PQ中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N在l上的射影為N1，點(diǎn)Q在l上的射影為Q1，則由梯形性質(zhì)可得NN1＝eq\f(PP1＋QQ1,2)＝eq\f(PF＋QF,2)＝eq\f(PQ,2)，故B正確；對于選項C，因為F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝eq\r(2)，故C正確；對于選項D，顯然直線x＝0，y＝1與拋物線只有一個公共點(diǎn)，設(shè)過M的直線為y＝kx＋1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,y2＝4x))，可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，則k＝1，所以直線y＝x＋1與拋物線也只有一個公共點(diǎn)，此時有三條直線符合題意，故D錯誤；故選ABC．12．(2021·廣東調(diào)研)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq\r(3)，則(BCD)A．|BF|＝3B．△ABF是等邊三角形C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3D．拋物線C的方程為y2＝6x〖〖解析〗〗如圖，由題意知|AB|＝2|FH|＝2p，∴xA＝eq\f(3p,2)，從而yA＝eq\r(3)p，又S△ABF＝eq\f(1,2)|AB|·yA＝eq\r(3)p2＝9eq\r(3)，∴p＝3，∴C的方程為y2＝6x，D正確，C正確，∴|BF|＝|AF|＝eq\f(3p,2)＋eq\f(p,2)＝2p＝6，A錯，又|AB|＝2p＝6，∴△ABF為等邊三角形，∴B正確，故選BCD.三、填空題13．(2020·海南)斜率為eq\r(3)的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\f(16,3).〖〖解析〗〗由題意可得拋物線焦點(diǎn)F(1,0)，直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，代入y2＝4x并化簡得3x2－10x＋3＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,3)，由拋物線的定義知|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3).14．(2021·河北石家莊質(zhì)檢)設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)，線段FA與拋物線交于點(diǎn)B，且eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))，則|BF|＝eq\f(8\r(3),9).〖〖解析〗〗由題意知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，又A(0,2)，且eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,6)，\f(4,3)))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＝2p·eq\f(p,6)，解得p＝eq\f(4\r(3),3)，∴|BF|＝eq\f(p,6)＋eq\f(p,2)＝eq\f(2p,3)＝eq\f(8\r(3),9).四、解答題15．(2021·湖北宜昌部分示范高中協(xié)作體聯(lián)考)如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)若直線PA和PB的傾斜角互補(bǔ)，求y1＋y2的值及直線AB的斜率．〖〖解析〗〗(1)設(shè)拋物線〖解析〗式為y2＝2px，把(1,2)的坐標(biāo)代入得p＝2，∴拋物線〖解析〗式為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1.(2)∵直線PA和PB的傾斜角互補(bǔ)，∴kPA＋kPB＝0，∴eq\f(y1－2,x1－1)＋eq\f(y2－2,x2－1)＝eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),4)－1)＋eq\f(y2－2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝0，∴eq\f(1,y1＋2)＋eq\f(1,y2＋2)＝0，∴y1＋y2＝－4，kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2),4)－\f(y\o\al(2,1),4))＝eq\f(4,y2＋y1)＝－1.16．已知動點(diǎn)P到定直線l：x＝－2的距離比到定點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離大eq\f(3,2).(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(3)過點(diǎn)D(2,0)的直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB分別交直線l于點(diǎn)M，N，證明以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值，并求出此定值．〖〖解析〗〗(1)解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因為定點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))在定直線l：x＝－2的右側(cè)，且動點(diǎn)P到定直線l：x＝－2的距離比到定點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離大eq\f(3,2)，所以x>－2且eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2)＝|x＋2|－eq\f(3,2)，化簡得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2)＝x＋eq\f(1,2)，即y2＝2x，∴軌跡C的方程為y2＝2x.解法二：由題意可知動點(diǎn)P到直線l′：x＝－eq\f(1,2)的距離與到定點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離相等，∴軌跡C是以F為焦點(diǎn)l′為準(zhǔn)線的拋物線，顯然eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，即p＝1，∴軌跡C的方程為y2＝2x.(2)證明：設(shè)A(2teq\o\al(2,1)，2t1)，B(2teq\o\al(2,2)，2t2)(t·t2≠0)，則eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2teq\o\al(2,1)－2,2t1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2teq\o\al(2,2)－2,2t2)．∵A，D，B三點(diǎn)共線，∴2t2(2teq\o\al(2,1)－2)＝2t1(2teq\o\al(2,2)－2)，∴(t1－t2)(t1t2＋1)＝0，又t1≠t2，∴t1t2＝－1，直線OA的方程為y＝eq\f(1,t1)x，令x＝－2，得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,t1))).同理，可得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,t2))).所以以MN為直徑的圓的方程為(x＋2)(x＋2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,t1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,t2)))＝0，即(x＋2)2＋y2＋2×eq\f(t1＋t2,t1t2)＋eq\f(4,t1t2)＝0.將t1t2＝－1代入上式，可得(x＋2)2＋y2－2(t1＋t2)y－4＝0，令y＝0，得x＝0或x＝－4，故以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值4.B組能力提升1．(2021·河北邯鄲一模)位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(D)A．eq\f(25,12)m B．eq\f(25,6)mC．eq\f(9,5)m D．eq\f(18,5)m〖〖解析〗〗建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的〖解析〗式為x2＝－2py(p>0)，∵拋物線過點(diǎn)(6，－5)，∴36＝10p，可得p＝eq\f(18,5)，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(18,5)m，故選D.2．(2021·云南適應(yīng)性考試)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，若拋物線C上存在關(guān)于直線l：x－y－2＝0對稱的不同兩點(diǎn)P和Q，則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(A)A．(1，－1) B．(2,0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2))) D．(1,1)〖〖解析〗〗因為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，則p＝1，所以y2＝2x.設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2x1,y\o\al(2,2)＝2x2))，則(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，∴kPQ＝eq\f(2,y1＋y2)，又∵P，Q關(guān)于直線l對稱．∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，∴eq\f(y1＋y2,2)＝－1，又∵PQ的中點(diǎn)一定在直線l上，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(y1＋y2,2)＋2＝1.∴線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)．故選：A.3．(2021·云南師大附中月考)如圖所示，點(diǎn)F是拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實線部分上運(yùn)動，且AB總是平行于x軸，則△FAB的周長的取值范圍是(C)A．(2,6) B．(6,8)C．(8,12) D．(10,14)〖〖解析〗〗拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－2，焦點(diǎn)F(2,0)，由拋物線定義可得|AF|＝xA＋2，圓(x－2)2＋y2＝16的圓心為(2,0)，半徑為4，∴三角形FAB的周長為|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)，故選C．4．(2021·益陽、湘潭調(diào)研)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長為(C)A．5 B．6C．eq\f(16,3) D．eq\f(20,3)〖〖解析〗〗如圖，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝eq\f(p2,4)＝1，所以x2＝eq\f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3).故選C．另解：因為eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，|AF|＝4，所以|BF|＝eq\f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,3).故選C．5．(2021·山東省臨沂市期末)如圖，已知點(diǎn)F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，|MN|＝16.(1)求拋物線C的方程；(2)試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．〖〖解析〗〗(1)當(dāng)直線l的傾斜角為45°，則l的斜率為1，∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴l(xiāng)的方程為y＝x－eq\f(p,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px，))得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝3p，∴|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝16,p＝4，∴拋物線C的方程為y2＝8x.(2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，設(shè)P(a,0)，由(1)知F(2,0)，①當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2＋8)2－4·k2·4k2＝64k2＋64>0，x1＋x2＝eq\f(4k2＋8,k2)，x1x2＝4.∵直線PM，PN關(guān)于x軸對稱，∴kPM＋kPN＝0，kPM＝eq\f(kx1－2,x1－a)，kPN＝eq\f(kx2－2,x2－a).∴k(x1－2)(x2－a)＋k(x2－2)(x1－a)＝k〖2x1x2－(a＋2)(x1＋x2)＋4a〗＝－eq\f(8a＋2,k)＝0，∴a＝－2時，此時P(－2,0)．②當(dāng)直線l與x軸垂直時，由拋物線的對稱性，易知PM，PN關(guān)于x軸對稱，此時只需P與焦點(diǎn)F不重合即可．綜上，存在唯一的點(diǎn)P(－2,0)，使直線PM，PN關(guān)于x軸對稱．第七講拋物線A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2021·河北邯鄲質(zhì)檢)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)M(2，m)滿足|MF|＝6，則拋物線C的方程為(D)A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝16x〖〖解析〗〗設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，作MM′⊥直線l于點(diǎn)M′，交y軸于M″，由拋物線的定義可得：MM′＝MF＝6，結(jié)合xM＝2可知：M′M″＝6－2＝4，即eq\f(p,2)＝4，∴2p＝16，據(jù)此可知拋物線的方程為：y2＝16x.選D.2．(2021·山東濟(jì)寧期末)拋物線y＝4x2的準(zhǔn)線方程是(A)A．y＝－eq\f(1,16) B．y＝eq\f(1,16)C．x＝1 D．x＝－1〖〖解析〗〗拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,4)y，∴p＝eq\f(1,8)，∴準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2)，即y＝－eq\f(1,16)，故選A.3．(2021·山西八校聯(lián)考)斜率為eq\f(\r(3),3)的直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，若直線l與圓M：(x－2)2＋y2＝4相切，則p＝(A)A．12 B．8C．10 D．6〖〖解析〗〗拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直線l的方程為eq\r(3)y＝x－eq\f(p,2)，又直線l與圓M：(x－2)2＋y2＝4相切，可得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(p,2))),\r(3＋1))＝2，解得p＝12，故選A.4．(2020·北京)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作PQ⊥l于Q，則線段FQ的垂直平分線(B)A．經(jīng)過點(diǎn)O B．經(jīng)過點(diǎn)PC．平行于直線OP D．垂直于直線OP〖〖解析〗〗由拋物線定義知|PQ|＝|PF|，∴FQ的垂直平分線必過P，故選B.5．(2021·陜西西安一中調(diào)研)已知F為拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)，且|MF|＝4，則M到x軸的距離為(A)A．4 B．4eq\r(2)C．8 D．16〖〖解析〗〗設(shè)M(x1，y1)，由拋物線性質(zhì)得：x1＝4－2＝2，∴yeq\o\al(2,1)＝8·2＝16?|y1|＝4，故M到x的距離為4，故選A.6．(2021·安徽皖南八校聯(lián)考)已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線互相垂直，且焦距為2eq\r(6)，則拋物線y2＝2bx的準(zhǔn)線方程為(B)A．x＝－eq\r(3) B．x＝－eq\f(\r(3),2)C．y＝－eq\r(3) D．y＝－eq\f(\r(3),2)〖〖解析〗〗由題意a2＝b2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),2)))2＝3，∴b＝eq\r(3).∴拋物線y2＝2bx的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(\r(3),2).故選B.7．(2021·福建龍巖質(zhì)檢)已知點(diǎn)A在圓(x－2)2＋y2＝1上，點(diǎn)B在拋物線y2＝8x上，則|AB|的最小值為(A)A．1 B．2C．3 D．4〖〖解析〗〗由題得圓(x－2)2＋y2＝1的圓心為(2,0)，半徑為1.拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)C(2,0)，則|BC|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－22＋8x)＝x＋2，∴|BC|min＝2，∴|AB|min＝2－1＝1，故選A.8．(2021·廣東肇慶統(tǒng)測)拋物線方程為x2＝4y，動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，t)，若過P點(diǎn)可以作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率為(A)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2〖〖解析〗〗設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＝4y1,x\o\al(2,2)＝4y2))，∴(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，所以k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(1,2)，故選A.9．(2021·江蘇高郵一中檢測)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F和拋物線上一點(diǎn)M(3,2eq\r(3))的直線l交拋物線于另一點(diǎn)N，則|NF||FM|等于(B)A．12 B．13C．14 D．1eq\r(3)〖〖解析〗〗∵F(1,0)，∴kl＝eq\f(2\r(3)－0,3－1)＝eq\r(3)，∴l(xiāng)：y＝eq\r(3)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝\r(3)x－1))解得xN＝eq\f(1,3)，xM＝3，∴eq\f(|NF|,|FM|)＝eq\f(\f(1,3)＋1,3＋1)＝eq\f(1,3).故選B.10．已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為(D)A．eq\f(3,4) B．eq\f(3,2)C．1 D．2〖〖解析〗〗如圖F為拋物線的焦點(diǎn)，則|FA|＋|FB|≥|AB|＝6(當(dāng)且僅當(dāng)A、F、B共線時取等號)，即yA＋yB＋2≥6，∴eq\f(yA＋yB,2)≥2，故選D.二、多選題11．(2021·山東煙臺期末)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F、準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，點(diǎn)P在l上的射影為P1，則(ABC)A．若x1＋x2＝6，則|PQ|＝8B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)M(0,1)，則|PM|＋|PP1|≥eq\r(2)D．過點(diǎn)M(0,1)與拋物線C有且僅有一個公共點(diǎn)的直線至多有2條〖〖解析〗〗對于選項A，因為p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，則|PQ|＝8，故A正確；對于選項B，設(shè)N為PQ中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N在l上的射影為N1，點(diǎn)Q在l上的射影為Q1，則由梯形性質(zhì)可得NN1＝eq\f(PP1＋QQ1,2)＝eq\f(PF＋QF,2)＝eq\f(PQ,2)，故B正確；對于選項C，因為F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝eq\r(2)，故C正確；對于選項D，顯然直線x＝0，y＝1與拋物線只有一個公共點(diǎn)，設(shè)過M的直線為y＝kx＋1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,y2＝4x))，可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，則k＝1，所以直線y＝x＋1與拋物線也只有一個公共點(diǎn)，此時有三條直線符合題意，故D錯誤；故選ABC．12．(2021·廣東調(diào)研)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq\r(3)，則(BCD)A．|BF|＝3B．△ABF是等邊三角形C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3D．拋物線C的方程為y2＝6x〖〖解析〗〗如圖，由題意知|AB|＝2|FH|＝2p，∴xA＝eq\f(3p,2)，從而yA＝eq\r(3)p，又S△ABF＝eq\f(1,2)|AB|·yA＝eq\r(3)p2＝9eq\r(3)，∴p＝3，∴C的方程為y2＝6x，D正確，C正確，∴|BF|＝|AF|＝eq\f(3p,2)＋eq\f(p,2)＝2p＝6，A錯，又|AB|＝2p＝6，∴△ABF為等邊三角形，∴B正確，故選BCD.三、填空題13．(2020·海南)斜率為eq\r(3)的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\f(16,3).〖〖解析〗〗由題意可得拋物線焦點(diǎn)F(1,0)，直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，代入y2＝4x并化簡得3x2－10x＋3＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,3)，由拋物線的定義知|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3).14．(2021·河北石家莊質(zhì)檢)設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)，線段FA與拋物線交于點(diǎn)B，且eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))，則|BF|＝eq\f(8\r(3),9).〖〖解析〗〗由題意知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，又A(0,2)，且eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,6)，\f(4,3)))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＝2p·eq\f(p,6)，解得p＝eq\f(4\r(3),3)，∴|BF|＝eq\f(p,6)＋eq\f(p,2)＝eq\f(2p,3)＝eq\f(8\r(3),9).四、解答題15．(2021·湖北宜昌部分示范高中協(xié)作體聯(lián)考)如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)若直線PA和PB的傾斜角互補(bǔ)，求y1＋y2的值及直線AB的斜率．〖〖解析〗〗(1)設(shè)拋物線〖解析〗式為y2＝2px，把(1,2)的坐標(biāo)代入得p＝2，∴拋物線〖解析〗式為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1.(2)∵直線PA和PB的傾斜角互補(bǔ)，∴kPA＋kPB＝0，∴eq\f(y1－2,x1－1)＋eq\f(y2－2,x2－1)＝eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),4)－1)＋eq\f(y2－2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝0，∴eq\f(1,y1＋2)＋eq\f(1,y2＋2)＝0，∴y1＋y2＝－4，kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2),4)－\f(y\o\al(2,1),4))＝eq\f(4,y2＋y1)＝－1.16．已知動點(diǎn)P到定直線l：x＝－2的距離比到定點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離大eq\f(3,2).(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(3)過點(diǎn)D(2,0)的直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB分別交直線l于點(diǎn)M，N，證明以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值，并求出此定值．〖〖解析〗〗(1)解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因為定點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))在定直線l：x＝－2的右側(cè)，且動點(diǎn)P到定直線l：x＝－2的距離比到定點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離大eq\f(3,2)，所以x>－2且eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2)＝|x＋2|－eq\f(3,2)，化簡得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2)＝x＋eq\f(1,2)，即y2＝2x，∴軌跡C的方程為y2＝2x.解法二：由題意可知動點(diǎn)P到直線l′：x＝－eq\f(1,2)的距離與到定點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離相等，∴軌跡C是以F為焦點(diǎn)l′為準(zhǔn)線的拋物線，顯然eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，即p＝1，∴軌跡C的方程為y2＝2x.(2)證明：設(shè)A(2teq\o\al(2,1)，2t1)，B(2teq\o\al(2,2)，2t2)(t·t2≠0)，則eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2teq\o\al(2,1)－2,2t1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2teq\o\al(2,2)－2,2t2)．∵A，D，B三點(diǎn)共線，∴2t2(2teq\o\al(2,1)－2)＝2t1(2teq\o\al(2,2)－2)，∴(t1－t2)(t1t2＋1)＝0，又t1≠t2，∴t1t2＝－1，直線OA的方程為y＝eq\f(1,t1)x，令x＝－2，得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,t1))).同理，可得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,t2))).所以以MN為直徑的圓的方程為(x＋2)(x＋2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,t1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,t2)))＝0，即(x＋2)2＋y2＋2×eq\f(t1＋t2,t1t2)＋eq\f(4,t1t2)＝0.將t1t2＝－1代入上式，可得(x＋2)2＋y2－2(t1＋t2)y－4＝0，令y＝0，得x＝0或x＝－4，故以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值4.B組能力提升1．(2021·河北邯鄲一模)位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(D)A．eq\f(25,12)m B．eq\f(25,6)mC．eq\f(9,5)m D．eq\f(18,5)m〖〖解析〗〗建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的〖解析〗式為x2＝－2py(p>0)，∵拋物線過點(diǎn)(6，－5)，∴36＝10p，可得p＝eq\f(18,5)，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(18,5)m，故選D.2．(2021·云南適應(yīng)性考試)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，若拋物線C上存在關(guān)于直線l：x－y－2＝0對稱的不同兩點(diǎn)P和Q，則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(A)A．(1，－1) B．(2,0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2))) D．(1,1)〖〖解析〗〗因為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，則p＝1，所以y2＝2x.設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2x1,y\o\al(2,2)＝2x2))，則(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，∴kPQ＝eq\f(2,y1＋y2)，又∵P，Q關(guān)于直線l對稱．∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，∴eq\f(y1＋y2,2)＝－1，又∵PQ的中點(diǎn)一定在直線l上，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(y1＋y2,2)＋2＝1.∴線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)．故選：A.3．(2021·云南師大附中月考)如圖所示，點(diǎn)F是拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在拋物線