云南省保山市第九中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第三次月考試題理含解析

PAGE15-云南省保山市第九中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第三次月考試題理（含解析）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡相應(yīng)的位置上填涂．1.已知集合，，，中元素個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】試題分析：由已知，的值為：，即，故選．考點(diǎn)：1．集合的概念；2．集合的基本關(guān)系．2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()A. B.ｉ C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，然后求其共軛復(fù)數(shù).從而求得正確結(jié)論.【詳解】，故其共軛復(fù)數(shù)為.所以選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.3.執(zhí)行下面的程序框圖，假如輸入的N是6，那么輸出的p是A.120 B.720 C.1440 D.5040【答案】B【解析】框圖表示，且所求720，選B4.有3個(gè)愛好小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參與其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參與各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參與同一個(gè)愛好小組的概率為A. B. C. D.【答案】A【解析】每個(gè)同學(xué)參與的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參與一組的情形有9種，而參與同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A5.在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個(gè)簡潔的組合體，是由一個(gè)三棱錐和被軸截面截開的半個(gè)圓錐組成，依據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，得到組合體的側(cè)視圖．【詳解】由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個(gè)簡潔的組合體，是由一個(gè)三棱錐和被軸截面截開的半個(gè)圓錐組成，側(cè)視圖是一個(gè)中間有分界線的三角形，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查簡潔空間圖形的三視圖，考查由三視圖看出原幾何圖形，再得到余下的三視圖，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．6.假如等差數(shù)列中，++=12，那么++…+=（）A.14 B.21 C.28 D.35【答案】C【解析】試題分析：等差數(shù)列中，，則考點(diǎn)：等差數(shù)列的前項(xiàng)和7.某一考場(chǎng)有64個(gè)試室，試室編號(hào)為001﹣064，現(xiàn)依據(jù)試室號(hào)，采納系統(tǒng)抽樣法，抽取8個(gè)試室進(jìn)行監(jiān)控抽查，已抽看了005，021試室號(hào)，則下列可能被抽到的試室號(hào)是（）A.029，051 B.036，052 C.037，053 D.045，054【答案】C【解析】【分析】依據(jù)系統(tǒng)抽樣性質(zhì)，第一個(gè)是，故后面編號(hào)為可得答案.【詳解】每八個(gè)抽取一個(gè)，第一個(gè)是，故后面編號(hào)為，當(dāng)時(shí)，編號(hào)為037當(dāng)時(shí)，編號(hào)為.故選：C.8.在中，角的對(duì)邊為，則“”成立的必要不充分條件為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)必要不充分條件的定義可逐項(xiàng)分析解除可得答案.【詳解】在中，對(duì)與A，當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，由得到，是“”成立的充要條件，錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，由得到，是“”成立的充要條件，錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，得到；當(dāng)時(shí)，由正弦定理得到，即，所以，由于，得到，所以是“”成立的充要條件，錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，得到；當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，即，由于，所以或，即或者，所以是“”成立的必要不充分條件，正確.故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查必要不充分條件的推斷，一般可依據(jù)如下規(guī)則推斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．9.已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)周期性和奇偶性可得和，由和已知條件可得答案.【詳解】因?yàn)槭侵芷跒?的函數(shù)，所以是周期為2的函數(shù)，即，由是奇函數(shù)，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：是周期為2的函數(shù)，所以是周期為2的函數(shù)，是奇函數(shù)，所以.10.若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，由求出的表達(dá)式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，所以，解得，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的對(duì)稱性，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AFB等于()A. B. C.－ D.－【答案】D【解析】方法一：由得或令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，∴由兩點(diǎn)間距離公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3．∴cos∠AFB＝＝＝－．方法二：由方法一得A(44)，B(1，－2)，F(xiàn)(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，∴||＝＝5，||＝2．∴cos∠AFB＝＝＝－．12.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由,利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，且,所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于簡潔題.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解題時(shí)，要留意兩點(diǎn)：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填寫在題中的橫線上)13.已知正方形的邊長為，為的中點(diǎn)，則__________．【答案】2【解析】·=(+)·(-)=-·+·-·=22-×22=2.14.設(shè)滿意約束條件，則最大值為______．【答案】3；【解析】【詳解】【分析】做出可行域可知，當(dāng)?shù)臅r(shí)候有最大值3.

【考點(diǎn)定位】本題考查線性規(guī)劃學(xué)問，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合實(shí)力以及邏輯推理實(shí)力.15.已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為.【答案】【解析】如圖,設(shè)截面小圓的半徑為r,球的半徑為R,因?yàn)锳H∶HB=1∶2,所以O(shè)H=R.由勾股定理,有R2=r2+OH2,又由題意得πr2=π,則r=1,故R2=1+,即R2=.由球的表面積公式,得S=4πR2=.16.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)解析式將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，分別求解，最終求并集得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，所以；當(dāng)時(shí)，由得，所以．綜上，符合題意的的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查解分段函數(shù)不等式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程及演算步驟)17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列.（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】：（I）見解析（II）【解析】【分析】由遞推式進(jìn)行遞推，可以找尋規(guī)律，依據(jù)（I）要求（即提示）變形即可.證明數(shù)列最常用的方法是定義法，想到這一點(diǎn)，第（I）題就解決了.依據(jù)兩個(gè)小題的聯(lián)系，進(jìn)一步變形找尋規(guī)律，求出通項(xiàng).【詳解】18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.（1）證明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【詳解】試題解析：（1）∵∠DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，從而BD2+AD2=AB2故BD⊥AD，即BD⊥平面PAD，故PA⊥BD（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，射線DA為X軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系則A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）設(shè)平面PAB的法向量，則，解得平面PBC的法向量，則，解得考點(diǎn)：本題考查線線垂直二面角點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是用向量法證明留意計(jì)算精確性19.某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采納分層抽樣方法（層內(nèi)采納不放回簡潔隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核.（I）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（II）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III）記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】⑴在甲組抽取2人，在乙組抽取1人.（2）（3）見解析【解析】【分析】⑴依據(jù)分層抽樣的抽取比例可以確定各組抽取的人數(shù)，簡潔求.⑵從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，那么還需抽取1名男工人，依據(jù)古典概型公式，即可.⑶抽取的3名工人中男工人數(shù)可以是0，1，2，3，有四種狀況，一一列出，構(gòu)成分布列，依據(jù)數(shù)學(xué)期望公式完成計(jì)算.【詳解】⑴依據(jù)抽取的比例，甲組和乙組抽取的人數(shù)分別為，所以應(yīng)在甲組抽取2人，在乙組抽取1人.⑵設(shè)從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的事務(wù)為A,則P(A)=.⑶依題意由,,得的分布列如下表：

0

1

2

3

P

所以的數(shù)學(xué)期望20.已知點(diǎn)P(2,2),圓，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積.【答案】(1)；(2)直線的方程為，的面積為.【解析】【分析】求得圓的圓心和半徑.（1）當(dāng)三點(diǎn)均不重合時(shí)，依據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，是定點(diǎn)，所以的軌跡是以為直徑的圓（除兩點(diǎn)），依據(jù)圓的圓心和半徑求得的軌跡方程.當(dāng)三點(diǎn)有重合的情形時(shí)，的坐標(biāo)滿意上述求得的的軌跡方程.綜上可得的軌跡方程.（2）依據(jù)圓的幾何性質(zhì)（垂徑定理），求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.依據(jù)等腰三角形的幾何性質(zhì)求得的面積.【詳解】圓，故圓心為，半徑為.(1)當(dāng)C,M,P三點(diǎn)均不重合時(shí),∠CMP=90°,所以點(diǎn)M軌跡是以線段PC為直徑的圓(除去點(diǎn)P,C),線段中點(diǎn)為，，故的軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).當(dāng)C,M,P三點(diǎn)中有重合的情形時(shí),易求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(0,4).綜上可知,點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓,軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上.又P在圓N上,從而ON⊥PM.因?yàn)镺N的斜率為3,所以的斜率為，故的方程為，即.又易得|OM|=|OP|=，點(diǎn)O到的距離為，，所以△POM面積為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查圓的幾何性質(zhì)，考查等腰三角形面積的計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.21.設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且．（）求的取值范圍，并探討的單調(diào)性．（）證明：．【答案】(1)；單調(diào)性見解析.(2)證明見解析.【解析】試題分析:（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)，由題意知，是方程的兩個(gè)均大于-1的不相等的實(shí)根，建立不等關(guān)系解之即可，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和，求出單調(diào)區(qū)間；

（2）是方程的根，將用表示，消去得到關(guān)于的函數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可證得不等式．試題解析:（）由題意知，函數(shù)的定義域是，，且有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，故的判別式，即，且，，①又，故．因此的取值范圍是．當(dāng)改變時(shí)與的改變狀況如下表：極大值微小值因此在區(qū)間和是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（）由題意和①知，，，于是．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上是增函數(shù)．于是，當(dāng)，．因此.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿意.（1）求點(diǎn)軌跡方程；（2）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與曲線交于不同于原點(diǎn)的點(diǎn)求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),然后依據(jù)點(diǎn)滿意的條件代入曲線的方程即可求