新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第45講 數(shù)列的綜合運(yùn)用（原卷版）

第45講數(shù)列的綜合運(yùn)用1、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對(duì)式子化簡變形．注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性．?dāng)?shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用2、現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常?？紤]用數(shù)列的知識(shí)去解決．1．?dāng)?shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差；(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮是第n項(xiàng)an與第n＋1項(xiàng)an＋1的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前n＋1項(xiàng)和Sn＋1之間的遞推關(guān)系．1、我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就出現(xiàn)了類似于砝碼的用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列SKIPIF1<0，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的所有項(xiàng)的和為．2、已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．3、記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）證明：SKIPIF1<0．4、設(shè)SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．證明：SKIPIF1<0．1、甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第一分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后，相遇的時(shí)間為________分鐘．A.3 B.7 C.11 D.142、定義SKIPIF1<0，已知數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．±4 C．8 D．±83、對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn＋1在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99＝________．4、(多選題)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有SKIPIF1<0個(gè)球，第二層有SKIPIF1<0個(gè)球，第三層有SKIPIF1<0個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0考向一數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問題中的應(yīng)用例1、（1）黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)項(xiàng)目，至今已有500多年的歷史，表演時(shí)由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學(xué)在研究數(shù)列SKIPIF1<0時(shí)，發(fā)現(xiàn)其遞推公式SKIPIF1<0就可以利用“疊羅漢”的思想來處理，即SKIPIF1<0，如果該數(shù)列SKIPIF1<0的前兩項(xiàng)分別為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和記為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0（2）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個(gè)數(shù)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng)，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素?cái)?shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素?cái)?shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（

）A．130 B．132 C．134 D．141（3）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26變式1、（1）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個(gè)問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為A．8B．11C．14D．16（1）、《周髀算經(jīng)》是我國古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其書中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測(cè)影子的長度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其晷長依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測(cè)算，這九個(gè)節(jié)氣的所有晷長之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個(gè)節(jié)氣晷長之和為10.5尺，則立秋的晷長為（）A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺（3）、古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題:“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述己知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少需要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天考向二數(shù)列中的含參問題例2、已知數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．若對(duì)任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為______．變式1、已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為1，公差SKIPIF1<0，其前n項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求公差d；(2)是否存在正整數(shù)m，k使得SKIPIF1<0.變式2、已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．給定SKIPIF1<0，記集合SKIPIF1<0的元素個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)求最小自然數(shù)n的值，使得SKIPIF1<0．考向三數(shù)列中的“定義型問題”例3、定義：對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0(SKIPIF1<0=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”；不論數(shù)列SKIPIF1<0是否具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”，如果存在數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不是同一數(shù)列，且SKIPIF1<0滿足下面兩個(gè)條件：（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個(gè)排列；（2）數(shù)列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”，則稱數(shù)列SKIPIF1<0具有“變換SKIPIF1<0性質(zhì)”.給出下面三個(gè)數(shù)列：①數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；②數(shù)列SKIPIF1<0：1，2，3，4，5；③數(shù)列SKIPIF1<0：1，2，3，4，5，6.具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”的為________；具有“變換SKIPIF1<0性質(zhì)”的為_________.變式1、已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，定義使SKIPIF1<0為整數(shù)SKIPIF1<0叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.變式2、若數(shù)列{an}中不超過f(m)的項(xiàng)數(shù)恰為bm(m∈N*)，則稱數(shù)列{bm}是數(shù)列{an}的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)f(m)是數(shù)列{an}生成{bm}的控制函數(shù)．已知an＝2n，且f(m)＝m，數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm，若Sm＝30，則m的值為()A．9B．11C．12D．14考向四數(shù)列與不等式等知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合例4已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，數(shù)列SKIPIF1<0是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)證明：SKIPIF1<0．變式1、已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．1、傳說國際象棋發(fā)明于古印度，為了獎(jiǎng)賞發(fā)明者，古印度國王讓發(fā)明者自己提出要求，發(fā)明者希望國王讓人在他發(fā)明的國際象棋棋盤上放些麥粒，規(guī)則為：第一個(gè)格子放一粒，第二個(gè)格子放兩粒，第三個(gè)格子放四粒，第四個(gè)格子放八?！来艘?guī)律，放滿棋盤的64個(gè)格子所需小麥的總重量大約為（

）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）A．105 B．107 C．1012 D．10152、小李在2022年1月1日采用分期付款的方式貸款購買一臺(tái)價(jià)值SKIPIF1<0元的家電，在購買1個(gè)月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內(nèi)還清全部貸款（2022年12月1日最后一次還款），月利率為SKIPIF1<0．按復(fù)利計(jì)算，則小李每個(gè)月應(yīng)還（

）A．SKIPIF1<0元 B．SKIPIF1<0元C．SKIPIF1<0元 D．SKIPIF1<0元3、中國古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.4、在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，然后求解．設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，．SKIPIF1<0（說明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，如果兩個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評(píng)分）(1)請(qǐng)寫出你的選擇，并求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．5、記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0