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文檔簡(jiǎn)介
數(shù)學(xué)
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合加={()/,2},N={x|()<x<2},則()
A.{0,1,2}B.{1}C.(0,2)D.[0,2]
2.已知復(fù)數(shù)z=l-i+'L為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)()
1-1
A.-1B.1
C.-2D.2
3.某農(nóng)科院學(xué)生為研究某花卉種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:°C)的關(guān)系,在20個(gè)不同的溫度
條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)G,y)(i=L2,???,20)得到下面的散點(diǎn)圖,由此散點(diǎn)圖,在
10°C至40°C之間,下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率丁和溫度工的回歸方程類型的是
)
A.y=ax+bB.y=ax2+h
C.y=a\nx+bD.y=
1
4.設(shè)拋物線丁=在0/上一點(diǎn)尸到x軸的距離是i,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()
A.3B.4C.7D.13
5.某小區(qū)因疫情需求,物業(yè)把招募的5名志原者中分配到3處核酸采樣點(diǎn),每處采樣點(diǎn)至少分配一
名,則不同的分配方法共有()
A.150種B.180種C.200種D.280種
I7
6.設(shè)直線+l=0(m>0,〃>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-1),則一+一的最小值為()
mn
A.16B.8C.4D.2
7.如圖,某港口一天從6時(shí)到18時(shí)的水深曲線近似滿足函數(shù)
/JIJI\
>=45皿8+9)+5[4>0,/>0,一萬(wàn)<。<,>據(jù)此可知當(dāng)天12時(shí)的水深為()
A.3.5B.4C.5-^-D.5-^-
22
8.已知直線/:3x+4y+m=0(加>0)被圓。:/+/2+2%一2丁-6=0所截的弦長(zhǎng)是圓心C
到直線/的距離的2倍,則加=
A.6B.8C.9D.11
9.在棱長(zhǎng)均等的正三棱柱ABC-A4G中,直線與BG所成角的余弦值為()
D
AY管c—-7
10.己知奇函數(shù)f(x)滿足/(-x)=/(x+2),當(dāng)xe[O,l]時(shí),/(%)=2x2,則/⑺=()
A.-2B.-1C.1D.2
11.已知球。半徑為3,其內(nèi)接圓柱的體積最大值為()
A.兀B.65/3^C.12垂>兀D.兀
12.設(shè)a=Lle09力=0.99e,c=0.93」,則()
A.c>a>bB.c>b>a
C.a>b>cD.a>c>b
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,而=一2前,則/.而=.
14.從2,3,4,5,6這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè),則所取3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為
15.已知點(diǎn)尸為曲線y=lnx上的動(dòng)點(diǎn),則尸到直線y=x+4的最小距離為.
16.若雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在該雙曲線上,則該雙曲線的離心率為
三.解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.已知數(shù)列{4}是公差不為0的等差數(shù)列,%=2,且%為生與《I的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式;
⑵若a=2"4,求數(shù)列也}的前〃項(xiàng)和Sn.
18.記AABC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a/,c,且2b=3c,8=2C.
(1)求cosC;
(2)若。=5,求c.
19.為了監(jiān)控某一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,
由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65),[65,75),[75,85]內(nèi)
的頻率是公比為3的等比數(shù)列.
A頻率
麗
0.030------------------.
0.019------------廠-
0.012---------1=1
0.004----,—IIIII—
/IIIIIIII?
01525354555657585質(zhì)量指標(biāo)值
(1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率;
(2)若將頻率視為概率,從該條生產(chǎn)線的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件,記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)位
于區(qū)間[45,75)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
20.如圖,在四棱錐尸―ABC。中,底面A3CD為正方形,/%,平面43。。,/弘=43,
PD=3FD,BE=3EP.
(1)求證:AEL/C;
(2)求AE與平面AC萬(wàn)所成角的余弦值.
21.已知線段的長(zhǎng)度為3,其端點(diǎn)M,N分別在X軸與y軸上滑動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P滿足而=2兩.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)為[¥,()),且點(diǎn)尸在第一象限時(shí),設(shè)動(dòng)直線/與C相交于A5兩點(diǎn),且兩直
線PA.PB的斜率互為相反數(shù),求直線/的斜率.
22.己知函數(shù)=
(1)求〃幻的單調(diào)性;
(2)證明:/(幻22^1
1-5:DCCBA6-10:BACDA11-12:CD
15.比
2
16.#)
17.【小問(wèn)1】
設(shè)數(shù)列{4}的公差為d,則%=2+2d,即=2+10J,
由已知得(2+21)2=2(2+104),因?yàn)樗?=3,
故%=3〃-1;
【小問(wèn)2】
由⑴知2=2"4=(3〃-1)2".
所以S“=2.2+5.22+…+(3"1).2"①
2S?=2-22+5-23+---+(3n-l)-2,,+l(2)
由①一②得:_S,,=4+3?(22+…+2")_(3〃_1>2用
=4+3,'
=-(3n-4)-2"+l-8,
所以S,,=(3〃-4)2用+8.
18.【小問(wèn)小
因?yàn)?=3c,由正弦定理得2sinB=3sinC
又B=2C,所以5由3=2$畝。(:0§。,5皿。工0.
3
故cosC=—.
4
小問(wèn)2】
由余弦定理/=〃2+公一2abcosC
將a=5,b=一代入c?=25+^--—c;解得c=4或c=5
244
11
當(dāng)c=4時(shí),Z?=6,cosB=—,cos2C=2cos~0C-l=-,滿足B=2C
88
當(dāng)c=5時(shí),匕=7.5,cos8=不滿足6=2C,故舍去.
8
綜上:c=4.
19.【小問(wèn)1】
設(shè)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)頻率為x,則在區(qū)間[65,75),[55,65)內(nèi)的頻率分
別為2%和4尤.
依題意得(0.004+0.012+0.019+0.03)xl0+4x+2x+x=l,解得x=0.005.
所以這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為0.005x10=0.05.
【小問(wèn)2】
由(1)得,這此產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[45,75)內(nèi)的頻率為0.3+02+0.1=0.6,將頻率視為
概率得p=0.6.
從該企業(yè)生產(chǎn)的該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件,相當(dāng)于進(jìn)行了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),
所以X其中〃=3.
因?yàn)閄的所有可能取值為0,1,2,3,
且P(X=0)=C;x0.6°x(Id,=0.064,
p(X=1)=C;xO.61x0.42=0.288,
p(X=2)=C;X0.62X0.4'=0.432,
P(X=3)=C>O.63xO.4°=0.216.
所以X的分布列為
X0123
P0.0640.2880.4320216
根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式可知,X的數(shù)學(xué)期望為£(X)=〃"=3x0.6=1.8.
20.【小問(wèn)小
因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形,且P4_L平面ABCQ,
則可得AB,AD,AP兩兩垂直.
以A民AD,AP所在直線分別為X,Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AB=1,
則A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
因?yàn)镻D=3FD,BE=3EP,所以尸(0彳,£|
所以是與布局“宗!
故而.定=8詞]公用=0,
所以AEJ_FC.
【小問(wèn)2】
由⑴可知:1,0)
設(shè)平面ACF的法向量為n=(x,y,z),
n-AF-0
則《
n-AC=0
2y+z=0
即《-八取x=l,則y=—Lz=2.
x+y=0
所以”=(1,T2).且亂=(;,0,q
設(shè)AE與平面AC『所成角為。,
30
21.【小問(wèn)1】
設(shè)M(m,0),N(0,ri),P(x,y),則病+〃2=9
3
由已知得(x,y-〃)=2(m-x,-y),故機(jī)=5%,〃=3y
2
代入上式整理得:—+/=1.
4
2
所以動(dòng)點(diǎn)。的軌跡C的方程為工+尸=1.
4-
【小問(wèn)2】
因?yàn)楣庶c(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為后,又點(diǎn)尸在第一象限,故尸血,
2
設(shè)/的方程為丁=乙+「代入亍+丫2=1整理得(4公+l)f+8依+4/-4=0
由已知A>0,設(shè)4(玉,y),3(天,必),
n?—8kt4廣-4
則x.1+右=--——=-z——①
-4公+1?24/+1
由已知直線PA,PB的斜率互為相反數(shù),則X—5十乂―j=0
%1一,'Jo,X-,一^2
將X=依1+f,%=依2+,代入上式整理得
2kx
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