版五年高考2016-2020高考數(shù)學(xué)真題歸納19函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合含解析理

專題19函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合

【2020年】

1.(2020?新課標(biāo)I)已知函數(shù)F(x)=e'+辦2-x.

(1)當(dāng)天1時，討論/'(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x20時，f(A-)^-%+1,求a的取值范圍.

2

【答案】(1)當(dāng)》€(wěn)(-8,0)時，尸(x)<OJ(x)單調(diào)遞減，當(dāng)X?O,T8)時,

-2

7-e、

r(x)>OJ(x)單調(diào)遞增.⑵-----,+<?

.4>

【解析】

⑴當(dāng)a=l時，/(x)=ex+X2-x,/'(x)=e'+2x—1,

由于/"(力="+2>0,故于'(x)單調(diào)遞增,注意到/(0)=0,故：

當(dāng)XG(fO,0)時，/(x)<(),/(￡)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(0,+oo)時，/'(X)>0,/(x)單調(diào)遞增.

(2)由/(尤)N+1得，e'+ax1—x...—x^+1,其中xNO,

①.當(dāng)尸0時:不等式為：121,顯然成立，符合題意；

②.當(dāng)x〉0時，分離參數(shù)a得,exxi,

?...-----^^—2-----

(x—2)—一1x2-x-1

ex--x3-x-1

記2

g(x)=-----三--g'(x)=—

%3

令=e*_彳-1(無20),

則〃'(x)=ex-x-1,/z"(x)=ev-l>0,

故〃'(x)單調(diào)遞增，/i'(x)>/i'(O)=O,

故函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，/?(x)>//(O)=O,

由〃(x)20可得：/一；/一%一1.0恒成立,

故當(dāng)XG(O,2)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)XG(2,40。)時，g'(X)<0,g(x)單調(diào)遞減;

r--I7一次

因此，，

-7-e1)

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-----.

L4)

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的

知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往

與解析幾何、微積分相聯(lián)系.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)

性，求參數(shù).(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

2.(2020?新課標(biāo)U)已知函數(shù)-x)=sin2jrsin2x.

(1)討論/U)在區(qū)間(0,萬)的單調(diào)性；

(2)證明:〃(刈4浮；

3〃

(3)設(shè)〃匕性，證明：sin2^sinJ2xsin24^***sin22^^——.

4〃

【答案】(1)當(dāng)尤60,—時，/'(力＞0,/(，單調(diào)遞增，當(dāng)xJw，—時，

\3Jk33J

/'(x)<()，X)單調(diào)遞減，當(dāng)時，尸(x)>0"(x)單調(diào)遞增.⑵證明見解

析；(3)證明見解析.

【解析】

(1)由函數(shù)的解析式可得：/(x)=2sin3xcosx,則：

尸(x)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2A:(3COS2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-l)=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

r(x)=0在x￡(0,1)上的根為：石=不入2=,，

當(dāng)xe0,[時，7(x)>0J(x)單調(diào)遞增，

'rr24\

當(dāng)xw]時，<0,/(x)單調(diào)遞減,

133)

2萬）

當(dāng)時,/（x）＞0J（x）單調(diào)遞增.

出注意到/(彳+))=$1112(彳+]由11[2(%+1)]=$1112人11128=/(%),

故函數(shù)/（X）是周期為"的函數(shù),

結(jié)合（1）的結(jié)論，計(jì)算可得：/（｛））=/（萬）=0,

據(jù)此可得：卜（機(jī)「半，［小心=-￥

即心）|￥

（3）結(jié)合⑵的結(jié)論有:

sin2xsin22xsin24xsin22nx

2

=[sir?xsin，2xsin34xsin32"x)

2

=^sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)(sin22w_,xsin2Hx)sin22〃xJ

2

<」si.nxx-3-A-/--3x-3--7--3-xx-3---g--xsi.n22mx下

888

2

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的

知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往

與解析幾何、微積分相聯(lián)系.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)

性，求參數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.（4）考查數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.(2020?新課標(biāo)III)設(shè)函數(shù)/。)=;?+法+0,曲線y=/(x)在點(diǎn)(；，f(g))處的切

線與y軸垂直.

(1)求6.

(2)若有一個絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

3

【答案】(1)b=--；(2)證明見解析

4

【解析】

(1)因?yàn)?。)=3/+依

由題意，fg)=°，即3x(；)+6=0

3

則人=一■7；

4

3

(2)由(1)可得=/一片+以

311

f'(x)=3x2--=3(x+-)(x--),

令/(x)>0,得或x<—,；令/(x)vO,得—3<x<5，

所以/(X)在(一；,；)上單調(diào)遞減，在y,_3,(；,+8)上單調(diào)遞增，

若fM所有零點(diǎn)中存在一個絕對值大于1的零點(diǎn)/,則/(—1)>0或/(I)<0,

即C>L或c<_2_

44

當(dāng)c>；時，/(-l)=c-l>0,/(-1)=c+^>0J(1)=c-1>0,/(l)=c+^>0(

又/(Tc)=-64c3+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零點(diǎn)存在性定理知fM在(-4c,-1)上存在唯一一個零點(diǎn)%,

即/(%)在(-oo,-l)上存在唯一一個零點(diǎn)，在(-1,+oo)上不存在零點(diǎn)，

此時/(x)不存在絕對值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

,14

當(dāng)。<一一時，

4

/(_l)=T<0,/(—g)=c+(<0,/(g)=c_；<0，Z)=c+；<0,

又f(—4c)-64c3+3c+c-4c(l—16c2)>0,

由零點(diǎn)存在性定理知fM在(L-4c)上存在唯一一個零點(diǎn)為',

即/(x)(1,+8)上存在唯一一個零點(diǎn)，在(-8,1)上不存在零點(diǎn)，

此時/(x)不存在絕對值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

綜上，/(X)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)

生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.

4.(2020?北京卷)已知函數(shù).f(x)=12—V.

(I)求曲線y=/(x)的斜率等于—2的切線方程；

(II)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)?,/?))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為SQ),求

SQ)的最小值.

【答案】(I)2x+y-13=O,(II)32.

【解析】

(I)因/(x)=12-x2,所以f'(x)=-2x,

設(shè)切點(diǎn)為(x(),12—不))，則一2%0=-2,即/=1,所以切點(diǎn)為

由點(diǎn)斜式可得切線方程為：y-ll=-2(x-l),即2x+y-13=O.

(H)顯然twO,

因?yàn)閥=/(x)在點(diǎn)9,12—處的切線方程為：y-(n-t2)=-2t(x-t),

/2?19

令x=0,得y="+i2,令y=0,得尤=上士，

2t

所以s(/)=gx(r+i2).黑2,

不妨設(shè)f>0Q<0時，結(jié)果一樣)，

EC/、/+24*+1441144、

則S(f)=------------=a?+24r+——)

所以S'⑺=」(3"+24—歹)=3(『+8：-48)

v74t24r

3(—一4)(*+12)3(t—2)?+2)(/+12)

4?4f2

由S'（/）>0,得f>2,由S'（f）<0,得0<r<2,

所以S⑺在（0,2）上遞減，在（2,轉(zhuǎn)）上遞增，

所以r=2時，5（f）取得極小值，

也是最小值為S（2）=監(jiān)笆=32.

o

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于

中檔題.

5.（2020?江蘇卷）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底

。在水平線榴，上、橋與,融平行，00'為鉛垂線（?！谀X上）.經(jīng)測量，左側(cè)曲線40上

任一點(diǎn)。到砌V的距離九（米）與〃到00'的距離a（米）之間滿足關(guān)系式九二密。?；右側(cè)曲線

60上任一點(diǎn)尸到腑的距離4（米）與尸到OO'的距離從米）之間滿足關(guān)系式色=一焉/+6b.

已知點(diǎn)6到OO'的距離為40米.

（1）求橋四的長度；

（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO'的橋墩切和EF,且CE為80米，其中C,E在46上（不

3

包括端點(diǎn)）.橋墩跖每米造價(jià)-萬元）、橋墩徵每米造價(jià)不人（萬元）（力0）.問O'E為多少米

2

時，橋墩制與斯的總造價(jià)最低?

【答案】（1）120米（2）O'E=20米

【解析】(1)由題意得-1-|O'A『=——Lx4()3+6x4().?.|O'A|=80

40800

\AB|=|O'A|+1O'B\=8()+40=120米

(2)設(shè)總造價(jià)為/(x)萬元，|O'O|=’-X8()2=160,設(shè)|O￡|=X,

40

i31

f(x)=k(l60+80d九3—6x)+—k\\60—(80—x)~］,(0<x<40)

f(x)=k(l60+—x3-^-x2),f'(x)=k(~—x2--x)=0:.x=20(0舍去)

o(X)oOoOOoO

當(dāng)0<x<20時，/V)<0;當(dāng)20Vx<40時，/V)>0,因此當(dāng)x=20時;f。)取

最小值，

答：當(dāng)O'E=20米時，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低.

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際成本問題、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

6.(2020?江蘇卷)己知關(guān)于x的函數(shù)y=/(x),y=g(x)與丸(x)=Ax+b伏力eR)在區(qū)間

〃上恒有/(x)>h(x)>g(x).

(1)若/("=/+2為g(x)=-x2+2x,￡)=(ro,+oo),求方(x)的表達(dá)式；

(2)若/(x)=/_》+1,g(x)=Alnx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求A的取值范圍；

(3)若

/(x)=X4-2X2,g(x)=4X2-8,/J(X)=4(產(chǎn)-f)x-3t4+2z2(0<|也)，

D=pH,"］三『五,應(yīng)］,求證：n-m<41.

【答案】⑴〃(x)=2x；⑵fce［0,3］；(3)證明詳見解析

【解析】

(1)由題設(shè)有一V+2xV依+A<f+2%對任意的xeR恒成立.

令x=0,則o?/?wo,所以/?=0.

因此京＜f+2x即￡+（2-攵）x20對任意的xeR恒成立,

所以A=（2-上了40,因此&=2.

故〃（x）=2x.

(2)令尸(x)=，(x)-g(x)=Hx-l-lnx)(x>0),F(1)=O.

又F(x)=h二二L

X

若k<(),則尸(x)在(0,1)上遞增，在(1,+?)上遞減，則產(chǎn)(x)WF(l)=0,即

〃(x)—g(x)W0,不符合題意.

當(dāng)人=0時，戶(x)=〃(％)-g(x)=0,〃(x)=g(x),符合題意.

當(dāng)女>0時，尸(x)在(0,1)上遞減，在(1,+?)上遞增，則/(x)N/(1)=0,

即〃(x)—g(x)20,符合題意.

綜上所述，k>0.

由/(X)—/z(x)=x2-x+1—(束一人卜％2-(A+l)x+(A+l)?0

當(dāng)》=等<0,即左<一1時，丁=/一(4+1)兀+女+1在(0,+?)為增函數(shù)，

因?yàn)椤?)—〃(0)=左+1<0,

故存在％e(0,+oo),使/(x)-〃(x)<0,不符合題意.

當(dāng)》=言=0,即2=—1時，/(x)-/z(x)=x2>0,符合題意.

女+］n

當(dāng)工=與一>0,即左>—1時，則需△=(%+1)—-4(%+1)40,解得一1<攵<3,

綜上所述，女的取值范圍是左40,3］.

(3)因?yàn)?-2/24(/一。1一3尸+2/>4x2-8對任意不&］恒成

立，

/-2九224(/Tb-3〃+2r對任意1u［-夜,及］恒成立，

等價(jià)于(xT)2，+2比+3/-2)之。對任意％w［以川口-血,夜］恒成立.

故次之+2及+3/一220對任意工￡［狐〃］口—>/5,后］恒成立

令M(x)=d+2a+3--2,

當(dāng)0v*<i,△=一8*+8>0,—IvtvI,

此時〃—m+1<,

當(dāng)14/<2，△=-8r+840，

但4x?-8>4（r3-r）x-3z4+2/對任意的不￡［加,利|匚［—\/2,血］恒成立.

等價(jià)于4x?_4（/T）X+（3『+4）（/-2）V0對任意的工￡［〃芻〃］口一5/5,&］恒成立.

4x2—4（/一，）x+（3/+4）（』—2）=（）的兩根為王,電,

nil33〃一2/一8

則%+%2=（-Z,%?/=------------------------，

X+x2

所以〃一機(jī)=%一%|=7（I2）-4X］X2=〃_5/+3產(chǎn)+8.

令冰uZ/lWia］,則|〃一加|=1；13—542+32+8.

構(gòu)造函數(shù)P（4）=%3-5義2+3；1+8（/1€［1,2］）,P/（2）=3A2-102+3=（2-3）（3/l-l）,

所以;le［l,2］時，P（/l）<0,P（/l）遞減，P（A）niax=P（l）=7.

所以（〃-〃2）m*x=布，即〃-，〃V夕.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用的導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考

查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

7.（2020?山東卷）己知函數(shù)/（x）=ae*T—Inx+lna.

（1）當(dāng)a=e時，求曲線片F(xiàn)（x）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的

面積；

（2）若f（x）求a的取值范圍.

2

【答案】（1）--（2）［l,+oo）

e-1

【解析】

（1）Q/（x）=e'—lnx+1>f'（x）=e',:.k==

x

Q/（l）=e+l,.?.切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1+e）,

...函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1,F（1）處的切線方程為y—e—l=（e—l）（x—l）,即y=（e—l）x+2,

,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0,2）,（二,0）,

e-1

1一22

，所求三角形面積為7；X2X|——-|=——-;

2e-\e-1

(2)解法一：Qf(x)=aeA~l-Inx+In<2,

/.ff(x)=aex~l--,且a>0

x

設(shè)g(x)=f'(x),則g'(x)=ae~+4>0,

X

???g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，即f\x)在((),+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a=1時，/⑴=0,/⑺*=f⑴=1,.：“X)■成立.

111-!—1

當(dāng)0>1時，/<1，."T<1，.?.r(,)r(l)=a(e〃

存在唯一%>0,使得/'(Xo)=ae&T-----=0,且當(dāng)工€(0,不)時/(x)<0,當(dāng)

X。

1

工￡(%,+00)時/。)>0,/.ae^=一,/.Ina+x0-l=-lnx0,

因此/。)僦=f(xQ)=ae*T-In/+Ina

=FIna+-1+In672Intz-1+21—?=21na+l>l,

玉)Y%

.：/(x)>l,恒成立；

當(dāng)0<a<1時，/(I)=a+Ina<a<1,/(I)<l,f(x)>1不是恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1,+8).

解法二：/(x)=aex~l-lnx+Ina=-/nr+21等價(jià)于

Jna+x-l+/w+x-12Inx+X=*+ItVC,

令g(x)=e*+x,上述不等式等價(jià)于g(/w+xT)Ng(/nr),

顯然g(x)為單調(diào)增函數(shù)，，又等價(jià)于//a+x—12>無，即/〃加x—x+l,

1\—X

令"(x)=/n￥-x+l,則/z'(x)=——1=-----

XX

在(0,1)上方'切單調(diào)遞增；在(1,+8)上獷3單調(diào)遞減，

?.?妝~,=妝1)=°，

Ina>0,即aNl,，a的取值范圍是[1,+8).

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力,

分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬較難試題.

8.(2020?天津卷)已知函數(shù)f(x)=x3+%inx(ZwR),/'(x)為了。)的導(dǎo)函數(shù).

(I)當(dāng)k=6時，

(i)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

9

(ii)求函數(shù)g(x)=/(x)-/'(尤)+—的單調(diào)區(qū)間和極值；

x

(II)當(dāng)々…一3時，求證：對任意的不，x,e[l,+oo),且%>%，有

/(%)+/(%)

2%,—x2

【答案】(I)(i)y=9x—8；(ii)g(x)的極小值為g⑴=1,無極大值；(II)證明見

解析.

【解析】

(I)(i)當(dāng)公6時，/(x)=x3+61nx,1(月=3無2+\.可得/11)=1,尸(1)=9,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程為y-l=9(x-l),即y=9x-8.

3

(ii)依題意，g(x)=x3-3x2+61nx+—,xe(0,+oo).

從而可得g<%)=3x2-6x+—--\,

xx

整理可得：g'(x)=~yY~L

X

令g'(x)=0，解得x=1.

當(dāng)X變化時，g'(x),g(x)的變化情況如下表:

X(。,1)X=1(1,+?)

g'(x)—0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8)；

g(x)的極小值為g(l)=l,無極大值.

(II)證明：由/(X)=%3+左加工，得/'(X)=3f+—.

X

對任意的看,x2e[l,+oo),且%>%2，令*=1。>1),則

X2

-%"㈤+/'(%))-2(/㈤一〃尤2))

rk、

—

二(玉—x2)3x：H---F3%2—2x：—%：+kIn--

IX\X2)vX2>

二x：-考-3小2+攵--—>1-2^10—

E\)%

=W—3/+3/—1)+攵[z---2In/.①

令〃(尤)=x----2Inx,xe[l,+oo).

x

i2(1A

當(dāng)X>1時，/2(x)=l+———=1一一>0，

xxvxJ

由此可得〃(x)在[1,+8)單調(diào)遞增，所以當(dāng)01時，A(/)>/z(l),BPr---21nf>0.

因?yàn)閃Nl,r3-3z2+3r-l=(/-l)3>0,k>-3,

所以W(f3-3f2+3i)+《—；—21n"..(f3-3f2+3f—i)—3,—；—21nf

=t3-3t2+6lnt+--l.②

t

3

由(I)(ii)可知,當(dāng)(>1時,g(f)>g⑴，即/一3『+61nf+—>1,

,,3

故八一3廠+6In，+——1>0③

t

由①②③可得(玉_/)(/(%)+/(%))_2(/(玉)_/(%2))〉。.

所以，當(dāng)々，一3時，任意的%,%2e[l,+8),且玉>%2，有

/'。)+/'(々))/(%)一.

2Xj-x2

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的

知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：

(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).

(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.

(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

9.(2020?浙江卷)己知1<。42,函數(shù)/(x)=e*—x—a,其中片2.71828…為自然對數(shù)

的底數(shù).

(I)證明：函數(shù)y=/(x)在(。，+8)上有唯一零點(diǎn)；

(11)記蜀為函數(shù)y=/(x)在(0，+8)上的零點(diǎn)，證明：

(i)Ja-1<J2(q_l)；

x

(ii)xof(e°)>(e-1)(。-l)a.

【答案】(I)證明見解析，(II)(i)證明見解析，(ii)證明見解析.

【解析】

(I)Q/'(幻=e'—1,Qx>0,/>1,:.f'(x)>0,:.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

Ql<a<2,.'./(2)=e2-2-?>e2-4>0,/(0)=l-a<0,

所以由零點(diǎn)存在定理得/(x)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)；

(ID(i)Q/(Ao)=O,.-./°-xo-tz=O，

11

"Jci—1<XQ<,2(a—1)e0__1</-W2(e--1)>

令g(x)=e*—x-1—%2(。<%<2),〃(x)=e*-x—1-5(0<x<2),

?—方面：h'(x)-ex-X-x-h^(x),4(x)=e*-1>0，

/.h'(x)>〃'(())=0,：.h(x)在(0,2)單調(diào)遞增,h(x)>/?(())=0,

v-2-

e"—x—1——>0,2(e"—x—1)>x">

另一方面：Ql<a<2.,.a-l<l,

所以當(dāng)％21時，向I￡%成立,

因此只需證明當(dāng)0<x<l時g(x)="—x—1—d40,

因?yàn)間'(x)=ex-l-2x=g|(x),g；(x)=e*-2=0nx=In2

當(dāng)xe(0,ln2)時，g；(x)<0，當(dāng)xe(ln2,l)時，g：(x)>0，

所以g'(x)<max{g'(0),g'⑴},Qg'(0)=0,g'(l)=e-3<0,二.g'(x)<0,

.?心。)在(0,1)單調(diào)遞減，，8")<8(0)=0,二/一工一1<￥，

11

綜上，c—x0-1x()'〈2(e"~xa—1),Ra-I?與WJ2(a-1)-

xaa

(ii)?%)=xof(e°)=x0/(x0+d)=x0[(e-l)x0+a(e-2)]，

Q/'(x。)=2(e"-1)/+a(e"-2)>0,Ja-l4而<,2(q-1),

:/(%))>a-1)=Ja-l[(e"-1),a-1+a(cl—2)]=(e"—l)(a—1)+aJa—1(e"-2)

,因?yàn)閘<a?2,所以e">e,aN2(a—1),

/(XQ)N(e-l)(tz-1)+2(a-1)Ja-l(e"-2),

只需證明2(a—1)J^T(e"—2)2(e—1)(。-I)2,

即只需證明4(e"—2)2N(e—l)2(a—1),

令s(a)=4(ea-2)2-(e-l)2(a-l),(l<a<2),

則s'(a)=8ea(ea-2)-(e-l)2>8e(e-2)-(e-l)2>0,

s(a)>5(1)=4(e—2)2>0,即4(ea-2)2N(e—(a—1)成立，

x

因此x0/(e°)>(e-l)(6!-l)a.

【2019年】

8.【2019年高考全國I卷】已知函數(shù)/(x)=sinx-ln(l+x),/'(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).證

明：

7T

(1)/'(x)在區(qū)間(-1,萬)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)/(幻有且僅有2個零點(diǎn).

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】(1)設(shè)g(x)=/'&)，則g(x)=oosx———,g'(x)=-sinx+——J―?.

1+x(1+x)2

當(dāng)時，g'(x)單調(diào)遞減，而g'(O)〉O,g'(5)<O,可得g'(x)在(一1,5)

有唯一零點(diǎn)，

設(shè)為a.

則當(dāng)xe(-l,a)時，g'(x)>0；當(dāng)時，g'(x)<0.

所以g(x)在(T,a)單調(diào)遞增，在(a,?單調(diào)遞減，故g(x)在卜用存在唯一極大

值點(diǎn)，即/''(X)在存在唯一極大值點(diǎn).

(2)/(x)的定義域?yàn)?-1,+8).

(i)當(dāng)xe(—1,0］時，由(1)知，/'(x)在(一1,0)單調(diào)遞增，而/'(0)=0,所以當(dāng)

xe(-1,0)時，尸(x)<0,故/(x)在(一1,0)單調(diào)遞減，又f(0)=0,從而x=0是/(x)在

(一1,0］的唯一零點(diǎn).

(ii)當(dāng)時，由(1)知，/'(X)在(0,a)單調(diào)遞增，在(a,單調(diào)遞減，

而—(())=(),-<0,所以存在力e,使得/(Z?)=0,且當(dāng)xe(0,#)時，

\2/I2J

尸(幻>0；當(dāng)/(幻<().故/(幻在((),￡)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減-

又/(0)=0,/0=1—ln(l+3>0,所以當(dāng)時，/(x)>0.從而，/(%)

在(0,搟沒有零點(diǎn).

(iii)當(dāng)兀時，尸(x)<°，所以/(x)在(|,兀)單調(diào)遞減.而

…,所以/⑴在加有唯一零點(diǎn).

(iv)當(dāng)X￡(7t,4oo)時，ln(%+l)>l,所以f(x)<0,從而/(X)在(江,+00)沒有零點(diǎn).

綜上，/(尢)有且僅有2個零點(diǎn).

V*_1_1

9.【2019年高考全國n卷】已知函數(shù)/(x)=lnx-----.

x-1

(1)討論/"(X)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)；

(2)設(shè)施是f(x)的一個零點(diǎn)，證明曲線尸Inx在點(diǎn)4(x),InxJ處的切線也是曲線y-ev

的切線.

【答案】(1)函數(shù)/(x)在(0,1)和(1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析;

(2)見解析.

【解析】(1)f3的定義域?yàn)?0,1)(1,+8).

12

因?yàn)槭?%)=—+：~nr>°，所以/(x)在(o,1),(1,+8)單調(diào)遞增.

X(x-1)

e+1「2?i「2Q

因?yàn)?'(e)=1--------<0,/(e2)=2一一-——=「；~->0.所以/1(x)在(1,+?5)

e-1e2-le2-l

有唯一零點(diǎn)為，即D=。.又/中=-巾+三一⑻肛故「

1

（X）在（0,1）有唯一零點(diǎn)一.

王

綜上，f（x）有且僅有兩個零點(diǎn).

（2）因?yàn)長=eFM,故點(diǎn)8（-In劉，—）在曲線尸e,上.

%不

由題設(shè)知/（%）=0,即皿/=空「故直線48的斜率

玉）—1

1.1%+1

一—In/,

/_______:-%工。—1=1

Tn%—%%+19%

10

曲線片e、在點(diǎn)B（-lnx0,一）處切線的斜率是一,曲線y=lnx在點(diǎn)A（x0,lnx0）處

切線的斜率也是工,

%

所以曲線），=ln%在點(diǎn)A（Xo』n/）處的切線也是曲線尸e”的切線.

10.【2019年高考全國III卷】己知函數(shù)/'（X）=2犬—依2

（1）討論的單調(diào)性;

（2）是否存在。涉，使得/（幻在區(qū)間［0,1］的最小值為-1且最大值為1?若存在,

求出〃力的所有值；若不存在，說明理由.

a=0a=4

【答案】（1）見解析；（2）{或，

b=—lb=1

【解析】(1)/'(x)=6x2-2ax-2x(3x-a).

令f'(x)=0,得x=0或x=I.

若a>0,則當(dāng)x￡(-oo,0)-,4-oo時，/'(x)>0；當(dāng)時，fr(x)<0.故

\3Jv3)

f(x)在(-00,0),與+O0)單調(diào)遞增，在(0個)單調(diào)遞減；

若<9=0,/(X)在(TO,+OO)單調(diào)遞增；

若水0,則當(dāng)x￡(-oo,'1］(0,+oo)時，fr(x)>0；當(dāng)xw■1?,()］時，fr(x)<0.故

/(x)在［-oo,］)(0,+8)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

(2)滿足題設(shè)條件的a,6存在.

(i)當(dāng)aWOH寸，由(1)知，-(X)在>,1］單調(diào)遞增,所以/(x)在區(qū)間［0,1］的最

小值為/(())=。，最大值為/(1)=2-。+從此時a,6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=—l,

2—。+〃=1,即a=0fh=-1.

(ii)當(dāng)a23時，由(1)知，/(x)在［0,1］單調(diào)遞減，所以/(x)在區(qū)間［0,1］的

最大值為/(())=〃，最小值為/(1)=2—。+〃.止匕時&6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)

2—。+。=—1,b=\,即a=4,ZFI.

(iii)當(dāng)0<a<3時，由(1)知，/(x)在［0,1］的最小值為/=~^j+b，最大

值為6或2-。+/?.

若一土+〃=-1,ZFI,則。=3蚯，與0〈水3矛盾.

27

若-E-+人=-1,2-。+。=1,則。=36或。=—38或爐0,與0<水3矛盾.

27

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)所0,b=-1或折%房1時，在［0,1］的最小值為-1,最大值為

1.

1a

11.【2019年高考北京】已知函數(shù)/0)=^工一天9+尢.

(I)求曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程;

(II)當(dāng)xe[-2,4]時，求證：x-6<f(x)<x；

（III）設(shè)廠的|/）（方*+a）eR,記F（x）在區(qū)間［一2,4］上的最大值為Ma）.當(dāng)

M（a）最小時，求a的值.

64

【答案】（I）與y=x-萬；（］［）見解析；（III）a=—3.

I,3

【解析】(I)由f(X)=—f+x得r(x)=—廠―2x+l.

44

令/■'0)=1,即1》2-2X+1=1,得X=0或X=?

又/（0）=（），

QQ

所以曲線、=/（X）的斜率為1的切線方程是y=x與y—最=x.

即y=X與y=%_竺

-27

(II)令g(x)=f(x)-x,x&[-2,4-].

由g(X)=—[%3,一/°得g,1)=二3*2-2X.

44

Q

令g'(x)=。得X=?；騲=—.

g'(x),g(x)的情況如下：

QQQ

x-2(-2,0)0(0,1)|(1,4)4

g'(x)+-+

/、64

g(x)-60--0

所以g（x）的最小值為-6,最大值為0.

故-6<g(x)<0,即x-6W/(x)〈x.

(Ill)由(H)知,

當(dāng)a<—3時，M(a)>F(0)=|g(())-a|=>3；

當(dāng)a>—3時,M(a)>F(-2)=|g(-2)-a\=6+a>3；

當(dāng)a=—3時，Af(a)=3.

綜上，當(dāng)M(a)最小時，。二一3.

12.【2019年高考天津】設(shè)函數(shù)/(x)=e*cosx,g(x)為的導(dǎo)函數(shù).

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)xe時，證明/(*)+8(“)(三一%)20；

(TT冗)

(III)設(shè)七為函數(shù)〃(x)=/(x)—1在區(qū)間2mr+—,2mt+—內(nèi)的零點(diǎn)，其中

<42J

-2n7C

證明2〃兀4----x<----------------?

2nsin%—cos/

37rit

【答案】(I)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為2也一下,2也十:(4￡Z)"(x)的單調(diào)遞減

_44_

TT57c

區(qū)間為2hc+-,2fou+—(ZEZ).(H)見解析；(III)見解析.

44

【解析】(I)由已知，有/'(X)=e*(cosx-sinx).因此，當(dāng)

x4兀+：,2左兀+?)(Z￡Z)時，有sincos%,得了'(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(2匕t—B，2"+TOleZ)時，有sinxvcosx,得/'(x)>0,則/(x)單調(diào)遞

增.

所以，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2人兀一子,2bt+；(&eZ),/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

2kTt+—,2kit+—(左eZ).

_44_

(II)證明：記心)=/(%)+g(x)\—x).依題意及(I),有

g(x)=eA(cosx-sinx),從而g'(x)=-2e*sinx.當(dāng)無時，g'(x)<0,故

〃(x)=_f(x)+g，(x)1-%j+g(x)(-l)=g，(x)^-xj<0.

因此，/z(x)在區(qū)間;看上單調(diào)遞減，進(jìn)而〃(x)N〃O=/(/)=O.

所以，當(dāng)xe—,—時，/(x)+—x[20.

(Ill)證明：依題意，=-1=0,即e""cosx“=l.記”=x“一2〃兀，

yx22,m

則"'且/(上)=""cosy”=e"-'^cos^x(-2/?K)=e~(neN).

由/(K)=e-2mt<l=/(%)及(I),得券2%.由(H)知，當(dāng)時，

g<x)<0,所以g(x)在上為減函數(shù)，因此g(y,)?g(%)<gG)=0.又由(II)

,、(n\

知，/(%)+<?(")不一笫之0,故

I，7

71/(X,)e-2,me-2nne-2,m而

——"y---------——---------.

v

2.“一g(K)g(y,)—g(y。)e°(siny0-cosy0)sinx0-cosx0

兀e~2nn

所以，2〃7Td----X<-----------------.

2nsin%—cos玉)

13.【2019年高考浙江】已知實(shí)數(shù)QWO,設(shè)函數(shù)/(x)=qlnx+Jx+l,x>0.

(i)當(dāng)。=一。時，求函數(shù)y(x)的單調(diào)區(qū)間；

4

(2)對任意xel-U+8)均有了。)<正，求。的取值范圍.

e2a

注：e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

【答案】⑴r(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,3)；⑵

33/____

【解析】(1)當(dāng)。=——時，/(x)=——lnx+Jl+x,x>0.

44

31(Jl+J2)(2\/l+x4-1)

八幻二工+赤=

所以，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,3）,單調(diào)遞增區(qū)間為（3,+00）.

1

(2)由,得

2a4

當(dāng)0<a4也時，/(x)《立等價(jià)于4—2加21nxN0.

42aa2a

令，=工，貝UN2g.

a

設(shè)8。）=/6-21?^一21!1%/之2血，

(i)當(dāng)g,+g)時,

則

g(t)>g(2及)=8?-4及Jl+x-21nx.

記,(元)=4石一2血,1+x—Inx,x2g,則

2yf^212>/x>/x+1-s/2X-Jx+1

〃'(x)=

\fxJx+1xxjx+l

(尤—1)[1+<2)+2-1)]

xjx+l(?+l)(Jx+l+^2x)

故

j_

(；,D(l,+8)

X71

p'(x)—