淺析新高考試題中的分段函數

函數既是中學數學中的核心內容，又是高等數學中最基礎的知識。在高中階段乃至是在高考中，函數的相關內容都是重點和必考點，因此函數在高中數學中占有很高的地位。歷年高考答題中都會有函數相應內容的出現，而且考查的方式以及題型都在逐年變化。在新高考函數類型中大多會將函數圖象與函數解析式相結合（即數形結合），這一類型的試題大多會在高考填空或選擇題中出現，該類題型主要是考查學生對函數表達式以及三角函數、對勾函數等的掌握程度，以及與之對應的圖象轉換進行判斷和分析。這題型在新高考數學中占一定比例的分值，是一種不容小覷的考試題型。所以，教師在平時針對分段函數進行教學時應多通過一些典型的考試題目或者借助歷年的考試真題，讓學生有針對性地訓練，提升學生分析問題和解決問題的能力，讓學生對與分段函數相關的題型有進一步的了解以及更深刻的認識，從而促使學生在高考中對這一類問題的解決達到事半功倍的效果。下面主要通過近幾年的新高考試題來探討分段函數在高考中的應對措施和解決方法。一、分段函數中的奇偶性問題例1（2022上海8）若函數f（x）=a2x-1，x＜00，x=0x+a，x＞0為奇函數，則實數a的值為_________.考點：函數的奇偶性﹢函數的解析式（理性思維）分析：判斷分段函數的奇偶性要分段進行判斷、整體考慮，即在分段函數的定義域內根據函數奇偶性的定義分別考慮各個分段上函數f（-x）與f（x）的關系，判斷各個分段上函數的奇偶性，然后綜合在一起判斷分段函數的奇偶性。分段函數中奇偶性在高考試題中經常出現，但學生在利用函數奇偶性的定義判斷和研究分段函數中奇偶性時，經常會犯以下幾種錯誤：（1）函數的奇偶性的概念理解不清由奇偶函數的定義可知，具有奇偶性的函數的定義域必是關于原點對稱的；（2）函數的奇偶性在關于原點對稱的定義域內是一致的，不能把定義域分割開來，因此，“當x＜0時，函數是偶函數；當x＞0時，函數是偶函數”的說法是錯誤的。本題主要考查函數的奇偶性，所以函數的奇偶性的定義為突破口。即（1）定義域關于原點對稱；（2）f（x）=f（-x）（奇函數）和f（x）=f（-x）（偶函數）；（3）對于填空題和選擇題中根據奇偶性求函數解析式中的參數問題，學生不會靈活應用奇偶性的定義與特殊值法快速求解，在教學過程中教師應對學生多加引導。二、分段函數中的定義域和值域1.分段函數的定義域求法：每一段函數定義域的并集為整個函數的定義域。2.分段函數的值域求法：是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集，即每一段函數值域的并集為整個函數的值域。求分段函數的最值通常有兩種方法：（1）先求出分段函數在各個范圍內的最值，這些最值中的最大值即為該函數的最大值，這些最值中的最小值即為該函數的最小值；（2）作出分段函數的圖象，從中觀察可得出分段函數定義域和值域。例2（2022上海8）已知函數f（x）=2x，x＞01，x≤0，則f（x）的值域為_________.分析：主要考查分段函數的定義域和值域。（1）分段函數對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數。它是一個函數，而不是幾個函數：分段函數的定義域是各段函數定義域的并集；分段函數的值域是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集，即每一段函數值域的并集為整個函數的值域。（2）本題以分段函數為載體，使學生對分段函數的認識更加深刻，提高學生的觀察能力?！窘馕觥慨攛＞0時，f（x）=2x單調遞增，f（x）＞1；當x≤0時，f（x）=1.故f（x）的值域為[1，+∞）.點撥：分段函數的定義域和值域在高考試題中經常出現，但學生在解答與分段函數定義域和值域有關的問題時，經常會犯幾種錯誤：一是學生會把分段函數看成幾個函數，就把定義域和值域弄成幾個函數的。二是對定義域和值域的表示格式不清楚，往往會寫成不等式的形式，而沒有用集合來表示；不能填f（x）≥1，因為定義域和值域都是集合，可以填{f（x）|f（x）≥1}或[1，+∞）。點撥：畫分段函數的圖象對學生來說是一個難點，畫分段函數的圖象先過分段點作垂直于x軸的虛線，弄清楚基本初等函數圖象的形狀，再針對x的每一段范圍畫出圖象。三、分段函數的單調性問題（討論分段函數的單調性常常借助圖象來解決）例4（2013年四川）已知分段函數f（x）=x2+2x+a（x＜0）lnx（x＞0），其中a是實數，指出函數f（x）的單調區(qū)間.分析：對于分段函數在定義域上的單調遞增（減）問題，除了保證在定義域的每一個區(qū)間上單調性相同之外，還要考慮在分界點處的函數值的大小關系。若函數是增函數，則左邊函數值小于或等于右邊函數值（若函數是減函數，則右邊函數值小于或等于左邊函數值），這樣才能滿足在定義域上的單調遞增（減），否則求出的參數范圍會出現錯誤，而學生常常忘記判斷分界點處左右兩段函數值的大小關系。分段函數的單調性在高考試題中出現的頻率比較高，對學生來說也是一個難點。本題還以分段函數為載體，考查學生對對數函數、二次函數的單調性的掌握及運算能力?！窘馕觥孔鞒龊瘮礷（x）的大致圖象（見圖2），由圖象可知函數f（x）的單調遞減區(qū)間是（-∞，1]，單調遞增區(qū)間是（-1，0），（0，+∞）.點撥：關鍵是熟悉基本初等函數的圖象和性質，充分使用數形結合思想，在教學中注意基本知識的教學。四、分段函數中的求參數問題例5（2022北京14）設函數f（x）=-ax+1，x＜a，（x-2）2，x≥a.若f（x）存在最小值，則a的一個值為_________；a的最大值為_________．考點：分段函數的最值（理性思維、數學探索）。分析：本題涉及分類討論思想，以分段函數為載體考查一次函數和二次函數的性質，隱含一次函數和二次函數的單調性，一次函數y=-ax+1的單調性與一次項系數-a有關；因為函數f（x）存在最小值，所以-a＜0，即a＞0；二次函數y=（x-2）2，（x≥a）是軸定區(qū)間動的問題，要討論對稱軸x=2與區(qū)間[a，+∞）的位置關系（區(qū)間在對稱軸的左邊、右邊、被對稱軸穿過等情況），這對學生來說是一個難點，學生不易理解，在講解時利用數形結合的思想，要讓學生多畫圖、多觀察，教師再引導學生分析如何解決這類題型；二次函數軸定區(qū)間動、軸動區(qū)間定等設問方式是出題人最青睞的題型之一。分段函數最值的求解方法：（1）最大值求法：每段函數先在所在范圍內求最大值，所有最大值中最大的一個值為該分段函數的最大值；（2）最小值求法：每段函數先在所在范圍內求最小值，所有最小值中最小的一個值為該分段函數的最小值?！窘馕觥慨攁=0時，函數f（x）=1，x＜0，（x-2）2，x≥0，存在最小值0，所以a的一個取值可以為0；當a＜0時，若x＜a，則f（x）=-ax+1，此時函數f（x）不可能存在最小值；當0＜a≤2時，若x＜a，則f（x）=-ax+1，此時f（x）∈（-a2+1，+∞）；若x≥a，則f（x）=（x-2）2∈[0，+∞）；若函數f（x）存在最小值，則-a2+1≥0，得0＜a≤1；當a＞2時，若x＜a，則f（x）=-ax+1，此時f（x）∈（-a2+1，+∞）；若x≥a，則f（x）=（x-2）2∈[（a-2）2，+∞）；若函數f（x）存在最小值，則-a2+1≥（a-2）2，此時不等式無解.綜上，0≤a≤1，所以a的最大值為1.點撥：對于含有參數的分段函數，要讓學生充分理解代數式的意義，抓好數形結合思想。五、新高考試題中的分段函數與方程思想高考試題通過分段函數與方程相結合的方式考查學生對抽象圖形的處理及解答能力。分段函數與方程的結合是新題型，它主要考查學生數形結合能力，試題有一定難度，但有較強的再生能力。這種分段函數與方程相結合的出題方式不僅可以提高學生的綜合能力，還是對學生基礎能力的整體考查。針對這類問題，首先學生要分析問題中所給出的信息系統(tǒng)性，其主要考查學生做題時的細心程度，因此在對該類型題目進行計算時，一定要認真審題確保答案正確。針對這一問題，學生在掌握分段函數以及方程基本內容的同時，只有將兩者結合在一起并通過繪制圖象的形式才能保證答案的正確率。例6（2021浙江12）已知a∈R，函數f（x）=x2-4，x＞2x-3+a，x≤2.若f（f（■））=3，則a=_________.考點：分段函數的求值（理性思維）。分析：本題看上去是分為兩段，實則是分為三段；求分段函數的函數值時，關鍵是判斷出自變量的取值所處的區(qū)間，再代入相應的函數解析式，嚴格用分段函數的定義，由內到外求值?！窘馕觥恳驗椤觯?，所以f（■）=6-4=2，所以f（f（■））=f（2）=1+a=3，解得a=2.點撥：關鍵是充分理解分段函數的定義。總之，在新高考試題中針對分段函數的考試題型，還會通過讓學生根據分段函數的性質以及特點，通過讓學生帶入數值的方法和數形結合思想對問題進行解答，該類型題目大多是以填空的形式出現，讓學生通過計算從而得出正確答案。該類型題目中涉及了計算，所以很多學生會因為計算失分，同時該類型的考題主要考查學生對分段函數基本性質的掌握程度，因此學生在對分段