2022-2023學年東莞市重點中學數(shù)學高三第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析_第1頁
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2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的左焦點為,直線經(jīng)過點且與雙曲線的一條漸近線垂直,直線與雙曲線的左支交于不同的兩點,,若,則該雙曲線的離心率為().A. B. C. D.2.若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.240 B.264 C.274 D.2823.已知函數(shù)(,且)在區(qū)間上的值域為,則()A. B. C.或 D.或44.雙曲線x2a2A.y=±2x B.y=±3x5.已知正項等比數(shù)列的前項和為,且,則公比的值為()A. B.或 C. D.6.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.將函數(shù)向左平移個單位,得到的圖象,則滿足()A.圖象關于點對稱,在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2,圖象關于點對稱C.圖象關于直線對稱,在上的最小值為1D.最小正周期為,在有兩個根8.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.9.復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A.7 B.14 C.28 D.8411.趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構造如圖(2)所示的圖形,它是由個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形,設,若在大正六邊形中隨機取一點,則此點取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.12.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點,若線段中點的橫坐標為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面向量,,(R),且與的夾角等于與的夾角,則.14.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B為焦點,且過C,D兩點的雙曲線的離心率為____________.15.已知等差數(shù)列滿足,,則的值為________.16.已知是拋物線的焦點,是上一點,的延長線交軸于點.若為的中點,則_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數(shù),.(1)解不等式;(2)若對任意的實數(shù)恒成立,求的取值范圍.18.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點.(1)求橢圓C的標準方程;(2)點P是橢圓上異于短軸端點A,B的任意一點,過點P作軸于Q,線段PQ的中點為M.直線AM與直線交于點N,D為線段BN的中點,設O為坐標原點,試判斷以OD為直徑的圓與點M的位置關系.19.(12分)在直角坐標系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),).以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.(l)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程:(2)若直線與曲線C相交于A,B兩點,且.求直線的方程.20.(12分)已知的圖象在處的切線方程為.(1)求常數(shù)的值;(2)若方程在區(qū)間上有兩個不同的實根,求實數(shù)的值.21.(12分)已知,均為給定的大于1的自然數(shù),設集合,.(Ⅰ)當,時,用列舉法表示集合;(Ⅱ)當時,,且集合滿足下列條件:①對任意,;②.證明:(ⅰ)若,則(集合為集合在集合中的補集);(ⅱ)為一個定值(不必求出此定值);(Ⅲ)設,,,其中,,若,則.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

直線的方程為,令和雙曲線方程聯(lián)立,再由得到兩交點坐標縱坐標關系進行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設.則,且將代入雙曲線方程中,得到設則由,可得,故則,解得則所以雙曲線離心率故選:A【點睛】此題考查雙曲線和直線相交問題,聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標關系和已知條件即可求解,屬于一般性題目.2、B【解析】

將三視圖還原成幾何體,然后分別求出各個面的面積,得到答案.【詳解】由三視圖可得,該幾何體的直觀圖如圖所示,延長交于點,其中,,,所以表面積.故選B項.【點睛】本題考查三視圖還原幾何體,求組合體的表面積,屬于中檔題3、C【解析】

對a進行分類討論,結合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知,.討論:當時,,所以,,所以;當時,,所以,,所以.綜上,或,故選C.【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題,指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解,側重考查數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).4、A【解析】分析:根據(jù)離心率得a,c關系,進而得a,b關系,再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程,得結果.詳解:∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛:已知雙曲線方程x2a25、C【解析】

由可得,故可求的值.【詳解】因為,所以,故,因為正項等比數(shù)列,故,所以,故選C.【點睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.6、D【解析】

根據(jù)對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點;利用導數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過定點,通過數(shù)形結合的方式可確定;利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和,進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為:原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知,直線恒過點當時,在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點的曲線的兩條切線,切點分別為由圖象可知,當時,與有且僅有四個不同的交點設,,則,解得:設,,則,解得:,則本題正確選項:【點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題;解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點,采用數(shù)形結合的方式來進行求解.7、C【解析】

由輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式,結合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項.【詳解】函數(shù),則,將向左平移個單位,可得,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,的對稱中心滿足,解得,所以A、B選項中的對稱中心錯誤;對于C,的對稱軸滿足,解得,所以圖象關于直線對稱;當時,,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,所以在上的最小值為1,所以C正確;對于D,最小正周期為,當,,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,時僅有一個解為,所以D錯誤;綜上可知,正確的為C,故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡,三角函數(shù)圖象平移變換,正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用,屬于中檔題.8、B【解析】

先分別判斷命題真假,再由復合命題的真假性,即可得出結論.【詳解】為真命題;命題是假命題,比如當,或時,則不成立.則,,均為假.故選:B【點睛】本題考查復合命題的真假性,判斷簡單命題的真假是解題的關鍵,屬于基礎題.9、A【解析】

試題分析:由題意可得:.共軛復數(shù)為,故選A.考點:1.復數(shù)的除法運算;2.以及復平面上的點與復數(shù)的關系10、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.11、D【解析】

設,則,小正六邊形的邊長為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為,再利用面積之比可得結論.【詳解】由題意,設,則,即小正六邊形的邊長為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點取自小正六邊形的概率.故選:D.【點睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎知識,考查運算求解能力,屬于基礎題.12、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設拋物線的焦點為F,設點,由拋物線的定義可知,線段AB中點的橫坐標為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質(zhì)的應用,利用拋物線的定義是解題的關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】試題分析:,與的夾角等于與的夾角,所以考點:向量的坐標運算與向量夾角14、2【解析】

根據(jù)為焦點,得;又求得,從而得到離心率.【詳解】為焦點在雙曲線上,則又本題正確結果:【點睛】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題,屬于基礎題.15、11【解析】

由等差數(shù)列的下標和性質(zhì)可得,由即可求出公差,即可求解;【詳解】解:設等差數(shù)列的公差為,,又因為,解得故答案為:【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應用,屬于基礎題.16、【解析】

由題意可得,又由于為的中點,且點在軸上,所以可得點的橫坐標,代入拋物線方程中可求點的縱坐標,從而可求出點的坐標,再利用兩點間的距離公式可求得結果.【詳解】解:因為是拋物線的焦點,所以,設點的坐標為,因為為的中點,而點的橫坐標為0,所以,所以,解得,所以點的坐標為所以,故答案為:【點睛】此題考查拋物線的性質(zhì),中點坐標公式,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】試題分析:(1)將絕對值不等式兩邊平方,化為二次不等式求解.(2)將問題化為分段函數(shù)問題,通過分類討論并根據(jù)恒成立問題的解法求解即可.試題解析:整理得解得①②解得③,且無限趨近于4,綜上的取值范圍是18、(1)(2)點在以為直徑的圓上【解析】

(1)根據(jù)題意列出關于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的標準方程;(2)設點,,則,,求出直線的方程,進而求出點的坐標,再利用中點坐標公式得到點的坐標,下面結合點在橢圓上證出,所以點在以為直徑的圓上.【詳解】(1)由題意可知,,解得,橢圓的標準方程為:.(2)設點,,則,,直線的斜率為,直線的方程為:,令得,,點的坐標為,,點的坐標為,,,,又點,在橢圓上,,,,點在以為直徑的圓上.【點睛】本題主要考查了橢圓方程,考查了中點坐標公式,以及平面向量的基本知識,屬于中檔題.19、(1)見解析(2)【解析】

(1)將消去參數(shù)t可得直線的普通方程,利用x=ρcosθ,可將極坐標方程轉為直角坐標方程.(2)利用直線被圓截得的弦長公式計算可得答案.【詳解】(1)由消去參數(shù)t得(),由得曲線C的直角坐標方程為:(2)由得,圓心為(1,0),半徑為2,圓心到直線的距離為,∴,即,整理得,∵,∴,,,所以直線l的方程為:.【點睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標方程與直角坐標方程之間的互化,考查直線被圓截得的弦長公式的應用,考查分析能力與計算能力,屬于基礎題.20、(1);(2)或.【解析】

(1)求出,由,建立方程求解,即可求出結論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值,做出函數(shù)在的圖象,即可求解.【詳解】(1),由題意知,解得(舍去)或.(2)當時,故方程有根,根為或,+0-0+極大值極小值由表可見,當時,有極小值0.由上表可知的減函數(shù)區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.因為,.由數(shù)形結合可得或.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,應用函數(shù)的圖象是解題的關鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學計算能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)(?。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕?(Ⅲ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)當,時,,,,,,.即可得出.(Ⅱ)(i)當時,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則得出矛盾.(ii)由.可得.又,即可得出為定值.(iii)由設,,,,其中,,,2,,.,可得,通過求和即可證明結論.【詳解】(Ⅰ)解:當,時,,,,,..(Ⅱ)證明:(i)當時,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則,而,與已知對任意,矛盾.因此有.(ii)..,為定值.(iii)由設,,,,其中,,,2,,.,..【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式,考查了推理能力

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