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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,若F到直線的距離為,則E的離心率為()A. B. C. D.3.復(fù)數(shù),若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,則等于()A. B. C. D.4.設(shè)為虛數(shù)單位,為復(fù)數(shù),若為實(shí)數(shù),則()A. B. C. D.5.已知水平放置的△ABC是按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面積是()A. B.2C. D.6.年部分省市將實(shí)行“”的新高考模式,即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒(méi)有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B.C. D.7.圓心為且和軸相切的圓的方程是()A. B.C. D.8.下列選項(xiàng)中,說(shuō)法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件9.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要10.已知函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.11.是定義在上的增函數(shù),且滿足:的導(dǎo)函數(shù)存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.12.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過(guò)的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn),且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為橢圓在第一象限上的點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_______.14.已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2,則的值為_(kāi)_15.已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,,,,則的面積為_(kāi)_________.16.已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上,且,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若,,,求證:.18.(12分)如圖,在三棱錐中,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,平面,平面平面,為銳角三角形,求證:(1)是的中點(diǎn);(2)平面平面.19.(12分)設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)直線(為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為,若.(1)證明:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)是否存在常數(shù),滿足?并說(shuō)明理由.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最小值;(2)設(shè)數(shù)列,其前項(xiàng)和為,證明:.21.(12分)已知函數(shù)(),且只有一個(gè)零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)若,且,證明:.22.(10分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.(1)求的大??;(2)若,求面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
由已知可得到直線的傾斜角為,有,再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為,得直線的傾斜角為,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的問(wèn)題,一般求橢圓離心率的問(wèn)題時(shí),通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式,本題是一道容易題.3、A【解析】
先通過(guò)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,得到,再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,且復(fù)數(shù),所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
可設(shè),將化簡(jiǎn),得到,由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù),可得,解方程即可求解【詳解】設(shè),則.由題意有,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、除法運(yùn)算,由復(fù)數(shù)的類型求解對(duì)應(yīng)參數(shù),屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】
先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO=,再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測(cè)畫法的定義和三角形面積的計(jì)算,意在考察學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.7、A【解析】
求出所求圓的半徑,可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為,因此,所求圓的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解,一般求出圓的圓心和半徑,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對(duì)于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項(xiàng)B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項(xiàng)D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡(jiǎn)單題.9、B【解析】
利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系,即可得出?!驹斀狻吭O(shè)對(duì)應(yīng)的集合是,由解得且對(duì)應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B?!军c(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。10、D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?,所以為上的偶函?shù),因?yàn)楹瘮?shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)?,所以,且,解?故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷,考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11、D【解析】
根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得,構(gòu)建新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù),從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù),故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數(shù),所以即,整理得到.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,一般地,數(shù)的大小比較,可根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù),本題屬于中檔題.12、B【解析】
先求出直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得A,B的縱坐標(biāo),利用,求出a,b的關(guān)系,即可求出該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線1(a>b>0)的漸近線方程為y=±x,∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,∴kl,∴直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得y或y,∵,∴2?,∴ab,∴c=2b,∴e.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查向量知識(shí),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用橢圓的參數(shù)方程,將所求代數(shù)式的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問(wèn)題,利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì),以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值,即可得到所求最小值.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),,其中,,由,,,可設(shè),導(dǎo)數(shù)為,由,可得,可得或,由,,可得,即,可得,由可得函數(shù)遞減;由,可得函數(shù)遞增,可得時(shí),函數(shù)取得最小值,且為,則的最小值為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用,利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法,考查化簡(jiǎn)變形能力和運(yùn)算能力,屬于難題.14、1【解析】
根據(jù)弦長(zhǎng)為半徑的兩倍,得直線經(jīng)過(guò)圓心,將圓心坐標(biāo)代入直線方程可解得.【詳解】解:圓的圓心為(1,1),半徑,
因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為2,
所以直線經(jīng)過(guò)圓心(1,1),
,解得.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì),屬基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)題意,利用余弦定理求得,再運(yùn)用三角形的面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于,,,∵,∴,,由余弦定理得,解得,∴的面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式,考查計(jì)算能力.16、【解析】由題意可得,該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為,由題意可得:,據(jù)此可得:,則球的表面積:,結(jié)合解得:.點(diǎn)睛:與球有關(guān)的組合體問(wèn)題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)分、、三種情況解不等式,即可得出該不等式的解集;(2)利用分析法可知,要證,即證,只需證明即可,因式分解后,判斷差值符號(hào)即可,由此證明出所證不等式成立.【詳解】(1).當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不成立;當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí).綜上所述,不等式的解集為;(2)要證,即證,因?yàn)椋?,所以,,?所以,.故所證不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解,同時(shí)也考查了利用分析法和作差法證明不等式,考查分類討論思想以及推理能力,屬于中等題.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;【解析】
(1)推導(dǎo)出,由是的中點(diǎn),能證明是有中點(diǎn).(2)作于點(diǎn),推導(dǎo)出平面,從而,由,能證明平面,由此能證明平面平面.【詳解】證明:(1)在三棱錐中,平面,平面平面,平面,,在中,是的中點(diǎn),是有中點(diǎn).(2)在三棱錐中,是銳角三角形,在中,可作于點(diǎn),平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,,,平面,平面,平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的證明,考查面面垂直的證明,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.19、(1)證明見(jiàn)解析(0,2);(2)存在,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程,利用OA⊥OB,求出b,即可知直線過(guò)定點(diǎn)(2)由斜率公式分別求出,,聯(lián)立直線與拋物線,橢圓,再由根與系數(shù)的關(guān)系得,,,代入,,化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】(1)證明:由題知,直線l的斜率存在且不過(guò)原點(diǎn),故設(shè)由可得,.,,故所以直線l的方程為故直線l恒過(guò)定點(diǎn).(2)由(1)知設(shè)由可得,,即存在常數(shù)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系,直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.20、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1),分,,三種情況推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到證明.【詳解】(1)由,得.當(dāng)時(shí),方程的,因此在區(qū)間上恒為負(fù)數(shù).所以時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立;當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不等實(shí)根,且滿足,所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零,函數(shù)在區(qū)間上單增,又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零,不滿足題意;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù),所以在區(qū)間上恒為正數(shù),不滿足題意;綜上可知:若時(shí),不等式恒成立,的最小值為.(2)由第(1)知:若時(shí),.若,則,即成立.將換成,得成立,即,以此類推,得,,上述各式相加,得,又,所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問(wèn)題、證明數(shù)列不等式問(wèn)題,考查學(xué)生的邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)計(jì)算能力,是一道難題.21、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求導(dǎo)可得在上,在上,所以函數(shù)在時(shí),取最小值,由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),觀察可知?jiǎng)t有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得,由,可知,因?yàn)闀r(shí),為增函數(shù),即可得證得結(jié)論.【詳解】(1)().因?yàn)?,所以,令得,,且,,在上;在上;所以函?shù)在時(shí),取最小值,當(dāng)最小值為0時(shí),函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),易得,所以,解得.(2)由(1)得,函數(shù),設(shè)(),則,設(shè)(),則,,所以為減函數(shù),所以,即,所以,即,又,所以,又當(dāng)時(shí),為增函數(shù),所以,即.【點(diǎn)睛】
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