河北省滄州市運(yùn)東四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期高二年級(jí)期中考試試卷數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第三冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，從集合A中選一個(gè)元素作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從集合B中選一個(gè)元素作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，若點(diǎn)P落在第三或第四象限，則滿足條件的點(diǎn)P有（）A.8個(gè) B.10個(gè) C.12個(gè) D.16個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在第三或第四象限，所以縱坐標(biāo)只能選集合B中的負(fù)數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，橫坐標(biāo)有4種選法，縱坐標(biāo)有3種選法，則滿足條件的點(diǎn)P共有個(gè)．故選：C．2.根據(jù)3對(duì)數(shù)據(jù)，，繪制的散點(diǎn)圖知，樣本點(diǎn)呈直線趨勢(shì)，且線性回歸方程為，則（）A.10 B.9 C.8 D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由已知，得，，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得．故選：A．3.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為（，2，3），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用離散型隨機(jī)變量X的分布列的概率之和為1，代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：B．4.從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，記“第一次取到的是偶數(shù)”為事件A，“第二次取到的是奇數(shù)”為事件B，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)實(shí)際情況縮小樣本空間，利用古典概型求概率公式得到條件概率【詳解】在事件A發(fā)生后，只有9個(gè)數(shù)字，其中有5個(gè)奇數(shù)，所以．故選：C．5.甲、乙兩人要在一排7個(gè)空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有（）A.6種 B.12種 C.15種 D.30種【答案】B【解析】【分析】采用插空法即可得答案.【詳解】一排共有7個(gè)座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有5個(gè)空座.要求每人左右均有空座，在5個(gè)空座的中間4個(gè)空中插入2個(gè)座位讓兩人就坐，即有種坐法.故選：B.6.已知隨機(jī)變量，若，，則（）A.15 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由隨機(jī)變量的期望和方差公式解方程組計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以，所以．故選：A．7.在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A.252 B.210 C.126 D.120【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，所以的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．故選：B．8.將字母放入的表格中，每個(gè)格子各放一個(gè)字母，若共有行字母相同，則得分，則所得分?jǐn)?shù)的均值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出隨機(jī)變量的可能取值，再結(jié)合排列、組合及古典摡型的概率求得各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，利用期望的公式，即可求解.【詳解】字母放入的表格中的不同結(jié)果有種，隨機(jī)變量的可能的取值為，可得，則，所以隨機(jī)變量的期望為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)為，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若相關(guān)系數(shù)，則兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)B.相關(guān)系數(shù)r的值越小，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱C.決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好D.決定系數(shù)越小，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念可判定AB，根據(jù)決定系數(shù)的概念可判定CD.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閞的符號(hào)反映相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性，故A正確；對(duì)于B：根據(jù)相關(guān)系數(shù)越接近1，變量相關(guān)性越強(qiáng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，效果越好，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．10.隨機(jī)地向4個(gè)器皿內(nèi)投放4種不同的食物給4只狗仔喂食，設(shè)所投放的食物均落在器皿內(nèi)，隨機(jī)變量X為空器皿個(gè)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.隨機(jī)變量X取值為1，2，3 B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，結(jié)合排列組合求解個(gè)數(shù)，即可求解分布列，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】由題意得隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，故A錯(cuò)誤；則，，故B錯(cuò)誤，C正確；又，，所以．故D正確．故選：CD．11.甲盒中裝有3個(gè)藍(lán)球、2個(gè)黃球，乙盒中裝有2個(gè)藍(lán)球、3個(gè)黃球，同時(shí)從甲、乙兩盒中取出個(gè)球交換，分別記交換后甲、乙兩個(gè)盒子中藍(lán)球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】按分別求出的分布列及期望，即可逐項(xiàng)判斷得解.【詳解】X表示交換后甲盒子中的藍(lán)球數(shù)，Y表示交換后乙盒子中的藍(lán)球數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，則，，AB正確；當(dāng)時(shí)，，，，，，因此，，C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.方程（且）的解為_(kāi)__________．【答案】2或4【解析】【分析】結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)運(yùn)算即可得.【詳解】由題意，可知，則，所以或.故答案為：2或4.13.某工廠生產(chǎn)的袋裝食鹽的質(zhì)量服從正態(tài)分布（質(zhì)量單位：g）．檢驗(yàn)員根據(jù)質(zhì)量將產(chǎn)品分為合格品和不合格品，其中的食鹽為合格品，其他為不合格品，要使不合格率小于4.55%，則σ的最大值為_(kāi)_____．（若，則【答案】2【解析】【分析】由正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì)求解即可.【詳解】由正態(tài)分布性質(zhì)可知，要使不合格率小于4.55%，則合格率不低于，由得，，由題意可知，解得，故的最大值為．故答案為：.14.“算兩次”是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也稱做富比尼（G.Fubini）原理．“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來(lái)”（波利亞著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》第一卷），即將一個(gè)量“算兩次”．由等式，，，利用“算兩次”原理可得______．（結(jié)果用組合數(shù)表示）【答案】【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的系數(shù)結(jié)合題意計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，因此是展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)，而的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，所以．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知二項(xiàng)式且為常數(shù)的展開(kāi)式中第7項(xiàng)是常數(shù).（1）求的值；（2）若該二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，求展開(kāi)式中的系數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值；（2）先利用題給條件求得a的值，進(jìn)而即可求得展開(kāi)式中的系數(shù).【小問(wèn)1詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第7項(xiàng)為，由題意得，解得.【小問(wèn)2詳解】令，得，所以或，解得，或（舍去）.該二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，解得，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.16.晚會(huì)上共有7個(gè)節(jié)目，其中有4個(gè)不同的歌唱節(jié)目，2個(gè)不同的舞蹈節(jié)目和1個(gè)相聲節(jié)目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節(jié)目單.（1）其中舞蹈節(jié)目第一個(gè)出場(chǎng)，相聲節(jié)目不能最后一個(gè)出場(chǎng)；（2）2個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰；（3）前3個(gè)節(jié)目中既要有歌唱節(jié)目又要有舞蹈節(jié)目.【答案】（1）1200（2）3600（3）3456【解析】【分析】（1）采用分步計(jì)數(shù)原理，特殊元素先排計(jì)算出結(jié)果即可；（2）采用分步計(jì)數(shù)原理，特殊元素先排，再用插空法即可；（3）先分三類(lèi)，一種為1個(gè)歌唱節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目；另外一種為2個(gè)歌唱節(jié)目，1個(gè)舞蹈節(jié)目；最后一種為歌唱節(jié)目，舞蹈節(jié)目?相聲節(jié)目各1個(gè)；再分步計(jì)算，最后求和即可.【小問(wèn)1詳解】按特殊位置或特殊元素優(yōu)先安排的原則分3步：先排第1個(gè)節(jié)目，有種安排方法，再排最后一個(gè)節(jié)目，可以從余下的5個(gè)非相聲節(jié)目中選一個(gè)排在最后，有種排法，最后余下的節(jié)目隨便排，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得共有種排法.【小問(wèn)2詳解】先排非舞蹈節(jié)目，有種排法，將2個(gè)舞蹈節(jié)目插到6個(gè)空中，有種排法，故種排法.【小問(wèn)3詳解】前3個(gè)節(jié)目共三種情況：一種為1個(gè)歌唱節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目，有種排法，另外一種為2個(gè)歌唱節(jié)目，1個(gè)舞蹈節(jié)目，有種排法，最后一種歌唱節(jié)目，舞蹈節(jié)目?相聲節(jié)目各1個(gè)，有種排法，故共有種排法.17.某校對(duì)學(xué)生餐廳就餐環(huán)境、菜品種類(lèi)與質(zhì)量等方面進(jìn)行了改造與提升，隨機(jī)抽取100名男生與100名女生對(duì)就餐滿意度進(jìn)行問(wèn)卷評(píng)分（滿分100分）調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：男生：評(píng)分分組70分以下人數(shù)3273832女生：評(píng)分分組70分以下頻數(shù)5353426學(xué)校規(guī)定：評(píng)分大于或等于80分為滿意，小于80分為不滿意．（1）由以上數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷學(xué)生的就餐滿意度與性別是否有關(guān)聯(lián)？滿意不滿意總計(jì)男生女生總計(jì)（2）從男生、女生中評(píng)分在70分以下的學(xué)生中任意選取3人座談?wù){(diào)研，記X為3人中男生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．α0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）表格見(jiàn)解析，無(wú)關(guān)聯(lián)；（2）分布列見(jiàn)解析，．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得列聯(lián)表，計(jì)算，由獨(dú)立性檢驗(yàn)可得結(jié)果；（2）依題意X服從超幾何分布，求出其概率得分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義可得結(jié)果.小問(wèn)1詳解】由題意得列聯(lián)表為：滿意不滿意總計(jì)男生7030100女生6040100總計(jì)13070200零假設(shè)為：學(xué)生對(duì)就餐滿意與性別無(wú)關(guān)聯(lián)，，根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，故可以認(rèn)為成立，即學(xué)生對(duì)就餐滿意度與性別無(wú)關(guān)聯(lián)．【小問(wèn)2詳解】X的所有可能取值為0，1，2，3，X服從超幾何分布，則（，1，2，3）．即，，，，所以X的分布列為X0123P則．18.2023年全國(guó)競(jìng)走大獎(jiǎng)賽（第1站）暨世錦賽及亞運(yùn)會(huì)選拔賽3月4日在安徽黃山開(kāi)賽．重慶隊(duì)的賀相紅以2小時(shí)22分55秒的成績(jī)打破男子35公里競(jìng)走亞洲紀(jì)錄．某田徑協(xié)會(huì)組織開(kāi)展競(jìng)走的步長(zhǎng)和步頻之間的關(guān)系的課題研究，得到相應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：步頻（單位：）0.280.290.300.310.32步長(zhǎng)（單位：909599103117）（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到步頻和步長(zhǎng)近似為線性相關(guān)關(guān)系，求出關(guān)于的回歸直線方程，并利用回歸方程預(yù)測(cè)，當(dāng)步長(zhǎng)為時(shí)，步頻約是多少？（2）記，其中為觀測(cè)值，為預(yù)測(cè)值，為對(duì)應(yīng)的殘差，求（1）中步長(zhǎng)的殘差的和，并探究這個(gè)結(jié)果是否對(duì)任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量都成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：，．【答案】（1），0.27秒，；（2）成立，證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得回歸方程的系數(shù)，即可得回歸方程，將代入回歸方程，即可得到答案；（2）結(jié)合題中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，可求得步長(zhǎng)的殘差和，從而可得結(jié)論，結(jié)合回歸方程系數(shù)的計(jì)算公式即可證明.?！拘?wèn)1詳解】，，，，所以回歸直線方程為，將代入得，解得，所以當(dāng)步長(zhǎng)為時(shí)，步頻約是0.27秒．【小問(wèn)2詳解】根據(jù)（1）得到，；，；，；，；，，所以，即步長(zhǎng)殘差和為0．對(duì)任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量都成立，證明如下：．19.我們學(xué)過(guò)二項(xiàng)分布，超幾何分布，正態(tài)分布等概率分布模型.概率論中還有一種離散概率分布，設(shè)一組獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，將試驗(yàn)進(jìn)行至事件發(fā)生次為止，用表示試驗(yàn)次數(shù)，則服從負(fù)二項(xiàng)分布（也稱帕斯卡分布），記作.為改善人口結(jié)構(gòu)，落實(shí)積極應(yīng)對(duì)人口老齡化國(guó)家戰(zhàn)略，保持中國(guó)的人口資源優(yōu)勢(shì)，我國(guó)自2021年5月31日起實(shí)施三胎政策.政策實(shí)施以來(lái)，某市的人口出生率得到了一