貴州省貴陽市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期適應(yīng)性考試 (二)數(shù)學(xué)試題（解析版）

貴陽市2024年高三年級(jí)適應(yīng)性考試（二）數(shù)學(xué)2024年5月本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將姓名?報(bào)名號(hào)用鋼筆填寫在答題卡相應(yīng)位置上.2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.請(qǐng)保持答題卡平整，不能折疊考試結(jié)束后，監(jiān)考老師將試題卷?答題卡一并收回.第I卷（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合滿足，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的含義即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得.故選：A.2.已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】借助向量坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.【詳解】，，由，則有，解得.故選：D.3.拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)間的距離是10，則到軸的距離是（）A.4 B.6 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】借助拋物線定義計(jì)算即可得.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，由拋物線定義可得，故，則，即到軸的距離為.故選：B.4.方程在內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，整體替換得到方程的根；【詳解】由題意，，即，可得或，解得或又因?yàn)?，所以，故選：D.5.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.121 B.63 C.40 D.31【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)求得，進(jìn)而利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再利用等比數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則有，得，又由，則，解得，故，則.故選：A.6.某汽修廠倉(cāng)庫(kù)里有兩批同種規(guī)格的輪胎，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為.現(xiàn)從倉(cāng)庫(kù)中任抽取1個(gè)輪胎，則這個(gè)輪胎是合格品的概率是（）A.0.046 B.0.90 C.0.952 D.0.954【答案】D【解析】【分析】借助全概率公式計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)事件為抽中第一批，事件為抽中合格品，則.故選：D.7.在鈍角中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理、兩角差的正弦公式和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由正弦定理得，所以，因?yàn)殁g角中，，當(dāng)為銳角時(shí)，，得，則，所以，則，所以；當(dāng)為鈍角時(shí)，，得，則，所以，則，所以；綜上：．故選：C.8.當(dāng)時(shí)，恒成立，則整數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先說明時(shí)不等式對(duì)恒成立，再說明時(shí)不等式對(duì)不成立，即可說明整數(shù)的最大值為.【詳解】若，則對(duì)任意，由，知，故原不等式對(duì)x>1恒成立；若，則由，知，故原不等式對(duì)不成立.所以整數(shù)的最大值為.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，在命題“，，且__________．則”中的橫線處填入下列四組條件中的一組，使該命題為真命題，則可以填入的條件有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】作出相應(yīng)圖形，再由線面平行、面面平行的性質(zhì)和線線平行判定判斷求解．【詳解】解：A．如圖：，，，，，利用面面平行的性質(zhì)可知：，故A正確，符合題意；B．，，，，如下圖：或與是異面直線，故B錯(cuò)誤，不符合題意；C．，，，，如下圖：因?yàn)?，，，，故正確，符合題意；D．，，，，如下圖：，，，，故D正確，符合題意．故選：ACD．10.設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.數(shù)列的前項(xiàng)和C.數(shù)列的通項(xiàng)公式為 D.數(shù)列為等比數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】由條件找到，結(jié)合等比數(shù)列定義即可得A、B；由的通項(xiàng)公式可求得的通項(xiàng)公式，即可得C、D.【詳解】對(duì)A、B：，，又，數(shù)列是首項(xiàng)公比都為的等比數(shù)列，故，即，故A、B正確；對(duì)C、D：當(dāng)，，當(dāng)，，，故C錯(cuò)誤.，，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（）A.雙曲線的離心率B.為定值C.AB的最小值為3D.若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則【答案】ABD【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離求出，可求出離心率，判斷A，利用點(diǎn)到線距離結(jié)合在雙曲線上證明為定值判斷B，聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)求出的距離的最小值判斷C，對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)、，則，由，兩式相加和兩式相減化簡(jiǎn)可得，，從而得到，可判斷D.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，圓與漸近線相切，則，即，所以，則，故A正確；由A選項(xiàng)可得雙曲線的兩條漸近線方程為，設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到兩漸近線的距離，，所以為定值，故B正確；過與漸近線垂直的方程分別與漸近線組成方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，，解得交點(diǎn)，同理得，因?yàn)闉殡p曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)、，則，又、在雙曲線的兩條漸近線上，則，兩式相減可得，即，兩式相加可得，即，又，，所以，故D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為__________．【答案】32【解析】【分析】代入可求出所有項(xiàng)的系數(shù)和．【詳解】解：令，得，所以所有項(xiàng)系數(shù)和為32．故答案為：32．13.函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性可得函數(shù)的周期性，再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則有，，故，即，即有，故函數(shù)周期為，故，由，則有，即，故.故答案為：.14.在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為1的小球，搖晃容器使得小球在容器內(nèi)朝著任意方向自由運(yùn)動(dòng)，則小球不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積為__________.【答案】【解析】【分析】由題意，小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近便得切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為，故小三角形的邊長(zhǎng)為，做出面積相減，即可得到結(jié)果.【詳解】如圖：考慮小球O即在正四面體的一個(gè)角上時(shí)，做平面平面，為平面的中心，則.因?yàn)榭傻茫?.由題意，考慮小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近便得切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，因?yàn)?，平分，所以?因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為，故小三角形的邊長(zhǎng)為，小球與一個(gè)面不能接觸到的部分的面積為：.所以幾何體的四個(gè)面永遠(yuǎn)不可能接觸到容器的內(nèi)壁的面積是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，小球在面上最靠近便得切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，進(jìn)而求面積即可.四?解答題：共5個(gè)小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性：（2）當(dāng)時(shí)，直線是否為曲線的一條切線？試說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）是，理由見解析【解析】【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)后分類討論即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，可得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】直線是曲線的一條切線，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)，則有，若直線是曲線的一條切線，則有，解得，此時(shí)有，即直線是曲線的一條切線.16.由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，且【解析】【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，即可得線面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可用未知數(shù)表示出直線與平面所成的角的正弦值，計(jì)算即可得解.【小問1詳解】連接、，由分別為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，故平面，正四棱臺(tái)中，且，則四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；【小問2詳解】正四棱臺(tái)中，上下底面中心的連線底面，底面為正方形，故，故可以為原點(diǎn)，、、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，側(cè)面與底面所成角為，則，則，，，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)滿足題設(shè)，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x則，令，則，，即，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，故，解得或（舍），故，故線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，此時(shí)線段的長(zhǎng)為.17.某工生產(chǎn)某電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵接線環(huán)節(jié)需要焊接，焊接是否成功將直接導(dǎo)致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，工廠經(jīng)過大量后期出廣檢測(cè)發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的某性能指標(biāo)有明顯差異，統(tǒng)計(jì)得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值k，將該指標(biāo)大于k的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于k的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯(cuò)檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏檢率時(shí)，求臨界值和錯(cuò)檢率；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式．【答案】（1），錯(cuò)檢率；（2）【解析】【分析】（1）由求出臨界值的值，進(jìn)而求出錯(cuò)檢率；（2）分和兩種情況討論，結(jié)合頻率分布直方圖求出．【小問1詳解】依題可知，第一個(gè)圖形中第一個(gè)小矩形面積為，所以，所以，解得臨界值，于是錯(cuò)檢率；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，故．18.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是.直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，且相交于橢圓的上頂點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的值；（3）設(shè)直線分別與橢圓另交于兩點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)，利用對(duì)稱關(guān)系列方程組求的值；（3）通過聯(lián)立方程組求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，求直線的方程，根據(jù)方程確定所過定點(diǎn).【小問1詳解】直線與軸相交于點(diǎn)，則橢圓的上頂點(diǎn)為0,1，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，又半焦距，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)Bx,y是上任意異于點(diǎn)是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，所以由得，由得，聯(lián)立①、②，解得，代入直線得．又由點(diǎn)，直線上可得，故，所以，由得，故的值為1；【小問3詳解】設(shè)Px1,聯(lián)立直線與橢圓：，得，所以，同理，，又由（2）：，所以也可表示為，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，所以對(duì)任意的，總會(huì)過點(diǎn)．故直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.在復(fù)數(shù)集中有這樣一類復(fù)數(shù)：與，我們把它們互稱為共軛復(fù)數(shù)，時(shí)它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，這是共軛復(fù)數(shù)的特點(diǎn).它們還有如下性質(zhì)：（1）（2）（當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)）（3）（4）（5）.（6）兩個(gè)復(fù)數(shù)和?差?積?商（分