遼寧省沈陽市重點(diǎn)聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-遼寧省沈陽市重點(diǎn)聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）第I卷（選擇題60分）一、單項選擇題：（本大題共8小題：每小題5分，共40分）1.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿意，則=（）A.-1+2i B.-1-2i C.1-2i D.1+2i【答案】A【解析】【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【詳解】由，得z＝，∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用配角得，再利用兩角差的余弦公式，即可得答案；【詳解】，，，，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦公式，考查運(yùn)算求解實(shí)力，求解時留意角的配湊.3.一個圓錐的母線長為，母線與軸的夾角為，則該圓錐側(cè)面綻開圖的圓心角大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知條件得究竟面圓的半徑，再利用求圓心角的公式代入即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)半徑為，由母線長為，母線與軸的夾角為，得：，則底面圓的周長為：，所以該圓錐側(cè)面綻開圖的圓心角大小為：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長公式.屬于較易題.4.函數(shù)其中的圖象如圖所示，為了得到圖象，則只需將的圖象()A.向右平移個長度單位 B.向左平移個長度單位C.向右平移個長度單位 D.向左平移個長度單位【答案】D【解析】【分析】由題意，三角函數(shù)的圖象，分別求得的值，得到函數(shù)，再根圖象的變換，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，三角函數(shù)的圖象可知，且，即又由，解得，即，又由，解得，即，又由，所以，即，又函數(shù)向左平移個長度單位，即可得到，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中依據(jù)函數(shù)的圖象，正確求解函數(shù)的解析式，合理利用三角函數(shù)的圖象變換求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．5.正四面體的棱長為4，則它的外接球的表面積為（）A.12π B.24π C.48π D.96π【答案】B【解析】【分析】求出外接球半徑后可得表面積．【詳解】如圖正四面體棱長為4，平面于，則是中心，，平面，平面，則，，設(shè)外接球球心為，則在，則為外接半徑，由得，解得，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，解題關(guān)鍵是駕馭正四面體的性質(zhì)，駕馭正四面體與外接球的關(guān)系，求出球的半徑．6.在等腰梯形中，，，.將等腰梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】推斷旋轉(zhuǎn)后的幾何體的形態(tài)，然后求幾何體的體積.【詳解】由題意可知旋轉(zhuǎn)后的幾何體如圖：將等腰梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為圓柱的體積減去兩個相同圓錐的體積.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了求旋轉(zhuǎn)體的體積以及柱體、錐體的體積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7.在中，角，B，所對邊分別為，，，已知，，為使此三角形有兩個，則滿意的條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】為使此三角形有兩個，只需滿意bsinA＜a＜b，即可求a范圍．【詳解】為使此三角形有兩個，即bsinA＜a＜b，∴2×＜a＜2，解得：3＜a＜2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形解的狀況，考查特別角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知可得,進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式化簡所求即可計算得解.【詳解】，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，求解時留意視察角的特點(diǎn)，再進(jìn)行配湊.二、多項選擇題：（本大題共4小題：每小題5分，共20分，漏選得3分，錯選0分）9.下面關(guān)于敘述中正確的是（）A.關(guān)于點(diǎn)對稱 B.關(guān)于直線對稱C.在區(qū)間上單調(diào) D.為函數(shù)的零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】對于選項A：干脆代入即可推斷；對于選項B：代入檢驗是否為最值即可推斷；對于選項C：求出單調(diào)增區(qū)間即可推斷；對于選項D：干脆代入即可推斷.【詳解】對于選項A：，選項A正確；對于選項B：，不是最值，選項B錯誤；對于選項C：，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，則選項C正確.對于選項D：，則選項D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要對函數(shù)的對稱軸，對稱中心，單調(diào)性以及零點(diǎn)進(jìn)行了考查.屬于中檔題.10.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，下列命題中真命題的是（）A.若，，，，則；B.若，，則；C.若，，，則；D.若，，則.【答案】AD【解析】【分析】考慮、相交，運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理，推得，即可推斷A；由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面的位置關(guān)系，可推斷B；由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理，以及線線的位置關(guān)系可推斷C；由線面垂直和面面垂直的判定定理，即可推斷D．【詳解】、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，若，，，，，則，正確．反之若，由，，由線面平行的性質(zhì)定理可得，同樣由，，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，這與沖突，故A正確；若，，由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面的位置關(guān)系可得或，故B錯誤；若，，可得或，又，則，平行或相交或異面，故C錯誤；若，，可得，又，則，故D正確．故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，主要是平行、垂直的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，考查空間想象實(shí)力和推理實(shí)力，屬于中檔題．11.正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為，則下列敘述正確的是（）A.正三棱錐高為3. B.正三棱錐的斜高為C.正三棱錐的體積為 D.正三棱錐側(cè)面積為【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)題意畫出圖象，取的中心為，連接，先得出面，再求出，可得正三棱錐高；利用三角形的面積公式求出的面積，利用體積公式求出正三棱錐的體積；作交于，求出正三棱錐的斜高；再利用面積公式求正三棱錐側(cè)面積即可.【詳解】取的中心為，連接，由題意得：面，又等邊三角形，則，所以正三棱錐高為：，，所以正三棱錐的體積為：，作交于，又，則正三棱錐的斜高為，所以正三棱錐的側(cè)面積為：.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正三棱錐的高，斜高，側(cè)面積和體積的問題.屬于中檔題.12.己知函數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線軸對稱 B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于直線軸對稱 D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】，畫出其圖象，然后逐一推斷即可.【詳解】，其圖象如下所示：由圖可知，圖象關(guān)于直線對稱，故A錯誤，C正確；在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；的最大值為，的最小值為，故D正確故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)學(xué)問的駕馭狀況，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題90分）三、填空題：（本大題共4小題：每小題5分，共20分）13.函數(shù)的對稱中心為__________________．【答案】【解析】【分析】本題可以依據(jù)正切函數(shù)的對稱中心來推導(dǎo)出函數(shù)的對稱中心．【詳解】正切函數(shù)的對稱中心橫坐標(biāo)為，所以函數(shù)的對稱中心橫坐標(biāo)為，化簡得故對稱中心為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，考查正切函數(shù)的對稱中心，考查計算實(shí)力，正切函數(shù)的對稱中心為14.已知復(fù)數(shù)z滿意等式，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心，半徑為的圓，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可求出的最大值為圓心到點(diǎn)的距離加．【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心，半徑為的圓，如圖所示：則的最大值為圓心到點(diǎn)的距離加，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是____________.【答案】【解析】【分析】不等式變形為，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】原不等式可化為，∴．．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查解三角不等式，把不等式化為或后，可結(jié)合三角函數(shù)圖象、性質(zhì)得出結(jié)論．16.設(shè)函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的全部零點(diǎn)的和為__________.【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，然后作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象，利用對稱性可求得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)之和.【詳解】由于函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象共有個交點(diǎn)，且有對關(guān)于直線對稱，因此，函數(shù)在區(qū)間上的全部零點(diǎn)的和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)之和求解，解題時要結(jié)合圖形得出函數(shù)圖象的對稱性，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.四、解答題：(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.已知.（1）若，求向量在向量方向的投影的數(shù)量.（2）若，且，求向量的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）由題可知，，再由可得，依據(jù)投影的概念求出即得解；（2）設(shè)，依據(jù)以及可列兩個方程，即可解出．【詳解】（1）因為，所以．由綻開得，，即，解得，故向量在向量方向的投影的數(shù)量為．（2）因為，所以，設(shè)，則，解得或，故向量的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面數(shù)量積的運(yùn)算，投影的計算，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．18.已知角終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由正切函數(shù)定義求出，，，用誘導(dǎo)公式化簡后可得；（2）用兩角和的正切公式計算；（3）用兩角和的正弦、余弦公式變形后代入的值即得．【詳解】（1）∵終邊過點(diǎn)，∴，，，；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，考查兩角和的正切、正弦、余弦公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是駕馭三角函數(shù)的公式，依據(jù)不同的條件選用相應(yīng)公式計算．19.如圖在四棱錐中，面ABCD，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD上一點(diǎn).（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面FAE；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）證明與垂直，由線面垂直的判定定理得證；（2）先證明與平面垂直，即可得證面面垂直．【詳解】（1）∵是菱形，∴，又面ABCD，面ABCD，∴，而，面，面，∴BD⊥平面PAC；（2）∵是菱形，，∴是等邊三角形，又為中點(diǎn)，∴，而，∴，又面ABCD，面ABCD，∴，而，面，面，∴⊥平面PAB，又平面，∴平面PAB⊥平面FAE．【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直和面面垂直的證明，駕馭線面垂直與面面垂直的判定定理是解題關(guān)鍵．20.如圖已知四棱錐A-BCC1B1底面為矩形，側(cè)面ABC為等邊三角形，且矩形BCC1B1與三角形ABC所在的平面相互垂直，BC=4，BB1=2，D為AC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)D到平面ABC1的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，交于，連接，利用已知條件可得，由線面平行的判定定理即可得證；（2）先利用面面垂直得面，再利用求距離即可.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，由矩形可知為的中點(diǎn)，又D為AC的中點(diǎn)，則，平面，平面，所以平面；（2）由題意得：面面，又面，面面，所以面，則，又，所以，又，則的高為，所以，又，則，設(shè)點(diǎn)D到平面ABC1的距離為，則，故，所以點(diǎn)D到平面ABC1的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定定理以及利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.屬于中檔題.21.△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.【答案】(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，依據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點(diǎn)睛:在處理解三角形問題時，要留意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以運(yùn)用面積公式建立等式，再將全部邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求詳細(xì)的值干脆利用余弦定理和給定條件即可.22.已知向量，