2022年上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷

第頁2022年上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷1、已知直線l1//l2//l3//l4，相鄰的兩條平行線間的距離均為A.23 B.34 C.43 2、如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ACB的角平分線分別與AB、BD交于M，N兩點，若AM=2，則線段ONA.2B.3C.1D.63、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O0,0，A(0,4)，B(3,0)為頂點的Rt△AOB，其兩個銳角對應(yīng)的外角的平分線相交于點P，且點P恰好在反比例函數(shù)y=A.36 B.48 C.49 D.644、如圖，一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)選擇一條路徑，則它獲取食物的概率是（

）．A.23 B.13 C.34 5、如圖，已知△ABC，AB=BC，以AB為直徑的圓交AC于點D，過點D的⊙O的切線交BC于點E．若CD=5，CE=4，則⊙OA.3 B.4 C.256 D.6、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①2a+b=0；②a+c>b；③拋物線與x軸的另一個交點為(3,0)A.①② B.①④ C.②④ D.③④7、如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左端時，底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為

米．8、如圖1，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，沿B→C→A勻速運動到點A，圖2是點P運動時，線段BP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象，其中M是曲線部分的最低點，則△ABC的面積是

9、如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連接BM10、如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為

11、如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB=6，AD=5，則AE的長為

12、如圖，已知正方形ABCD的頂點A.B在⊙O上，頂點C.D在⊙O內(nèi)，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在⊙O上．若正方形ABCD的邊長和⊙O的半徑均為6cm，則點D運動的路徑長為

cm13、甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車從A地到B地，乙駕車從B地到A地，他們分別以不同的速度勻速行駛，已知甲先出發(fā)6分鐘后，乙才出發(fā)，在整個過程中，甲、乙兩人的距離y（千米）與甲出發(fā)的時間x（分）之間的關(guān)系如圖所示，當(dāng)乙到達(dá)終點A時，甲還需

分鐘到達(dá)終點B．14、如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E在線段BO上，連接AE，若CD=2BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，則線段AE15、如圖，已知點C與某建筑物底端B相距306米（點C與點B在同一水平面上），某同學(xué)從點C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡頂D處，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1:2.4，在D處測得該建筑物頂端A的俯視角為20°，則建筑物AB的高度約為（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin?20°≈0.342，cos?20°≈0.940，tan?20°≈0.364）

16、圖①是由若干個小圓圈堆成的一個形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了n層．將圖①倒置后與原圖①拼成圖②的形狀，這樣我們可以算出圖①中所有圓圈的個數(shù)為1+2+3+?+n=n(n+1)2．如果圖③和圖④中的圓圈都有(1)我們自上往下，在圖③的每個圓圈中填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，?，則最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是

．(2)我們自上往下，在圖④的每個圓圈中填上一串連續(xù)的整數(shù)?23，?22，?21，?20，?，則最底層最右邊這個圓圈中的數(shù)是

．17、如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點C落到點E處，BE交AD于點F．(1)求證：△BDF(2)如圖2，過點D作DG//BE，交BC于點G，聯(lián)結(jié)FG交BD于點O．①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由．②若AB=6，AD=8，求FG的長．18、如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點B(?2,0)，點C(8,0)，與y(1)求二次函數(shù)y=ax(2)連接AC，AB，若點N在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點N作NM//AC，交AB于點M，當(dāng)△AMN面積最大時，求N(3)連接OM，在（2）的結(jié)論下，求OM與AC的數(shù)量關(guān)系．1、【答案】C;【解析】如圖，過點C作CE⊥l4于點E，延長EC交l1于點在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BCE+∴α=∠又∵∠BEC=∴△BEC∽∴BECF=BC∴BE=3在Rt△BCE中，∵∴tan?α=故選C．【標(biāo)注】(解直角三角形的定義及常見類型)2、【答案】C;【解析】【標(biāo)注】3、【答案】A;【解析】過點P分別作AB、x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D、E，如圖，∵A(0,4)，B(3,0)，∴OA=4，OB=3，∴AB=3∵△OAB的兩個銳角對應(yīng)的外角的平分線相交于點P∵PE=PC，PD=PC，∴PE=PC=PD，設(shè)P(t,t)，則PC=t，∵S△∴1=t×t，解得t=6，∴P(6,6)，把P(6,6)代入y=kx得故選：A．【標(biāo)注】(反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義)4、【答案】B;【解析】【標(biāo)注】5、【答案】D;【解析】【標(biāo)注】6、【答案】B;【解析】【標(biāo)注】7、【答案】2.2;【解析】【標(biāo)注】8、【答案】48;【解析】由圖2知：第一個轉(zhuǎn)折點即y=10表示P到達(dá)C點，即BC=10；圖2中M點表示此時BP⊥即△ABC中，AC邊上的高為8（即此時BP=8當(dāng)y=8時，PC=B當(dāng)P到A點時，BP=10，根據(jù)對稱，∴AC=2PC=2×6=12，∴S△故答案為：48．【標(biāo)注】9、【答案】2+【解析】如圖，連接AM，由題意得：CA=CM，∠ACM=60°∴△ACM∴AM=CM，∠MAC=∵∠ABC=90°，AB=BC=2∴AC=CM=22∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=12AC=∴BM=BO+OM=2故答案為：2+【標(biāo)注】(利用旋轉(zhuǎn)求線段長)10、【答案】33【解析】設(shè)BE=x，則DE=3x，∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥∴△ABE∽∴AE2=BE?DE∴AE=3在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=A∴AE=3，DE=33如圖，設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點為A′，連接A′D則A′A=2AE=6=AD，∴△A∵PA=PA∴當(dāng)A′、P、Q三點在一條線上時，A又垂線段最短可知當(dāng)PQ⊥AD時，∴AP+PQ=A【標(biāo)注】(將軍飲馬)11、【答案】145【解析】解：如圖，連接BD、CD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠∴BD=A∵弦AD平分∠BAC∴CD=BD=11∴∠在△ABD和△∠BAD=∴△∴DE即DE11解得DE=11∴AE=AD?DE=14故答案為：145【標(biāo)注】(圓周角定理的推論)12、【答案】π;【解析】設(shè)圓心為O，連接AO，BO，AC，AE，如圖:∵AB=6，AO=BO=6，∴AB=AO=BO，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=∠OAB=60°，∴∠DAO=90°?60°=30°，同理:OF=OA=FA，△FAO是等邊三角形，∴點D運動的路線長=30180×π×6=π【標(biāo)注】13、【答案】78;【解析】由縱坐標(biāo)看出甲先行駛了1千米，由橫坐標(biāo)看出甲行駛1千米用了6分鐘，甲的速度是1÷6=1由縱坐標(biāo)看出AB兩地的距離是16千米，設(shè)乙的速度是x千米/分鐘，由題意，得10x+16×1解得x=4相遇后乙到達(dá)A站還需16×1相遇后甲到達(dá)B站還需10×4當(dāng)乙到達(dá)終點A時，甲還需80?2=78（分鐘）到達(dá)終點B．【標(biāo)注】(函數(shù)圖象與實際問題)(一次函數(shù)與實際問題)14、【答案】22【解析】解：設(shè)BE=x，則CD=2x，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=CD=2x，OB=OD，AC⊥∵∠∴DE=DA=2x，∴BD=3x，∴OB=OD=3∵OE+BE=BO，∴1+x=32x即AB=4，OB=3，在Rt△AOB中，在Rt△AOE中，故答案為22【標(biāo)注】(勾股定理)(菱形的性質(zhì))15、【答案】29.1m【解析】作DE⊥AB于E點，作AF⊥DE于F點，如圖，設(shè)由勾股定理，得x2解得x=75m∴DE=75m，CE=2.4x=180∴EB=BC?CE=306?180=126m∵AF//DG，∴∠1=∵tan?∠1=tan?∴DF=0.364AF=0.364×126=45.9，∴AB=FE=DE?DF=75?45.9≈29.1m故答案為29.1m【標(biāo)注】(坡度)(坡度)16、【答案】(1)79;(2)67;【解析】【標(biāo)注】17、【答案】(1)證明見解析;(2)①菱形；理由見解析②15;【解析】(1)∵∠ADB=∴△BDF(2)①∵DG//BE∴BFDG為平行四邊形且有∠∴BD為∠CBF∴BFDG為菱形．②設(shè)BF=DF=x則有AF=8?x∴解得x=FG=2FO=2FB=15【標(biāo)注】18、【答案】(1)y=?;(2)N(3,0);(3)OM=;【解析】(1)將點B，點C的坐標(biāo)分別代入y=a可得4a?2b+4=064a+8b+4=0解得a