2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-11.5-離散型隨機變量及其分布列、均值與方差-專項訓(xùn)練【含解析】

PAGE11.5-離散型隨機變量及其分布列、均值與方差-專項訓(xùn)練【原卷版】(時間:45分鐘分值:80分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)袋中有大小相同的5個球,分別標有1,2,3,4,5五個號碼,任意抽取2個球,設(shè)2個球號碼之和為X,則X的所有可能取值的個數(shù)為()A.25 B.10 C.7 D.62.(5分)設(shè)隨機變量ξ的概率分布列如表,則P(|ξ-3|=1)=()ξ1234P1a11A.712 B.12 C.512 3.(5分)設(shè)隨機變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(X)和D(X)分別為()A.4,8 B.2,8 C.2,16 D.2+b,164.(5分)有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取兩件,若X表示取得次品的個數(shù),則P(X<2)=()A.715 B.815 C.1415 5.(5分)(2023·長沙模擬)某聽眾打電話參加廣播臺猜商品名稱節(jié)目,能否猜對每件商品的名稱相互獨立,該聽眾猜對三件商品D,E,F的名稱的概率及猜對時獲得的獎金如表所示:商品DEF猜對的概率0.80.50.3獲得的獎金/元100200300規(guī)則如下:只有猜對當前商品名稱才有資格猜下一件商品,你認為哪個答題順序獲得的獎金的均值最大()A.FDE B.FED C.DEF D.EDF6.(5分)(多選題)某人參加一次測試,在備選的10道題中,他能答對其中的5道.現(xiàn)從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試,規(guī)定至少答對2道題才算合格.則下列選項正確的是()A.答對0道題和答對3道題的概率相同,都為1B.答對1道題的概率為3C.答對2道題的概率為5D.合格的概率為17.(5分)設(shè)X是一個離散型隨機變量,其分布列為X-101P11-qq-q2則q=________.

【加練備選】若隨機變量X的分布列如表所示,則a2+b2的最小值為________.

X0123P1a1b8.(5分)某專業(yè)資格考試包含甲、乙、丙3個科目,假設(shè)小張甲科目合格的概率為34,乙、丙科目合格的概率均為23,且3個科目是否合格相互獨立.設(shè)小張3個科目中合格的科目數(shù)為X,則P(X=2)=________,E(X)=9.(10分)(2024·泉州模擬)某同學(xué)嘗試運用所學(xué)的概率知識研究如下游戲規(guī)則設(shè)置:游戲在兩人中進行,參與者每次從裝有3張空白券和2張獎券的盒子中輪流不放回地摸出一張,規(guī)定摸到最后一張獎券或能判斷出哪一方獲得最后一張獎券時游戲結(jié)束,能夠獲得最后一張獎券的參與者獲勝.(1)從勝負概率的角度,判斷游戲規(guī)則設(shè)置是否公平;(2)設(shè)游戲結(jié)束時參與雙方摸券的次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列.【能力提升練】10.(5分)(多選題)口袋中有大小、形狀都相同的4個紅球,n個白球,每次從中摸一個球,摸后再放回口袋中,摸到紅球記2分,摸到白球記1分,共摸球3次.設(shè)所得分數(shù)為隨機變量ξ,若Pξ=3=27343,則隨機變量ξ的取值可能為(A.2 B.3 C.4 D.511.(5分)已知集合A=B={1,2,3},分別從集合A,B中各隨機取一個數(shù)a,b,若a與b的和記為隨機變量X,P(X=i)=pi>0(i∈N*),X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X),D(X),則()A.p4=2p2 B.P(3≤X≤5)=7C.E(X)=3 D.D(X)=212.(5分)(多選題)已知隨機變量ξ的分布列如表:ξ012Pb-aba則當a在(0,12)內(nèi)增大時(A.E(ξ)增大 B.E(ξ)減小C.D(ξ)先增大再減小 D.D(ξ)先減小再增大13.(5分)(2021·浙江高考)袋中有4個紅球,m個黃球,n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球,記取出的紅球數(shù)為ξ,若取出的兩個球都是紅球的概率為16,一紅一黃的概率為13,則m-n=__________,E(ξ)=14.(10分)某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識競答活動,根據(jù)答題得分情況評選出一二三等獎若干,為了解不同性別學(xué)生的獲獎情況,從該地區(qū)隨機抽取了500名參加活動的高一學(xué)生,獲獎情況統(tǒng)計結(jié)果如下:性別人數(shù)獲獎人數(shù)一等獎二等獎三等獎男生200101515女生300252540假設(shè)所有學(xué)生的獲獎情況相互獨立.(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名,求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎的概率;(2)用頻率估計概率,從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名,從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名,以X表示這2名學(xué)生中獲獎的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);(3)用頻率估計概率,從該地區(qū)高一學(xué)生中隨機抽取1名,設(shè)抽到的學(xué)生獲獎的概率為p0;從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名,設(shè)抽到的學(xué)生獲獎的概率為p1;從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名,設(shè)抽到的學(xué)生獲獎的概率為p2,試比較p0與p1+p11.5-離散型隨機變量及其分布列、均值與方差-專項訓(xùn)練【解析版】(時間:45分鐘分值:80分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)袋中有大小相同的5個球,分別標有1,2,3,4,5五個號碼,任意抽取2個球,設(shè)2個球號碼之和為X,則X的所有可能取值的個數(shù)為()A.25 B.10 C.7 D.6【解析】選C.X的可能取值為1+2=3,1+3=4,1+4=2+3=5,1+5=4+2=6,2+5=3+4=7,3+5=8,4+5=9.2.(5分)設(shè)隨機變量ξ的概率分布列如表,則P(|ξ-3|=1)=()ξ1234P1a11A.712 B.12 C.512 【解析】選A.因為112+a+13+13=1,所以a=14,由|ξ-3|=1,解得ξ=2或ξ=4,所以P(|ξ-3|=1)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=143.(5分)設(shè)隨機變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(X)和D(X)分別為()A.4,8 B.2,8 C.2,16 D.2+b,16【解析】選B.由題意可知E所以E(X)=2,D(X)=8.4.(5分)有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取兩件,若X表示取得次品的個數(shù),則P(X<2)=()A.715 B.815 C.1415 【解析】選C.由題意知X可取0,1,2,X服從超幾何分布,則P(X=0)=C72C102=715,P(X=1)=C71C31C102=715,于是P(X5.(5分)(2023·長沙模擬)某聽眾打電話參加廣播臺猜商品名稱節(jié)目,能否猜對每件商品的名稱相互獨立,該聽眾猜對三件商品D,E,F的名稱的概率及猜對時獲得的獎金如表所示:商品DEF猜對的概率0.80.50.3獲得的獎金/元100200300規(guī)則如下:只有猜對當前商品名稱才有資格猜下一件商品,你認為哪個答題順序獲得的獎金的均值最大()A.FDE B.FED C.DEF D.EDF【解析】選C.按照FDE的順序獲得的獎金的均值為300×0.3×0.2+400×0.3×0.8×0.5+600×0.3×0.8×0.5=138(元);按照FED的順序獲得的獎金的均值為300×0.3×0.5+500×0.3×0.5×0.2+600×0.3×0.5×0.8=132(元);按照DEF的順序獲得的獎金的均值為100×0.8×0.5+300×0.8×0.5×0.7+600×0.8×0.5×0.3=196(元);按照EDF的順序獲得的獎金的均值為200×0.5×0.2+300×0.8×0.5×0.7+600×0.8×0.5×0.3=176(元),綜上所述,按照DEF的順序獲得的獎金的均值最大.6.(5分)(多選題)某人參加一次測試,在備選的10道題中,他能答對其中的5道.現(xiàn)從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試,規(guī)定至少答對2道題才算合格.則下列選項正確的是()A.答對0道題和答對3道題的概率相同,都為1B.答對1道題的概率為3C.答對2道題的概率為5D.合格的概率為1【解析】選CD.設(shè)此人答對題目的個數(shù)為ξ,則ξ的可能取值為0,1,2,3,P(ξ=0)=C50C53C103=112,P(ξ=1)=C51C52C103=512,P(ξ=2)=C52C51C103=512,P(ξ=3)=7.(5分)設(shè)X是一個離散型隨機變量,其分布列為X-101P11-qq-q2則q=________.

【解析】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)得12+1-q+答案:2【加練備選】若隨機變量X的分布列如表所示,則a2+b2的最小值為________.

X0123P1a1b【解析】由分布列的性質(zhì)可知a+b=12,而a2+b2≥(a+b)22=18(當且僅當a=b=14答案:18.(5分)某專業(yè)資格考試包含甲、乙、丙3個科目,假設(shè)小張甲科目合格的概率為34,乙、丙科目合格的概率均為23,且3個科目是否合格相互獨立.設(shè)小張3個科目中合格的科目數(shù)為X,則P(X=2)=________,E(X)=【解析】P(X=2)=(1-34)×23×23+34×(1-23)×23+34P(X=0)=(1-34)×(1-23)×(1-23P(X=1)=34×(1-23)×(1-23)+(1-34)×23×(1-23)+(1-34P(X=3)=34×23×23所以E(X)=0×136+1×736+2×49+3×1答案:499.(10分)(2024·泉州模擬)某同學(xué)嘗試運用所學(xué)的概率知識研究如下游戲規(guī)則設(shè)置:游戲在兩人中進行,參與者每次從裝有3張空白券和2張獎券的盒子中輪流不放回地摸出一張,規(guī)定摸到最后一張獎券或能判斷出哪一方獲得最后一張獎券時游戲結(jié)束,能夠獲得最后一張獎券的參與者獲勝.(1)從勝負概率的角度,判斷游戲規(guī)則設(shè)置是否公平;(2)設(shè)游戲結(jié)束時參與雙方摸券的次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列.【解析】(1)將3張空白券簡記為“白”,將2張獎券簡記為“獎”,率先摸券的一方獲勝,包括以下幾種情況:①雙方共摸券3次,出現(xiàn)“獎白獎”“白獎獎”“白白白”這三種情形,對應(yīng)的概率為P1=25×34×13+35×24×13+35②雙方共摸券4次,出現(xiàn)的恰好是“三白一獎且前三次必定出現(xiàn)一次獎券”,對應(yīng)的概率為P2=25×34×23×12+35×24×23×12+35故先摸券的一方獲勝的概率P=P1+P2=35又35>12(2)由題意可知X的可能取值為2,3,4,所以PX=2=25×14由(1)知PX=3=310,PX=4所以X的分布列為X234P133【能力提升練】10.(5分)(多選題)口袋中有大小、形狀都相同的4個紅球,n個白球,每次從中摸一個球,摸后再放回口袋中,摸到紅球記2分,摸到白球記1分,共摸球3次.設(shè)所得分數(shù)為隨機變量ξ,若Pξ=3=27343,則隨機變量ξ的取值可能為(A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選BCD.由題意得摸到紅球的概率是p1=4n+4,白球的概率是p2=nn+4,而ξ=3即得3分,表示這3次摸的都是白球且Pξ=3=27343,所以nn+411.(5分)已知集合A=B={1,2,3},分別從集合A,B中各隨機取一個數(shù)a,b,若a與b的和記為隨機變量X,P(X=i)=pi>0(i∈N*),X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X),D(X),則()A.p4=2p2 B.P(3≤X≤5)=7C.E(X)=3 D.D(X)=2【解析】選B.因為A=B={1,2,3},所以X的所有可能取值為2,3,4,5,6,P(X=2)=13×13=19,P(X=3)=13×13+13×13=29,P(X=4)=13×13+13×13+13×13=39=13,P(X=5)=13×13+13×1P(3≤X≤5)=29+13+29E(X)=2×19+3×29+4×13+5×2D(X)=(2-4)2×19+(3-4)2×29+(4-4)2×13+(5-4)2×29+(6-4)2×112.(5分)(多選題)已知隨機變量ξ的分布列如表:ξ012Pb-aba則當a在(0,12)內(nèi)增大時(A.E(ξ)增大 B.E(ξ)減小C.D(ξ)先增大再減小 D.D(ξ)先減小再增大【解析】選AC.由隨機變量ξ的分布列得0≤b-a≤1,0≤b≤1,0≤a≤1,b-a+b+a=1,故a在(0,12)內(nèi)增大時,E(ξ)增大D(ξ)=(-2a-0.5)2(0.5-a)+(0.5-2a)2×0.5+(1.5-2a)2a=-4a2+2a+14=-4(a-14)2+所以當a∈(0,14)時,D(ξ)增大,當a∈(14,12)時,D故當a在(0,12)內(nèi)增大時,D(ξ)先增大再減小13.(5分)(2021·浙江高考)袋中有4個紅球,m個黃球,n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球,記取出的紅球數(shù)為ξ,若取出的兩個球都是紅球的概率為16,一紅一黃的概率為13,則m-n=__________,E(ξ)=【解析】由題意可得,P(ξ=2)=C42C4+m+n2=12(7(m+n)-60=0,解得m+n=5(負值舍去),取出的兩個球一紅一黃的概率P=C44m36=13,解得m=3,故n=2.所以m-n=1,易知ξ的所有可能取值為0,1,2,且P(ξP(ξ=1)=C41C51C92=59,P(ξ=0)=C52C92=答案:1814.(10分)某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識競答活動,根據(jù)答題得分情況評選出一二三等獎若干,為了解不同性別學(xué)生的獲獎情況,從該地區(qū)隨機抽取了500名參加活動的高一學(xué)生,獲獎情況統(tǒng)計結(jié)果如下:性別人數(shù)獲獎人數(shù)一等獎二等獎三等獎男生200101515女生300252540假設(shè)所有學(xué)生的獲獎情況相互獨立.(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽