2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第九章解三角形單元素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE單元素養(yǎng)檢測(cè)(一)(第九章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.在△ABC中,a=QUOTE,A=60°,B=45°.則b= ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.2QUOTE【解析】選B.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得b=QUOTE=QUOTE=2.2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由3sinA=5sinB,得3a=5b.又因?yàn)閎+c=2a,所以a=QUOTEb,c=QUOTEb,所以cosC=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.因?yàn)镃∈(0,π),所以C=QUOTE.3.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形解的狀況是 ()A.有一解 B.有兩解C.無(wú)解 D.有解但個(gè)數(shù)不能確定【解析】選C.在△ABC中,b=40,c=20,C=60°,則由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE>1,所以此三角形無(wú)解.4.在△ABC中,AB=QUOTE,AC=1,B=30°,△ABC的面積為QUOTE,則C= ()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】選C.由三角形面積公式得,QUOTE×QUOTE·|BC|·sin30°=QUOTE,所以|BC|=2.明顯由勾股定理的逆定理得三角形為直角三角形,且A=90°,所以C=60°.5.在△ABC中,若AB=QUOTE,BC=3,C=120°,則AC等于 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.方法一:在△ABC中,若AB=QUOTE,BC=3,C=120°,則由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC,得13=AC2+9-2AC×3×(-QUOTE),即AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).方法二:在△ABC中,若AB=QUOTE,BC=3,C=120°,則由正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE=QUOTE,cosA=QUOTE.sinB=sin(60°-A)=sin60°cosA-cos60°sinA=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.AC=QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE=1.6.在△ABC中,A=45°,a=QUOTE,b=2,則c= ()A.2QUOTE B.QUOTE-1或2QUOTEC.QUOTE+1 D.QUOTE+1或QUOTE-1【解析】選D.方法一:在△ABC中,A=45°,a=QUOTE,b=2,則由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即3=4+c2-2×2ccos45°,得c2-2QUOTEc+1=0,解得c=QUOTE±1,閱歷證都滿(mǎn)意題意.方法二:在△ABC中,A=45°,a=QUOTE,b=2,則由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinB=QUOTEsinA=QUOTE,所以cosB=±QUOTE=±QUOTE,sinC=sin(135°-B)=sin135°cosB-cos135°sinB=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得c=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE±1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=2a,b=4,cosB=QUOTE,則c= ()A.1B.2C.3D.4【解析】選D.因?yàn)閏osB=QUOTE,由余弦定理得42=a2+(2a)2-2a×2a×QUOTE,解得a=2(負(fù)值舍去),所以c=4.7.《數(shù)學(xué)九章》中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白,雖與聞名的海倫公式形式上有所不同,但實(shí)質(zhì)完全等價(jià),由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平,其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí).一為從隅,開(kāi)平方得積.”把以上這段文字用數(shù)學(xué)公式表示,即S=QUOTE(S,a,b,c分別表示三角形的面積及三邊長(zhǎng)).現(xiàn)有周長(zhǎng)為4QUOTE+2QUOTE的△ABC滿(mǎn)意sinA∶sinB∶sinC=(QUOTE+1)∶QUOTE∶(QUOTE-1),試用以上給出的公式求得△ABC的面積為 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.2QUOTE【解析】選A.因?yàn)槿切沃衧inA∶sinB∶sinC=(QUOTE+1)∶QUOTE∶(QUOTE-1),所以a∶b∶c=(QUOTE+1)∶QUOTE∶(QUOTE-1),又三角形的周長(zhǎng)為4QUOTE+2QUOTE,所以a=2(QUOTE+1),b=2QUOTE,c=2(QUOTE-1),得ac=4,c2+a2-b2=4,所以△ABC的面積為S=QUOTE=QUOTE.8.假如滿(mǎn)意∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一個(gè),那么k的取值范圍是 ()A.k=8QUOTE B.0<k≤12C.k≥12 D.0<k≤12或k=8QUOTE【解析】選D.如圖,作∠CBM=60°,BC=k,AC=12,CH⊥BM,垂足為H,則CH=h=QUOTEk,若三角形唯一確定,則以點(diǎn)C為圓心,以12為半徑作圓弧,與射線BM有一個(gè)交點(diǎn),則QUOTEk=12或12≥k>0.即k=8QUOTE或0<k≤12.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.在△ABC中,若a=2,b=2QUOTE,A=30°,則B的值可以為 ()A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選BC.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE,且0°<B<180°,所以B=60°或120°.10.已知銳角△ABC,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=4,B=60°,則邊b的可能取值為 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選CD.方法一:因?yàn)殇J角△ABC中,c=4,B=60°,所以0°<A=120°-C<90°,得30°<C<90°,QUOTE<sinC<1,由正弦定理QUOTE=QUOTE,得b=QUOTE=QUOTE,所以2QUOTE<b<4QUOTE,結(jié)合選項(xiàng),得b=4,5滿(mǎn)意題意.方法二:如圖,在Rt△ABC1中,AC1=b1=2QUOTE,在Rt△ABC2中,AC2=b2=4QUOTE,要得到銳角△ABC,則2QUOTE<b<4QUOTE,結(jié)合選項(xiàng),得b=4,5滿(mǎn)意題意.11.在△ABC中,sinAsinBsinC=QUOTE,且△ABC的面積為1,則下列結(jié)論正確的是 ()A.abQUOTE<8 B.abQUOTE>8C.aQUOTE<16 D.a+b+c>6【解題指南】依據(jù)三角形面積公式列式,求得abc=8,再依據(jù)基本不等式推斷各個(gè)選項(xiàng).【解析】選ABD.依據(jù)三角形面積為1,得三個(gè)式子相乘,得到QUOTEa2b2c2sinAsinBsinC=1,由于sinAsinBsinC=QUOTE,所以abc=8.由a+b>c?abQUOTE>abc=8,故B正確;由QUOTE<c?abQUOTE<abc=8,故A正確;由aQUOTE≥a·2bc=2abc=16,故C錯(cuò)誤.a+b+c≥3QUOTE=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE×2×2sin60°=QUOTE>1,不滿(mǎn)意題意,故a+b+c>3QUOTE=6,故D正確.12.點(diǎn)G為△ABC的重心,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,則下列等式成立的是 ()A.∠ACB=90°B.BG=QUOTEC.·=QUOTED.·=-QUOTE【解析】選ACD.因?yàn)辄c(diǎn)G為△ABC的重心,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos60°=3,即AC=QUOTE,由勾股定理逆定理,得∠ACB=90°,所以∠BAC=30°.延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)D,則D為AC的中點(diǎn),CD=QUOTE,在△BCD中,BD2=BC2+CD2=QUOTE,得BD=QUOTE,所以BG=QUOTEBD=QUOTE,則·=(-)·(-)=-·(+)+·=-·2+·=-·2×QUOTE+·=-2+2×1×QUOTE=-2×QUOTE+1=-QUOTE.延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)E,則E為AB的中點(diǎn),CE=1,CG=QUOTECE=QUOTE,則·=(-)·=-·=-·QUOTE=-·QUOTE×QUOTE(+)=-·QUOTE(+)=-QUOTE(·+)=QUOTE-QUOTE(0+1)=QUOTE.【拓展延長(zhǎng)】三角形的四心與性質(zhì)向量的加減法離不開(kāi)三角形,三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心是三角形性質(zhì)的重要組成部分,三角形的“四心”與向量有著親密的聯(lián)系.一、三角形“四心”的意義重心:三角形三邊中線的交點(diǎn).垂心:三角形三邊高線的交點(diǎn).外心:三角形三邊中垂線的交點(diǎn).內(nèi)心:三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn).二、三角形“四心”的向量表示結(jié)論1:若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)意·=·=·,則點(diǎn)O為△ABC的垂心.證明:由·=·,得·-·=0,即·(-)=0,⊥.同理可證⊥,⊥,故O為△ABC的垂心.結(jié)論2:若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)意+=+=+,則點(diǎn)O為△ABC的垂心.證明:由+=+,得+(-)2=+(-)2,所以·=·,同理可證·=·,簡(jiǎn)單得到·=·=·,由結(jié)論1知O為△ABC的垂心.結(jié)論3:若點(diǎn)G為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)意++=0,則點(diǎn)G為△ABC的重心.證明:由++=0,得-=+.設(shè)BC邊中點(diǎn)為M,則2=+,所以-=2,即點(diǎn)G在中線AM上.設(shè)AB邊中點(diǎn)為N,同理可證G在中線CN上,故點(diǎn)G為△ABC的重心.結(jié)論4:若點(diǎn)G為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)意=QUOTE(++),則點(diǎn)G為△ABC的重心.證明:由=QUOTE(++),得(-)+(-)+(-)=0,得++=0.由結(jié)論3知點(diǎn)G為△ABC的重心.結(jié)論5:若點(diǎn)P為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn),并且滿(mǎn)意=+λ,則點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心.證明:由于=+λ,可得=λ.設(shè)與同方向的單位向量為e1,與同方向的單位向量為e2,則=λ(e1+e2),因?yàn)閑1,e2為單位向量,所以向量e1+e2在∠A的平分線上.由λ>0,知點(diǎn)P在∠A的平分線上.同理可證點(diǎn)P在∠B的平分線上.故點(diǎn)G為△ABC的內(nèi)心.結(jié)論6:若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)意(+)·=(+)·=(+)·=0,則點(diǎn)O為△ABC的外心.證明:因?yàn)?-,所以(+)·=||2-||2,同理得(+)·=||2-||2,(+)·=||2-||2,由題意得||2-||2=||2-||2=||2-||2,所以||2=||2=||2,得||=||=||.故點(diǎn)O為△ABC的外心.留意:||=||=||?||2=||2=||2?(+)·=(+)·=(+)·=0.以上幾個(gè)結(jié)論不僅展示了三角形的“四心”的向量表示,而且是向量加減法應(yīng)用的典范,值得關(guān)注.三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.在△ABC中,a=QUOTE,b=2,c=3,則A=________.

【解析】在△ABC中,a=QUOTE,b=2,c=3,則由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE,又A∈(0,π),則A=QUOTE.答案:QUOTE14.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若b2+c2=2a2,則cosA的最小值為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)閎2+c2=2a2,則由余弦定理可知a2=2bccosA,所以cosA=QUOTE=QUOTE×QUOTE≥QUOTE×QUOTE=QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立),即cosA的最小值為QUOTE.答案:QUOTE15.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b=1,c=QUOTE,C=QUOTE,則角A的大小為_(kāi)_______.

【解題指南】利用余弦定理求出a=1,再利用正弦定理求出sinA=QUOTE,從而可得結(jié)果.【解析】由余弦定理cosC=QUOTE,得-QUOTE=QUOTE,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍).由正弦定理QUOTE=QUOTE,解得sinA=QUOTE,由C=QUOTE,可得A=QUOTE.答案:QUOTE16.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,∠ABC=90°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=2QUOTE,則a+4c的最小值為_(kāi)_______.

【解題指南】由正弦定理,得到a=ctanA,c=ACsinC=(AD+DC)cosA=QUOTEcosA,利用基本不等式求最小值.【解析】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,設(shè)∠ADB=θ,AD=x,DC=y,在△ADB與△BDC中,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,兩式相比,得QUOTE=tanA,即a=ctanA,tanA>0.同理,由正弦定理得x=QUOTE,y=QUOTE,在Rt△ABC中,c=(x+y)sinC=(x+y)cosA=QUOTEcosA,所以a+4c=ctanA+4c=QUOTEcosAtanA+4QUOTEcosA=10+2tanA+QUOTE≥10+8=18.當(dāng)且僅當(dāng)tanA=2,即sinA=QUOTE,cosA=QUOTE,b=3QUOTE,a=2c=6時(shí),a+4c的最小值為18.答案:18【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知銳角三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c-a=2acosB,則QUOTE的取值范圍是________.

【解析】由正弦定理,得sinC-sinA=2sinAcosB,即sin(A+B)-sinA=2sinAcosB,sinA=sin(B-A),由銳角三角形ABC,得A=B-A?B=2A,且由0<A<QUOTE,0<B<QUOTE,0<C<QUOTE得,0<2A<QUOTE,0<C=π-3A<QUOTE,得QUOTE<A<QUOTE,因?yàn)镼UOTE=sinA,QUOTE<sinA<QUOTE,所以QUOTE的取值范圍是QUOTE.答案:QUOTE【誤區(qū)警示】若不能將c-a=2acosB進(jìn)行邊化角,則無(wú)法得到B=2A,從而無(wú)法將問(wèn)題化簡(jiǎn);若不能利用銳角三角形的內(nèi)角取值范圍得到A的取值范圍,則導(dǎo)致擴(kuò)大sinA的取值范圍.四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)(2024·新高考全國(guó)Ⅰ卷)在①ac=QUOTE,②csinA=3,③c=QUOTEb這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,若問(wèn)題中的三角形存在,求c的值;若問(wèn)題中的三角形不存在,說(shuō)明理由.問(wèn)題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA=QUOTEsinB,C=QUOTE,________?

注:假如選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】方案一:選條件①.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c.由①ac=QUOTE,解得a=QUOTE,b=c=1.因此,選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在,此時(shí)c=1.方案二:選條件②.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c,B=C=QUOTE,A=QUOTE.由②csinA=3,所以c=b=2QUOTE,a=6.因此,選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在,此時(shí)c=2QUOTE.方案三:選條件③.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c.由③c=QUOTEb與b=c沖突.因此,選條件③時(shí)問(wèn)題中的三角形不存在.18.(12分)如圖,在四邊形ABCD中,已知∠BDC=45°,∠BAD=60°,AD=2,BD=QUOTE.(1)求∠ADC的大小;(2)若AC=2QUOTE,求△BCD的面積.【解題指南】(1)在△ABD中,由正弦定理得:sin∠ABD=QUOTE=QUOTE,求得∠ABD=45°,再依據(jù)四邊形的內(nèi)角和,即可得到答案;(2)在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC,得DC=2,再由三角形的面積公式,即可求解.【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得:QUOTE=QUOTE,所以sin∠ABD=QUOTE=QUOTE,因?yàn)锳D<BD,∠ABD<∠BAD=60°,所以∠ABD=45°,又∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,所以∠ADB=75°,因?yàn)椤螧DC=45°,故∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°.(2)在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC,化簡(jiǎn)得DC2+2DC-8=0,所以DC=2或DC=-4(舍),所以S△BCD=QUOTEBD·DCsin∠BDC=QUOTE.【拓展延長(zhǎng)】余弦定理的拓展公式在三角形中,當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)a+c,ac等信息時(shí),經(jīng)常運(yùn)用下列公式:b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB).19.(12分)(2024·北京高考)在△ABC中,a+b=11,再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面積.條件①:c=7,cosA=-QUOTE;條件②:cosA=QUOTE,cosB=QUOTE.注:假如選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【命題意圖】考查正弦定理、余弦定理,三角恒等變換等.【解析】方案一:選①.(1)由已知及余弦定理,cosA=QUOTE,即-QUOTE=QUOTE,又a+b=11,解得a=8;(2)由(1)知,b=3,又sin2A+cos2A=1,0<A<π,所以sinA=QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE,S△ABC=QUOTEabsinC=6QUOTE.方案二:選②.(1)因?yàn)閏osA=QUOTE,所以A∈QUOTE,所以sinA=QUOTE,因?yàn)閏osB=QUOTE,所以B∈QUOTE,所以sinB=QUOTE,由正弦定理:QUOTE=QUOTE,又由a+b=11,得a=6.(2)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE,因?yàn)閍+b=11,所以b=5,所以S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且滿(mǎn)意QUOTE+QUOTE=0.(1)求角B的值.(2)若c=2,AC邊上的中線BD=QUOTE,求△ABC的面積.【解析】(1)QUOTE+QUOTE=0?QUOTE+QUOTE=0,?cosB(2sinA+sinC)+sinBcosC=0,?2sinAcosB+cosBsinC+sinBcosC=0,?2sinAcosB+sin(B+C)=0,?sinA(2cosB+1)=0,因?yàn)閟inA≠0,所以cosB=-QUOTE.所以B=QUOTE,(2)延長(zhǎng)BD到E,使BD=DE,連接AE,EC,易知四邊形AECB為平行四邊形,在△BCE中,CE=2,BE=2BD=QUOTE,因?yàn)椤螦BC=QUOTE,所以∠BCE=QUOTE,由余弦定理得,BE2=CE2+BC2-2CE·BC·cos∠BCE,即3=4+a2-4acosQUOTE,解得a=1,S△ABC=QUOTEacsin∠ABC=QUOTE×1×2×QUOTE=QUOTE.20.(12分)已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)意a+2acosB=c.(1)求證:B=2A;(2)若△ABC為銳角三角形,且c=2,求a的取值范圍.【解析】(1)a+2acosB=c由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A).因?yàn)锳,B∈(0,π),所以B-A∈(-π,π),且A+(B-A)=B∈(0,π),所以A+(B-A)≠π,所以A=B-A,B=2A.(2)由(1)知A=QUOTE,C=π-A-B=π-QU