概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙江大學(xué)第四版-課后習(xí)題答案解析

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版盛驟(浙江大學(xué))

浙大第四版(高等教育出版社)

第一章概率論的基本概念

1.[-]寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

(1)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)([-]1)

……"X叫,"表小班人數(shù)

[MnnJ

(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。([-]2)

5={10,11,12,.....,n,......}

(4)對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，

如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。

查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查，或查滿

4次才停止檢查。([-](3))

5-{00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,}

2.[二]設(shè)4B,C為三事件，用4B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。

(1)A發(fā)生，8與。不發(fā)生。

表示為：A萬3或4一(48刀0或4-(8U0

(2)A,8都發(fā)生，而C不發(fā)生。

表示為：ABCAB-ABCA.AB-C

(3)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為：A+B+C

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(4)B,C都發(fā)生，表示為：ABC

(5)力，B,C都不發(fā)生，表示為：川片不或S-(A+B+C)氮AuBuC

(6)A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生，即48,C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生

相當(dāng)于無瓦巨中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC.

(7)A,B,C中不多于二個(gè)發(fā)生。

相當(dāng)于：,，瓦忑中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：A+B+Cs^ABC

(8)A,8,C中至少有二個(gè)發(fā)生。

相當(dāng)于：AB,BC,47中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：A&rBOAC

6.［^］設(shè)48是兩事件且戶(⑷=0.6,戶(0=0.7.問(1)在什么條件下PG4夕取

到最大值，最大值是多少？(2)在什么條件下P"⑨取到最小值，最小值是多少？

解:由"(4=0,6,P(B)=0.7即知力8手。，(否則AB=中依互斥事件加法定

理，P(AU3)=P(⑷+2(5)=0.6+0.7=1.3>1與。(4U0W1矛盾).

從而由加法定理得

P(AS)=P(4+P⑦-P(4LJ⑸(*)

(1)從OWPVOWP")知，當(dāng)/代人即4C18時(shí)P(4。取到最大值，最大值為

P(AB)=PC4)=0.6,

(2)從(*)式知，當(dāng)4U8=S時(shí)，0(%)取最小值，最小值為

P{AB)=0.6+0.7-1=0.3o

7.［四］設(shè)4,B,C是三事件，且P(A)=P(8)=P(C)=5，P(AB)=P(8C)=0,

P(AC)=J.求4B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。

O

解：P(4B,C至少有一個(gè)發(fā)生)=戶(小班0=。(4+P(B)+P(C)—P(AB)-P(B。

a15

-P{AO+P(ABC);4-±+0=-i

488

8.［五］在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從26

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個(gè)英語字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？

記力表“能排成上述單詞”

從26個(gè)任選兩個(gè)來排列，排法有總種。每種排法等可能。

字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55個(gè)

9.在電話號碼簿中任取一個(gè)電話號碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4

個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0,1,2……9）

記4表“后四個(gè)數(shù)全不同”

；后四個(gè)數(shù)的排法有10,種，每種排法等可能。

后四個(gè)數(shù)全不同的排法有

A4

/＞（4）=粵=0.504

104

10.［六］在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀(jì)念章，任意選3人記錄

其紀(jì)念章的號碼。

（1）求最小的號碼為5的概率。

記“三人紀(jì)念章的最小號碼為5”為事件4

10人中任選3人為一組：選法有（，）種，且每種選法等可能。

又事件4相當(dāng)于：有一人號碼為5,其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有1x（?）

（2）求最大的號碼為5的概率。

記“三人中最大的號碼為5”為事件B,同上10人中任選3人，選法有（學(xué)）種，且

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每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號碼為5,其余2人號碼小于5,選法有1x（；）

種

P(B)=

⑶2。

11.[七]某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬

運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2

桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？

記所求事件為4

在17桶中任取9桶的取法有G97種，且每種取法等可能。

取得4白3黑2紅的取法有C：）xC；x

故「⑷=生沁=焉

C：72431

12.[A]在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。

（1）求恰有90個(gè)次品的概率。

記“恰有90個(gè)次品”為事件力

在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有（邪?〕種，每種取法等可能。

200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有（竊）（：用）種

f400YH00)

(9()"〃

P(A)=

(1500)

(200)

（2）至少有2個(gè)次品的樓率。

記：A表“至少有2個(gè)次品”

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后表“不含有次品”，8表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法有

喘）種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有『那種

ZUUJ\IIW）

A=3o+8］且甌區(qū)互不相容。

P(A)=l-P(X)=l-[P(Bo)+P(B1)]=l-

13.［九］從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多

少？

記A表“4只全中至少有兩支配成一對”

則A表“4只人不配對”

?；從10只中任取4只，取法有，：））種，每種取法等可能。

要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有

P（A）=hT

C10

P（A）=1一隔）=1一年=畀

15.［+-］將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1,2,

3,的概率各為多少？

記4表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為，個(gè)”，H,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有4?種，每種放法等可能

對4:必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2種。

（選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列）

n/.、4x3x26

"4）=下一=而

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對4:必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C；x4x3種。

（從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有C；,再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4

種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種。

C]x4x39

P(A)=---------=--

24316

對4:必須三球都放入一杯中。放法有4種。（只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此

3個(gè)球，選法有4種）

P(4)4=E1

16.［十二］50個(gè)釧釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)獅釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)

部件用3只釧釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉀釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，

問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？

記4表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。

法一：用古典概率作:

把隨機(jī)試臉E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去釧完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M

中不分先后次序。但10組釘釧完10個(gè)部件要分先后次序）

對丘物法有C*xC：7XCZ……xC：3種，每種裝法等可能

對A-.三個(gè)次釘必須抑在一個(gè)部件上。這種釧法有〔C：XC：7XC2……《3］X10

種

[C；〉C：7xC；4……>63b101

P(A)==0.00051

1960

法二：用古典概率作

把試驗(yàn)￡看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉀完。

（釧釘要計(jì)先后次序）

對￡鉀法有用0種，每種釧法等可能

對從三支次釘必須釧在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上，…或“28,29,

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30"位置上。這種鉀法有A：XA：；+A；x+……+A：+A：；=10xA：xA：；種

10xA3xA471

P(A)==0.()0051

I960

17.［十三］已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求產(chǎn)(0A口后)。

解一,：

P(A)=1-P(A)=0.7,P(B)=1-P(B)=0.6,A=AS=A(BuB)=ABuAB

注意(AB)(AB)=。.故有

P(AB)=P(A)-PG4后)=0.7—0.5=0.2。

再由加法定理，

P(4UB)=P(⑷+P(B)-P(AB)=0.7+0.6-0.5=0.8

P(AB)()7

于是P(3|AU8)=假=0.25

P(AuB)0.8

解二:P(A豆)=P(A)P(B|A)由已知?05=07P(B|A)

???尸(月|A)="=<nP⑹A)=:故P(A8)=P(A)P(B|A)=』

0.7775

「⑻A"，型*⑷+嗝P(BA)7麗一。.7+。5.6-。.5

0.25

18.［十四］P(A)=:，P(B|A)=1,P(AIB)=j-,求尸(ADB)。

解：由尸(A⑶壁需/(歲黑A)由已知條件＞有吳奇=P⑻*

由乘法公式，得P(AB)=P(4)P(B|A)=」

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由加法公式，得P(AuB)=尸(A)+P(B)-P(A8)1■一±=g

19.［十五］擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率

(用兩種方法)。

解：(方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B),即將事件B作為樣本空間，求事

件A發(fā)生的概率)。

擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組(x,力(十*1,2,3,4,5,6)并且滿足*,+*7,

則樣本空間為

S=((x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)｝

每種結(jié)果(x,y)等可能。

A=｛擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故P(A)=3=5｝

方法二：(用公式P(A|8)=q黑

r\D)

$={(*,y)Ix=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能

A="擲兩顆骰子，x,y中有一個(gè)為"1"點(diǎn)"，B="擲兩顆骰子，x,+*7"。則

6_12

P(8)=葭二不，玖A8)=

2

P(AB)W=2=_L

故P(A|B)=

P(B)1-6-3

20.［十六］據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：

戶(心="｛孩子得?。?0.6,戶(8|4二戶｛母親得病|孩子得?。?0.5,0(C|40=。｛父親得病|

母親及孩子得病)=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。

解：所求概率為P｛ABC)(注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，

這里不是求P(C/AB)

P(4/="(4=0(814=0.6X0.5=0.3,P(C/AB)=y-P(C|第=1-0.4=0.6.

從而PP(A8)?P(C/AS)=O.3X0.6=0.18.

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21.［十七］已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，

作不放回抽樣，求下列事件的^率。

(1)二只都是正品(記為事件A)

法一：用組合做在10只中任取兩只來組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種

取法等可能。

P(A)=-S-=—=0.62

G：45

法二：用排列做在10只中任取兩個(gè)來排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)

排列等可能。

法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。

記4,4分別表第一、二次取得正品。

Q728

P(A)=P(A4)=P(A)P(4IA)=—x-=—

(2)二只都是次品(記為事件B)

C2i

法-：尸(B)=請一

42,

法二：&8)=一=士

A*45

...———?11

法三：P⑻=P(AA,)=P(A,)P(A2IA)=擊Xe=去

(3)一只是正品，一只是次品(記為事件C)

ClxCi16

法一：P(C)二12

Go45

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p（C_?xC；）xA；

法二：16

?—一十45

法三：p（c）=P（A4+442）且4.2與442互斥

=P（4）P（A_2lA）+P（_AI）P（4|A—D=^2xW?+*28=^1A

1vyIUy

（4）第二次取出的是次品（記為事件力

法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，

法二：*=￡1=4

A小5

法三：P（D）=P（A&+A4）且A4與AA2互斥

————82211

=P（A）P（A2IA）+P（AM（&IAD=合xx/忖

22.［十八］某人忘記了電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號，求他撥號不超

過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是

多少？

記//表撥號不超過三次而能接通。

4表第，,次撥號能接通。

注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個(gè)號碼。

+A,AA,三種情況互斥

H=At+A］A22

P（H）=P（A）+p（A）P（A2M）+P（A）P（414/⑷?A4）

如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件8）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H

再發(fā)生的^率。

P(4|B)=R4||3+442|3+44A3|8)

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=P(A|B)+P(4|B)P(A2|BA)+P(AIB)P(A2I34)「(4|BA,A2)

1414313

=--1--X---1--X—X—=—

5545435

24.［十九］設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有〃只白球m只紅球，乙袋中裝有人只白球

"只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到(即從乙袋中

取到)白球的概率是多少？(此為第三版19題(1))

記4,4分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”

再記8表“再從乙袋中取得白球”。

后4外48且4,4互斥

:.P(由=P(4)P(B\4)+P(4)。(8|4)

nN+1mN

------x-----------1------x----------

n+mN+M+\n+mN+M+1

［十九］(2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白

球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取

到白球的概率。

記G為“從第一盒子中取得2只紅球”。

必為“從第一盒子中取得2只白球”。

C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，

。為“從第二盒子中取得白球“，顯然c,a,c兩兩互斥，cuaua=s,由全概率

公式，有

P(CP(。/㈤+尸(&)戶(。/6)+2(㈤。(。/㈤

以5C；7型G653

=-----------十-----------十-----------------------

Cg11Cg11C；1199

26.［二十一］已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女

人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

解：4=｛男人｝,4=｛女人｝,B=｛色盲｝,顯然4U4=6,44=Q

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由已知條件知P(A)=P(A2)=J。P(BI%)=5%,P(B\A2)=0.25%

由貝葉斯公式，有

P(A|?)_P(4B)P(A)P⑻A)2'100_20

1[25

'"P(B)P(Al)P(B\Ai)+P(A2)P(B\A2)+,21

2100210000

[二十二]一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為只若第一次

及格則第二次及格的概率也為。；若第一次不及格則第二次及格的；k率為2(1)若至少

2

有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經(jīng)及

格，求他第一次及格的概率。

解：4=｛他第i次及格｝,i=1,2

已知"(4)=P(414)=P,P(4IA)=%

(1)后｛至少有一次及格｝

所以方=｛兩次均不及格｝=AtA2

(豆)=尸

：.P(B)=1-P1-(4,2)=i-P(AX)P(A2|4)

=1-[1-P(AI)][1-P(A2|A1)]

p31

222

⑵…)型筌(*)

由乘法公式，有戶(44)=P(4)P(4|4)=P2

由全概率公式，有尸(4)=尸(A)P(A214)+P(A)P(A21%)

=PP+(\-P)~

P2P

=---1--

22

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將以上兩個(gè)結(jié)果代入（*）得P（AJA2）=「^—=-^-

~T+T

28.［二十五］某人下午5:00下班，他所積累的資料表明:

到家時(shí)間5:35~5：395：40~5：445：45~5：495：50~5：54遲于5:54

乘地鐵到

0.100.250.450.150.05

家的概率

乘汽車到

0.300.350.200.100.05

家的概率

某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵

回家的概率。

解：設(shè)4=“乘地鐵"，8=“乘汽車”,C=“5：45~5：49到家”，由題意,但"，4U后S

已知：。(⑷=0.5,P(t?//l)=0.45,P(C四=0.2,P(5>=0.5

由貝葉斯公式有

「(A|C)」(CA)P(A)=----------0-5x0.45------------=045.±=0.6923

P?P(C\A)^+P(C\B)~0,6513

29.［二十四］有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱

30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取

一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的

零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：設(shè)&表示“第i次取到一等品"i=1,2

4表示''第j箱產(chǎn)品"j=1,2,顯然4U4=S44=中

11A1］Q2

（1）P（B,）=--------+——-=-=0.4（8=48+48由全概率公式解）。

12502305

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110911817

---------------1---------------

⑵P(3,⑻==2504923029=。4857

21P(BJ2

5

（先用條件概率定義，再求夕（8良）時(shí)，由全概率公式解）

32.［二十六（2）］如圖1,2,3,4,5

表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合

的^率為p,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)

立，求Z.和/?是通路的概率。

記4表第i個(gè)接點(diǎn)接通

記表從/.到/?是構(gòu)成通路的。

*.*A=A,Ai+444+44+444四種情況不互斥

P（心二戶（44）+戶（444）+P（44）+戶（444）一戶（4444）

+P(4444)+P(4444)+P(4444)

+P(44444)P(4444)+P(44444)+P(44444)

+(44444)+P(44444)—P(44444)

又由于4,4,Ai,At,4互相獨(dú)立。

故P(/I)=p+p+p+p—\_p+p+p+p+p5+p~\

+［p5+p+p+p~\—6=2p+3p-5p+2p

［二十六(1)］設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4?它們的可靠性分別為A,Pi,

月，月，將它們按圖(1)的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。

記4表示第7個(gè)元件正常工作，，口，2,3,4,

IIII

_JL23

丁廠r-----4表示系統(tǒng)正常。

-------□-------

4A-AYAIA3+44兩種情況不互斥

Z.戶(心=尸(444)+P(44)一戶(4444)(加法公式)

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=P(4)P(4)P(4)+P(4)Pk心一p(4)P(4)P(4)。(4)

=RP2P3+P、PL~P\PiP3PA(4,4,4,4獨(dú)立)

34.[三十一]袋中裝有加只正品硬幣，”只次品硬幣，(次品硬幣的兩面均印有國

徽)。在袋中任取一只，將它投擲廠次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率

為多少？

解：設(shè)“出現(xiàn)，次國徽面”=8“任取一只是正品”=/

由全概率公式，有

——m1n

r

P(B,)=P(A)P(BrIA)+P(A)P(與IA)=——(-)+——xf

根+〃2m+幾

P(*8,)=P⑷?皿M)=已夕-

r

P(Br)2I/m+n-2

m+n2m+n

(條件概;率定義與乘法公式)

35.甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7。

飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊

中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。

解：高/Z表示飛機(jī)被/人擊中，/=],2,3.,8,Bi,8分別表示甲、乙、丙擊中飛

機(jī)

H,=科瓦瓦+河瓦瓦+吊瓦鳥，三種情況互斥。

HBJ+B|B-,By+B\B?B;三種情況互斥

%=B]B2B3

又B、,Bi,8獨(dú)立。

...2(%)=尸(用)尸(瓦)尸(瓦)+P(瓦)尸(32)尸(瓦)

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+P（瓦）P（瓦）P（.）=0.4x0.5x0.3+0.6

x0.5x0.3+0.6x0,5x0.7=0.36

P（H2）=P（B,）P（B2）P（瓦）+P（坊）P（瓦）尸（2）

+P（瓦）「（當(dāng)）P（B3）=0.4X0.5X0.3

+0.4X0,5X0.7+0.6X0.5X0.7=0.41

P（A）=P⑻P⑻P（ft）=0.4X0.5X0.7=0.14

又因：A=H、A+HiA+&A三種情況互斥

故由全概率公式，有

P（4=PWP（川〃）+尸（㈤P（川A0+PgP（破

=0.36X0.2+0.41X0.6+0.14X1=0.458

36.［三十三］設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%（這一事件記為

4）,10%（事件4）,90%（事件A）的概率分別為0（4）=0.8,P（4）=0.15,0（4）=0.05,

現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為8）,試分別求尸（4|。

戶（4|B）,P（4|B）（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的^率，所

以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地）

8表取得三件好物品。

8=48+48+48三種情況互斥

由全概率公式，有

P（B）=P⑷P（8/4）+P（4）。（8/4）+2（4）尸（8/4）

=0.8X（0.98）3+0.15X（0.9）3+0.05X（0.1）3=0.8624

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P(Al)P(B\A])0.8x(098)3

：-------------=------------=U.oJ1

P⑷M盆卜P(B)0.8624

P(4)P(8|4)0.15x(09)3

=P(B)=0.8624=°-1268

P(A3)P(5|4)0.05x(0.1)3八c”,

P(B)-0.8624

37.［三十四］將4,B,C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸

出為其它一字母的概率都是（1-a）/2。今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道，

輸入川川，BBBB,CCCC的概率分別為功，.，0（份+.+所1）,已知輸出為四口，問輸

入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。）

解：設(shè)。表示輸出信號為力及”，8、8、8分別表示輸入信號為/LU4,BBBB,CCCC,

則8、&、名為一完備事件組，且P（B,）=P,,，閆，2,3。

再設(shè)?!發(fā)、4收分別表示發(fā)出、接收字母從其余類推，依題意有

P（4/4）=P（&J8發(fā)）=P（C,*|C&）=a,

P（冊|8發(fā)）=P（4/C&）=P（8.|一）=P⑶|CQ=P（C妝|人）=P（瓢|

又戶^ABCA/AAAA）^P（。/8）=P（4/小）P（呢|AQP（外|4QP（/1?|4）

=。2號）2,

同樣可得夕（DIB》=P（DIBJ=a?（與幺尸

于是由全概率公式，得

3

P（D）=￡P(guān)（BM（DIB。

i=l

=0a2（寧）2+（巴+居）以子）3

由Bayes公式，得

P{AAAAl^BCA）-P（B、ID）=.

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=________2aPy________

2aP［+(1-a)(P>+八)

［二十九］設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只

藍(lán)球，3只綠:球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。(1)求至少有一只藍(lán)球

的概率，(2)求有一只藍(lán)球一只白球的概率，(3)已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球

一只白球的概率。

解：記4、4、4分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，&、&、

8分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。

(1)記U｛至少有一只藍(lán)球｝

0=48+48+48+48+48,5種情況互斥

由概率有限可加性，得

p(c)=p(A即+p(-B2)+P(AB3)+P(A2B1)+P(A3B1)

)P(B,)+P(A.)P(8,)+P(A.)P(4)+P(A2)P(K)+P(A3)P(B.)

32333422225

-++++-

7-9-7-9-7-9-7-9-9-

7-9-

(2)記。=｛有一只藍(lán)球，一只白球｝,而且知。二48+48兩種情況互斥

P(D)=尸⑶當(dāng)+P(4與)=P(Al)P(B3)+P(A3)P(B1)

=—3?-44-2--2=-1-6

797963

(3)P(0C)=號導(dǎo)=§^=黑(注意到CD=。)

1yf1yV-zJDJ

［三十］A,B,C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給4B,

C的電話的概率分別為1■,y,y?他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A,B,C三人外出的概率

分別為j設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求

(1)無人接電話的概率：(2)被呼叫人在辦公室的^率；若某一時(shí)間斷打進(jìn)了3個(gè)

電話，求(3)這3個(gè)電話打給同一人的概率；(4)這3個(gè)電話打給不同人的概率；(5)

這3個(gè)電話都打給8,而8卻都不在的概率。

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解：記G、6、&分別表示打給力，B,C的電話

仄、△分別表示AB,C外出

01

注意到C、6、&獨(dú)立，且尸（G）=尸（。2）="1,P（C3）=y

尸（2）=￡,P（D2）=p（D,）=1

（1）P（無人接電話）=P（?AA）=P（DDPSP（A）

_--1x-1x—1=--1

24432

（2）記G="被呼叫人在辦公室“，G=G瓦+。2瓦+C3瓦三種情況互斥，由有限

可加性與乘法公式

P（G）=尸（G。2）+。3）'由于某人外出與

=尸（G）P（或IG）+PG）P（瓦ic2）+p（c3）p（a\c3）否和來電話無關(guān)

=2.XI+2X2+IX2=H1故尸（ai/）=p（a）,

52545420

（3）H為“這3個(gè)電話打給同一個(gè)人”

P(H)=2x2x2+2x2x2+4kLq

555555555125

（4）R為“這3個(gè)電話打給不同的人”

R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A,B,C的三個(gè)電話，每種情況的概率為

2214

—X—X-=--------

555125

424

于是尸(R)=6x—=

T25

（5）由于是知道每次打電話都給8,其概率是1,所以每一次打給8電話而8不在

的概率為且各次情況相互獨(dú)立

4

于是P（3個(gè)電話都打給8,8都不在的概率）=（-1-）3=4T

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第二章隨機(jī)變量及其分布

1.[-]一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只，以/

表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律

解：才可以取值3,4,5,分布律為

C2

P（X=3）=P（一球?yàn)?號,兩球?yàn)?,2號）=母1x工=白1

C；10

尸（X=4）=P（一球?yàn)?號,再在1,2,3中任取兩球）=上笑=/

C；10

p（X=5）=尸（一球?yàn)?號,再在1,2,3,4中任取兩球）=與二=提

C；10

也可列為下表

/:3,4,5

n,_L_3_A

,10,10,10

3.[三]設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作

不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。

解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0,1,2個(gè)。

p（X_0）_G\_22

P（X-O）----

CnxC.1,1

再列為下表

/:0,1,2

p.22_12_J_

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4.［四］進(jìn)