考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷1（共209題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷1（共9套）（共209題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)f-’(x0)和右導(dǎo)數(shù)f+’(x0)都存在，則()．A、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處必可導(dǎo)B、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不一定可導(dǎo)，但必連續(xù)C、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不一定連續(xù)，但極限必存在D、極限不一定存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由f’一(x0)存在，即，即f(x0一0)=f(x0)；由f+’(x0)存在，即即f(x0+0)=f(x0)，從而f(x0-0)一f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在x=x0處連續(xù)，而左、右導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可導(dǎo)，應(yīng)選B．2、設(shè)f(x)連續(xù)，且則下列結(jié)論正確的是()．A、f(1)是f(x)的極大值B、f(1)是f(x)的極小值C、(1，f(1))不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(1)不是f(x)的極值，但(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以由極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x一1｜＜δ時(shí)，有．即當(dāng)x∈(1一δ，1)時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)x∈(1，1+δ)時(shí)，f’(x)＞0．根據(jù)極值的定義，f(1)為f(x)的極小值，選B．3、設(shè)t＞0，則當(dāng)t→0時(shí)，是t的n階無窮小量，則n為()．A、2B、4C、6D、8標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選C．4、微分方程y’’一4y’=x2+cos2x的特解形式為()．A、(ax2+bx+c)+(Acosx+Bsin2x)B、(ax2+bx+c)+x(Acos2x+Bsin2x)C、(ax3+bx2+cx)+(Acos2x+Bsin2x)D、(ax3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2一4λ=0，特征值為λ1=0，λ2=4，方程y’’一4y’=x2的特解為y1=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx；方程y’’一4y’=cos2x的特解為Acos2x+Bsin2x，故選C．5、設(shè)A，B及A*都是n(n≥3)階非零矩陣，且ATB=0，則r(B)等于()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳TB=0且B為非零矩陣，所以方程組ATX=0有非零解，從而r(AT)=r(A)＜n，于是r(A*)=0或r(A*)=1，又因?yàn)锳*為非零矩陣，所以r(A*)=1．由r(A*)=1得r(A)=n一1，從而r(AT)=n—1．由ATB=0得r(AT)+r(B)≤n，于是r(B)≤1，又B為非零矩陣，所以r(B)≥1，于是r(B)=1，選B．6、設(shè)三階矩陣A的特征值為一2，0，2，則下列結(jié)論不正確的是()．A、r(A)=2B、tr(A)=0C、Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)解向量構(gòu)成D、一2和2對(duì)應(yīng)的特征向量正交標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳的特征值都是單值，所以A可相似對(duì)角化，從而r(A)=2，A是正確的；由tr(A)=一2+0+2—0得B是正確的；因?yàn)棣?0是單特征值，所以λ=0只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即方程組(0E一A)X=0或AX=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)線性無關(guān)的解向量，C是正確的；一2與2對(duì)應(yīng)的特征向量一般情況下線性無關(guān)，只有A是實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)才正交，選D．7、設(shè)隨機(jī)變量向量組α1，α2線性無關(guān)，則Xα1一α2，一α1+Xα2線性相關(guān)的概率為()．A、B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α2線性無關(guān)，所以向量組Xα1一α2，一α1+Xα2線性無關(guān)的充分必要條件是．即X=1，故向量組Xα1一α2，一α1+Xα2線性相關(guān)的概率為選C．8、設(shè)X，Y)9兩個(gè)隨機(jī)變量，其中E(X)=2，E(y)=一1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y的相關(guān)系數(shù)為，由切比雪夫不等式得P{｜X+Y一1｜≤10}≥()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令Z=X+Y，則E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，則選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且x2+y2+z2=∫xyφ(x+y一t)dt，則=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)φ連續(xù)，且x2+y2+z2=∫xyφ(x+y一t)dt，則=_____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(y)一φ(x)一2(x+y)知識(shí)點(diǎn)解析：12、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)矩陣不可對(duì)角化，則a=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0或4知識(shí)點(diǎn)解析：得λ1=0，λ2=a，λ3=4．因?yàn)锳不可對(duì)角化，所以A的特征值一定有重根，從而a=0或a=4．當(dāng)a=0時(shí)，由r(OE-A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A不可對(duì)角化，a=0合題意；當(dāng)a=4時(shí)，由r(4E-A)=2得λ2=λ3=4只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A不可對(duì)角化，A=4合題意．14、10件產(chǎn)品中有3件產(chǎn)品為次品，從中任取2件，已知所取的2件產(chǎn)品中至少有一件是次品，則另一件也為次品的概率為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令事件A={所取兩件產(chǎn)品中至少有一件次品)，B={兩件產(chǎn)品都是次品)，三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)=f(1)．證明：對(duì)任意的x∈[0，1]，有．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)任意的x∈[0，1]，由泰勒公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、某商品進(jìn)價(jià)為30元／件，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)銷售為80元／件時(shí)日銷售量為100件，日常調(diào)查表明，銷售每下降10％，可使日銷售量增加30％，該商家在一日內(nèi)以72元價(jià)格出售一批該商品后，決定再作一次性降價(jià)銷售其余商品，當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，商家才能獲得最大利潤?標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)該商品的售價(jià)從p1降到p2時(shí)，對(duì)應(yīng)的日銷售量從q1上升為q2，由題意有即商家以72元／件的價(jià)格出售該商品的日銷售量為設(shè)該商品一次性降價(jià)處理的價(jià)格設(shè)為p元／件，則相應(yīng)的日銷售量為利潤為得p=63，即若一次性以63元／件出售其余商品時(shí)，商家獲得最大利潤．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、計(jì)算，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)方程求常數(shù)a．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)A從原點(diǎn)出發(fā)，以固定速度v0沿y軸正向行駛，B從(x0，0)出發(fā)(x0＜0)，以始終指向點(diǎn)A的固定速度v1朝A追去，求B的軌跡方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、當(dāng)常數(shù)a取何值時(shí)，方程組無解、有無窮多個(gè)解?在有無窮多個(gè)解時(shí)，求出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形2y12+2y22+by32．21、求常數(shù)a，b的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：令，則f(x1，x2，x3)=XTAX．因?yàn)槎涡徒?jīng)過正交變換化為2y12+2y22+by32，所以矩陣A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=b．由特征值的性質(zhì)得解得a=一1，b=一1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求正交變換矩陣；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ1=λ2=2時(shí)，由(2E—A)X=0，得當(dāng)λ3=一1時(shí)，由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、當(dāng)｜X｜=1時(shí)，求二次型的最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)镼為正交矩陣，所以｜X｜=1時(shí)，｜Y｜=1，當(dāng)｜Y｜=1時(shí)，二次型的最大值為2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立同分布，其中令U=max{X，Y)，V=min{X，Y)．(I)求(U，V)的聯(lián)合分布；(Ⅱ)求P{U=V)；(Ⅲ)判斷U，V是否相互獨(dú)立，若不相互獨(dú)立，計(jì)算U，V的相關(guān)系數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)U，V的可能取值為1，2，3，顯然P{U＜V)=0，于是(U，V)的聯(lián)合分布律為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、的漸近線條數(shù)為()．A、1條B、2條C、3條D、4條標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：所以y=x+7為曲線的斜漸近線，故曲線有兩條漸近線，應(yīng)選B．2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、當(dāng)x→0時(shí)，無窮小的階數(shù)最高的是()．A、B、tanx－xC、(1+tanx)ln(1+2x)－1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由(1+tanx)ln(1+2x)－1=eln(1+2x)(ln1+tanx)－1～ln(1+2x)ln(1+tanx)～2x2得(1+tanx)ln(1+2x)－1為2階無窮??；4、下列反常積分收斂的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：應(yīng)選B．5、設(shè)A為m×n矩陣，以下命題正確的是()．A、若AX=0只有零解，則AX=b只有唯一解B、若AX=0有非零解，則AX=b有無數(shù)個(gè)解C、若r(A)=n，則．AX=b有唯一解D、若r(A)=m，則AX=b一定有解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)r(A)=m時(shí)，則r(A)==m，于是若r(A)=m，則AX=b一定有解，選D．6、設(shè)A為三階矩陣，特征值為λ1=λ2=1，λ3=2，其對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1，α2，α3，令P1=(α1－α3，α2+α3，α3)，則P1－1A*P1=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：A*的特征值為2，2，1，其對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1，α2，α3，選A．7、設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，其分布函數(shù)為F(x)，又Y=F(X)，則等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)X～N(1，4)，Y～B且X，Y相互獨(dú)立，則P(XY+1＞X+Y}=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：P{XY+1＞X+Y}=P{(X－1)(Y－1)＞0}=P{X＞1，Y＞1}+P{X＜1，Y＜1}=P{X＞1}P{Y＞1}+P{X＜1}P{Y＜1}應(yīng)選B.二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、曲線在t=0對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為__________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、差分方程yx+1一3yx=2·3x的通解為_________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y(x)=A3x+2x3x－1知識(shí)點(diǎn)解析：齊次差分方程Yx+1－3yx=0的通解為y=A3x，設(shè)差分方程yx+1－3yx=2·3x的特解為y0(x)=Cx3x，將y0(x)=Cx3x代入方程yx+1－3yx=2·3x得故原差分方程的通解為y(x)=A3x+2x3x－1．11、設(shè)f可微，f＇1(3，2)=2，f＇2(3，2)=3，則dz｜(2,1)=_______________．標(biāo)準(zhǔn)答案：7dx－8dy知識(shí)點(diǎn)解析：12、微分方程y"－3y＇+2y=2ex滿足的特解為__________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=－3ex+3e2x－2xex知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2－3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，y"－3y＇+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x．令原方程的特解為y0(x)=Axex，代入原方程為A=－2，原方程的通解為y=C1ex+C2e2x－2xex由得y(0)=0，y＇(0)=1，代入通解得C1=－3，C2=3，特解為y=－3ex+3e2x－2xex．13、已知三階方陣A，B滿足關(guān)系式E+B=AB，A的三個(gè)特征值分別為3，－3，0，則｜B－1+2E｜=_______________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－8知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳的特征值為3，－3，0，所以A—E的特征值為2，－4，－1，從而A－E可逆，由E+B=AB得(A－E)B=E，即B與A－E互為逆陣，則B的特征值為B－1的特征值為2，－4，－1，從而B－1+2E的特征值為4，－2，1，于是｜B－1+2E｜=－8．14、設(shè)X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，其中E(X)=μ，D(X)=σ2，令則ρUV=_______________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、計(jì)算二重積分其中D={(x，y)｜0≤x，y≤1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0)，D2=D＼D1，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0．1]上連續(xù)可導(dǎo)，f＇(1)=0，證明：存在ξ∈[0，1]，使得f＇(ξ)=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分，得由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)－f(1)=f＇(η)(x－1)，其中η∈(x，1)，f(x)=f＇(η)(x－1)兩邊對(duì)x從0到1積分，得因?yàn)閒＇(x)在[0，1]上連續(xù)，所以f’(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x－1)≤f＇(η)(x－1)≤m(x－1)兩邊對(duì)x從0到1積分，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f＇(ξ)=4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需投入兩種生產(chǎn)要素，x，y分別為兩種生產(chǎn)要素的投入量，Q為產(chǎn)品的產(chǎn)量，設(shè)生產(chǎn)函數(shù)Q=2xαyβ，其中α>0，β>0且α+β=1．設(shè)兩種生產(chǎn)要素的價(jià)格分別為p1及p2，問當(dāng)產(chǎn)量為12時(shí)，兩種生產(chǎn)要素投入多少可使投入總費(fèi)用最少?標(biāo)準(zhǔn)答案：投入費(fèi)用函數(shù)為C=p1x+p2y，令F(x，y，λ)=p1x+p2y+λ(2xαyβ－12)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù)，并求標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)｜x｜＞1時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)z=z(x，y)二階連續(xù)可偏導(dǎo)且滿足方程在變換下，原方程化為求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)問a，b，c為何值時(shí)，矩陣方程AX=B有解，有解時(shí)求出全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩陣方程化為A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，即當(dāng)a=1，b=2，c=－2時(shí)，矩陣方程有解，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=XTAX經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=2y12－y22－y32，又A*α=α，其中α=(1，1，－1)T．(I)求矩陣A；(Ⅱ)求正交矩陣Q，使得經(jīng)過正交變換X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)顯然A的特征值為λ1=2，λ2=－1，λ3=－1，｜A｜=2，伴隨矩陣A*的特征值為μ1=1，μ2=－2，μ3=－2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，－1)T是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=2的特征向量．令ξ=(x1，x2，x3)T為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ2=－1，λ3=－1的特征向量，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以αTξ=0，即x1+x2－x3=0，于是λ2=－1，λ3=－1對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為(I)求常數(shù)k；(Ⅱ)求X的邊緣密度；(Ⅲ)求當(dāng)下Y的條件密度函數(shù)fY｜X(y｜x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xm+n(m2，令求：(I)D(Y)，D(Z)；(Ⅱ)ρYZ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)因?yàn)閄1，X2，…，Xm+n相互獨(dú)立，(Ⅱ)Cov(Y，Z)=Cov[(X1+…+Xm)+(Xm+1+…+Xn)，Xm+1+…+Xm－n]=Cov(X1+…+Xm，Xm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xm+1+…+Xm+n)=D(Xm+1+…+Xn)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xn+1+…+Xm+n)=(n－m)σ2，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在區(qū)間(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，下述4個(gè)命題不正確的是()A、如果對(duì)于任意的常數(shù)a，總有∫-aaf(x)dx=0，則f(x)必是奇函數(shù)．B、如果對(duì)于任意的常數(shù)a，總有∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx，則f(x)必是偶函數(shù)．C、如果對(duì)于任意的常數(shù)a及某正常數(shù)w，總有∫aa+wf(x)dx與以無關(guān)，則f(x)有周期w．D、如果存在某常數(shù)w＞0，使∫0wf(x)dx=0，則∫0xf(t)dt有周期w．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：法一證明(A)，(B)，(C)都正確．對(duì)于(A)，將a看成變量，∫-aaf(x)dx=0兩邊分別對(duì)a求導(dǎo)數(shù)，有f(a)一[一f(一a)]=0，f(a)=一f(一a)．由a的任意性，故知f(x)為奇函數(shù)．A正確．類似可證(B)也正確．對(duì)于(C)，設(shè)對(duì)任意a，∫aa+wf(x)dx與a無關(guān)，于是(∫aa+wf(x)dx)’a=f(a+w)一f(a)=0，即對(duì)任意a，f(a+w)=f(a)成立．即f(x+w)=f(x)，所以f(x)具有周期w．(C)正確．(A)，(B)，(C)都正確，根據(jù)排除法，選D．法二舉例說明存在某w＞0，有∫0wf(x)dx=0，但∫0x(t)dt不具有周期叫．如：f(x)=1一x，∫02f(x)dx=∫02(1一x)dx=(x—)｜02=0，但f(t)dt=x一不是周期函數(shù)．2、設(shè)F(x)=∫01sin(xt)2dt，則當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)()A、不是無窮小．B、與x為同階但不是等價(jià)無窮?。瓹、與x為等價(jià)無窮小．D、是x的高階無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：選B．3、下列積分發(fā)散的是()A、∫0+∞xdx．B、∫01x2(lnx)2dx．C、．D、．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于(A)，可直接計(jì)算：對(duì)于(B)，由于x2(lnx)2=0，故∫01x2(lnx)2dx不是反常積分(收斂)．所以(D)發(fā)散．選D．4、設(shè)在x＞0處，f(x)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增，并設(shè)F(x)=∫0x(2t—x)f(t)dt，則F(x)在x＞0時(shí)()A、沒有駐點(diǎn)．B、有唯一駐點(diǎn)且為極大值點(diǎn)．C、有唯一駐點(diǎn)且為極小值點(diǎn)．D、有唯一駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題可得，F(xiàn)(x)=∫0x(2t—x)f(t)dt=2∫0xtf(t)dt一x∫0xf(t)dt，因此F’(x)=2xf(x)一xf(x)一∫0xf(t)dt=xf(x)一∫0xf(t)dt=xf(x)一xf(ξ)=x[f(x)一f(ξ)]，0＜ξ＜x．由于f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，可知f(x)＞f(ξ)，所以F’(x)＞0，故F(x)在x＞0時(shí)無駐點(diǎn)，故應(yīng)選A．5、設(shè)齊次線性方程組Ax=0有解α1=(1，2，1，3)T，α2=(1，1，一1，1)T，α3=(1，3，3，5)T，α4=(4，5，一2，6)T．其余Ax=0的解向量均可由α1，α2，α3，α4線性表出，則Ax=0的基礎(chǔ)解系為()A、α1，α2．B、α1，α2，α3．C、α2，α3，α4．D、α1，α2，α3，α4．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：向量組α1，α2，α3，α4的極大線性無關(guān)組為Ax=0的基礎(chǔ)解系．因?yàn)?α1，α2，α3，α4)=，顯然，α1，α2是α1，α2，α3，α4的極大無關(guān)組．故選A．6、設(shè)A是n階正定矩陣，B是n階反對(duì)稱矩陣，則矩陣A—B2是①對(duì)稱陣，②反對(duì)稱陣，③可逆陣，④正定陣，四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是()A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因(A—BT)T=AT+[(一B)B]T=AT+(BTB)T=AT+BTB=A—B2，故A—BT是對(duì)稱陣．又任給x≠0，則有xT(A—B2)x=xTAx—xT(一B)TBx=xTAx+(Bx)TBx，A正定，xTAx＞0，(Bx)T(Bx)≥0．則xT(A—B2)x＞0，故A—B2是正定陣．A—B2是正定陣，則A—B2是可逆陣，故結(jié)論①，③，④正確，應(yīng)選(C)．7、將一枚均勻硬幣連續(xù)拋n次，以A表示“正面最多出現(xiàn)一次”，以B表示“正面和反面各至少出現(xiàn)一次”，則()A、當(dāng)n=2時(shí)，A與B相互獨(dú)立．B、當(dāng)n=2時(shí)，AB．C、當(dāng)n=2時(shí)，A與B互不相容．D、當(dāng)n=3時(shí)，A與B相互獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)n=2時(shí)，由P(AB)≠P(A)P(B)知，A與B不獨(dú)立．又P(A)＞P(B)，知A，所以A與B不互斥．當(dāng)n=3時(shí)，可知P(AB)=P(A)P(B)，因此A與B相互獨(dú)立．故應(yīng)選D．8、設(shè)總體X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，Xn是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本，S2為樣本方差，則下列正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄～N(0，σ2)，所以Xi～N(0，σ2)(i=1，…，n)，．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)平面區(qū)域D(t)={(x，y)｜0≤x≤y，0＜t≤y≤1}，f(t)==___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)函數(shù)f與g可微，z=f(xy，g(xy)+lnx)，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’2知識(shí)點(diǎn)解析：11、微分方程y’=(1一y2)Tanx滿足y(0)=2的特解為y=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：分離變量，兩邊積分，得改寫任意常數(shù)并化簡，得y=．由初始條件y(0)=2，得C1=—。所以特解為y=．12、已知存在且不為零，其充要條件是常數(shù)p=___________，此時(shí)該極限值=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：作積分變量代換，令=u，從而上述極限存在且不為零的充要條件是p=．13、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，B，C為n階矩陣，滿足條件(A+2E)B=O，(A一3E)C=O，且r(B)=r(0＜r＜n)，r(B)+r(C)=n．則二次型f(x1，x2，…，xn)=XTAX的規(guī)范形為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y12+y22+…+yn2一yn—r+12一…一yn2知識(shí)點(diǎn)解析：因(A+2E)B=O，r(B)=r，則B中列向量組的極大線性無關(guān)組向量個(gè)數(shù)為r，且該極大線性無關(guān)組是(A+2E)X=0的解，設(shè)為β1，β2，β3，也是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ=一2的線性無關(guān)的特征向量．又(A一3E)C=O，因r(C)=n一r(B)=n一r，故C中列向量組的極大線性無關(guān)組向量個(gè)數(shù)為n一r，且該極大線性無關(guān)組是(A一3E)X=0的解，也是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ=3的線性無關(guān)的特征向量，記為γ1，γ2，…，γn—r，故XTAX的正慣性指數(shù)為n一r，負(fù)慣性指數(shù)為r．故知f(x1，x2，…，xn)=XTAX的規(guī)范形為y12+y22+…+yn2一yn—r+12一…一yn2．14、設(shè)(X，Y)的聯(lián)合分布律如下，且X和Y相互獨(dú)立，則E(XY)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：求a，b的值有兩種方法．法一利用獨(dú)立性定義，有因?yàn)镻{X=2，Y=1}=P{X=2}P{Y=1}，故有；法二由聯(lián)合概率矩陣的秩等于1，可知矩陣任兩行(或兩列)成比例，由第2列知第1行是第2行的倍，所以由第1行知第3列是第2列的2倍，所以b=．故(X，Y)的聯(lián)合分布律為三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、(Ⅰ)設(shè)0＜x＜+∞，證明存在η，0＜η＜1，使(Ⅱ)求η關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的具體表達(dá)式η=η(x)，并求出當(dāng)0＜x＜+∞時(shí)函數(shù)η(x)的值域．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)取f(x)=，由拉格朗日中值定理有f(x+1)一f(x)=f’(ξ)(x+1一x)，即其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1．(Ⅱ)[解]所以η(x)在區(qū)間(0，+∞)上嚴(yán)格單調(diào)增加．又知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求，要求寫出詳細(xì)的推導(dǎo)過程．標(biāo)準(zhǔn)答案：將題給積分拆成兩項(xiàng)并將第1項(xiàng)交換積分次序：于是可以用洛必達(dá)法則計(jì)算下面極限：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)曲線y=ax2(x≥0，常數(shù)a＞0)與曲線y=1一x2交于點(diǎn)A，過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形D．求(Ⅰ)D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)；(Ⅱ)a為何值時(shí)，V(a)取到最大值?標(biāo)準(zhǔn)答案：y=ax2與y=1一x2的交點(diǎn)為．當(dāng)a＞0時(shí)，得V(a)的唯一駐點(diǎn)a=4．當(dāng)0＜a＜4時(shí)，V’(a)＞0；當(dāng)a＞4時(shí)，V’(a)＜0．故a=4為V(a)的唯一極大值點(diǎn)，即為最大值點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求由方程2x2+2y2+z2+8xz一z+8=0所確定的函數(shù)z(x，y)的極值，并指出是極大值還是極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y)=2x2+2y2+z2+8xz一z+8，且解得y=0，4x+8z=0，再與2x2+2y2+z2+8xz—z+8=0聯(lián)立解得兩組解：(x，y，z)1=(一2，0，1)；(x，y，z)2=()．再求二階導(dǎo)數(shù)并將兩組解分別代入，得所以在第一組點(diǎn)處，B2一AC＜0，A=＞0，故z=1為極小值；在第二組點(diǎn)處，B2一AC＜0，A=一為極大值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)微分方程及初始條件為(Ⅰ)求滿足上述微分方程及初始條件的特解；(Ⅱ)是否存在常數(shù)y1，使對(duì)應(yīng)解y=y(x)存在斜漸近線，請(qǐng)求出此y1及相應(yīng)的斜漸近線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)改寫所給方程為y’一(2x—)y=x2，由一階線性微分方程通解公式得通解由初始條件y(1)=y1，得C=(y1+1)e-1，得初值問題的特解為(Ⅱ)若y1≠一1，則=∞，無斜漸近線．若y1=一1，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)3階矩陣A=．(Ⅰ)T為何值時(shí)，矩陣A，B等價(jià)?說明理由；(Ⅱ)T為何值時(shí)，矩陣A，C相似?說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)锳≌B→r(A)=r(B)．由B=，知r(B)=2．顯然，當(dāng)t=0時(shí)，有r(A)=r(B)=2，A≌B．(Ⅱ)｜λE—C｜==(λ一2)[(λ一2)2一1]=(λ一2)(λ一3)(λ一1)，則C有三個(gè)不同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，且存在可逆矩陣P，使得P-1CP=｜λE一A｜==(λ—t)[(λ一2)2—1]=(λ一t)(λ一3)(λ一1)．當(dāng)t=2時(shí)，A有與C一樣的三個(gè)不同的特征值．故知，當(dāng)t=2時(shí)，有可逆矩陣Q，使得Q-1AQ==P-1CP．從而有(QP-1)-1A(QP-1)=C，即A～C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A是n階矩陣，A的第i行第j列元素aij=i．j(i，j=1，2，…，n)．B是n階矩陣，B的第i行第j列元素bij=i(i=1，2，…，n)．證明：A相似于B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件知A各行元素成比例，故r(A)=1，λ=0是A的n一1重特征值；A的非零特征值為λn=，且A是實(shí)對(duì)稱矩陣，故B各行元素成比例，故r(B)=1，μ=0是B的n一1重特征值，B的非零特征值為μn=．B對(duì)應(yīng)于μ=0有n一1個(gè)線性無關(guān)特征向量，故知存在可逆矩陣P，使得P-1P=．故B～A．由相似關(guān)系的傳遞性，得證A～～B，即A～B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為p的幾何分布(0＜p＜1)，令Z=X+Y，求：(Ⅰ)Z的概率分布；(Ⅱ)X與Z的相關(guān)系數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)X與Y相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為p的幾何分布，P{X=k}=p(1一p)k—1，k=1，2，…，故Z=X+Y的取值為2，3，…，則=(z一1)p2(1一p)z—2，z=2，3，…．(Ⅱ)X與Y相互獨(dú)立，有D(X+Y)=DX+DY，Cov(X，Y)=0．則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)總體X的概率密度f(x)=其中θ＞0，μ，θ為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為取自X的簡單隨機(jī)樣本．(Ⅰ)用原點(diǎn)矩求μ，θ的矩估計(jì)量；(Ⅱ)求μ，θ的最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)因?yàn)樗迫缓瘮?shù)為于是當(dāng)xi≥μ，i=1，…，n時(shí)，lnL=—nlnθ一，由于可知lnL關(guān)于μ單調(diào)增加，即L(x1，…，xn；μ，θ)關(guān)于μ單調(diào)增加，又因?yàn)棣獭?一∞，{xi}]，故μ的最大似然估計(jì)量為解得θ的最大似然估計(jì)量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數(shù)的漸近線共有()A、1條。B、2條。C、3條。D、4條。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查函數(shù)的漸近線。如果，則y＝a是一條水平漸近線；如果至少有一個(gè)為無窮，則x＝c是一條垂直漸近線；如果存在但不為零，且也存在，則y＝kx＋b是一條斜漸近線。因?yàn)?，所以x＝0是一條垂直漸近線；因?yàn)椋允且粭l垂直漸近線；因?yàn)?，所以y＝1是一條水平漸近線；經(jīng)驗(yàn)證，該函數(shù)不存在斜漸近線。綜上所述，函數(shù)共有3條漸近線。故本題選C。2、設(shè)y＝f(x)與y＝∫arcsinx0et2＋1dt在(0，0)點(diǎn)有相同的切線，則＝()A、0。B、1。C、e。D、3e。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查切線的求解和導(dǎo)數(shù)的極限式定義。兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)有相同的切線，則兩函數(shù)在該點(diǎn)的斜率相同，即導(dǎo)函數(shù)值相同。通過湊導(dǎo)數(shù)的極限式定義求最終的極限。兩函數(shù)都過(0，0)點(diǎn)，則有f(0)＝0，故本題選D。3、某商品的需求函數(shù)為Q＝Q(P)，需求彈性為，P＝8時(shí)，Q＝72，則Q(P)＝()A、Q＝100－P2。B、Q＝2(100－P2)。C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用。根據(jù)需求彈性函數(shù)占＝一號(hào)籌建立微分方程，解微分方程即可得出Q的函數(shù)表達(dá)式。由，整理得微分方程解上述微分方程可得Q＝C(100－P2)，已知P＝8時(shí)，Q＝72，因此C＝2，需求函數(shù)Q＝2(100－P2)。故本題選B。4、將直角坐標(biāo)系下的累次積分化為極坐標(biāo)系中的累次積分為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系累次積分的相互轉(zhuǎn)化。首先通過直角坐標(biāo)系的上、下限畫出積分區(qū)域的圖形，然后根據(jù)x＝rcosθ，y＝rsinθ將積分函數(shù)的x和y分別做替換，替換后勿忘乘以r。題干直角坐標(biāo)系的積分區(qū)域圖形如圖所示：根據(jù)可得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，因此積分區(qū)域?yàn)閳A(x－1)2＋y2＝1的上半部分在直線y＝x下方的區(qū)域。因此，根據(jù)圖形可得極坐標(biāo)累次積分為故本題選A。5、A是3階矩陣，｜A｜＝－3，且滿足｜2A2－A｜＝0。矩陣A的主對(duì)角線元素的和為3／2，則A*的特征值分別為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查矩陣特征值的性質(zhì)。如果λ是矩陣A的一個(gè)特征值，則是其伴隨矩陣A*的特征值。本題矩陣A是3階矩陣，故有3個(gè)特征值，因此A*也有3個(gè)特征值。根據(jù)｜A｜＝－3，｜2A2－A｜＝0及主對(duì)角線元素之和，可求出A的三個(gè)特征值，從而求出A*的特征值。根據(jù)已知｜2A2－A｜＝0，可得｜A｜·｜2A－E｜＝0，進(jìn)一步得465。因?yàn)椋麬｜≠0，因此，可見λ1＝1／2是A的一個(gè)特征值。再根據(jù)｜A｜＝－3,A的主對(duì)角線元素和為3／2，設(shè)另外兩個(gè)特征值為λ2，λ3，建立方程組解得λ2＝3，λ3＝－2。根據(jù)特征值的性質(zhì)，A*的三個(gè)特征值分別為(i＝1，2，3)，即A*的三個(gè)特征值分別為－6，3／2，－1。故本題選C。6、設(shè)向量α＝(1，0，－1)T，ααT＝A，則｜aE－A*｜＝()A、a3－2na2＋22n－2a。B、a2(a－2n)。C、a3－2na＋22n－1a。D、22n－2a。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查矩陣的冪及矩陣行列式的計(jì)算。行向量乘以列向量結(jié)果是一個(gè)數(shù)，列向量乘以行向量結(jié)果是一個(gè)矩陣。已知α＝(1，0，－1)T，則故本題選B。7、隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，已知P{0＜X2＜3}＝P{3＜X2＜5}，則P{X＝3}＝()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查泊松分布的定義和性質(zhì)。泊松分布屬于離散型隨機(jī)變量，因此根據(jù)P{0＜X2＜3}＝P{3＜X2＜5}可以得出P{X＝1}＝P{x＝2}，建立等式得出λ的值，從而計(jì)算P{x＝3}的值。泊松分布已知P(0＜X2＜3}＝P{3＜X2＜5}，則P{X＝1}＝P{X＝2}，因此有，解得λ＝2，因此故本題選D。8、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在xOy平面中由曲線與y＝x2圍成的區(qū)域上服從均勻分布，則＝()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查服從均勻分布隨機(jī)變量概率的求解。在平面直角坐標(biāo)系中，服從均勻分布的二維隨機(jī)變量的概率即為所求概率的區(qū)域面積占全部區(qū)域面積的比值。由曲線與y＝x2圍成的區(qū)域面積為故本題選A。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)y＝y(tǒng)(x)是由確定的隱函數(shù)，則y＇(0)＝__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查隱函數(shù)求導(dǎo)。先將x＝0代入等式求出y(0)的值，然后在等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，將x＝0和y(0)的值代入導(dǎo)函數(shù)，求得y＇(0)的值。在方程中令x＝0，則可得。在方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得將x＝0和代入上式可得0＝2－ey＇，解得。10、差分方程△2yt－yt＝2t的通解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：，C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查非齊次差分方程的求解。非齊次差分方程的通解等于非齊次差分方程的一個(gè)特解與其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解之和。根據(jù)差分方程的定義△2yt＝△(△yt)＝△yt＋1－△yt＝y(tǒng)t＋2－yt＋1－(yt＋1－yt)＝y(tǒng)t＋2－2yt＋1＋yt，則原差分方程可化為yt＋2－2yt＋1＝2t，即yt＋1－2yt＝2t。該一階線性差分方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程為yt＋1－2yt＝0，其特征方程為r－2＝0，特征值r＝2，通解為yt＝C·2t。設(shè)原差分方程特解為y*＝mt·2t，解得，則特解為，因此可得原差分方程的通解為，C為任意常數(shù)。11、某商品的收益函數(shù)為R(p)，收益彈性為1＋p2，其中P為商品的價(jià)格，且R(1)＝1，則R(p)＝___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用。根據(jù)收益彈性的定義建立微分方程，解微分方程即得收益函數(shù)。根據(jù)收益彈性的定義有將R(1)＝1代入上式，得，即。因此可得。12、設(shè)區(qū)域D由直線x＝0，y＝0，圍成，已知，則＝__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二重積分的求解。將題干已知等式進(jìn)行移項(xiàng)合并化簡，利用累次積分表示二重積分，結(jié)合已知條件求積分。根據(jù)，移項(xiàng)合并可得，。已知區(qū)域D由直線x＝0，y＝0，，則13、(13)A，B均為3階矩陣，且A與B相似，λ1＝1，λ2＝3為矩陣A的兩個(gè)特征值，已知｜B｜＝6,則＝____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查相似矩陣的性質(zhì)和伴隨矩陣的行列式。如果兩個(gè)矩陣相似，則它們有相同的特征多項(xiàng)式、相同的特征值、相同的秩、相同的行列式、相同的跡。矩陣A的伴隨矩陣的行列式等于｜A｜2。設(shè)λ3為A的另一個(gè)特征值，則由A與B相似可得｜A｜＝｜B｜＝6，且λ1λ2λ3＝｜A｜＝6，因此可得λ3＝2，即A與J6『的特征值均為1，2，3，故有｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)(λ3＋1)＝2×3×4＝24，｜B*｜＝｜B｜2＝36，14、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨(dú)立，且X1～N(1，4)，X2～N(2，9)，Xt～N(3，16)，則E[X1(X1＋X2＋X3)]＝____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查相互獨(dú)立隨機(jī)變量的性質(zhì)及正態(tài)分布的期望和方差。將要求期望的隨機(jī)變量展開，利用獨(dú)立性分解成多個(gè)期望的和，結(jié)合公式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2及正態(tài)分布的期望和方差求得最終結(jié)果。已知X1～N(1，4)，X2～N(2，9)，X3～N(3，16)，則E(X1)＝1，E(X2)＝2，E(X3)＝3，D(X1)＝4，D(X2)＝9，D(X3)＝16。E[X1(X1＋X2＋X3)]＝E(X21)＋E(X1)E(X2)＋E(X1)E(X3)＝D(X1)＋[E(X1)]2＋E(X1)E(X2)＋E(X1)E(X3)＝4＋12＋1×2＋1×3＝10。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)0＜x≤1時(shí)，f(x)＝2xtanx，－1＜x≤0時(shí)，f(x)＝3f(x＋1)－2k，已知極存在，求k的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可得，根據(jù)等價(jià)無窮小替換tanx～x(x→0)及洛必達(dá)法則，已知極限。知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查函數(shù)極限存在的充要條件。函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的左、右極限均存在且相等。本題屬于分段函數(shù)，分段點(diǎn)恰為x＝0，分別求出該點(diǎn)的左、右極限令其相等，即可求出k的值，求極限過程中可利用洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小替換。16、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，且，其中D是一個(gè)封閉區(qū)域，由y＝x2和直線y＝1圍成，求f(x，y)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)。對(duì)上面的等式兩端同時(shí)在D上求二重積分，得即得等式，解得。綜上所述，可得。知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二重積分的綜合應(yīng)用。根據(jù)題干可知，只要求出的值，就可以求出f(x，y)，因此將設(shè)為某個(gè)待定系數(shù)，對(duì)已知等式兩邊同時(shí)求二重積分，求出的值，進(jìn)一步可求得f(x，y)的表達(dá)式。17、求函數(shù)f(x，y)＝x2＋y2－xy－y在由直線x＋y＝6、x軸及y軸所圍成的封閉區(qū)域D上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以必存在最大值和最小值。首先，求f(x，y)＝x2＋y2－xy－y在D內(nèi)部的極值：解方程組解得區(qū)域D內(nèi)部唯一的駐點(diǎn)為，因?yàn)锳＝f＂xx＝2，B＝f＂xx＝－1，C＝f＂yy＝2，可知A＞0，AC－B2＝3＞0，因此為極小值點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)值為。其次，求f(x，y)＝x2＋y2－xy－y在D的邊界上的極值：邊界上的極值屬于條件極值，在x＋y＝6的條件下，拉格朗日函數(shù)為F(x，y，λ)＝x2＋y2－xy－y＋λ(x＋y－6)，解方程組得可能的極值點(diǎn)為，此時(shí)函數(shù)值為。在區(qū)域下邊界y＝0(O≤x≤6)上，函數(shù)f(x，0)＝x2最小值為0，最大值為36；在區(qū)域左邊界x＝0(0≤y≤6)上，函數(shù)f(0，y)＝y(tǒng)2－y最小值為，最大值為30。綜上所述，函數(shù)f(x，y)＝x2＋y2－xy－y在區(qū)域D上的最小值為，最大值為36。知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二元函數(shù)的最值。該題先分成兩部分求極值，再比較各極值得出最值。在區(qū)域內(nèi)部，先求出駐點(diǎn)，利用二元函數(shù)極值的充分條件判斷駐點(diǎn)是否為極值；區(qū)域邊界上的極值屬于條件極值，利用拉格朗日乘數(shù)法求出各邊界的極值。18、已知fn(x)滿足(n為正整數(shù))，且。求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：fn(x)滿足微分方程，所以用一階線性微分方程的通解公式得其通解為已知，因此C＝0，所以，于是設(shè)，顯然其收斂域?yàn)閇－1，1]，且S(0)＝0，X∈(1，1)時(shí)，當(dāng)x＝－1時(shí)S(x)連續(xù)，因此x＝－1處和函數(shù)也滿足上述式子，當(dāng)x＝1時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。首先通過解微分方程得出fn(x)的表達(dá)式，然后利用逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間的性質(zhì)，將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為容易求出和函數(shù)的形式并寫出和函數(shù)，最后對(duì)該和函數(shù)求積分，得出原級(jí)數(shù)的和函數(shù)。19、證明當(dāng)x∈(0，π]時(shí)，不等式成立。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)，而cosx＜0，此時(shí)不等式恒成立。當(dāng)時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)可得g(x)是單調(diào)增函數(shù)，因此時(shí)，g(x)＞g(0)＝0，進(jìn)一步有f＇(x)＞0，因此f(x)也是增函數(shù)，而因此時(shí)，f(x)＞f(0)＝0，即。綜上所述，當(dāng)x∈(0，π]時(shí)，不等式成立。知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查不等式的證明。解決這種題型一般思路是構(gòu)造函數(shù)，如果不等號(hào)兩邊是同類型函數(shù)，則通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果不等號(hào)兩邊是不同的函數(shù)，則兩邊相減構(gòu)造輔助函數(shù)，通過輔助函數(shù)與O的大小判斷不等式。20、已知ξ＝(1，－2，3)T是矩陣的一個(gè)特征向量。(Ⅰ)試確定參數(shù)a，b及ξ所對(duì)應(yīng)的特征值λ；(Ⅱ)A能否對(duì)角化，如果能，試求可逆矩陣P，使得A相似于對(duì)角矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)A的特征向量ξ對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則Aξ＝λξ，即(Ⅱ)根據(jù)a＝－1，b＝4可得矩陣特征值分別為λ1＝6，λ2＝2(二重)。當(dāng)λ＝6時(shí)，，解得特征向量為ξ1＝(1，－2，3)T；當(dāng)λ＝2時(shí)，，解得特征向量為ξ2＝(1，－1，0)T，ξ3＝(1，0，1)T。知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查特征值與特征向量及矩陣的相似對(duì)角化。根據(jù)ξ＝(1，－2，3)T是A的特征向量，即Aξ＝λξ，建立關(guān)于a，b及ξ的方程組，解出它們的值。矩陣可相似對(duì)角化的條件是A有3個(gè)不同的特征值或?qū)?yīng)的n重特征值有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，據(jù)此判斷A是否可對(duì)角化，并通過求特征向量得出使A相似于對(duì)角矩陣的可逆矩陣P。21、已知，當(dāng)λ取何值時(shí)。(Ⅰ)β可由α1，α2，α3線性表示，且表達(dá)式唯一；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3線性表示，且表達(dá)式不唯一，并寫出此時(shí)β的表達(dá)式；(Ⅲ)β不能由α1，α2，α3線性表示。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)α1x1＋α2x2＋α3x3＝β，則題干轉(zhuǎn)化為當(dāng)λ取何值時(shí)，該方程組有唯一解、無窮多解、無解。線性方程組為對(duì)增廣矩陣實(shí)施初等變換化為階梯形矩陣，根據(jù)線性方程組解的存在性和唯一性的條件，可知(Ⅰ)當(dāng)A≠1且時(shí)，方程組有唯一解，即β可由α1，α2，α3線性表示，且表達(dá)式唯一。(Ⅱ)當(dāng)λ＝1時(shí)，方程組有無窮多解，即β可由α1，α2，α3線性表示，且表達(dá)式不唯一，此時(shí)增廣矩陣為，通解為x＝(1，0，1)T＋k(0，1，1)T，k為任意常數(shù)。即β的表達(dá)式為β＝α1＋kα2＋(1＋k)α3，k為任意常數(shù)。(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，方程組無解，即β不能由α1，α2，α3線性表示。知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查向量的線性表示和線性方程組根的判別。題目可轉(zhuǎn)化為線性方程組解的存在性和唯一性問題，將題干條件用線性方程組表示，通過比較系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩判斷方程組解的情況。22、設(shè)隨機(jī)變量X和Y均服從(0，3)上的均勻分布，求隨機(jī)變量U＝X＋Y和V＝XY的概率密度標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知，X和Y的概率密度均為記U＝X＋Y的概率密度為fU(u)，則fU(u)＝∫＋∞－∞f(t)f(u－t)dt，其中當(dāng)u＜0或u＞6時(shí)，fU(u)＝0；當(dāng)0≤u＜3時(shí),；當(dāng)3≤M＜6時(shí)，。綜上所述，可得記V＝XY的概率密度為fV(v)，則235，其中當(dāng)v≤0或v≥9時(shí),fV(v)＝0；當(dāng)0＜v＜9時(shí),。綜上所述，可得知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查隨機(jī)變量函數(shù)的分布。當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí)，Z＝X＋Y的概率密度為fZ(z)＝∫＋∞－∞fX(x)fY(z－x)dx或fZ(z)＝∫＋∞－∞fX(z－y)fY(y)dy，而Z＝XY，的概率密度為22923、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，且X的概率分布為131，其中0＜θ＜1，分別用n1，n2，n3表示X1，X2，…，Xn中出現(xiàn)1，2，4的次數(shù)，試求(Ⅰ)未知參數(shù)θ的最大似然估計(jì)量；(Ⅱ)未知參數(shù)θ的矩估計(jì)量；(Ⅲ)當(dāng)樣本值為1，2，1，4，5，4，1，5時(shí)的最大似然估計(jì)值和矩估計(jì)值。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)根據(jù)已知，樣本中出現(xiàn)1，2，4，5的次數(shù)分別為n1，n2，n3，n－n1－n2－n3，則似然函數(shù)為L(θ)＝(1－θ)＝(1－θ)2n1[θ(1－θ)]n2[θ(1－θ)]n3θ2(n－n1－n2－n3)，兩邊取對(duì)數(shù)lnL(θ)＝In｜(1－θ)2n1[θ(1－θ)]n2[θ(1－θ)]n3θ2(n－n1－n2－n3)}＝(2n1＋n2＋n3)In(1－θ)＋(2n－2n1－n2－n3)Inθ，兩邊同時(shí)對(duì)θ求導(dǎo)解得θ的最大似然估計(jì)量為。(Ⅱ)總體X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝1×(1－θ)2＋2[θ(1－θ)]＋4[θ(1－θ)]＋5θ2＝1＋4θ，因此可得θ的矩估計(jì)量為。(Ⅲ)利用上面的兩個(gè)估計(jì)量公式，當(dāng)樣本值為1，2，1，4，5，4，1，5時(shí)，θ的最大似然估計(jì)值為θ的矩估計(jì)值為知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查最大似然估計(jì)和矩估計(jì)。因?yàn)閚1,n2，n3，表示X1，X2，…，Xn中出現(xiàn)1，2，4的次數(shù)，因此5出現(xiàn)的次數(shù)即為n－n1－n2－n3。再根據(jù)最大似然估計(jì)量的求解步驟構(gòu)造似然函數(shù)，取對(duì)數(shù)，求導(dǎo)。矩估計(jì)量與各個(gè)隨機(jī)變量出現(xiàn)的次數(shù)無關(guān)，根據(jù)X的概率分布計(jì)算期望，求矩估計(jì)量?？佳袛?shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)D為有界閉區(qū)域，z=f(x，y)在D上二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且在區(qū)域D內(nèi)滿足：，則()．A、f(x，y)在D取到最小值和最大值B、f(x，y)在D內(nèi)取到最小值但取不到最大值C、f(x，y)在D內(nèi)取到最大值但取不到最小值D、f(x，y)在D內(nèi)既取不到最大值又取不到最小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)區(qū)域D內(nèi)任意一點(diǎn)(x，y)，因?yàn)椋訢內(nèi)任意一點(diǎn)都不是最值點(diǎn)，故f(x，y)在D內(nèi)既取不到最小值又取不到最大值，應(yīng)選D．2、當(dāng)x＞0時(shí)，，則∫-22xf’(x)dx為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選C．3、當(dāng)x→0時(shí)，無窮小的階數(shù)最高的是()．A、B、tanx一xC、(1+tanx)ln(1+2x)一1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：4、下列反常積分收斂的是()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)A為m×n矩陣，以下命題正確的是()．A、若AX=0只有零解，則AX=b只有唯一解B、若AX=0有非零解，則AX=b有無數(shù)個(gè)解C、若r(A)=n，則AN=b有唯一解D、若r(A)=m，則Ax=b一定有解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)r(A)=m時(shí)，則r(A)=m，于是若r(A)=m，則AX=b一定有解，選D．6、設(shè)A為三階矩陣，特征值為λ1=λ2=1，λ3=2，其對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1,α2,α3，令P=(α1一α3，α2+α3，α3)，則P1一1A*P1=()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：A*的特征值為2，2，1，其對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1,α2,α3，選A．7、設(shè)隨機(jī)變量x～N(μ，σ2)，其分布函數(shù)為F(x)，又Y=F(X)，則等于()．A、1B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)且X，Y相互獨(dú)立，則P{XY+1＞X+Y}=()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以10、=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)y=y(x)由確定，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)t=0時(shí)，x=1．12、微分方程的通解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣,為方程組AN=0的解,為方程組(2E—A)X=0的一個(gè)解，｜E+A｜=0，則A=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：顯然為A的特征向量，其對(duì)應(yīng)的特征值分別為λ1=0,λ2=2，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱陣，所以ξ1ξ2=k2一2k+1=0，解得k=1，于是又因?yàn)椋麰+A｜=0，所以λ3=-1為A的特征值，令λ3=一1對(duì)應(yīng)的特征向量為14、設(shè)X1，X2，…，Xm與Y1，Y2，…，Yn分別為來自相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體X與Y的簡單隨機(jī)樣本，令，則D(z)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2(m+n一2)知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、計(jì)算二重積分其中D={(x，y)｜0≤z，y≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(z，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0)，D2=D＼D1，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)可導(dǎo)，f(1)=0，∫01xf’(x)dx=2，證明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分，得∫01xf’(x)dx=xf(x)｜01一∫01f(x)dx=一∫01f(x)dx=2，于是∫01f(x)dx=一2．由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)一f(1)=f’(η)(x一1)，其中η∈(x，1)，f(x)=f’(η)(x一1)兩邊對(duì)x從0到1積分，得∫01f(x)dx=∫01f’(η)(x一1)dx=一2因?yàn)閒’(x)在[0，1]上連續(xù)，所以f’(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x一1)≤f’(η)(x一1)≤m(x一1)兩邊對(duì)x從0到1積分，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需投入兩種生產(chǎn)要素，x，y分別為兩種生產(chǎn)要素的投入量，Q為產(chǎn)品的產(chǎn)量，設(shè)生產(chǎn)函數(shù)Q=2xαyβ，其中α＞0，β＞0且α+β=1．設(shè)兩種生產(chǎn)要素的價(jià)格分別為p1及p2，問當(dāng)產(chǎn)量為12時(shí)，兩種生產(chǎn)要素投入多少可使投入總費(fèi)用最少?標(biāo)準(zhǔn)答案：投入費(fèi)用函數(shù)為C=p1x+p2y1令F(x，y,λ)=p1x+p2y+λ(2xαyβ－12)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù)，并求標(biāo)準(zhǔn)答案：得收斂半徑為R=1．當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)｜x｜＞1時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)x=±1時(shí)，因?yàn)闉槭諗康慕诲e(cuò)級(jí)數(shù)，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)z=z(x，y)二階連續(xù)可偏導(dǎo)且滿足方程在變換下，原方程化為求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)問a，b，c為何值時(shí)，矩陣方程AX=B有解，有解時(shí)求出全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩陣方程化為A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=XTAX經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=2y12－y22一y32，又A*α=α，其中α=(1，1，一1)T．(I)求矩陣A；(Ⅱ)求正交矩陣Q，使得經(jīng)過正交變換X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)顯然A的特征值為λ1=2，λ2=一1，λ3=一1，｜A｜=2，伴隨矩陣A*的特征值為μ1=1，μ2=一2，μ3=一2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，一1)T是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=2的特征向量．令ξ=(x1，x2，x3)T為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ2=一1，λ3=一1的特征向量，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以αTξ=0，即x1+x2一x3=0，于是λ2=一1，λ3=一1對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為(I)求常數(shù)k；(Ⅱ)求X的邊緣密度；(Ⅲ)求當(dāng)下Y的條件密度函數(shù)fY|X(y|x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xm+n(m＜n)獨(dú)立同分布，其方差為σ2，令求：(I)D(Y)，D(Z)；(Ⅱ)ρYZ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)因?yàn)閄1，X2，…，Xm+n相互獨(dú)立，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f（x）=在區(qū)間（0，4）內(nèi)某點(diǎn)a處的導(dǎo)數(shù)f’（a）不存在，則必有A、a=B、a=1．C、a=2．D、a=3．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f—’(2)=（2x）’|x=2=2，f+’(2)=（x2）’|x=2=4，f—’(2)≠f+’(2)故f’(2)不存在，即a=2．選(C)．2、設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，又F（x）=A、F(x+π)＞F(x)(X∈(一∞，+∞)）．B、F(x+π)＜F(x)（x∈（一∞，+∞））．C、F(x+π)=F(x)(X∈(一∞，+∞)）．D、x＞0時(shí)F（x+π）＞F（x），x＜0時(shí)F（x+π）＜F（x）．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f(|sinx|）是以π為周期的周期函數(shù)，因而有因此選(C)．3、設(shè)D={（x，y）|x+y≥1，x2+y2≤1}，則I=（x2+y2）dσ的值為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：D由直線x+y=1與圓周x2+y2=1所圍成（它位于第一象限），如圖．記D1={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0．y≥0}，D2={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，顯然D=D1\D2，于是其中D2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，因此故選(B)．4、已知冪級(jí)數(shù)（x—a）n在x＞0時(shí)發(fā)散，且在x=0時(shí)收斂，則A、a=1．B、a=—1．C、—1≤a＜1．D、—1＜a≤1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：知該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，從而得其收斂區(qū)間為|x—a|＜1，即a—1＜x＜a+1．又當(dāng)x—a=1即x=a+1時(shí)，原級(jí)數(shù)為收斂；當(dāng)x—a=—1即x=a—1時(shí)，原級(jí)數(shù)為發(fā)散．因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閍—1＜x≤a+1．于是，由題設(shè)x=0時(shí)級(jí)數(shù)收斂，x＞0時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，可知x=0是其收斂區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)，且位于收斂域內(nèi)，因此只有a+1=0即a=—1．故選(B)．5、設(shè)要使得A正定，a應(yīng)該滿足的條件是A、a＞2．B、a≥2．C、0＜a＜2．D、a＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：用順序主子式．A的3個(gè)順序主子式為2，4—a2，2a—a2，它們都大于0的條件是0＜a＜2．6、n維向量組（Ⅰ）α1，α2，…，αs和（Ⅱ）β1，β2，…，βt等價(jià)的充分必要條件是A、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，并且s=t．B、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n．C、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，并且(Ⅰ)可以用(Ⅱ)線性表示．D、(Ⅰ)和（Ⅱ)都線性無關(guān)，并且s=t．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)的充分必要條件是r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)．(A)缺少條件r(Ⅰ，Ⅱ)=r(Ⅰ)．(B)是(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)的一個(gè)充分條件，但是等價(jià)并不要求向量組的秩達(dá)到維數(shù)．(D)(Ⅰ)和(Ⅱ)都無關(guān)不能得到它們互相可以線性表示，例如(Ⅰ)：α1=(1，0，0，0)，α2=(0，1，0，0)，(Ⅱ)：β1=(0，0，1，0)，設(shè)β2=(0，0，0，1)．(Ⅰ)和(Ⅱ)都無關(guān)，并且s=t=2，但是(Ⅰ)和(Ⅱ)不等價(jià)．(C)(I)可以用(Ⅱ)線性表示，則r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)．7、袋中有2個(gè)白球和1個(gè)紅球．現(xiàn)從袋中任取一球且不放回，并再放入一個(gè)白球，這樣一直進(jìn)行下去，則第n次取到白球的概率為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)Ai表示第i次取到白球，i=1，2，…，n，則=A1A2…An—1.由乘法公式可得所以應(yīng)選(D)．8、設(shè)是取自同一正態(tài)總體N（μ，σ2）的兩個(gè)相互獨(dú)立且容量相同的簡單隨機(jī)樣本的兩個(gè)樣本均值，則滿足≤0．05的最小樣本容量n=A、4．B、8．C、12．D、24．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因總體服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則n≥2×1．962=7．6832．故最小樣本容量n=8．選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f（x）在x=0處連續(xù)，且則曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用sinx的帶皮亞諾余項(xiàng)的三階泰勒公式有x—sinx=x—[x—x3+o(x3)]=x3+o(x3)，代入原極限式即得10、設(shè)y（x）是由x2+xy+y=tan（x—y）確定的隱函數(shù)，且y（0）=0，則y"（0）=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將方程看成關(guān)于變量x的恒等式，兩端同時(shí)對(duì)變量x求導(dǎo)數(shù)可得在（*）式中令x=0，又y(0)=0，則有y’(0)=1—y’(0)，于是y’(0)=將（*）式看成關(guān)于變量x的恒等式，兩端同時(shí)對(duì)變量x求導(dǎo)數(shù)又可得在（**）式中令x=0，又y(0)=0．y’(0)=即得2+2y’(0)+y"(0)=一y"(0)，于是y"(0)=一1—y’(0)=11、設(shè)u（x，y）=y2F（3x+2y），若標(biāo)準(zhǔn)答案：y2(3x+2y—1)．知識(shí)點(diǎn)解析：由u(x，)=x2得F(3x+1)=x2，即F(3x+1)=4x2．設(shè)3x+1=t，x=（t一1），則F(t)=（t—1）2，從而F(3x+2y)=(3x+2y—1)2于是u（x，y）=y2(3x+2y—1)2y2(3x+2y—1)．6=y2(3x+2y—1)．12、差分方程yt+1—3yt=20cos滿足條件y0=5的特解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：yt=6×3t一知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題設(shè)差分方程的特點(diǎn)，可設(shè)其通解形式為yt=C×3t+Acos其中A，B，C是待定常數(shù)，于是，yt+1=3C×3t一Asin把它們代入方程可得yt+1—3yt=(B—3A)cos令即可確定常數(shù)A=—1，B=17．即差分方程的通解為yt=C×3t—cos再利用條件y0=5又可確定常數(shù)C=6．故所求特解是yt=6×3t—cos13、設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣要使得A的正，負(fù)慣性指數(shù)分別為2，1，則a滿足的條件是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a＜0或＞4．知識(shí)點(diǎn)解析：A的正，負(fù)慣性指數(shù)分別為2和1的充分必要條件是|A|＜0（A的對(duì)角線元素有正數(shù)，不可能特征值都負(fù)）．求出|A|=—a2+4a，得答案．14、設(shè)（X，Y）服從右圖梯形區(qū)域D上的均勻分布標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于(X，Y)在D上服從均勻分布，故可用幾何概率求解.記將梯形區(qū)域D分成12個(gè)全等的小三角形．此時(shí)可記SΩ=12，SA=3．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、已知極限求常數(shù)a，b，c．標(biāo)準(zhǔn)答案：用洛必達(dá)法則．由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求由曲線y=3—x2與圓x2+（y—1）2=4所圍圖形中含坐標(biāo)原點(diǎn)那一部分的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求拋物線與圓的交點(diǎn)，由y=3—x2與x2+（y—1）2=4可得x2+(2—x2)2=4，即x2(x2—3)=0，從而x=0．x=因此兩曲線的交點(diǎn)分別為(0，3)，x軸下方圓的曲線方程為y=1—圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)z=z（x，y）是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z（x，y）的極值點(diǎn)和極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用一階全微分形式不變性，將方程求全微分即得18xdx—54(ydx+xdy)+180ydy—6zdy—6ydz—2zdz=0，即（18x—54y)dx+(180y—54x—62)dy—(6y+2z)dz=0．從而為求隱函數(shù)z=z(x，y)的駐點(diǎn)，應(yīng)解方程組②可化簡為x=3y，由③可得z=30y—9x=3y，代入①可解得兩個(gè)駐點(diǎn)x=3，y=1，z=3與x=—3，y=—1，z=—3．為判定z=z(x，y)在兩個(gè)駐點(diǎn)處是否取得極值，還需求z=z（z，y）在這兩點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)：記P=(3，1，3)，Q=（—3，—1，—3），即可得出在P點(diǎn)處故在點(diǎn)(3，1)處z=z（x，y）取得極小值z(mì)(3，1)=3．類似可知在Q點(diǎn)處故在點(diǎn)（—3，—1）處z=z（x，y）取得極大值z(mì)（—3，一1）=—3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求冪級(jí)數(shù)的收斂域D與和函數(shù)S（x）．標(biāo)準(zhǔn)答案：用通項(xiàng)分拆法分解冪級(jí)數(shù)可得利用已知的和函數(shù)公式：當(dāng)就有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上連續(xù)，且f（x）dx=0，求證：存在ξ∈（0，4）使得f（ξ）+f（4一ξ）=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：作換元t=4—x:0→4對(duì)應(yīng)t:4→0，且dx=—df，從而∫04f(x)dx=一∫40f(4—t)dt=∫04(4—t)dt=∫04f(4—x)dx．由此即得∫04f(4一x）dx=∫04f(x）dx=0，于是∫04[f(x)+f(4—x)]dx=0．利用f(x)+f(4—x)在[0，4]連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的積分中值定理即知存在ξ∈(0，4)使得f(ξ）+f(4一ξ）=∫04[f(x)+f(4一x）]dx=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)4階矩陣A=（α1，α2，α3，α4），方程組Ax=β的通解為（1．2，2，1）T+c（1，—2，4，0）T，c任意．記B=（α3，α2，α1，β—α4）．求方程組Bx=α1—α2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先從AX=β的通解為(1，2，2，1)T+c（1，—2，4，0）T可得到下列訊息：①Ax=0的基礎(chǔ)解系包含1個(gè)解，即4—r(A)=1，得r(A)=3．即r（α1，α2，α3，α4）=3．②(1，2，2，1)T是Ax=β解，即α1+2α2+2α3+α4=β．③（1，—2，4，0）T是Ax=0解，即α1—2α2+4α3=0．α1，α2，α3線性相關(guān)，r（α1，α2，α3）=2．顯然B（0，—1，1，0）T=α1—α2，即（0，—1，1，0）T是Bx=α1—α2的一個(gè)解．由②，B=（α3，α2，α1，β—α4）=（α3，α2，α1，α1+2α2+2α3），于是r（B）=r(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=r(α1，α2，α3)=2．則Bx=0的基礎(chǔ)解系包含解的個(gè)數(shù)為4—r(B)=2個(gè)，α1—2α2+4α3=0說明（4，—2，1，0）T是Bx=0的解；又從B=（α3，α2，α1，α1+2α2+2α3）容易得到B（—2，—2，—1，1）T=0，說明（—2，—2，—1，1）T也是Bx=0的解，于是（4，—2，1，0）T和（—2，—2，—1，1）T構(gòu)成Bx=0的基礎(chǔ)解系．Bx=α1—α2的通解為：(0，—1，1，0)T+c1(4，—2，1，0)T+c2(—2，—2，—1，1)T，c1，c2任意．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，滿足A2=層，并且r（A+E）=k＜n．①求二次型xTAx的規(guī)范形．②證明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩陣，并求|B|．標(biāo)準(zhǔn)答案：①由于A2=E，A的特征值λ應(yīng)滿足λ2=1，即只能是1和—1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也為實(shí)對(duì)稱矩陣，它相似于對(duì)角矩陣Λ，Λ的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2（后重）和0（n—k重），從而A的特征值是1（k重）和—1（n—k重）．A的正，負(fù)關(guān)系慣性指數(shù)分別為k和n—k，xTAx的規(guī)范形為y12+y22+…+yk2一yk+12一…一yn2，②B是實(shí)對(duì)稱矩陣，由A2=E，有B=3E+2A，B的特征值為5（k重）和1（n—k重）都是正數(shù)．因此B是正定矩陣．∴|B|=5k．1n—k=5k．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)甲袋中有2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)紅球，每次從各袋中任取一球，交換后放入另一袋，這樣交換3次，求甲袋中白球數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Ai={第二次交換后甲袋有i個(gè)白球}，i=0，1，2．由于經(jīng)過第一次交換，甲、乙兩袋中各有一個(gè)紅球，一個(gè)白球，故又設(shè){X=k}表示三次交換后甲袋中的白球數(shù)，k=0，1，2．則P{X=0|A0}=0，P{X=0|A1}=，P{X=0|A2}=0，P{X=1|A0}=1，P{X=1|A1}=，P{X=1|A2}=1，P{X=2|A0}=0，P{X=2|A1}=，P{X=2|A2}=0，所以P{X=0}=P{X=0|A1}P(A1)=P{X=1}=P{X=1|A0}P(A0)—P{X=1|A1}P(A1)+P{X=1|A2}P(A2)P{X=2}=P{X=2|A1}．P(A1)=故X的概分布為知識(shí)點(diǎn)解析：為求數(shù)學(xué)期望應(yīng)先求出甲袋白球數(shù)X的概率分布．經(jīng)過第一次交換后，甲、乙兩袋中都各有一白一紅，故我們從第二次交換開始討論．23、設(shè)總體X的概率密度為其中a，b（b＞0）都是未知參數(shù)．又X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本，試求a與6的最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1，2，…，xn為樣本X1，X2，…，Xn的觀測(cè)值，則似然函數(shù)L（x1，2，…，xn；a，b）L(a，b)為由于n/b＞0，故InL(a，b)與L（a，b）關(guān)于a是增函數(shù)，但是又因只有a＜min（x1，2，…，xn）時(shí)，L（a，b）才不等于零，故a可取的最大值為min（x1，2，…，xn）．再根據(jù)方程于是a，b的最大似然估計(jì)量分別為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè){xn}與{yn}均無界，{zn}有界，則()A、{xn+yn}必?zé)o界．B、{xnyn}必?zé)o界．C、{xn+zn}必?zé)o界．D、{xnzn}必?zé)o界．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：用反證法證明{xn+zn}必?zé)o界．設(shè){xn+zn}有界，且由題設(shè){zn}有界，則存在M＞0與M1＞0，對(duì)一切n，｜xn+zn｜≤M與｜zn｜≤M1，有｜xn｜=｜xn+zn+一zn｜≤｜xn+zn｜+｜zn｜≤M+M1，從而{xn}有界，與題設(shè)矛盾．故應(yīng)選(C)．2、設(shè)f(x)=F(x)=∫-1xf(t)dt，則F(x)在x=0處()A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導(dǎo)．D、可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：具體計(jì)算出F(x)如下：當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-1xf(t)dt=∫-1xet