小學(xué)六年級奧數(shù)勾股定理講座

小學(xué)六年級奧數(shù)勾股定理講座

勾股定理

內(nèi)容概述

1.勾股定理（畢達哥拉斯定理）：直角三角形中的兩直角邊平方后的和等于斜邊

的平方.

公元前500年古希臘的畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理后，曾宰牛百頭，廣設(shè)盛筵

以示慶賀.

2.公元前n世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》中提到：故折矩，以為句廣三，股修四、徑修

五.既方之.外半卿一矩，環(huán)而共盤.得成三、四、五.

三國時期的趙爽注解道：句股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦.案：弦圖又

可以句股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以句股之差自相乘為中黃實，加差之，亦成

弦實.

漢朝張蒼、狄昌壽整理的《九章算術(shù)》第九卷為《句股》.其中解釋到：短面曰

句，長面曰股，相與結(jié)角曰弦.句短其股，股短其弦.

句股各自乘，并，而開方除之，即弦.

中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的徽標(biāo)（右圖所示）采用的就是趙爽

的弦圖.2002年在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會的徽標(biāo)也是弦圖.

如下，在弦圖中有

3.伽菲爾德證法：美國第20任總統(tǒng)伽菲爾德對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，在還是中

學(xué)教師時曾給出一種勾股定理的證明方法：

梯形面積=（上底+下底）X高

=(a+b)X(a+b)

=(a+b)2；

三個直角三角形的面積和=ab+ab+c2；

梯形面積=三個直角三角形面積和.

(a+b)2=ab+ab+c2,所以a2+b2=c2.

4.公元前3世紀(jì)的歐幾里得在《幾何原本》中給出一種證明，簡敘如下：

如圖，作出三個正方形，它們的邊長分別為直角三角形ABC的三邊長.連接圖中

的虛線段對應(yīng)的點；過C作CK平行于AF,交AB、FG分別于J、K點.

易證aAFC會ABAE,有AF.FK=,EA.CA=，所以

易證4CBG也△HBA,有BG.KG=,BH.IH=，所以

而.

即有AB2=AC2+CB2.

5.勾股數(shù)組：a=u2-v2,b=2uv,c=u2+v2如果a、6、c可以如此表達，那么a、b、

c稱之為勾股數(shù)組，有a2+b2=c2.

如：u=2,v=l時a=3,b=4,c=5；u=7,v=6時a=13,b=84,c=85.

當(dāng)然將已知的勾股數(shù)組內(nèi)每個數(shù)都同時擴大若干倍得到的新的一組數(shù)還是勾

股數(shù)組.

典型問題

2.智能機器貓從平面上的0點出發(fā).按下列規(guī)律行走：由0向東走12厘米到A1,

由A1向北走24厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,

由A4向東走60厘米到A5,…，問：智能機器貓到達A6點與0點的距離是多少厘米？

【分析與解】如右圖所示，當(dāng)智能機器貓到達A6點時，相對

0點,向東走了12-36+60=36厘米，向北走了24-48+72=48厘米.

有=362+482,即0A2=60.

所以,A6點到0點的距離為60厘米.

4.如圖32-3所示，直角三角形PQR的兩個直角邊分別為5厘米,9厘米問下圖

中3個正方形面積之和比4個三角形面積之和大多少？

【分析與解】如右圖，延長AR,DQ,過E,F分別作AR,DQ的平行線，在正方形EFRQ

內(nèi)交成四個全等的直角三角形和一個小正方形GHMN,四個全等的直角三角形面積

之和與四個白色的三角形面積之和相等.

小正方形HGNM的邊長為9-5=4厘米，所以面積為16平方厘米，而另

外兩個正方形ABPR、CDQR他的面積分別為25,81.所以原圖中3個正方

形面積之和比4個三角形面積之和大25+81+16=122平方厘米.

6.若把邊長為1的正方形ABCD的四個角剪掉，得一四邊形A1B1C1D1,試問怎樣

剪，才能使剩下的圖形仍為正方形，且剩下圖形的面積為原來正方形面積的，請說

明理由.（寫出證明及計算過程）

積為（x+l）=,所以x=.

那么，最小正方形的邊長為.由于是四角對稱的剪

去，所以有AD1=DC1=CB1=BA1=,AA1=BB1=CC1=DD1=

證明及計算過程略.

8.有5個長方形，它們的長和寬都是整數(shù)，且5個長和5個寬恰好是1?10這

10個整數(shù)；現(xiàn)在用這5個長方形拼成1個大正方形，那么，大正方形面積的最小值

為多少？

【分析與解】注意到，5個長、寬均不相等的長方形拼成一個正方形,只有一

種拼法.（如右圖所示，由弦圖聯(lián)想到）.

A、B、C、D中必有一個長方形的一邊長為10,不妨設(shè)為A,

那么顯然不能組成邊長為10的正方形；

如果能夠組成邊長為11的正方形，那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那么大

正方形的四邊必須是為11,則剩下的兩個數(shù)，它們的和為11,為中問陰影部分的長、

寬和；

評注:如果能夠組成邊長為12的正方形，那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、

6試填不滿足.

對于邊長為13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有見下圖情

形，滿足.

10.園林小路，曲徑通幽.如圖32-7所示，小路由白色正方形石板和青、紅兩色

的三角形石板鋪成,問：內(nèi)圈三角形石板的總面積大，還是外圈三角形的總面積大？

請說明理由.

【分析與解】如圖①，我們?nèi)我獬槌鰞蓧K相鄰的白色正方形石板,及它們所夾成

的青、紅兩色的三角形石板，如圖②所示.圖中有NCDB+/ADG=1800.

如果③，將4CDE逆時針旋轉(zhuǎn)900,得△.有、、在同一條直線上，且△與

△等