《應(yīng)用線性代數(shù)（第2版）》全套教學(xué)課件

行列式起源于解線性方程組，是線性代數(shù)中的一個(gè)重要研究對象，它是學(xué)習(xí)矩陣、線性方程組等時(shí)要用到的一個(gè)有力工具。行列式在數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)以及其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用?？死▌t是一類線性方程組的一個(gè)重要解法。本文主要介紹行列式的定義、性質(zhì)和計(jì)算，以及它在解線性方程組中的應(yīng)用———克拉默法則。全套可編輯PPT課件1.1.1二階和三階行列式在中學(xué)階段曾學(xué)過解兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)的線性方程組用消元法求解時(shí),第一個(gè)等式兩邊同乘以a22,第二個(gè)等式兩邊同乘以a12,然后兩式相減消去x2

得(a11a22-a12a21)x1=b1a22-b2a12;類似地,消去x1

得

(a11a22-a12a21)x2=b2a11-b1a21.當(dāng)a11a22-a12a21≠0時(shí),求得方程組(1)的解為注意到式(2)中的分子和分母都是由四個(gè)數(shù)分兩對相乘再相減而得.為了便于記憶這些解的公式,我們把表達(dá)式a11a22-a12a21記為并把式(3)稱為二階行列式,稱a11a22-a12a21為式(3)的行列式展開式,即二階行列式含有兩行兩列(橫排叫行，豎排叫列)，稱aij(i=1,2;j=1,2)為行列式的元素或元，aij

的兩個(gè)下標(biāo)表示其在行列式中的位置，第一個(gè)下標(biāo)i稱為行標(biāo)，表示元素aij

所在的行；第二個(gè)下標(biāo)j稱為列標(biāo)，表示元素aij

所在的列.容易看出，二階行列式表示一個(gè)數(shù)，它等于(如圖1-1)實(shí)連線(主對角線)兩數(shù)之積減去虛連線(次對角線)兩數(shù)之積.圖1-1根據(jù)二階行列式的定義,式(2)的分子也可以寫成行列式從而式(2)可寫成若記則二元線性方程組(1)的解是兩個(gè)二階行列式的除法注意到,解式(4)、式(5)的分母行列式D由未知數(shù)x1

和x2

前系數(shù)按照原來的位置排列而成,稱D

為二元線性方程組(1)的系數(shù)行列式,bi

稱為第i

個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)(i=1,2).解x1對應(yīng)的分子D1,由b1,b2

按照方程中位置排為一列替換掉D

的第一列而得,解x2

對應(yīng)的分子D2,由其替換掉D

的第二列而得.進(jìn)一步考察三元線性方程組類似前面的討論,先分別通過前兩式和后兩式消去一個(gè)未知數(shù)x3,得到含x1和x2的兩個(gè)二元線性方程組,再從此二元線性方程組中消去x2,最終可得到下面一元線性方程若對xi

前面系數(shù)引入下面記號稱式(7)表示的數(shù)為三階行列式，并稱D為三元線性方程組(6)的系數(shù)行列式.同理式(3)為二元線性方程組(1)的系數(shù)行列式.三階行列式由三行三列共9個(gè)元素組成,它的展開式(式(7)右端)可按下面對角線法則給出(如圖1-2):圖1-2由三階行列式的對角線法則得于是,當(dāng)D≠0時(shí),x1

可表示為同理可得其中容易看出,當(dāng)系數(shù)行列式D≠0時(shí),三元線性方程組(6)有唯一解.注意到式(8)中xj(j=1,2,3)的分母是三元線性方程組(6)的系數(shù)行列式,Dj(j=1,2,3)分別是在系數(shù)行列式D

中把第j

列元素?fù)Q成右端常數(shù)項(xiàng)b1,b2,b3

而得到.這和二元線性方程組的解式(4)、式(5)有同樣的規(guī)律性,像式(5)、式(8)這樣求解線性方程組的方法稱為克拉默法則.計(jì)算下列行列式例１計(jì)算下列行列式1.1.2克拉默法則

定理1(克拉默法則)對含有n

個(gè)未知數(shù)x1,x2,…,xn

和n

個(gè)線性方程的如下方程組(注意方程的個(gè)數(shù)要等于未知數(shù)的個(gè)數(shù))若其系數(shù)行列式不等于0,即則n

元線性方程組(9)有唯一解:其中Dj

是將系數(shù)行列式D

中第j

列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn

代替后所得到的行列式,即形如定理1中D

和Dj

由n

行n

列元素排成的行列式,稱為n

階行列式.

注意：關(guān)于n

個(gè)線性方程的方程組的系數(shù)行列式的定義在本章1.3節(jié)給出.解下列方程組例２

解法1

可以用消元法求解(略).由于系數(shù)行列式

解法2

利用克拉默法則求解由克拉默法則得原方程組有唯一解

注意：只有當(dāng)D≠0時(shí),才能用克拉默法則求出唯一解,且克拉默法則只適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形.若D=0或者方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不相等,則方程組可能無解或者有多于一個(gè)解.當(dāng)λ取何值時(shí),線性方程組例３

解由克拉默法則可知,當(dāng)系數(shù)行列式不等于零時(shí),原線性方程組有唯一解.由有唯一解?令D=0解得λ=5或λ=2或λ=8故當(dāng)λ≠5,λ≠2且λ≠8時(shí),原線性方程組有唯一解.A組

答案1.求下列二、三階行列式的值.(1)-2;(2)0;(3)-4;(4)2;(5)-24.A組2.用克拉默法則求解下列方程組.

答案B組1.當(dāng)λ,μ

取何值時(shí),線性方程組

答案只有唯一解?λ≠1且μ≠0.B組2.求三階行列式的值.

答案(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2).為了引入n

階行列式的定義,在本節(jié)中介紹排列和逆序數(shù)的概念及其簡單性質(zhì).在中學(xué)階段,我們學(xué)習(xí)了排列的概念,把n(n≥2)個(gè)不同的元素按一定順序排成一行,稱為這n個(gè)元素的一個(gè)排列.下面只討論由前n

個(gè)自然數(shù)1,2,…,n

構(gòu)成的排列.

定義1

由1,2,…,n

這n

個(gè)數(shù)排成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n

階排列.稱123…n

為自然排列.如132是一個(gè)3階排列,由1,2,3三個(gè)自然數(shù)組成的3階排列還有

123,213,231,312,321,其中123為自然排列.

3級排列共有6個(gè),易得n階排列的總數(shù)是An=n·(n-1)…2·1=n!個(gè).n

定義2

對于n

個(gè)不同的元素,先規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序(例如n

個(gè)不同的自然數(shù),可規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序),在這n

個(gè)不同元素的任一排列中,當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí),就說該排列有一個(gè)逆序.一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫作這個(gè)排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫奇排列,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫偶排列.下面說明逆序數(shù)的計(jì)算方法.對于排列p1p2…pn,其逆序數(shù)為每個(gè)元素的逆序數(shù)之和.即對于排列p1p2…pn

中的元素pi(i=1,2,…n),如果排在pi

前面比pi大的元素有ti

個(gè),就說pi

的逆序數(shù)為ti

個(gè),p1p2…pn全體元素的逆序數(shù)之和t1+t2+…+tn=即是這個(gè)排列的逆序數(shù),通常記為τ(p1p2…pn).即求τ(32541),τ(42531),并指出這兩個(gè)排列的奇偶性.例１解在排列32541中,3排首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)有一個(gè)(3),故其逆序數(shù)為1;5是最大數(shù),逆序數(shù)為0;4的前面比4大的數(shù)有一個(gè)(5),故逆序數(shù)為1;1的前面比1大的數(shù)有4個(gè)(3、2、5、4),故逆序數(shù)為4.于是這個(gè)排列的逆序數(shù)為

τ(32541)=0+1+0+1+4=6.6是偶數(shù),故排列32541是偶排列.同理,τ(42531)=0+1+0+2+4=7,從而排列42531是奇排列.容易發(fā)現(xiàn)以上兩個(gè)排列僅僅是對換了3和4的位置,排列的奇偶性改變了.

定義3

在一個(gè)排列中,任意對調(diào)兩個(gè)元素,其余元素保持原位置不變,這一過程稱為對換.相鄰兩個(gè)元素的對換叫作相鄰對換.定理1

一個(gè)排列每經(jīng)過一次對換都會改變排列的奇偶性.證明

(1)先證相鄰對換的情形設(shè)排列為a1…akabb1…bm,對換a

和b

變?yōu)閍1…akbab1…bm.顯然a1,…,ak;b1,…,bm這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過對換并不改變,同時(shí),a,b與a1,…,ak

或b1,…,bm

所構(gòu)成的逆序數(shù)也沒有改變.所以,當(dāng)a<b時(shí),新排列比原排列逆序數(shù)加1;當(dāng)a>b

時(shí),新排列比原排列逆序數(shù)減1;不管哪種情形,對換都改變了排列的奇偶性.定理2

在全部n(n≥2)階排列中,奇排列與偶排列個(gè)數(shù)相等,都等于個(gè).

證明設(shè)全部n

階排列中有s

個(gè)不同的奇排列和t個(gè)不同的偶排列,需證s=t.將每個(gè)奇排列的前兩個(gè)數(shù)作對換,即可得s個(gè)不同的偶排列,故s≤t;同理可得,t≤s,即奇、偶排列各一半.

(2)再證一般對換的情形設(shè)排列為a1…akac1…csbb1…bm,把它作s次相鄰對換,變?yōu)閍1…akabc1…csb1…bm

;再作s+1次相鄰對換,變?yōu)閍1…akbc1…csab1…bm

.總之,進(jìn)行了2s+1(奇數(shù))次相鄰對換,a1…akac1…csbb1…bm

變成a1…akbc1…csab1…bm

,所以這兩個(gè)排列奇偶性相反.A組

答案1.求下列排列的逆序數(shù).(1)5;(2)8;(3)(1)42153;(2)3712465;(3)n(n-1)…321.2.確定i,j的值,使得213i76j9為偶排列.

答案i=4,j=5.B組

答案1.寫出排列25431變成排列12345的相應(yīng)對換.2?1;5?2;4?3.2.已知τ(i1i2,…,in)=m,求τ(inin-1,…,i1)

答案1.3.1二階及三階行列式的構(gòu)造容易看出,式(1)的每一項(xiàng)都是位于不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積,除去符號,每項(xiàng)的三個(gè)元素按它們在行列式中的行的順序排成a1j1a2j2a3j3,其中j1j2j3

是1,2,3的某一個(gè)排列.這樣的排列共有6種,對應(yīng)式(1)右端共6項(xiàng).觀察各項(xiàng)前的符號,可以看出,當(dāng)j1j2j3

是偶排列時(shí),對應(yīng)的項(xiàng)在式(1)中帶有正號,當(dāng)j1j2j3

是奇排列時(shí)帶有負(fù)號.因此各項(xiàng)所帶符號可以用排列j1j2j3

的逆序數(shù)來表示,即(-1)τ(j1j2j3).上述規(guī)律顯然也適用于二階行列式,由此可將二階和三階行列式表示為表示對1,2兩個(gè)數(shù)的所有排列求和.表示對1,2,3三個(gè)數(shù)的所有排列求和.1.3.2n

階行列式的定義定義1將n2

個(gè)數(shù)排成n

行n

列:稱式(2)為n

階行列式,記為Dn

或者|(aij)|n,也寫作

D=det(aij),i=1,2,…,n;j=1,2,…,n.它的值是一個(gè)代數(shù)和,即其中(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn

稱為n階行列式的一般項(xiàng),這里j1j2…jn

是1,2,…,n的一個(gè)排列,當(dāng)j1j2…jn

是偶排列時(shí),該項(xiàng)前帶有正號,當(dāng)j1j2…jn

是奇排列時(shí),該項(xiàng)前帶有負(fù)號.這里表示對1,2,…,n的所有n

階排列求和.當(dāng)n=1時(shí),一階行列式|a|就等于數(shù)a.

注意不要把行列式的符號和絕對值的符號混淆(要根據(jù)上下文內(nèi)容判斷是哪一種).定義1表明,用定義計(jì)算n

階行列式,首先做出位于不同行不同列元素乘積的所有項(xiàng),共有n!項(xiàng).再把構(gòu)成這些乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序,然后由列指標(biāo)排成的排列的奇偶性來決定這一項(xiàng)的符號.計(jì)算行列式例１解(1)由行列式的定義,而除了(-1)τ(4321)1×2×3×4這一項(xiàng)外,其他項(xiàng)均為0,故計(jì)算n

階上三角形行列式例２

解根據(jù)n

階行列式的定義,只需考慮非零一般項(xiàng)的和即可,D

的一般項(xiàng)為在第n行中,除了ann

外,其余元素為0,故只需考慮jn=n的項(xiàng)ann;在第n-1行中,當(dāng)jn-1<n-1時(shí),an-1,jn-1=0,即除了an-1,n,an-1,n-1外,其余元素為0,因已經(jīng)選定jn=n,故只有jn-1=n-1;依此類推,D

的可能不為零的一般項(xiàng)只有一項(xiàng)(-1)τ(12…n)a11a22…ann=a11a22…ann.故

即上三角形行列式的值等于其主對角線上的元素的乘積.形如的行列式稱為n

階下三角形行列式.容易驗(yàn)證下三角形行列式的值也等于其主對角線上的元素的乘積.即特別地,稱為對角形行列式,顯然其值為a11a22…ann.計(jì)算行列式例3解類似例2的分析,Dn

的非零一般項(xiàng)只有一項(xiàng)故同理可得求n

階行列式例4

定理1

n

階行列式的項(xiàng)

前的符號為

,其中i1i2…in

和j1j2…jn

是兩個(gè)n

階排列.

證明略,請讀者自行證明.定理1′

n

階行列式也可定義為

證明由定理1,n階行列式的一般項(xiàng)可以寫為通過若干次對換,將列標(biāo)排列變?yōu)樽匀慌帕?即有一般項(xiàng)為問題得證.A組

答案1.寫出四階行列式中含有a11a23

的項(xiàng).2.計(jì)算行列式

答案2bc-2adA組

答案3.若a13a2ia32a4k,a11a22a3ia4k,ai2a31a43ak4

為四階行列式的項(xiàng),試確定i和k,使得前兩項(xiàng)帶負(fù)號,后一項(xiàng)帶正號.(1)i=4,k=1;

(2)i=4,k=3;(3)i=2,k=1;B組

答案1.計(jì)算行列式2.設(shè)f(x)=求x3

的系數(shù).

答案８用定義來計(jì)算行列式一般是比較麻煩的,本節(jié)介紹行列式的基本性質(zhì),運(yùn)用這些性質(zhì),可以簡化行列式的計(jì)算.將n階行列式D

的第1,2,…,n行依次變?yōu)榈?,2,…,n列,得到的新行列式稱為D

的轉(zhuǎn)置行列式,記為DT.即

性質(zhì)1

D

與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即D=DT.

D=det(aij),記DT

中第i行j列的元素為bij,則bij=aji.由1.3節(jié)中定理1′根據(jù)定義,故D=DT.此性質(zhì)說明行列式的行和列地位相當(dāng),凡是適合行的性質(zhì),同樣也適合列.反之亦然.下面的性質(zhì)證明僅以行為例說明,列的情況類似可證明.證明設(shè)交換行列式D

的第s

行和第t行(s<t),設(shè)

性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列),行列式變號.注意到式(2)的右端而τ(j1j2…,jt,…js…jn),τ(j1j2…,js,…jt…jn)分別為一奇數(shù)、一偶數(shù),故即D=-D1.性質(zhì)3行列式中某行(列)的公因子提到行列式外面來.即

推論1若一個(gè)行列式中有兩行(列)的對應(yīng)元素相等,則此行列式為零.此性質(zhì)也可敘述為:用數(shù)k乘行列式某一行(列)中所有元素,等于用k乘此行列式.

推論2

若一個(gè)行列式中有一行(列)的元素全部為0,則此行列式為零.

推論3

若一個(gè)行列式中有兩行(列)的元素對應(yīng)成比例,則此行列式為零.

性質(zhì)4

若一個(gè)行列式的某行(列)元素都可寫成兩個(gè)元素的和,則此行列式可寫成兩個(gè)行列式的和.即證明因?yàn)?/p>

性質(zhì)5

用行列式的某行(列)的元素乘以k加到其他行(列)的對應(yīng)元素上去,行列式的值不變.即此性質(zhì)容易由推論3和性質(zhì)4推出,它是在行列式計(jì)算中經(jīng)常用到的化簡方法.行列式的計(jì)算通常是先通過相關(guān)性質(zhì)將其化為上(下)三角形行列式,再得出計(jì)算結(jié)果.為了表示的方便,交換第i行(列)與第j行(列),記為ri?rj(ci?cj);將用數(shù)k乘以第i行(列)記為k×ri(或k×ci);從第i行(列)提出公因子k記為ri÷k(或ci÷k);以數(shù)k乘以第j行(列)加到第i行(列)上,記為ri+krj(ci+kcj).如-2r1+r2

表示第一行乘以-2加到第二行;c2+c1+c3+c4

表示將第1,3,4列都加到第二列上去.計(jì)算例１解此行列式特點(diǎn)是各行(列)元素相加和都等于7,將第2,3,4行元素加到第一行對應(yīng)元素上,再提取第一行的公因式7,然后第一行乘以-2分別加到第2,3,4行可得上三角形行列式,即:計(jì)算D=例２計(jì)算例３計(jì)算Dn=例４

解本行列式從倒數(shù)第二行開始,前行乘以-1加到后一行得:計(jì)算D=例５

證明因?yàn)?a11M11,其中M11=每一項(xiàng)都含有第一行的元素,而D

的第一行中僅有a11≠0,故D

僅含下面形式的項(xiàng)注意到等式右端中括號內(nèi)正是M11的一般項(xiàng),所以D=a11M11.A組

答案1.計(jì)算下列行列式(1)0;(2)0;A組

答案2.計(jì)算行列式D=-2(x3+y3).A組

答案3.計(jì)算行列式Dn=[x+(n-1)b](x-b)n-1.B組

答案1.證明:提示:根據(jù)行列式的加法拆分.B組

答案2.證明行列式D=略在上一節(jié)中,我們利用行列式的性質(zhì)可以使得某些行列式的計(jì)算大為簡化.本節(jié)我們首先介紹行列式計(jì)算的另一個(gè)重要方法———按某一行(列)展開的降階處理法,然后再介紹幾種特殊行列式的計(jì)算.1.5.1行列式按某一行(列)展開定義1在n階行列式|(aij)|n中,將元素aij

所在的第i行和第j

列劃去,剩下的元素按原排列構(gòu)成的n-1階行列式,稱為aij

的余子式,記為Mij;記Aij=(-1)i+jMij,稱Aij

為元素aij

的代數(shù)余子式.例如四階行列式中由得元素a23的余子式為M23=

a23的代數(shù)余子式為A23=(-1)2+3M23=-M23.求D=的第一行元素的代數(shù)余子式.為了給出行列式按行(列)展開定理,先給出以下引理.例１

引理1

若n

階行列式D=|(aij)|n的第i

行元素中,除了aij

以外,其余元素均為零,則D=aijAij.

證明

(1)首先討論D

的第一行元素中除了a11≠0外,其余元素均為零的特殊情況.即由1.4節(jié)例5知,D=a11M11.又A11=(-1)1+1M11,從而D=a11A11.

(2)再討論D

的第i

行元素中除了aij≠0外,其余元素均為零的情況.即將D

的第i

行依次與第i-1,…,2,1各行交換后,再將第j列依次與第j-1,…,2,1各列交換,共經(jīng)過i+j-2次交換D

的行和列,得此時(shí),上式右端行列式即為(1)中討論的類型,故

定理1

n

階行列式的值等于它的任意一行(列)各元素與其代數(shù)余子式乘積之和.即或根據(jù)引理1得同理可證將D按列展開的情形.定理1叫作行列式的按行(列)展開法則,利用這一法則可將行列式降階,再結(jié)合行列式的性質(zhì),可以更好地簡化行列式的計(jì)算.在計(jì)算行列式時(shí),可先用行列式的性質(zhì)將某一行(列)化為僅含1個(gè)非零元素,再按此行(列)展開,變?yōu)殛P(guān)于低一階的行列式的計(jì)算,如此繼續(xù)下去,直到化為三階或二階行列式,計(jì)算出結(jié)果.計(jì)算行列式例２

(2)觀察第二列有一個(gè)零元素,利用性質(zhì)可將此列變換為只含一個(gè)非零元素.

推論1

行列式D的某一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即或

證明用D

的第i

行元素替換其第j

行元素得新的行列式注意到D1

有兩行元素對應(yīng)相等,根據(jù)性質(zhì)2的推論1,D1=0.另一方面,將D1

按照第j行元素展開得:所以同理可證:上述定理1及其推論1可總結(jié)為或證明范德蒙(Vandermonde)行列式

證明利用數(shù)學(xué)歸納法1.5.2*行列式的計(jì)算例３(2)假設(shè)對于n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立,從第n-1行開始,自上往下,每行都乘以-x1

加到下一行得按第一列展開,并提取公因式(xi-x1)(i=2,…,n)得注意到式(1)右端行列式為一個(gè)n-1階范德蒙行列式,由歸納假設(shè),它等于所有(xi-xj)(2≤j<i≤n)因子的乘積.即有注意:本例可作為范德蒙行列式計(jì)算的公式,容易看出范德蒙行列式不為零當(dāng)且僅當(dāng)x1,…,xn

兩兩不相等.上例中,這種把計(jì)算行列式Dn

轉(zhuǎn)換為計(jì)算同類型的行列式Dn-1的方法,稱為遞推法.遞推法在大部分情況下需要借助于數(shù)學(xué)歸納法來完成.算行列式D2n=例４

解按第一行展開,依此遞推得計(jì)算箭形行列式Dn=例５計(jì)算行列式例６

解法1

(該行列式特征是各行(列)元素之和相等)依此遞推得解法2易見x=2a

時(shí),Dn=0;當(dāng)x≠2a

時(shí),在Dn

上添加一行一列,變?yōu)閚+1階行列式Dn+1,且使得Dn+1=Dn.這種在原行列式的基礎(chǔ)上添加一行一列再計(jì)算的方法,稱為加邊法.解下列線性方程組例７

解方程的系數(shù)行列式A組

答案

1.寫出D=的第二列和第三行元素對應(yīng)的代數(shù)余子式.并將D

按第二列展開.A組

答案(1)57;(2)10;

2.計(jì)算行列式A組

答案(1)(x1,x2,x3)=(1,2,3);(2)(x1,x2,x3,x4)=(3,-1,-1,4).

3.用克拉默法則求解線性方程組A組

答案λ≠0,2,3.

4.當(dāng)λ取何值時(shí),線性方程組B組

答案(1)(a2-b2)2.

1.計(jì)算行列式D=B組

答案

2.計(jì)算行列式

答案1.

1.若D==0,求k.

2.求D

的值.

答案k=1或k=3.

答案a0=8,a1=-1,a2=-2,a3=1

3.一個(gè)n

階行列式,它的元素滿足aij=-ajii,j=1,2,…,n,證明:當(dāng)n

為奇數(shù)時(shí),此行列式為零.

4.已知三次曲線y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3

在四個(gè)點(diǎn)x=±1,x=±2的值為f(1)=f(-1)=f(2)=6,f(-2)=-6,求系數(shù)a0,a1,a2,a3.

答案略

答案提示:利用范德蒙行列式的結(jié)果.

5.證明Dn==xn+a1xn-1+…+an-1x+an.

6.計(jì)算Dn+1=

答案略

答案-40

7.設(shè)|A|=,求

A41+A42+A43.謝謝在第1章中,介紹了用克拉默法則求解線性方程組,但是克拉默法則的應(yīng)用是有條件的,它要求方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù),且系數(shù)行列式不等于零.然而一般線性方程組往往不能同時(shí)滿足這兩個(gè)條件.在本章中我們將對一般的線性方程組進(jìn)行討論,給出求解一般線性方程組的一種重要方法———矩陣的初等變換法。2.1.1線性方程組的消元法消元法是一種求解線性方程組的方法,它不受方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)的限制.現(xiàn)在我們運(yùn)用消元法來求解方程組,并總結(jié)出線性方程組消元法的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),這對于引入矩陣的初等變換具有重要的意義.下面通過一個(gè)例子來加以分析.

引例求解線性方程組解利用消元法化簡方程組如下:我們發(fā)現(xiàn)在步驟(1)~(5)的消元法化簡過程中,是在對整個(gè)方程組不斷地實(shí)施如下三種變換:

(i)交換兩個(gè)方程的位置;

(ii)用一個(gè)不等于零的數(shù)k乘以某一個(gè)方程;

(iii)用一個(gè)非零數(shù)乘以某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程.由于這三種變換都是可逆的,因此變換前的方程和變換后的方程是同解的,即方程組(1)~(5)是同解方程組,故方程組(5)的解就是原方程組(1)的解.把以上三種變換稱為線性方程的初等變換.在線性方程組(5)中,利用從第4個(gè)方程往第1個(gè)方程“回代”的方法,可得:容易看出,方程組(6)中的x3

無論取何值,方程組(6)表示的解都滿足方程組(5),從而滿足方程組(4)、方程組(3)、方程組(2)、方程組(1),即x3

可以自由取值,稱x3

是一個(gè)自由未知量.若令x3=c(其中c為任意常數(shù)),則原方程組的解可記作通常把方程組(6)表示的解的形式稱為方程組的一般解,形如方程組(7)的解的形式稱為方程組的通解.定義1設(shè)含有n

個(gè)未知數(shù)x1,x2,…,xn

和m

個(gè)線性方程的線性方程組為其中aij

表示第i

個(gè)方程未知量xj

的系數(shù),bi為常數(shù)項(xiàng),aij,bi(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)均為已知數(shù).m

為方程的個(gè)數(shù),它可以小于n,也可以等于或大于n.若b1,b2,…,bm全為零,則稱線性方程組(8)為齊次線性方程組;否則,稱方程組(8)為非齊次線性方程組.若n

個(gè)數(shù)k1,k2,…,kn

使得當(dāng)x1=k1,x2=k2,…,xn=kn

時(shí),線性方程組(8)中的每個(gè)方程都變成恒等式,則稱有序數(shù)組(k1,k2,…,kn)是方程組(8)的一個(gè)解.若k1=k2=…=kn=0,稱(k1,k2,…,kn)是一個(gè)零解;否則,稱之為非零解.方程組的所有解構(gòu)成它的解集合,如果兩個(gè)方程組的解集合相等,則稱它們是同解的.解方程組就是求出它的全部解或者判斷它無解.容易看出,當(dāng)m=n

且系數(shù)行列式不等于零時(shí),我們可以用克拉默法則求得方程組(8)的唯一解.當(dāng)m≠n

或系數(shù)行列式等于零時(shí),克拉默法則不再適用,此時(shí)利用矩陣的初等變換求解線性方程組.事實(shí)上,不管m

與n

是否相等,我們都可以通過矩陣的初等變換獲得線性方程組(8)的解的情況.

2.1.1節(jié)利用消元法解線性方程組的過程中,線性方程組的初等變換只是對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,未知數(shù)并未參與運(yùn)算.因此線性方程組(8)有沒有解以及有什么樣的解,完全取決于其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),所以在討論線性方程組時(shí),主要是研究它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).線性方程組(8)的系數(shù)可以排成下表2.1.2矩陣的初等變換線性方程組(8)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)也可以排成一個(gè)表這樣的表,對于研究線性方程組具有重要意義,為此我們給出以下定義.

定義2

由m×n

個(gè)數(shù)cij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的

m

行n

列的數(shù)表,稱為m

行n

列的矩陣,簡稱m×n

矩陣,記作數(shù)cij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)稱為矩陣(11)的元素,簡稱元.cij

位于矩陣(11)的第i行第j

列,稱為矩陣(11)的第(i,j)元.以cij

為(i,j)元的矩陣可簡記作(cij)或者(cij)m×n,矩陣常用大寫字母A,B,C,…表示,m×n

矩陣也記作Am×n或者Amn.我們把(9)叫作線性方程組(8)的系數(shù)矩陣,把(10)叫作線性方程組(8)的增廣矩陣.習(xí)慣上系數(shù)矩陣用A

表示,增廣矩陣用A

表示,即若記

注意:增廣矩陣可完全確定線性方程組(8),且增廣矩陣的一行與線性方程組的一個(gè)方程對應(yīng).

b是由線性方程組(8)中m

個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)按照原方程中的位置排成一列得到的,稱之為線性方程組(8)的常數(shù)項(xiàng)矩陣,它是一個(gè)m

行1列的矩陣.此矩陣因只有一列元素,有時(shí)也稱為m×1的列向量.排成一列構(gòu)成的n×1矩陣,它是一個(gè)n×1的列向量.通常把x

叫作線性方程組(8)的解向量.引例中,若記則方程組的初等變換完全可以轉(zhuǎn)化為對矩陣A的變換,把方程組的上述三種同解變換轉(zhuǎn)移到矩陣上,就得到矩陣的三種初等變換.

定義3

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:

(1)交換矩陣的兩行(對調(diào)i行和j

行,記作ri?rj);

(2)用一個(gè)不等于零的數(shù)k乘以矩陣的某一行(第i行乘k,記作k×ri);

(3)用一個(gè)非零數(shù)乘以矩陣的某一行加到另一行對應(yīng)的元素上去(數(shù)k

乘以第i行加到第j行,記作rj+kri).把以上三種變換的行改為列,稱為矩陣的初等列變換,所用記號分別為ci?cj;k×ci;cj+kci.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.顯然,矩陣的三種初等變換也是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換.對比引例中線性方程組的求解,我們發(fā)現(xiàn),對線性方程組實(shí)施一次初等變換,相當(dāng)于對其增廣矩陣實(shí)施一次初等行變換.從而,可以利用對增廣矩陣的初等行變換法來求解線性方程組.下面我們用對增廣矩陣的初等行變換法化簡線性方程組(1).在上述初等行變換的過程中,矩陣B1→B4

對應(yīng)線性方程組(2)→(5).方程組(6)的“回代”求解過程也可以用對矩陣的初等變換來完成.

B5

對應(yīng)的線性方程組為取x3

為自由未知量,并令x3=c,則原方程組的解可記作容易看出,由于省略了未知量,增廣矩陣的初等行變換法解線性方程組簡化了計(jì)算過程,這是本書中要介紹的一種重要的解線性方程組的方法.形如B4

和B5

的矩陣稱為行階梯形矩陣,簡稱階梯形矩陣.其特點(diǎn)是:零行(元素全為零的行)在最下方;可畫出一條階梯線,線的下方全為零;每個(gè)臺階只有一行,臺階數(shù)即為非零行的行數(shù);階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元,也就是非零行的第一個(gè)非零元.如下矩陣都是行階梯形矩陣:

定義4

一個(gè)階梯形矩陣若滿足:

(1)各非零行的第一個(gè)非零元素都等于1;

(2)各非零行的第一個(gè)非零元素所在的列中,其余元素均為零.則稱它為行最簡形矩陣,又叫作行簡化階梯形矩陣.顯然行最簡形矩陣是行階梯形矩陣的特殊情況,B5

是行最簡形矩陣.可見,行最簡形矩陣對應(yīng)的線性方程組最簡單,由此矩陣可直接獲得原線性方程組解的情況.那么是不是任何一個(gè)線性方程組的增廣矩陣都可以通過初等行變換轉(zhuǎn)化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣呢?答案是肯定的.利用數(shù)學(xué)歸納法不難證明(在此略).

定理1

對于任意非零矩陣Am×n,均可進(jìn)行有限次的初等行變換把它化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣.由行最簡形矩陣B5

即可寫出方程組(1)的解(6);反之,由方程組(1)的解(6)也可寫出行最簡形矩陣B5.由此可以猜想到增廣矩陣的行最簡形矩陣是唯一確定的,在行階梯形矩陣中,非零行的行數(shù)也是唯一確定的,從而零行的行數(shù)也是唯一確定的(詳見第5章).事實(shí)上,任意非零矩陣都有這樣的特征.此時(shí)B

為行階梯形矩陣,對B

繼續(xù)實(shí)施初等行變換得:例1

利用初等變換將矩陣A

化為行階梯形和行簡化的階梯形矩陣.意:B,C,D,E都是行階梯形矩陣(行階梯形矩陣不唯一),只有E

是行簡化的階梯形矩陣(唯一確定),稱E

為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.任何一個(gè)矩陣經(jīng)過若干次初等變換(行和列變換),都可以化為標(biāo)準(zhǔn)形.解線性方程組例2

解寫出增廣矩陣,并作初等行變換的化簡:此時(shí),階梯形矩陣對應(yīng)的方程組為:不論x1,x2,x3,x4

取哪一組數(shù),都不能使方程組(14)的第三個(gè)方程變成恒等式,因此方程組(14)無解,從而原方程無解.我們把像0=5這樣的方程稱作矛盾方程,如果一個(gè)方程組在消元或者初等變換過程中出現(xiàn)矛盾方程,那必然是無解的.A組

答案1.分別用消元法和增廣矩陣的初等行變換法解下列方程組.(1)x1=1,x2=2,x3=1;

(2)A組2.將下列矩陣化為行最簡形矩陣.

答案B組1.解方程組

答案B組2.將下面矩陣化為行簡化的階梯形矩陣

答案含有n

個(gè)未知數(shù)x1,x2,…,xn

和m

個(gè)方程的齊次線性方程組的一般形式為容易看出,齊次線性方程組均有零解.更多的情況下,我們關(guān)注的是它是否有其他形式的解,即是否有非零解.我們分m=n

和m≠n

兩種情況來討論.當(dāng)m=n

時(shí),由第1章1.1節(jié)克拉默法則的相關(guān)知識可得如下定理:

定理1

當(dāng)m=n

時(shí),若齊次線性方程組(1)的系數(shù)行列式D≠0,則它只有零解(沒有非零解).反之,若齊次線性方程組(1)有非零解,則它的系數(shù)行列式D=0.在系數(shù)行列式D=0以及m≠n

的情況下,常用矩陣的初等行變換求解線性方程組,下面通過例子來說明

解齊次線性方程組

解對方程組的系數(shù)矩陣A

進(jìn)行初等行變換得例１

B1

對應(yīng)的線性方程組為

注意:若一個(gè)矩陣的行數(shù)等于列數(shù),稱之為方陣,常用|A|表示A

的行列式.容易驗(yàn)證方程組(2)的系數(shù)行列式|A|是不等于零的,此題亦可用克拉默法則求解.解齊次線性方程組

解由于齊次線性方程組常數(shù)項(xiàng)為0,故初等行變換對其沒有影響,因此下面我們只要對系數(shù)矩陣A

進(jìn)行初等行變換即可.例２

B2

對應(yīng)的線性方程組為即原方程組的一般解為其中x3,x4

為自由未知量.若取x3=c1,x4=c2,則原方程組的通解為(其中c1,c2

為任意常數(shù))容易驗(yàn)證方程組(3)的系數(shù)行列式|A|是等于零的,此題不能用克拉默法則求解.

解此方程組方程的個(gè)數(shù)不等于未知量的個(gè)數(shù),只能用矩陣的初等行變換求解.對方程組的系數(shù)矩陣A

進(jìn)行初等行變換得:B3

對應(yīng)的線性方程組為其中x2,x4

為自由未知量.若取x2=c1,x4=c2,則原方程組的通解為觀察B1,B2,B3

以及方程組(2)(3)(4)解的情況,我們可以發(fā)現(xiàn)齊次線性方程組解的規(guī)律:

(1)若系數(shù)矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)r等于未知量的個(gè)數(shù)n,則方程組有唯一的零解;

(2)若系數(shù)矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)r小于未知量的個(gè)數(shù)n,則方程組有非零解,且非零解中所含自由未知量的個(gè)數(shù)為n-r.A組

答案1.求下列齊次線性方程組的一般解.(1)

(只有零解);(2)A組

答案2.求下列齊次線性方程組的通解.

答案(2)系數(shù)矩陣為的齊次線性方程組.

B組

答案1.求解齊次線性方程組B組2.求解齊次線性方程組

答案一般解為B組

答案3.當(dāng)λ取何值時(shí),齊次線性方程組λ=5,λ=2或λ=8.含有n

個(gè)未知數(shù)x1,x2,…,xn

和m

個(gè)方程的非齊次線性方程組的一般形式為容易看出,當(dāng)m=n

時(shí),由第1章1.5節(jié)克拉默法則定理的推論,方程組(1)有唯一解的充要條件是其系數(shù)行列式不等于零.當(dāng)m≠n

時(shí),方程組(1)解的情況又如何呢?下面通過矩陣的初等行變換來分析.解非齊次線性方程組

解對方程組(2)的增廣矩陣B

進(jìn)行初等行變換,化為行最簡形例１行最簡形矩陣B1

對應(yīng)的線性方程組為

注意:方程組(2)的系數(shù)矩陣為方陣,且易驗(yàn)證方程組(2)的系數(shù)行列式|A|是不等于零的,故此題亦可用克拉默法則求解.求非齊次線性方程組的通解.

解對方程組(3)的增廣矩陣B

進(jìn)行初等行變換,化為行最簡形例２行最簡形矩陣B2

對應(yīng)的線性方程組為從而原方程的一般解為即其中x2,x3

為自由未知量.取x2=c1,x3=c2,則原方程組的通解為注意解的特點(diǎn),事實(shí)上為方程組(3)的一個(gè)特解,而c1為方程組(3)所對應(yīng)的齊次方程組的通解.即一個(gè)非齊次線性方程組的通解可以寫成它對應(yīng)的齊次方程組的通解加上它本身的一個(gè)特解.求非齊次線性方程組的通解.解對方程組(4)的增廣矩陣B

進(jìn)行初等行變換,化為行最簡形:例２觀察矩陣B1

的最后一行,發(fā)現(xiàn)0=-4為矛盾方程,故原方程組無解.由本節(jié)例1、例2、例3我們亦可發(fā)現(xiàn)非齊次線性方程組解的規(guī)律:設(shè)方程組中未知量的個(gè)數(shù)為n,系數(shù)矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)為r1,增廣矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)為r2,則:

(1)當(dāng)r1=r2=n時(shí),非齊次線性方程組有唯一解;

(2)當(dāng)r1=r2<n時(shí),非齊次線性方程組有無窮多解,且每個(gè)解中所含自由未知量的個(gè)數(shù)為n-r.

(3)當(dāng)r1≠r2

時(shí),非齊次線性方程組沒有解.A組

答案無解

答案B組(1)唯一解;(2)無解;(3)無窮多個(gè)解?

答案(1)λ≠0且λ≠-3;(2)λ=0;(2)λ=0;(3)λ=-3.

答案

答案當(dāng)λ≠0且λ≠1時(shí)有唯一解;當(dāng)λ=1時(shí)有無窮多解;當(dāng)λ=0時(shí),無解.謝謝矩陣的概念被提出是為了解線性方程組和化簡二次曲面,發(fā)展至今,矩陣不僅成為線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對象,而且它在數(shù)學(xué)的其他分支以及社會科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等方面,都有廣泛的應(yīng)用.本章主要介紹矩陣的概念及其運(yùn)算、矩陣的逆及其求法和方塊矩陣.我們先介紹幾個(gè)特殊矩陣的定義,若一個(gè)矩陣只有主對角線上存在非零元素,而其他元素均為零,即(aij=0(i≠j)),我們稱之為對角型矩陣,常簡寫為特別地,上面矩陣中若a11=a22=…=ann=1,稱之為單位矩陣,n

階單位矩陣常記為En

或者In,即n

階單位矩陣;若一個(gè)矩陣的全部元素均為零,我們稱之為零矩陣,n

階零矩陣常記為On.3.1.1矩陣的加減法

定義1

設(shè)有兩個(gè)m×n

的矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,將它們對應(yīng)的元素分別相加,得到一個(gè)新的矩陣稱為矩陣A

和B

的和,記為A+B,即

定義2將矩陣A=(aij)m×n

的各元素取相反符號,得到的矩陣稱為矩陣A

的負(fù)矩陣,記為-A.即稱矩陣A+(-B)為矩陣A

與B

的差,記為A-B.注意:只有兩個(gè)矩陣是同型矩陣(即兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等)時(shí),才能進(jìn)行加減法運(yùn)算.3.1.2矩陣的數(shù)乘

定義3

用數(shù)λ乘以矩陣A=(aij)m×n的所有元素,所得的m×n

矩陣稱為數(shù)λ與矩陣Am×n的數(shù)乘矩陣,簡稱數(shù)乘,記為λA或Aλ.即矩陣的加法和矩陣的數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算,且滿足下列運(yùn)算規(guī)律:設(shè)A,B,C均為m×n

矩陣,λ,μ

為數(shù):(1)交換律:A+B=B+A;(2)結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+(-A)=O,A+O=A;(4)A-B=A+(-B);(5)(λμ)A=λ(μA);(6)(λ+μ)A=λA+μA;λ(A+B)=λA+λB;(7)1·A=A;(8)λA=O

且λ=0或A=O.例１

定義4設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,規(guī)定矩陣A

與矩陣B

的乘積是一個(gè)m×n

矩陣C=(cij),其中3.1.3矩陣的乘法注意:只有當(dāng)矩陣A

的列數(shù)與矩陣B

的行數(shù)相等時(shí),矩陣A

與B

才能相乘,且乘積矩陣C

的第i行第j

列元素cij

等于A

的第i

行與B

的第j

列的對應(yīng)元素乘積之和.例２而BA

不滿足乘法運(yùn)算的條件,故無意義.

注意:一個(gè)1×s的行矩陣與一個(gè)s×1的列矩陣的乘積是一個(gè)1階方陣,也就是一個(gè)數(shù),即例3例4

注意:BA=O

不能推出A=O

或B=O;而BA=O=OA,但B≠O.即矩陣的乘法不滿足消去律.在例3和例4中都有AB≠BA,即說明矩陣乘法不滿足交換律,但是某些情況下,也會有AB=BA,此時(shí)我們稱A

和B是可交換的.如矩陣的乘法雖然不滿足交換律,但是滿足結(jié)合律和分配律,其運(yùn)算規(guī)律如下(假設(shè)運(yùn)算都是可行的):

(1)結(jié)合律:(AB)C=A(BC);

(2)分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;

(3)對任意數(shù)λ,有λ(AB)=(λA)B=A(λB);

(4)設(shè)A

是m×n

矩陣,則EmAm×n=Am×n,Am×nEn=Am×n,或簡記為EA=AE=A.有了矩陣的乘法,我們就可以用矩陣來表示方程組了.如第2章2.3節(jié)中方程組(1)可以分別表示為:第2章2.3節(jié)的方程組(2)可以寫成有了矩陣的乘法,我們還可以定義方陣的冪.設(shè)A

為n

階方陣,k為正整數(shù),則k個(gè)A

的乘積稱為A

的k

次冪,記為Ak.則它的冪才有意義.由于矩陣的乘法滿足結(jié)合律,不難證明,以下指數(shù)律成立:

(1)AkAl=Ak+l;(2)(Ak)l=Akl

(k,l為正整數(shù)).通過例5,我們可以看出對角型矩陣乘法的什么規(guī)律?例53.1.4矩陣的轉(zhuǎn)置和行列式的轉(zhuǎn)置類似,將矩陣A

的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣,稱為A

的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT

或A′.若其系數(shù)行列式不等于0,即例63.1.5對稱矩陣與反對稱矩陣設(shè)A=(aij)為n階方陣,如果AT=A,則稱A

為n

階對稱矩陣.容易看出,若A=(aij)為n

階對稱矩陣,則aij=aji(i,j=1,2,…,n).注意:若A

還是實(shí)矩陣,則稱A

為實(shí)對稱矩陣.例如是一個(gè)對稱矩陣.對稱矩陣的特點(diǎn)是其元素關(guān)于主對角線對稱.如果AT=-A,則稱A為n階反對稱矩陣.若A=(aij)為n階反對稱矩陣,則aij

=-aji(i,j=1,2,…,n).例如是一個(gè)反對稱矩陣.反對稱矩陣的特點(diǎn)是關(guān)于主對角線對稱的元素符號相反,且主對角線元素全為0.3.1.6方陣的行列式例7A組

答案A組

答案A組

答案A組

答案9(a2+b2)2.5.設(shè)A,B

為n

階矩陣,且A

為對稱矩陣,證明:BTAB也是對稱矩陣.

答案略B組1.設(shè)A=

答案,求所有與A

可交換的矩陣.B組2.證明:AB

為對稱矩陣的充要條件是AB=BA.

答案略3.設(shè)A是實(shí)對稱矩陣,且A2=0,證明A=0.

答案略設(shè)行列式A

的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij

所構(gòu)成的如下矩陣3.1.6方陣的行列式為矩陣A

的伴隨矩陣,簡稱伴隨陣.例１在數(shù)的乘法中,如果常數(shù)a≠0,則存在a

的逆a-1:a-1=

,使a-1a=aa-1=1,這使得求解一元線性方程ax=b

變得非常簡單:在方程兩端左乘a-1,即得1·x=x=a-1b.在矩陣的乘法中,單位矩陣E

起著數(shù)1在數(shù)量的乘法中的類似作用.因此要問:對n

階方陣A,是否也存在著“逆”,即是否存在一個(gè)n

階方陣B,使得AB=BA=E?為此,我們引入下面的逆矩陣的定義.

定義1

對于n

階方陣A,如果有一個(gè)n

階方陣B,使

AB=BA=E則稱矩陣A

是可逆的,并把矩陣B

稱為A

的逆矩陣,簡稱逆陣.如果矩陣A是可逆的,那么A

的逆陣是唯一的.這是因?yàn)?設(shè)B、C

都是A的逆陣,則有所以A

的逆矩陣是唯一的.

A的逆矩陣記作A-1.即若AB=BA=E,則B=A-1.B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,推論若AB=E(或BA=E),則B=A-1.證明|A|·|B|=|E|=1,故|A|≠0,因而A-1存在,于是

B=EB=(A·A-1)B=A-1(AB)=A-1E=A-1,證畢.方陣的逆矩陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律:(1)若A

可逆,則A-1亦可逆,且(A-1)-1=A.(2)若A

可逆,數(shù)λ≠0,則λA

可逆,且(λA)-1=

A-1.(3)若A,B

為同階矩陣且均可逆,則AB

亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1證明

(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,由推論,即有(AB)-1=B-1A-1.(4)若A

可逆,則AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T證明

AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,所以(AT)-1=(A-1)T.當(dāng)A

可逆時(shí),還可以定義A0=E,A-k=(A-1)k,其中k為正整數(shù).這樣,當(dāng)A

可逆,λ,μ

為整數(shù)時(shí),有

設(shè)A=

,試問:a,b,c,d

滿足什么條件時(shí),方陣A

可逆?當(dāng)A

可逆時(shí),求A-1.例２

求方陣A=的逆矩陣.例３例４

解若A-1,B-1存在,則用A-1左乘上式,B-1右乘上式,有

A-1AXBB-1=A-1CB-1,即X=A-1CB-1.由上例知|A|≠0,而|B|=1,故知A,B

都可逆,且于是例５試用逆矩陣求解線性方程組例６因?yàn)榫仃嘇k,Al

和E都是可交換的,所以矩陣A

的兩個(gè)多項(xiàng)式φ(A)和f(A)總是可交換的,即總有從而A

的幾個(gè)多項(xiàng)式可以像數(shù)x

的多項(xiàng)式一樣相乘或分解因式.例如我們常用例5中計(jì)算Ak

的方法來計(jì)算A的多項(xiàng)式φ(A),這就是:A組1.求下列矩陣的逆矩陣答案A組2.利用逆矩陣解下列線性方程組

答案A組3.解下列矩陣方程

答案B組

答案1.設(shè)A,B

為n

階可逆矩陣,且AB-E

可逆,證明A-B-1可逆,且略.2.設(shè)A

為實(shí)矩陣,ATA=E,|A|<0,證明A+E

不可逆.

答案略.B組3.已知n

階矩陣A

滿足A2+A-2I=O.證明A+2I可逆,并求(A+2I)-1.

答案3.3.1初等矩陣

定義1由n

階單位矩陣E

經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為n

階初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.

(1)對調(diào)n階單位矩陣En

的第i,j

兩行(或兩列),得到的初等矩陣記為En(i,j),即

(2)用數(shù)k≠0乘En

的第i行(或第i列)得到的矩陣,記為En(i(k)),即

(3)用數(shù)k乘En

的第j

行加到第i

行上(或以k乘En

的第i

列加到第j

列上)得到的矩陣,記為En(i,j(k)),即因?yàn)槌醯染仃嚩际菃挝痪仃嚱?jīng)過一次初等變換得到的,所以它們的行列式都不等于零,因此初等矩陣都是可逆矩陣.由于所以

定理1

(初等變換和初等矩陣的關(guān)系)設(shè)A

是一個(gè)m×n

矩陣,對A

施行一次初等行變換,相當(dāng)于在矩陣A

的左邊乘相應(yīng)的m

階初等矩陣;對A

施行一次初等列變換,相當(dāng)于在矩陣A

的右邊乘相應(yīng)的n

階初等矩陣.即3.3.2利用初等變換求逆矩陣從第2章2.1節(jié)例1,我們已經(jīng)知道,對于任一m×n

的矩陣A,總可以經(jīng)過初等變換(行變換和列變換)把它化成標(biāo)準(zhǔn)形:其中,r為行階梯形矩陣中的非零行的行數(shù).利用本節(jié)的定理1,可將該結(jié)論敘述為定理2對于任一m×n

的矩陣A,一定存在有限個(gè)m

階初等矩陣P1,P2,…,Ps

和n階初等矩陣Ps+1,…,Pk

,使將定理2用于n

階可逆矩陣A,則有

定理3

對于n

階可逆矩陣A,一定存在有限個(gè)初等矩陣P1,…,Ps,Ps+1,…,Pk,使得

證明

(略).

注意:如果矩陣A

經(jīng)過初等變換得到矩陣B,則稱矩陣A

與B

等價(jià).由定理3,對n

階可逆矩陣A,它經(jīng)過若干次初等行變換和列變換后一定可化為n

階單位矩陣,即可逆矩陣A

一定與單位矩陣等價(jià).

定理4

設(shè)A

為可逆矩陣,則存在有限個(gè)初等矩陣P1,P2,…,Pk,使A=P1P2…Pk.證明由定理3,對于可逆矩陣A,一定存在有限個(gè)初等矩陣Q1,…,Qs,Qs+1,…,Qk,使得從而.令即存在有限個(gè)初等矩陣P1,P2,…,Pk,使A=P1P2…Pk.事實(shí)上,我們不難看出定理3和定理4不僅是矩陣A

可逆的必要條件,也是充分條件.由定理4可以推出用初等行變換求逆矩陣的方法:若A

為可逆矩陣,則存在初等矩陣P1,P2,…,Pk

使A=P1,P2,…,Pk,即在式(1)兩端分別右乘A-1得由于初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣,所以,式(1)表示可逆矩陣A

經(jīng)過一系列初等行變換可變成E,式(2)表明同樣的初等行變換將單位矩陣E變成矩陣A的逆矩陣A-1.即對n×2n

的矩陣(A┆E)施行初等行變換,把左邊的方陣A

變成單位矩陣E

的同時(shí),右邊的單位矩陣E

也就變成了方陣A

的逆矩陣A-1,即(A┆E)(E┆A-1).同理可得,對2n×n

的矩陣施行若干次初等列變換,在把上邊的方陣A

變成單位矩陣E

的同