第六章 平面向量及其應(yīng)用綜合測(cè)評(píng)（人教A版2019必修第二冊(cè)）（含答案解析）

第六章測(cè)評(píng)

(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)

一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知向量M=(2,1),b=(x,-2),若商應(yīng),則日+坂=()

A.(-2,-1)B.(2,1)

C.(3,-1)D.(-3,1)

【答案】A

【解析】

【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示可求得x,再由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算可得答案.

【詳解】解：?.,出區(qū)，，2x(-2)-x=0,，x=T.

Aa+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).

故選：A.

2.在AABC中，若A=60。，BC=45AC=4及，則角3的大小為()

A.30°B.45°

C.135°D.45°或135°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值、以及大邊對(duì)大角進(jìn)行求解即可.

【詳解】由正弦定理，得警=等，

sinAsinB

.cACsin44\/2sin60?V2

貝sinB-----------=--------k——=——

BC2

因?yàn)?/p>

所以A>B,而4=60。，

所以B=45°.

故選：B

(2018全國〃高考)

3.已知向量聯(lián)工滿足|前=1，a-b=-V則嬴2，辦）=（）

A.4B.3

C.2D.0

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算得解.

2

【詳解】解：a\2a-b）=2a-a.2=2xl2-（-l）=3-

故選：B.

4.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且+—c?=4,

C=120°,則的面積為（）

A.立B.9C.也D.26

33

【答案】C

【解析】

【分析】

利用余弦定理可求時(shí)的值，從而可求三角形的面積.

【詳解】因?yàn)镃=120。，c2=a2+b~-2?Z?cos120°=a2+b2+ab，

而(a+b)2-c2=4,故c2="+b2+2ab-4=a2+b2+ab，

故aA=4,故三角形的面積為Lx"xsinl2（）o=Nx4=\/^,

24

故選：C.

5.在"BC中，若其面積為S,且福?前=2QS,則角A的大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【解析】

【分析】由數(shù)量積的定義，結(jié)合條件即可求解.

muuumuunuuti

【詳解】因?yàn)镾=^|AB|.|Ac|-sinA

而AB-AC=AB-AC-cosA,所以

|AB|.|AC|-cosA=2^xlx|AB|.|AC|-sinA,所以tanA=f,故A=30°.

故選：A

（2018全國/高考）

6.在△ABC中，AO為8C邊上的中線，E為的中點(diǎn)，則麗=

3—1一1一3一

A.-AB一一ACB.-AB--AC

4444

3—1—1—3—

C.-AB+-ACD,-AB+-AC

4444

【答案】A

【解析】

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得

BE=^-BA+^-BC,之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則——三角形法則，得到

22

一3一1一

BC^BA+AC^之后將其合并，得到8E=：84+：AC，下一步應(yīng)用相反向量，求

44

__3__1__

得麗=:通-;而，從而求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-（BA+AC]

222424V>

1一1一1—3-1—

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

__3__1__

所以=——AC,故選A.

44

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角

形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在

解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.

7.在AABC中，1ABmAC=2,若O為AABC內(nèi)部的一點(diǎn)，且滿足

OA+OB+OC^6>則=

A.—B.-C.-D.-

2534

【答案】C

【解析】

【詳解】因?yàn)榇?而+反=6,所以。是AABC的重心；所以AO=1(AC+AB);

y.BC=AC-AB,:.AOBC=^(AC+AB)(AC-AB)=|(|AC|2一畫?)=；故選

C

8.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,h,c,已知

sin(5-A)+sin(B+A)=3sin2A,且c=J7，C=y,則^ABC的面積是

(??)

3x/3口7右721八367百

AA.-----.------rk_z.-----U.-----5V------

46346

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：由題意得sinBcosA=3sinAcosA,分cosA=0和cosAR0兩種情況求

解，然后結(jié)合三角形面積公式可得結(jié)果.

詳解：Vsin^B—Aj+sin^B+A)-3sin2A,

sinBcosA=3sinAcosA.

TT

①當(dāng)cosA=0時(shí)，△ABC為直角三角形，且4=彳.

2

qLbc'x叵義不=氈.

^?ABC

2236

②當(dāng)cosAw0時(shí)，則有sinB=3sinA，

由正弦定理得人=3a.

由余弦定理得c'2=a?+》2-2必cosC，

,I

即7=/+（3a）--2a"吐耳，

解得a=l.

.<?1,.1,Q.乃36

??S.=—absmC=—xlx3x$z〃一=----.

?AABuCr2234

綜上可得AABC的面積是逑或友.

46

故選D.

點(diǎn)睛：在判斷三角形的形狀時(shí)，對(duì)于形如577小°0571=35譏4。。5>4的式子，當(dāng)需要在

等式的兩邊約去casA時(shí)，必須要考慮casA是否為0,否則會(huì)丟掉一種情況.

,視頻門

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得

0分）

9.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.而〃麗就是通所在的直線平行于詬所在的直線

B.長度相等的向量叫相等向量

C.零向量的長度等于0

D.共線向量是在同一條直線上的向量

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)平行（共線）向量、相等向量、零向量的定義判斷.

【詳解】對(duì)于A：向量而〃麗時(shí)，而所在的直線與麗所在的直線可能重合，

故A不正確；

對(duì)于B：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正確；

對(duì)于C：按定義，零向量的長度等于0,C正確；

對(duì)于D：非零的共線向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直線上，也可不在

同一直線上，故D不正確；

故選：ABD.

（2019山東濟(jì)南高一期末）

io.對(duì)于任意的平面向量￡,及2下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若Z//B且B/不，則￡//工

B.^a+b^-c=a-c+b-c

C.若=a.c,且ah6,則石=c

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,注意B=。；對(duì)于B,根據(jù)平面向量數(shù)乘的分配律即可判斷；對(duì)于

C,若￡和石，￡都垂直即可判斷；對(duì)于D,根據(jù)數(shù)量積定義即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,命題不成立；

對(duì)于B,這是平面向量數(shù)乘的分配律，顯然成立；

對(duì)于c,若￡和石，2都垂直，顯然5，2至少在模的方面沒有特定關(guān)系，所以命題

不成立；對(duì)于D,與分別是一個(gè)和屋￡共線的向量，顯然命題

rrrrrr

（a心）-c=a?（/??<?）不一定成立.

故選：ACD.

（2019福建廈門外國語學(xué)校高一月考）

11.已知AABC的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列四個(gè)命題中正確的命題

是（）

A.若工=一二='不，則AABC一定是等邊三角形

cosAcosBcosC

B.若acosA=/>cos8,則AABC一定是等腰三角形

C.^bcosC+ccosB=b,則AAfiC一定是等腰三角形

D.若。2+/_。2>0,則AABC一定是銳角三角形

【答案】AC

【解析】

■八4?亡.ATA工?m十五』TH—r'曰sinAsinBsinC

【分析】對(duì)于A：利用正弦定理可得-----=——-=——-，n即n

cosAcosBcosC

tanA-tanB-tanC,A=B=C,可判斷；

對(duì)于B：由正弦定理可得sinAcosA=sin3cos3=>sin2A=sin23,2A=23或

2A+2B=7r9可判斷；

對(duì)于C：由正弦定理可得sin3cosc+sinCeos3=sin5,即

sin(B+C)=sinB,sinA=sinB,可判斷；

^2,22

對(duì)于D：由余弦定理可得cosC=一〉0,角C為銳角，角45不一定是銳

2ab

角，可判斷.

【詳解】因?yàn)锳ABC的內(nèi)角A,B,C,所以0<A<?,0<3<肛0<C<?,

,abc/IE-r4APEr,口sinAsinBsinC口,，

由一~=--=一利用正弦定理可得一7=--即

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

tanA=tanB=tanC,A=8=C,△ABC是等邊三角形，A正確；

由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=>sin2A=sin25,2A=2B或

2A-^-2B=7r,

△ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正確；

由正弦定理可得sinBcosC4-sinCcosB=sinB,即

sin(B+C)=sin氏sinA=sin3,

則A=ABC等腰三角形，C正確；

由余弦定理可得cosC=c->0,角。為銳角，角A6不一定是銳角，D不

2ab

正確，

故選：AC.

【點(diǎn)睛】本題考查將已知條件運(yùn)用正弦定理，余弦定理進(jìn)行邊角互化，判斷三角形

的形狀，屬于中檔題.

(2019山東煙臺(tái)高一期末)

12.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且

(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:ll,則下列結(jié)論正確的是()

A.sinA:sin3:sinC=4:5:6B.A48c是鈍角三角形

C.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D.若。=6,則AABC外接圓半徑為場

7

【答案】ACD

【解析】

【分析】不妨設(shè)a+b=9x,Q+C=10X,Z?+c=llx,解得。=4x,b=5x,c=6x,對(duì)

四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：

由正弦定理可判斷A；

^2>2_2

由C為最大邊，結(jié)合余弦定理cosC=""一。可判斷B；

2ab

由余弦定理和二倍角公式驗(yàn)證cos2A=2cos2A-l=cosC可判斷C；

由正弦定理2R=—J可判斷D.

sinC

【詳解】不妨設(shè)a+人=9x,a+c=\Gx,匕+c=llx,解得。=4%,b=5xfc=6x

(x>0),

根據(jù)正弦定理可知sinA:sinB:sinC=4:5:6,選項(xiàng)A描述準(zhǔn)確；

由。為最大邊，故C為最大角，

222

「a+b-c16/+25x2—36/1

cosC=--------------=------------------------=—>0n,

2ab2-4x-5x8

即。為銳角，選項(xiàng)B描述不準(zhǔn)確；

由題意，A為最小角，。為最大角

“b2+c2-a225X2+36X2-16X23

cosA=-------------=-----------------------=—,

2bc2-5x-6x4

91

cos2A=2cos9A-l=2x----1=—=cosC,

168

由2A,Ce(0,7r),可得2A=C,選項(xiàng)C描述準(zhǔn)確;

C=6_16V7

若c=6,可得一面7一丁〒一〒，

△ABC外接圓半徑為辿，選項(xiàng)D描述準(zhǔn)確.

7

故選：ACD.

三、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分.

（2019全國加高考）

13.已知方石為單位向量，且限5=0,若5=-?，則cos<H>=

2

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)歸F結(jié)合向量夾角公式求出憶|,進(jìn)一步求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?=a-h=0

所以41=2a2*6一\[5a?5=2,

|c|2=4|a|2-4舟?5+5出|2=9,所以|大=3,

a-c22

所以3<癡>=麗=詬=相

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想

象素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.

14.已知AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,若a=4,c=2,B=60。，則

b=__，C=___.

【答案】①.26②.30°##^

6

【解析】

【分析】由正弦定理與余弦定理求解即可

【詳解】在AABC中，因?yàn)椤?4,c=2,8=60。，

由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosS=42+22-2x4x2cos60°=12,

所以6=26,

、、，csinB2sin60°\_

又由正弦定理,得勤。=丁=

2百2

又由c<。，所以C<8,所以C=30。.

故答案為：26；30°

15.如圖，為了測(cè)量A,C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B,D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形

ABCD各邊的長度(單位：km)：AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且A,B,C,D四點(diǎn)

共圓，則AC的長為km.

【答案】7

【解析】

【分析】利用余弦定理，結(jié)合NB+ND=n,即可求出AC的長.

【詳解】VAB、a。四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為萬.

,.ZB+ZD-7T,

...由余弦定理可得AC?=52+32—2?5?3?COS￡>=34-30COS。，

222

/AC=5+8-2-5-8-cosB=89-SOcosB，;NB+ND=TT,即COS3=-CQS￡>，

.34-AC289-AC2

??—，

3080

可解得4c=7.

故答案為7

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，考查三角函數(shù)知識(shí)，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵，屬于

基本知識(shí)的考查.

BC->J3BD

16.在四邊形ABC。中，麗=麗=(1,1),且網(wǎng)+國=下可,則四邊形ABC。的

面積為.

【答案】V3

【解析】

【詳解】試題分析：因?yàn)槎?反，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又因?yàn)?/p>

向麗卡向前倘而,所以平行四邊形ABCD為菱形，且NABC=120。，因

此^ABCD=x^2xsin120°=V3.

考點(diǎn)：向量加法平行四邊形法則

’而視頻門

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟）

17.已知a=（1,2）,^=（-3,1）

⑴求；-2力；

（2）設(shè)￡,B的夾角為。，求cos。的值；

（3）若向量￡+口與互相垂直，求攵的值

【答案】（1）（7,0）；

【解析】

【分析】（1）利用線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解；

（2）利用向量夾角的坐標(biāo)表示即可求解；

（3）求出向量1+量與￡-與的坐標(biāo),利用坐標(biāo)表示（￡+防）?（￡-防）=。即可求

解.

【小問1詳解】

因?yàn)椋?（1,2）,^=（-3,1）,所以=（1,2）-2（—3,1）=（7,0）.

【小問2詳解】

因?yàn)椤?目?cose,

a-b1x(—3)+2x1—1yp2

所以c°s*衲二后f而西r及旃:一方?

【小問3詳解】

由。=(1,2),5=(—3,1)可得3+花=(1,2)+4(一3,1)=(1—3人,2+4),

￡—女加=(1,2)—左(一3,1)=(1+3%,2—4)，

因?yàn)橄蛄縜+口與a-比互相垂直，

所以（Z+kB）?（￡—%石）=（1-3攵）（1+3左）+（2+k）（2—"）=0,

即2公=1,解得：2=±也.

2

18.設(shè)向量滿足。1*=Mr=1,且13a-2q=77.

（1）求公與B的夾角；

（2）求悔+3q的大小.

【答案】（1）?；（2）V19

【解析】

【分析】（1）由已知得2行『=7,展開求得75=；,結(jié)合夾角公式即可求解;

（2）由忸+3q=J（2l+3B『=J/+1273+9片化簡即可求解.

【詳解】（1）設(shè)￡與石的夾角為。

由已知得恒—2甲=7,即9/-12￡石+4片=7,因此9一127坂+4=7，

一一1/ICl'b1jrTT

得a-b=2,于是C°S8=WW=5,故。=H，即￡與石的夾角為彳；

（2）由悔+34=J（2￡+3M=^4a'+I2a-b+9b=>4+6+9=V19?

n4____j_LLrU」八…口■COSACOSBSIHC

19.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且----+=----.

abc

（I）證明：sinAsinB=sinC；

（II）若〃-a?=4"c,求tanB.

【答案】（I）證明詳見解析；（II）4.

【解析】

【詳解】試題分析：（I）將已知等式通分后利用兩角和的正弦函數(shù)公式整理，利用

正弦定理，即可證明.（II）由余弦定理求出A的余弦函數(shù)值，利用（I）的條件,

求解B的正切函數(shù)值即可

試題解析:（1）根據(jù)正弦定理,設(shè)嘉=熹=丘=k（k>0）.

則a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.

小、cosAcosBsinCcosAcosBsinC

代入----+^—=-----中,有----------1----------=---------變形可得

abc&sinAZ:sinBAsinC

sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).

在△ABC中，由A+B+C=it,有sin(A+B)=sin(兀-C)=,'sinHC,

所以sinAsinB=sinC.

(2)由已知，b2+c2-a2=9bc,根據(jù)余弦定理，有cosA=也+c——￡_=-

52bc5

________4

所以sinA=71-cos2A=~

443

由(I),sinAsinB=nsin,*AcosB+cosAsinB,所以二sinB二=cosB+《sinB,

..sinB

故tanB=-------=4.

cosB

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用；正弦定理；余弦定理

’■n視頻「

20.AABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為8,c,已知asin-------=bsinA.

2

（1）求8；

（2）若AABC為銳角三角形，且c=l,求AABC面積的取值范圍.

【答案】（1）8=2；（2）（4,日）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C

JII

均為三角形內(nèi)角解得6=§.（2）根據(jù)三角形面積公式S.ABc=5ac-sin6,又根據(jù)正弦

定理和c=l得到S.ABC關(guān)于C的函數(shù)，由于AABC是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角

TT

都小于5來計(jì)算c的定義域，最后求解S.ABC（C）的值域.

A-L-C44-C

【詳解】(1)根據(jù)題意asin-------=bsinA,由正弦定理得sinAsin-------=sinBsinA,

22

因?yàn)?<A<?,故sinA>0,消去sinA得sin-------=sinB.

2

0<B<71,0<—〈萬因?yàn)楣室?B或者一^+8=?，而根據(jù)題意

222

4+「A-\-C

A+B+C=〃，故-----+B=萬不成立，所以——-=B,又因?yàn)锳+B+C=〃,

22

代入得33="，所以8=2TT.

JI2

（2）因?yàn)锳ABC是銳角三角形，由（1）知5=§,A+B+C=〃得到A+C=§?,

0<C<-

2

故，、，解得g<C<g.

0<--C<-62

32

a

又應(yīng)用正弦定理~~,c=l,

sinAsinC

由三角形面積公式有:

gsin停一C)

1.12。.D1sinA

q=-ac^mBD=—c—smB=—c2-------sin3=

22c2sinC4sinC

2%>24.

rsin——cosC-cos——sinC也？兀、?兀

31

-------------------------------------=-----(sin----------cos—)----------F

4sinC43tanC38tanC8

又映〈。吟tanC>*，故（31G73

<----------F——<——，

8tanC82

故由<SABC衛(wèi)

8"A8c2

故S,BC的取值范圍是（中，中）

【點(diǎn)睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，和正弦定理或者余弦定理的使用（此

題也可以用余弦定理求解），最后考查AABC是銳角三角形這個(gè)條件的利用.考查

的很全面，是一道很好的考題.

21.如圖，已知正方形A6CD中,JF分別是C￡),AO的中點(diǎn)交于點(diǎn)P.求證:

(1)BELCF;

(2)AP=AB.

【答案】(1)見試題解析；(2)見試題解析

【解析】

【分析】(1)如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點(diǎn)，不妨設(shè)AB=2,則

A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1),再求出而和麗的坐標(biāo)，再計(jì)算得配?飛］=0即證

BELCF.(2)設(shè)P(x,y),再根據(jù)已知求出再求+(|)=4=

AB2-即證明AP=AB.

【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點(diǎn),不妨設(shè)AB=2,

則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).

(DBE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2),

CF=OF-OC=(0,1)-(2,2>(-2,-1),

,?*BE?C]=(-l)x(-2)+2x(-l)=0,

BE±CF,WBE±CF.